DERIVADAS

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
 
 
 
 
Contenidos 
Cociente Incremental 
Derivada de una función en un punto 
Derivabilidad 
Función Derivada 
Demostraciones 
Derivada de funciones inversas 
Método de Derivación logarítmica 
Derivada de funciones Compuestas 
Regla de la Cadena 
Derivadas de Orden Superior 
Derivada de Funciones Implícitas 
Tabla de Derivadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 124 - 
 
 
Descifra en mensaje 
 
Reglas del Juego: 
Los números que aparecen en el mensaje corresponden a los 
números de las funciones. Cambiar estos números por las letras 
que corresponden a las derivadas de las funciones dadas. 
 “1 2 3 4 2 1 4 5 1 6 “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES DERIVADAS 
   xtgxf 12cos)()1  

















x
xxe
x
e
esen
eef´(x) G)
2
sec
cos
.. 
 




 .lnxxnl f(x) 2) 2 
  1x2 senf´(x) R)  
 
 







xesec
e f(x) )3 
 
 1lnx . x (esec ef´(x) ) A xx2x  ) 
 
 
  5xtg ln f(x) 4)      12x sec 12xtg sen f´(x) ) I
2  2 
 
 1xsen f(x) 5) 2  cos(5x) xsen
f´(x) E)
).5(
5
 
 




 xx etgx f(x) 6) 
 x x ln x
xx
f´(x) N)  2
ln.
1
2 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 125 - 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
 
 
COCIENTE INCREMENTAL 
Sea una función f definida en un intervalo (c,d) que contiene a los números reales “a” y “x” con 
a≠x y “a” fijo. 
La diferencia: hΔxax  mide la variación de la variable independiente y se denomina 
“Incremento de x” 
La correspondiente diferencia de ordenadas: kΔyf(a)f(x)  mide la variación absoluta 
de la función, y se denomina “Incremento de la función”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El cociente: 
a-x
f(a)f(x)
x
y 



 
 
Se denomina “Cociente Incremental” e indica la rapidez promedio (o rapidez 
media) de variación de la función f en el intervalo [ a , x]. 
El cociente incremental se suele llamar también “Razón de cambio media de 
f(x) respecto a x en el intervalo [a,x]” o “Razón promedio de cambio” 
 
 
 
TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 126 - 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 
Si el límite del cociente incremental cuando x tiende a “a”, simbolizado por: 
a-x
f(a)f(x) 

 lim
ax
 
existe, indica la rapidez instantánea de variación de la función f en el punto a. 
También suele llamarse Razón de cambio instantánea de f(x) respecto a x en el punto “a” 
Este límite, si existe, se define como la “Derivada de f con respecto a x en el punto a” y se 
simboliza f’(a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
 0h y 0x , a xcuando y h a x ox a x ; hΔxax  
la definición anterior puede expresarse: 
h
f(a)h)f(a
 lim(a)f'
0h



 o 
x
f(a)x)f(a
 lim(a)f'
0 


x 
 
 
 
 Aplicación 1 
Sea 4
2  x)x(f determine, si existe, f’(2)
   
 
existe 4(2)f'
2)(xlim
2-x
2x.2-x
 lim(2)f'
0
0
2-x
4-x
 lim
2-x
4-24-x
 lim(2)f'
2x2x
2
2x
22
2x




















 
 
 
TOME NOTA 
Definición: Sea f una función definida en un entorno de un 
número a, y sea x cualquier número real perteneciente a ese entorno con x 
≠a. Si 
a-x
f(a)f(x) 

 lim
ax
 
existe, se llama “derivada de f con respecto a x en el punto a y se simboliza 
con f’(a). Es decir, 
a-x
f(a)f(x)
 lim(a)f'
ax



 
 
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 127 - 
 
CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE DERIVADA EN UN PUNTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 
 
 
 
 
 
 
Geométricamente (se desarrolla con amplitud en “Aplicaciones de la Derivada”) 
 
 
 
 
La función f es derivable en el punto de abscisa 
x= a (en este caso x = 4) 
 
 
Funciones NO DERIVABLES en x= a (en este caso x = 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La derivada de una función f en un punto x=a existe, o sea existe f ‘(a) si: 
 existe 
a-x
f(a)f(x)
 
ax
lim(a) '- f




 
 existe 
a-x
f(a))f(x
 
ax
lim(a)' f




 
 (a) ' f(a) 
'
 - f  
 
TOME NOTA 
Teorema: 
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en x = a si existe la 
derivada en x=a, o sea existe f’(a). 
 
