07_Corriente_Alterna TE1

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Dr. Ing. Edilberto Vásquez Díaz
UNIVERSIDAD DE PIURA
2018
Corriente Alterna
 Hasta el momento se han aplicado mayormente las fuentes 
de tensión continua, constante en el tiempo, y en algunos 
casos, en fenómenos transitorios, se ha considerado 
corrientes variables con el tiempo pero siempre continuas, 
es decir siempre positivas o siempre negativas.
 La mayor parte de sistemas de distribución de energía 
eléctrica utilizan corriente alterna sinusoidal (con parte 
positiva y negativa durante un periodo). Este tipo de 
corriente presente entre sus principales características el 
poder variar su tensión sin modificar sustancialmente la 
potencia, permite que la energía eléctrica generada en 
centrales pueda llegar de manera eficiente a las de las áreas 
de consumo, muchas veces distantes cientos de kilómetros
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Sin.svg
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Sin.svg
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3d/OndaSenoidal.svg
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3d/OndaSenoidal.svg
Generación de energía eléctrica 
Alterna
Energía 
Mecánica
Energía 
Eléctrica
Generadores Eléctricos
http://www.walter-fendt.de/ph14s/generator_s.htm
http://www.walter-fendt.de/ph14s/generator_s.htm
Generación de energía eléctrica: 
Fuentes de energía
Hidráulica Eólica
Térmica: Motores de 
combustión
Nuclear
Generación de energía eléctrcia
Transmisión de energía eléctrica
Transmisión de energía eléctrica
FUENTE REGULADORA DE TENSIÓN: De AC a DC
Producción de fem alternas sinusoidales
Se dice que una corriente es alterna si cambia de sentido periódicamente. 
Generador de 
corriente alterna
Una espira que gira con velocidad angular constante
dentro de un campo magnético uniforme
 cos S BB
Como ot 
)t cos( S B oB 
Tomando o=p/2, para una espira 
con N vueltas
t sen S B NB 
Aplicando la ley de Faraday t cos S B N
dt
d B 


tVtv cos )( max  Generador de corriente alterna 
Corriente Alterna
tVtv cos )( max 
El término  es la pulsación 
angular (en rad/s) e igual a:
fp 2
Siendo f la frecuencia (en el Sistema Internacional su unidad es el hertz
representado como Hz). Para diferentes sistemas eléctricos se disponen distintos
valores de frecuencia, por ejemplo en nuestro país la frecuencia de la señal eléctrica
es 60 Hz, mientras que en Europa es 50 Hz
Se tiene que precisar que las letras minúsculas se refieren a valores instantáneos de la
función y las letras mayúsculas a constantes. En el caso anterior, v es el valor
instantáneo de la tensión y Vmáx es el valor máximo de la función que es conocido
como amplitud de la tensión
Valores medios y eficaces
Caracterización de una corriente utilizando valores medios

T
0
dt f
T
1
f

T
0
dt V
T
1
V

T
0
dt I
T
1
I

p

2
Tcon tcosVV Si o
  pp


p
T
0
/2
0oo 0tsenV
2
1
dtt cosV
2
V
  pp


p
T
0
/2
0oo 0tsenI
2
1
dtt cosI
2
I
Los valores medios no dan
información sobre las
corrientes alternas.
Caracterización de las corrientes alternas utilizando valores eficaces
2
ef ff 
2
ef VV 
2
ef II 
Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la 
corriente o la tensión.
  
p
p



p


p


pT
0
2
02
o
/2
0
2
o
22
o
2
2
V2
2
1
V
2
dt
2
1t2cos
V
2
dtt cosV
2
V
2
V
V oef 
  
p
p



p


p


pT
0
2
02
o
/2
0
2
o
22
o
2
2
I2
2
1
I
2
dt
2
1t2cos
I
2
dtt cosI
2
I
2
I
I oef 
Teoría de Fasores. Herramientas 
Matemáticas
 Los fasores nos van a permitir trabajar con las
funciones senoidales de una forma más fácil en
algunas ocasiones como al integrar y al derivar.
 Un diagrama fasorial es un diagrama en el plano
complejo que muestra las relaciones entre voltajes y
corrientes en forma de fasores, para un circuito
eléctrico específico
Fasor
 Un fasor es un vector giratorio
que puede ubicarse en un
plano complejo formado por un
eje horizontal denominado eje
real y un eje vertical
denominado eje imaginario.
En cada eje se puede expresar
un vector unitario, el vector
unitario para el eje real y el
vector unitario para el eje
imaginario). El fasor tiene
como módulo un valor eficaz f
y forma un ángulo  con el eje
real, entonces puede
expresarse como la suma de sus
respectivas componentes en
ambos ejes.
real
imag.
i
j
0

