INTEGRAL DEFINIDA

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INTRODUCCIÓN 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
 EL PROBLEMA DEL ÁREA 
 
 INTEGRAL DEFINIDA 
 
 ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA 
 
 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
 
 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 10 
 Pág. 2 
 
INTRODUCCIÓN 
Ubicación del tema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISAAC BARROW 
1630- 1677 
BERNHARD RIEMANN 
1826- 1886 
 Pág. 3 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
11.1 EL PROBLEMA DEL ÁREA
 
11.1.1 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 
El área (AS) de la región S del plano acotada por las gráficas de 
la función continua f, las líneas x=a , x=b y el eje de las abscisas, está 
dada por: 
  



n
i
n
S xi cifA
1
)( lim 
 
Demostración 
Sea una función f continua y no negativa en el intervalo a≤ x ≤ b. 
Realicemos una partición regular 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 } del intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
La misma divide al intervalo en n sub-intervalos cerrados de igual longitud 
 [a=x0, x1], [x1, x2],… [xn-2, xn-1], [xn-1, xn=b] 
Al trazar las rectas : x =x0 = a , x = x1 , x = x2 , x = x3 ,.....................x = xn = b , la región S queda 
dividida en n regiones: 
 
 
 
 
 
S 
y= f(x) 
x=a x=b 
 
Esta división del intervalo del a, b 
se llama Partición del intervalo a, b 
y la denotamos con P. Si todos los intervalos 
tienen igual 
longitud la Partición es regular y la 
longitud de cada sub-intervalo es 
n
ab 
 
S1 S2 … Si … Sn 
a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn= b 
 Pág. 4 
 
Vamos a aproximar el área de estas regiones Si por medio de rectángulos Ri para lo cual: 
se elige : 
 un número c1  a, x1 
 un número c2  x1,x2 
 
 un número ci  xi-1,xi 
 
 un número cn xn-1,xn 
 
 
 
y se construyen los rectángulos R1 , R2 , R3 , ................Rn , de modo tal que : 
 f(c1) es la altura y x1 es la base del rectángulo R1 
 f(c2) es la altura y x2 es la base del rectángulo R2 
 
 f(ci) es la altura y xi es la base del rectángulo Ri 
 
 f(cn) es la altura y xn es la base del rectángulo Rn 
 
 
 
 De esta forma el área del rectángulo i-ésimo está dada por: 
Ai = base x altura = xi . f(ci) 
 
La suma de las áreas de los n rectángulos así construidos R1 , R2 , R3, ...............Rn nos dan una 
aproximación del área de la región S medida en unidades cuadradas, y estará dada por : 
 
 A  f( c1) . x1 + f(c2). . x2 + f(c3). . x3 +… + f(cn). . xn 
 
El segundo miembro puede expresarse 


n
i
ii xcf
1
)( y es llamada SUMA DE RIEMMAN 
O sea que 


n
i
ii xcfA
1
)( 
xn=b c1 c2 ci cn 
 
a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn=b 
 Pág. 5 
 
Si aumentamos el número de puntos de subdivisión del a, b , la cantidad de rectángulos 
aumenta, el ancho de cada rectángulo se reduce y la aproximación es cada vez mejor. 
 
 
 
 
 
O sea que cuando la cantidad de rectángulos se incrementa, simbólicamente n, la suma de 
las áreas de los rectángulos se aproxima cada vez más al área de la región S. 
Simbólicamente esto es 
 



n
i
ii
n
xcfA
1
)(lim (1) 
 
 
Determine el área de la región encerrada por la función 
29)( xxf  , tomando los puntos 
muestras de los puntos extremos de la derecha y a = 0, b = 3. 
 
a) Determinar x con n = 2: 
 5,1
2
03




 x ; 
n
ab
x 
Y los puntos extremos de la derecha son: 35,1 21  x ; x 
 
 
[u.s] 10,125A
 06,75 1,5. 1,5 . f(3) 1,5 f(1.5). A


 
 
 
Ejercicio 1 
 Pág. 6 
 
b) Determinar x con n = 4 : 
 75,0
4
03




 x ; 
n
ab
x 
Y los puntos extremos de la derecha son: 
 325,25,175,0 21  43 x ; x ; x ; x 
 
[u.s] 1A 
 58,44 0,75 
 0,75 f(3). 0,75 . f(2,25) 0,75 . f(1,5) 0,75 f(0,75). A
35,4
94,37,6