real
imag.
0 i f cos
j f sin
(a) (b)
 sincos ff jf 

 ff

01i 21 pj
Aplicación de los fasores
Una función que varía cosenoidalmente
puede ser representada como un vector
que se mueve a velocidad angular
constante . El fasor tiene un módulo
igual al valor eficaz de la función y un
ángulo en función del tiempo t.
Al proyectar el fasor en el eje real, se
obtiene parte de la componente de la
corriente instantánea. Para obtener la
expresión en el tiempo, se multiplica esta
proyección por . Su expresión será
tIi cos2
Los parámetros de corriente alterna pueden ser representados mediante fasores y 
construir diagramas fasoriales para un mejor análisis
2
Tensión y Corriente como Fasores
El fasor de corriente puede ser expresado:
el fasor de tensión
siendo  el desfase de la tensión respecto de 
la corriente
tI I

  tVV

Los valores instantáneos de corriente i y de tensión v serán las respectivas 
proyecciones de sus fasores en el eje real multiplicados por 2
Corriente alterna en elementos de circuito
I. Corriente alterna en una resistencia
Siendo VR el valor eficaz de la tensión en la resistencia. Se ve que en el instante t
la tensión y la corriente están en fase y tienen la misma frecuencia
tIti cos2)( 
2 cos 2 cosR Rv iR RI t V t   
IRVR


tItVR   R

Si se expresa como fasor se tiene:
00 


 R
I
V
tI
tV RR


R

Diagrama Fasorial
II. Corriente alterna en un condensador
tIi cos2 





  2
cos
22 p




t
I
tsen
I
idtq







2
cos
2 p


t
C
I
C
q
vC
C
X C

1
Se define XC : reactancia capacitiva







2
cos2
p
 tIXv CCReemplazando en la función de la tensión
CC XIV 
Se expresa el valor eficaz de la tensión a través del 
capacitor como
Se ve entonces que la reactancia capacitiva tiene unidades de resistencia, por lo tanto la 
unidad SI de la reactancia capacitiva es el ohm
II. Corriente alterna en un condensador: Reactancia Capacitiva 
tIXtVtv CCC 
p
 cos2
2
cos2)( 






tIXtV cC 
p
 cos
2
cos 






IXV CC

Como fasores la relación entre la tensión y la corriente:
  tItVC p  CX

2La tensión y la corriente en forma polar:
 
22
2
πXπ
I
V
ωtI
πωtV
c
CC 


CX

CC
X c
 j
jjXC
11

La reactancia capacitiva puede representarse como 
un vector en dirección del eje imaginario sentido 
negativo
Despejando la reactancia
II. Corriente alterna en un condensador: Diagrama Fasorial
III. Corriente alterna en una Inductancia: bobina
tsenIL
dt
di
LtvL  2)( 







2
cos2)(
p
 tILtvL
tIti cos2)( 
LX L 







2
cos2)(
p
 tIXtv LL
LL XIV 







2
cos2)(
p
tVtv LL
Se define XL como reactancia inductiva
Reemplazando en la función de la tensión
Se expresa el valor eficaz de la tensión a través del inductor
La expresión de la tensión en el condensador será
III. Corriente alterna en una Inductancia: bobina
tIXtVv LLL 
p
 cos2
2
cos2 