 
 
 
c) Determinar x con n = 30 : 
 1,0
30
03




 x ; 
n
ab
x 
Y los puntos extremos de la derecha son: 
5,04,03,02,01,0 21  543 x ; x ; x ; x ; x 
0,19,08,07,06,0 76  1098 x ; x ; x ; x ; x 
5,14,13,12,11,1 1211  151413 x ; x ; x ; x ; x 
0,29,18,17,16,1 1716  201918 x ; x ; x ; x ; x 
5,24,23,22,21,2 2221  252423 x ; x ; x ; x ; x 
0,39,28,27,26,2 2726  302928 x ; x ; x ; x ; x 
 
[u.s] 17,55A
 
 
8,99
 0,1 
0f(2,9).0,1 .0,1 f(2,8) 
 
.0,1 f(2,7) .0,1 f(2,6).0,1 f(2,5)(2,4).0,1f .0,1 f(2,3) .0,1 f(2,2) f0,1 f(2).f(1,9).0,1 
 
 .0,1 f(1,8) .0,1 f(1,7) .0,1 f(1,6).0,1 f(1,5)(1,4).0,1f .0,1 f(1,3) .0,1 f(1,2) f0,1 f(1). 
 
)f(0,9).0,1 .0,1 f(0,8) .0,1 f(0,7) .0,1 f(0,6).0,1 f(0,5)(0,4).0,1f .0,1 f(0,3) .0,1 f(0,2) 0,1 f(0,1). A














059,016,171,124,275,224,371,316,459,4539,576,511,6
44,675,604,731,756,779,7819,836,851,864,875,884,891,896,8
1,0).1,2(
1,0).1,1(
 
 Pág. 7 
 
11.2.- INTEGRAL DEFINIDA 
11.2.1 DEFINICIÓN 
Sea una función f continua definida para a ≤ x ≤ b, la INTEGRAL 
DEFINIDA de f de a en b, simbolizada como 

b
a
dx).x(f está dada 
por: 
 


 
n
i
 
b
a n
limdx).x(f ix).ic(f
1
 (2) 
si el limite existe. 
 
Una función f definida en [a, b] se dice INTEGRABLE en [a, b] si existe el límite 
de las sumas de Riemann de f 
 
 
 El símbolo  se llama símbolo de integración y es una S alargada y se eligió así debido 
 a que la integral definida es un límite de sumas. 
 En la notación : f(x) es el integrando, a es el límite de integración inferior y b es el límite 
 superior 
 Si f es discontinua en algún punto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] la integral se denomina IMPROPIA O 
GENERALIZADA 
 
 
11.3 AREA COMO INTEGRAL DEFINIDA 
La definición de área es: 
A = 



n
1i
ii
n
x)c(flim (1) 
 
La definición de Integral definida es: 



 
n
i
 
b
a n
limdx).x(f ix).ic(f
1
 (2) 
Comparando (1) y (2), solo si f(x) ≥ 0 , se puede afirmar que el área de la región plana S es: 
0 f(x) si dxxfA
b
a
  ).( 
 
∆xi 
f(ci) 
 Pág. 8 
 
11.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
Para facilitar el cálculo de una integral definida sin tener que recurrir a la definición, se 
proporcionan las siguientes propiedades fundamentales 
Propiedad 1: 
Si K es cualquier constante real   
b
a
b
a
dx..Kdx.K 
Propiedad 2: 
Si f es integrable en a,b y K es cualquier constante real   
b
a
b
a
dx).x(f.Kdx).x(f.K 
Propiedad 3 : 
Si las funciones f y g son integrables en a,b     
b
a
b
a
b
a
dx).x(gdx).x(fdx)x(g)x(f 
Propiedad 4: 
 Si a < b y existe 
b
a
dx).x(f   
a
b
b
a
dxxfdxxf )().( 
Propiedad 5: 
Si b = a  
a
a
dx).x(f = 0 
Propiedad 6: 
Si f es integrable en [a,b] y f(x)≥ 0  x [a,b] entonces:
 
0
b
a
dx).x(f  
Propiedad 7 : 
Si f es integrable en el intervalo cerrado [a,b] y c  (a,b) entonces: 
   
b
a
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx).x(f 
 
Propiedad 8: 
Si f y g son funciones continuas tales que f(x) ≥ g(x)  x  a,b 
  
b
a
b
a
dx).x(gdx).x(f
 
 
Propiedad 9 : 
Si Mxfm  )( para a ≤ x ≤ b, entonces 
    
b
a
a-b Mdxxfa-b m ).(.
 