tIXtV LL 
p
 cos
2
cos 






IXV LL


  tItVL p  LX2

 
22
2
pp

p



 L
LL X
I
V
tI
tV
LX

LjjXL  LX
La reactancia inductiva puede 
representarse como un vector en dirección 
positiva del eje imaginario del plano 
complejo
III. Corriente alterna en una Inductancia: Diagrama Fasorial
Elemento Relación de valores 
eficaces
Cantidad de 
circuito
Desfase de la tensión 
respecto de la corriente
Resistor VR = I R R = 0
Inductor VL = I XL XL = L  = p/2
Condensador VC = I XC XC = 1/C  = - p/2
III. Resumen
Esta representación fasorial, la podemos llevar a cabo en el plano complejo

r
a
b
Re
Im
Coordenadas cartesianas jbar 
Coordenadas polares  rz
Cambio de 
coordenadas
Cartesianas a polares
a
b
tg arc
bar 22


Polares a cartesianas 


sen rb
cosra
Fórmula de Euler 
 sen jrcosrre j
Representación compleja de elementos de corriente alterna
Vamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna
utilizando el formalismo de los números complejos. Representaremos por  e i las
tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de interés físico
serán Re() y Re(i). Así, los circuitos de corriente alterna se pueden resolver
considerando la ley de Ohm con el formalismo de los números complejos.
Resistencia RZR 
Corriente y tensión están en
fase.
Condensador


C
j
ZC
Corriente adelantada p/2
respecto de la tensión.
Inducción  jLZL
Corriente atrasada p/2
respecto de la tensión.
Impedancia
Se ha visto que la resistencia y las
reactancias tienen las mismas
unidades, por lo tanto expresarán
una oposición a la corriente
cuando se habla de corriente
alterna. En general, en un circuito
de corriente alterna se tiene un
conjunto de resistencias y
reactancias asociadas en serie o en
paralelo.
En general, si una tensión alterna es aplicada a un circuito con un conjunto de 
elementos resistivos y reactivos se produce una corriente alterna.
tIti cos2)(  )cos(2)(   tVtv
Impedancia
La impedancia Z se obtiene sumando vectorialmente los valores de resistencia y
reactancias que se encuentren en el circuito, respetando las relaciones de elementos en
serie y elementos en paralelo vistos para el caso de la resistencia.
ZIV


I
V
Z 


   





 Z
I
V
tI
tV
Z

Impedancia
La impedancia se puede representar como un vector : conformado por 
una resistencia y una reactancia (inductiva o capacitiva)
XRZZZ
ZZ imagral
jsinjcos
jZ .





   RXZZ realimag 11 tantan  
Siendo el ángulo de desfase del 
voltaje con respecto de la corriente
Impedancia
XRZ j

 RX1tan
Circuito LCR en serie
)()
1
(
)cos(2)(
CLT XXjR
C
LjRZ
tVtv





)( CLT XXjR
tV
Z
V
I







R
XX CL tan
22 )( CL
o
XXR
V
I


)cos(2)(   tIti o
Representación polar de Z





22 )( CL XXR
tV
I

Relación voltaje-corriente en elementos pasivos
R
L
C
v t R i t( ) ( )
v t L
di t
dt
( )
( )

v t
C
i t dt( ) ( ) 
1
V I
1
j C
V I j L
V I R Z  R
Z  j L
Z 
1
j C
Time domain frequency domain Impedance
ZN
.
Z
Z Z Z
eq
N

 
1
1 1 1
1 2
L
Element Admitance
Y 
1
R
Y 
1
j L
Y  j C
Z1 Z2
Zeq
Z Z Z Zeq N  1 2 L
Z1 Z2 ZNL
Zeq
ZN
Potencia en los circuitos de 
corriente alterna
Potencia instantánea: Para un elemento eléctrico se determina como el producto
De la tensión instantánea por la corriente instantánea.
)()()( titvtp 

T
media dttp
T
P
0
)(
1
Potencia Media: 
Potencia en los circuitos de 
corriente alterna
Potencia instantánea en una 
resistencia
R
i(t)
v(t)R
t
i
vR
tIti cos)( max
tVtv R cos)( max
Potencia en los circuitos de 
corriente alterna
Potencia instantánea en una 
resistencia
R
i(t)
v(t)R
tIti cos)( max tVtvR cos)( max
   tIVt
IV
tp
tIVtp
titvtp
R
R
R
RR
RR


2cos12cos1
2
)(
cos)(
)()()(
maxmax
2
maxmax



pR
i
vR
t
Potencia disipada en una 
resistencia
RIIV
IV
P R
R
Rm
2maxmax
2


T
media dttp
T
P
0
)(
1
   tIVt
IV
tp R
R
R  2cos12cos1
2
)( maxmax 
Potencia disipada en una 
Inductancia
t
i
uL
L
i(t)
vL
tIti cos)( max
 2cos)( max p  tVtv LL
Potencia disipada en una 
Inductancia
L
i(t)
vL
tIti cos)( max
 2cos)( max p  tVtv LL
 
 
tIVt
IV
tp
ttIVtp
tttIVtp
ttIVtp
titvtp
L
L
L
LL
LL
LL
LL


pp
p
2sin2sin
2
)(
cossin)(
cos2sinsin2coscos)(
cos2cos)(
)()()(
maxmax
maxmax
maxmax
maxmax





Esta función es alterna y su valor medio en el tiempo es nulo y al integrar la expresión 
se halla que el valor es cero. 
Potencia disipada en una 
Inductancia
i
pL uL
t 0)(
1
0
 
T
media dttp
T
P
Esto quiere decir que la inductancia no consume energía neta en el 
tiempo, absorbe energía en un semiciclo y en el siguiente lo entrega, 
repitiendo el proceso indefinidamente
Potencia disipada en un Capacitor
t
i
vC
C
i(t)
vC
tIi cosmax
 2cosmax p  tVv CC
Potencia disipada en un Capacitor
C
i(t)
vC
tIi cosmax  2cosmax p  tVv CC
 
 
tIVt
IV
tp
tttIVtp
ttIVtitvtp
C
C
C
CC
CCC

pp
p
2sin2sin
2
)(
cos2sinsin2coscos)(
cos2cos)()()(
maxmax
maxmax
maxmax



La integración de la expresión hallada es cero. 
Potencia disipada en un Capacitor
pC
uC
i 0)(
1
0
 
T
media dttp
T
P
Esto quiere decir que la capacidad no consume energía neta en el tiempo, 
absorbe energía en un semiciclo y en el siguiente lo entrega, repitiendo el 
proceso indefinidamente
Potencia para una Impedancia
 ZZ

tIti cos)( max
   tVtv cos)( max
 
 
 
  tVItVItp
t
IV
tIVtp
ttIVtIVtp
tttIVtp
tItVtp
titvtp







2sinsin2cos1cos)(
2sin
2
sin
2cos1
2
1
cos)(
sincossincoscos)(
cossinsincoscos)(
coscos)(
)()()(
maxmax
maxmax
maxmax
2
maxmax
maxmax
maxmax












Potencia para una Impedancia
  tVItVItp  2sinsin2cos1cos)( 
tVIoscilantepotencia  2sinsin
 tVIonalUnidirecciPotencia  2cos1cos 
Potencia para una Impedancia
  tVItVItp  2sinsin2cos1cos)( 

T
dttp
T
p
0
)(
1
 coscos
2
maxmax VI
IV
p 
Este valor corresponde únicamente al valor medio de la potencia unidireccional 
pues el valor medio de la potencia oscilante es nulo.
Esto quiere decir que de toda la expresión de la potencia, sólo una parte se 
convierte en energía que es aprovechada y sale fuera del sistema, la otra parte no 
realizará trabajo. 
La potencia unidireccional tiene la presencia del término cos que representa la 
parte resistiva de la impedancia, por lo tanto es consecuente con el 
razonamiento que es esta potencia la que se convierte en trabajo o calor y sale 
del sistema.
La potencia oscilante tiene la presencia del término sin que representa la 
parte reactiva de la impedancia, por lo tanto es consecuente con el 
razonamiento que esta potencia no se convierte en trabajo o en calor, y no sale 
del sistema, sin embargo la fuente de ca debe proporcionarla
 coscos
2
maxmax VI
IV
p 
  tVItVItp  2sinsin2cos1cos)( 
 coscos
2
maxmax VI
IV
p 
ftIti p 2cos)( max 
   tVtv cos)( max
Potencia Activa, Reactiva, 
Aparente y Factor de Potencia
TRIANGULO DE POTENCIAS: Se define la potencia compleja que pasa a través 
de una impedancia 
 ZZ