 Pág. 9 
 
11.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
El Teorema Fundamental del Cálculo establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el 
Cálculo Diferencial que surgió para dar solución al problema de la tangente a una curva y el 
Cálculo Integral que nace a partir del problema del área. 
El matemático Isaac Barrow (1630- 1677) descubrió que estos problemas estaban relacionados. El 
Teorema Fundamental del Cálculo da la correspondencia inversa inequívoca entre la Derivada y 
la Integral. 
 
El Teorema consta de dos partes: 
Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I 
Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II 
 
11.5.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE I 
 
Enunciado 
Si f es continua en [a, b], entonces la función g definida por 
 
x
a
b x a dt tfxg )()(
 (1)
 
 
es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g’(x) = f(x). 
 
Demostración 
Si x y x+x están en el intervalo abierto (a, b) y según la definición dada en (1): 
 b x a :con dt tfxg
x
a
  )()(
 
 (3) b xx a :con dt tfxxg
xx
a
 

)()(
 
Y la diferencia: 
 


xx
a
x
a
 f(t )dt -dt tfxgxxg )()()(
 
 
 Pág. 10 
 
Por propiedad de integrales definidas: 






xx
x
x
a
xx
x
x
a
f(t )dtxgxxg
f(t )dtf(t )dtf(t )dtxgxxg
)()(
)()(
 
Dividiendo ambos miembros en x con x≠0: 






xx
x
f(t )dt
xx
xgxxg
.
1)()(
 (1)
 
Por otra parte considerando que x > 0 y como f es continua en [x, x+x], el Teorema del Valor 
Extremo establece que hay números u y v en [x, x+x] tal que f(u) = m y f(v) = M donde 
m y M son los valores máximos y mínimos absolutos de f en [x, x+x]. 
 
 
 
 
 
Según la propiedad 9 de las integrales definidas: 



xx
x
x. Mdxxfx m ).(.
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
≤ ≤ 
 Pág. 11 
 
Es decir: 



xx
x
x. f(v) dxxf x uf ).().(
 
Si x > 0 se divide la desigualdad anterior en x (también puede comprobarse si x<0) : 









xx
x
x
x. f(v)
 dxxf 
x
1
 
x
 x uf
).(
).(
 
quedando: 





xx
x
(v)f dxxf 
x
1
 (u)f ).( (2)
 
Reemplazando (1) en (2): 
f(v) 
x
g(x)-x)g(x
 (u)f 


 (3) 
Pasando al límite: 
f(v) 
x
g(x)-x)g(x
 (u)f
xxx 000
limlimlim




 (4) 
Cuando x0, ux y v x ya que u y v están entre x y x + x por lo tanto: 
f(x) f(u) f(u) 
xux


limlim
0
 
f(x) f(v) f(v) 
xvx


limlim
0
 
Entonces (4) queda: 
f(x) 
x
g(x)-x)g(x
 lim (x)f
0x





 
Por el Teorema de Estricción: 
f(x) 
x
g(x)-x)g(x
 lim
0x




 
 
Como el primer miembro es la Función Derivada de g: 
  x f (x)' g  
 
 
 Pág. 12 
 
11.5.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE II (Regla de Barrow) 
Definición 
Sea f una función continua en el intervalo cerrado a, b y sea F una primitiva de f en a, b tal 
que   b a, x f(x)(x)' F  
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().(  . 
Demostración 
Por el 1° Teorema del Cálculo Integral se sabe que 
x
a
dttfxg )()( 
es una primitiva de f ya que g’(x) = f(x) . Si F es otra primitiva de f en [a,b], entonces la 
diferencia entre F y g es una constante: 
 CxgxF  )()( en (a, b) 
(1) CxFdttf C dttf -xF
x
a
x
a
  )()()()( 
Las primitivas F y g son continuas en [a, b]. 
Si hacemos en (1) x = a tendremos: CaFdttf 
a
a
0)()(  O sea que C = F(a) (2) 
Si hacemos en (1) x = b tendremos CbFdttf 
b
a
 )()( (3) 
Reemplazando (2) en (3): aFbFdttf 
b
a
)()()(  
Particularizando para t = x 
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().(  
 
Sintetizando, el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO afirma: “Suponga que f es continua sobre 
[a, b], 
1.- Si  
x
a
b x a dt tfxg )()( entonces g’(x) = f(x) 
2.- 
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().(  donde F es cualquier Primitiva de f, es decir: F’ = f 
 Pág. 13 
 
11-5-3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL 
ENUNCIADO 
Si f es una función continua en  ba, , donde f(x)0, entonces existe un punto  bac , tal 
que   )()( cfabdxxf
b
a
 . 
 
Geométricamente el teorema del valor medio establece que dada una función positiva en 
[a,b] el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las 
rectas x = a y x = b coincide con el área de un rectángulo de base igual a la longitud del 
intervalo 
(b - a) y altura f(c) siendo c un punto del intervalo [a, b] . 
 
 
Calcula el valor medio de la función f(x) = sen x entre x = 0 y x = π/2 
a) Calculo de f(c): 







2
 f(c)
 
2
 cos 
2
 -
0
2cosx 
2
f(c) dx senx 
0-
2
1
f(c) 
 dx senx
a-b
1
f(c) f(c) . a)-(b dx senx
2
22











0cos.
.
0
00
 
b) Área del rectángulo de base (b-a) y altura f(c): 
110
2






 RR A 
2
 . A


 
c) El área bajo la curva es: 
1 
2
 xdx senxA
2






  0coscoscos 200


 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2 
 Pág. 14 
 
11.6 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 
Entre las numerosas aplicaciones de la integral definida destacamos: 
 
Aplicaciones geométricas: 
- área de una región plana 
- volumen de sólido de revolución 
- longitud de curvas 
- superficie lateral 
 
 
 
Aplicaciones Físicas: 
- centro de gravedad de líneas, superficies y 
cuerpos 
- trabajo realizado por una fuerza 
- momento de inercia de secciones planas 
- presión de fluidos 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 15 
 
11.6.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS 
11.6.1.1 DEFINICIÓN 
Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la región limitada por la 
función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como 
 
 
 dx xfA
b
a
 )( 
 
 
 
Dada una función x = f(y) integrable en un intervalo [c, d], el área de la región limitada por la 
función, el eje Oy y las rectas y=c y = d se define como 
 
 
 dy yfA
d
c
 )( 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la 
integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 16 
 
En la práctica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos 
de [a, b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales 
correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la 
figura anterior, el área se expresa como: 
 
c
b
b
a
dx f(x)dx xfA )( ó  
c
b
a
b
dx f(x)dx xfA )( 
 
 
11.6.1.2. AREA ENTRE DOS CURVAS 
Para calcular el área de una región comprendida entre los gráficos de dos funciones integrables 
f y g, como la que se muestra en el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso, f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a; b]. 
 
Si las funciones f y g cumplen que b] [a, x g(x) f(x)  el área de la región comprendida 
entre los gráficos de f y g para a ≤ x ≤ b es: 
 
 dx xgxfA
b
a
  )()(Si bien en el caso anterior se consideró que f y g son funciones no negativas en el intervalo [a; b], 
la formula anterior vale siempre que f y g cumplan que f(x) ≥ g(x), aunque tomen valores 
negativos. 
Para ver esto, consideremos el siguiente gráfico: 
 Pág. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ambas funciones f y g toman valores positivos y negativos en el intervalo [a; b]. 
El área de la región no cambia si se traslada (manteniendo su forma y dimensiones). Como la 
región es acotada, haciendo una traslación en sentido vertical, se puede conseguir que toda la 
región quede por encima del eje x y, en consecuencia se reduce al caso ya analizado. 
Para hacer esta traslación, basta sumar la misma constante K, suficientemente grande, a f y a g, 
de manera que f(x) + K ≥ g(x) + K ≥ 0 para todo x ∈ [a; b]. 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
b
a
b
a
dx K-g(x)-Kf(x) dx Kxg -KxfA )()( 
 
  
b
a
dx (x) g(x) fA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 18 
 
 
Determine el área de la región limitada por la curva de ecuación 46)( 2  xxxf 
y la recta 4)(  xxg 
 
Expresión del área: 
 





 



 



 



 



 



 
b
a
b
a
b
a
dxxxA 
dxxxx dxxxxA
5
446446
2
22
 
 
Determinación de límites de integración 



















 xy
x
x
 xx -; xxx - 
 xxy
1
22
4
5
0
05446
46
2
2
 
 
Calculo del área: 
 u.s 20,83 A 
























 



   
[u.s] 
6
125
A A
xxA
xdxdxxdxxxA
05
2
5
5
3
1
2
5
3
1
55
23
5
0
23
5
0
5
0
2
5
0
2
 
 
 
 
Ejercicio 3 
 Pág. 19 
 
11.6.2.- VOLÚMENES 
11.6.2.1 DEFINICIÓN 
Sea S un sólido que está entre x = a y x = b. Si el área de la sección transversal de S en el plano 
Px, a través de x y perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el 
volumen de S es: 
   


b
a
i
n
i
i
n
dx xA x xAV )(lim
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.6.2.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION 
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. 
 