*
IVS


tI I

tI *I

  tVV

tItV  S

  SVIS

Potencia Activa, Reactiva, 
Aparente y Factor de Potencia
Esta potencia compleja tiene un valor igual al producto de los valores eficaces 
de la tensión y la corriente aplicadas a la impedancia. Se puede representarla 
vectorialmente en un diagrama de potencias
  SVIS

QP jS 

 coscos VISP 
 sinsin VISQ 
VIQPS  22
Potencia Activa
Potencia Reactiva
Potencia Aparente
  tVItVItp  2sinsin2cos1cos)( 
Potencia Activa, Reactiva, 
Aparente y Factor de Potencia
La potencia activa es numéricamente 
igual a la potencia media y representa la 
potencia que se convierte en trabajo o 
calor por acción de la parte resistiva de la 
impedancia.
La potencia reactiva es numéricamente
igual al valor máximo de la potencia
oscilante anteriormente hallada y
representa la potencia que no sale del
sistema y depende de la partereactiva de
la impedancia, es decir, será utilizada por
las inductancias y capacidades que
almacenan y entregan energía de forma
alternada.
cosVIP 
sinVIQ 
Potencia Activa, Reactiva, 
Aparente y Factor de Potencia
La potencia aparente será la potencia 
entregada por la fuente, parte de ella, la 
potencia activa, se convertirá en trabajo o 
calor en las resistencias, y otra parte, la 
potencia reactiva, no saldrá del sistema 
pero será utilizada por las inductancia y 
capacidades.
Factor de potencia (fp): Esta cantidad
expresa la cantidad de potencia que
realmente es aprovechada respecto de la
potencia aparente o total. Tiene la
siguiente expresión:
cos
P
fp
S
 
VIQPS  22
Potencia Activa, Reactiva, 
Aparente y Factor de Potencia
Potencia Representación Unidad SI Símbolo
Potencia activa P watt W
Potencia reactiva Q volt-ampere reactivo VAR
Potencia aparente S volt-ampere VA
El Transformador
 Una de las grandes ventajas que tiene la corriente alterna es
la posibilidad de variar el nivel de tensión sin alterar
sustancialmente la potencia. La energía eléctrica es
generada en zonas alejadas muchas veces cientos de
kilómetros respecto de las zonas de consumo (ciudades e
industrias). Si la cantidad de energía requerida para
satisfacer la demanda de las ciudades e industrias fuera
transportada en la tensión en que se consume, la corriente
que pasaría por las líneas y que recorrería esos cientos de
kilómetros sería muy grande. En consecuencia, las
pérdidas por calor serían enormes.
El Transformador
 Un transformador idealizado puede ser representado por 
dos bobinas aisladas eléctricamente entre sí, pero 
enrolladas en el mismo núcleo. Se asume que la 
permeabilidad del material ferromagnético que constituye 
el núcleo es tan grande que todo el flujo magnético va a 
estar contenido en él, por lo tanto el mismo flujo 
magnético enlaza a las dos bobinas
Bobina
primaria
Bobina
secundaria
Núcleo de
hierro 
Fuente
CA 
 Un transformador es un
dispositivo utilizado para
aumentar o disminuir el voltaje
de un circuito sin una pérdida
apreciable de potencia.
 Si una fuente de CA se conecta a
una bobina enrollada alrededor
de un núcleo de hierro, y dicho
núcleo contiene a su vez una
bobina secundaria, sobre ésta
actuará un flujo magnético.
Bobina
primaria
Bobina
secundaria
Núcleo de
hierro 
Fuente
CA 
 Consideremos un transformador
con un voltaje ε1 en el primario
de N1 vueltas; el arrollamiento
secundario de N2 vueltas es un
circuito abierto. Debido al
núcleo de hierro, existe un flujo
magnético que atraviesa ambas
bobinas que es variable.
 Por lo tanto se induce fem:
 Comparando estas ecuaciones:
 Hay que considerar que si el
transformador es ideal, la potencia
en el primario, es la misma que en el
secundario, cuando éste se conecte a
un circuito.
dt
d
N