 
 
 
 
 
Sa 
Sb 
 Pág. 20 
 
Por ejemplo: 
- el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, 
- el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. 
- La esfera surge al girar un semicírculo alrededor de uno de sus diámetros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.6.2.3. MÉTODOS 
Los métodos analíticos para determinar el volumen de sólidos de revolución aplicando integrales 
definidas son: 
A) Método de discos 
B) Método de anillos 
C) Método de cascarones cilíndricos 
 
 
A) MÉTODO DE DISCOS 
Este método consiste en tomar una sección transversal de la figura, que al momento de hacerla 
girar alrededor de algún eje genere una forma la cual calcularemos su volumen. El volumen de 
este disco de radio R y altura x es: Volumen del disco = x R V 2  .. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 21 
 
Eje de Revolución Horizontal 
Si el eje de revolución es horizontal, la 
expresión para determinar el volumen del 
cuerpo obtenido por la rotación de la 
sección alrededor del eje x es: 
 
b
a
x dxf(x) V
2 
 
Eje de Revolución Vertical 
 Si el eje de revolución es vertical, la 
expresión para determinar el volumen del 
cuerpo obtenido por la rotación de la 
sección alrededor del eje y es: 
 
b
a
y dyf(y) V
2 
 
B) MÉTODO DE ANILLOS 
Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un sólido de revolución con un 
agujero. Este tipo de solidos aparecen cuando la región plana que gira y el eje de revolución no 
están juntos. 
Eje de Revolución Horizontal 
Supongamos que la región plana es la región 
determinada por las gráficas de las funciones R(x) y r(x) 
(con R(x) > r(x)), y las líneas x = a y x = b. Si se gira esta 
región alrededor del eje x entonces el volumen del solido 
resultante es 
      
b
a
x dxr(x)R(x) V
22 
Como R(x) = f(x) y r(x) = g(x) : 
      
b
a
x dxg(x)f(x) V
22 
 Pág. 22 
 
Eje de Revolución Vertical 
      
d
c
y dyr(y)R(y) V
22 
 Como R(y) = f(y) y r(y) = g(y) : 
      
b
a
y dyg(y)f(y) V
22 
 
C) MÉTODO DE CASCARONES CILÍNDRICOS1 
Este método se usa para determinar 
volúmenes de solidos cuando se tiene una 
función que al rotarla genera un sólido hueco 
pero al usar el método de anillos solo se 
cuenta con un solo radio y al sacar un anillo 
se obtiene un cilindro: 
 
Eje de Revolución Vertical 
 El volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y 
la región bajo la curva y = f(x) desde a hasta b, es: 
 
b
a
y b a0 donde dx f(x) . x V 2 
 
 
Eje de Revolución horizontal 
El volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva x = 
f(y) desde a hasta b, es: 
  
d
c
x d c0 dondedy f(y) . y V 2 
 
1 CALCULO DE UNA VARIABLE- James Stewart 
 Pág. 23 
 
 
Se desea obtener el volumen de un cono circular recto de radio de base R= 2m y altura H= 4m. 
a) Grafique la sección que gira, el elemento diferencial y el cuerpo obtenido. 
b) Aplicando integrales, determine el volumen de dicho cuerpo. 
 
 
 
 
Ecuación generatriz: 
y
2
1
2 

2
y-4
 x 
4 2x -y x
2
4
 -y ; bmxy
:y de alrededor gira como
4
 
 
Cálculo del Volumen 
3m 16,76 V 











































3
16
04
12
1
44.4
12
1
4.
4
1
24.
4
1
24
2
1
2
32
4
0
32
4
0
2
4
0
4
0
4
2
4
)(
yyydyydy ydy 
dy yydy yV
00
2
y
 
 
 
Ejercicio 4