 11
dt
d
N

 22
1 1
2 2
( )
( )
t N
a
t N


 
El Transformador
1 1( ) ( )V t t 2 2
( ) ( )V t t
Si se desprecia la resistencia de las bobinas y de las líneas de conexión, se 
tiene:
1 1
2 2
( )
( )
V t V
a
V t V
 
Donde a se denomina relación de vueltas de 
primario respecto al número de vueltas del 
secundario. 
El Transformador
1 1
2 2
( )
( )
V t V
a
V t V
 
1 2V V
1 2V V
a > 1, se está ante un transformador reductor
a < 1, se está ante un transformador elevador
Bobina
primaria
Bobina
secundaria
Núcleo de
hierro 
Fuente
CA 
El Transformador
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )V t I t V t I t
1 1 2 2V I V I
1 2V aV
1 1
2 2
( ) 1
( )
I t I
I t aI
 
Como se puede ver el transformador
permite transmitir la misma potencia,
variando el nivel de tensión, lo que implica a
su vez una variación de corriente
El Transformador
2
2
V
Z
I

1
1
V a
Z
aI
 21
1
V
a Z
I

Esto quiere decir que la fuente “ve” 
a una impedancia . Se ve entonces 
que el transformador no sólo 
transforma tensiones y corrientes, 
sino que también transforma 
impedancias
'2
1
1 ZZa
I
V 



Diagrama Fasorial del 
Transformador 
 ZZ

'2
1
1 ZZa
I
V 



Ejemplo
Se tiene una fábrica que tiene una demanda de potencia de 1,1 MW con un 
fp=1 y trabaja a una tensión de V=220 voltios. El punto de entrega de 
energía eléctrica se encuentra a 100km y entrega potencia a 220V. Para llegar 
a ese punto se dispone de una línea de transmisión que tiene una resistencia 
unitaria de 0,2 /km. Se requiere evaluar la conveniencia o no del uso de 
transformadores para transmitir la potencia
Sin utilizar transformadores
Se empieza definiendo la corriente que necesitará será I=P/V=5000 A.
Si se necesita una línea de 100 km para transportar esta demanda de energía y esa línea
tiene una resistencia de 0,2 /km, entonces la resistencia total de la línea será Rl=20 ohm.
Las pérdidas por calor en la línea serán Pl=I
2Rl = (5000)
2(20) = 500 MW!
Así mismo, la caída de tensión que se tendría sería de 10 mil MV.
De esto se concluye que si se conecta directamente a la red eléctrica, esta deberá tener una
tensión de 10 mil MV y entregar una potencia de 501.1 MW. Así mismo, se ve que se tiene
un rendimiento de aproximadamente 0.22%
Utilizando transformadores
Se plantea la idea de utilizar transformadores. Se utilizará dos transformadores, un
elevador y un reductor. El transformador elevador y el reductor tendrá una relación de
transformación de 0.22/220kV y 220kV/0.22kV respectivamente. Debido a esto, la
línea trabajará a una tensión igual a 220 KV por ejemplo.
La corriente en el secundario del transformador reductor entregará la corriente que
consume la carga, mejor dicho los 5000A. Ahora, bien, la corriente que entrega el
secundario del transformador elevador, la cual es la misma que se transporta por la
línea de transmisión y que llega al transformador reductor es igual a 5A. Esto implica
que ahora se tenga por pérdidas 500W y la caída de tensión que se tenga sea de 100V,
los cuales para los 220kV son despreciables. El secundario del transformador elevador
tendrá que entregar 1 100 500W a 220 100V. Debido a esto, el primario del
transformador elevador tendrá que llegar 1 100 500W a 220.1V. En este caso
la línea tendrá un rendimiento del 99.95%, ya que las pérdidas se han reducido
drásticamente.
Como se puede ver, el uso de transformadores permite transmitir energía eléctrica con
un alto rendimiento, ya que se puede llegar a tener pérdidas prácticamente
despreciables