TOME NOTA 
Una función es derivable en un punto si su 
recta tangente en el mismo es única y de 
pendiente finita 
Recta Tangente no es única La m de la recta Tangente no es finita 
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http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 128 - 
 
Aplicación 2 
Sea 4 x)x(f determine si f es derivable en x = 4 








 4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
 
 
   
existe (4) f 
4x
lim(4) f 
 ; 
0
0
4-x
4-x
 
4x
lim
4-x
4-44-x
 
4x
lim(4) f a)
DESARROLLO
''
'
11 










 
 
     
existe (4) f -
4x
lim(4) f 
 ; 
0
0
4-x
4-x-
 
4x
lim
4-x
4-44x-
 
4x
lim(4) f b)
''
'
11 










 
 
 
 
 
 
 
 
4 x en derivable es no f entonces (4) f (4) f : como
''


http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 129 - 
 
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicación 3 
 
Sea 42xf(x)  determine si f es derivable en [-1, 3] 
 
Desarrollo: 
a) f es una función algebraica entera y por lo tanto admite derivada en todo su dominio por 
lo tanto f es derivable en (-1, 3). 
b) Se determina f’+ (-1) 
 
(-1)f en derivable 2(-1) f 
1)(x
 1)1).(x(x
 
-1x
lim(-1) f 
0
0
1x
12x-
 
1x
lim
1x
4142x-
 
-1x
lim(-1) f 
'''
'


















 


 
c) Se determina f’- (3) 
 
(3) f en derivable -6(3) f 
3)(x
 3)3).(x(x
 
3x
lim(3) f 
0
0
1x
92x-
 
3x
lim
1x
4942x-
 
3x
lim(3) f 
'''
'


















 


 
Entonces f es derivable en [-1, 3] 
 
 
Teorema: 
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en un intervalo 
cerrado [a, b], si es derivable en el intervalo abierto (a, b), es derivable por 
la derecha de a y derivable por la izquierda de b. 
(b) ' fexiste c)
(a) ' fexiste b)
b x a con (x) ' fexiste a)



 
TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 130 - 
 
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 
 
 
 
 
 
 
El recíproco de este Teorema no es cierto, o sea que una función continúa en un punto no es 
necesariamente derivable en el mismo punto. 
 
 
 
 
 Aplicación 4 
En la aplicación 1 se demostró que la función 4 x)x(f no es derivable 
en x = 4. Analicemos que ocurre con la continuidad en el mismo punto. 
 








 4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
 
 
4 x en continua es f entonces 0 f(x) 
4x
lim f(4) c)
0 f(x) 
4x
lim existe entonces 
 
derecha la por limite el existe 4)(x 
4x
lim 
 izquierda la por limite el existe 4)(-x 
4x
lim b)
existe 0 4 - 4 f(4) a)












0
0
 
 
La función f es continua en x = 4 pero no es derivable en el mismo punto, o sea que CONTINUIDAD 
NO IMPLICA DERIVABILIDAD. 
Pero sí es cierto que DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD 
 
 
Teorema 
Si una función f es derivable en un punto a, entonces f es 
continua en a 
 
TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
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OBSERV
FUNCIÓN DERIVADA 
 
 Si domfa y es tal que existe 
x
f(a)x)f(a
 lim(a)f'
0x 



, 
entonces se puede formar el par ordenado  (a)f' ,a . 
 Si domfb y es tal que existe 
x
f(b)x)f(b
 lim(b)f'
0x 



, 
entonces se puede formar el par ordenado  (b)f' ,b . 
 Si domfc y es tal que existe 
x
f(c)x)f(c
 lim(c)' f
0x 



, 
entonces se puede formar el par ordenado  (c)f' ,c . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otras notaciones: 
Si y = f(x) , la derivada de f se expresa: 
dx
 f(x)d
 , 
dx
dy
 , Df(x) , Dy , f(x)D , y D , y' , (x)' f xx 
 
Aplicación 5 
Determine, aplicando definición, la derivada de la función definida por 
12x3x(x) f 2  
 
 
 
26x(x)' f 






 







 



 








 



 


 
Δx
 2Δx 36x Δx
 
0Δx
lim 
Δx
Δx 22Δx 3Δx 6x 
 
0Δx
lim
Δx
12x23x-1Δx) 22x2Δx 3Δx 6x 23x
 
0Δx
lim 
0
0
Δx
12x23x-1Δx)2(x2Δxx3
 
0Δx
lim(x)' f
 
Si se repite este procedimiento con todos los valores de domfx , tales 
que exista 
x
f(x)x)f(x
 lim(x)' f
0x 



 se puede formar el conjunto 
 (x)f' ,x 
Esta última expresión recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA de f 
respecto a x. 
 
TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
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DEMOSTRACIÓN DE REGLAS DE DERIVADAS 
 
 
 
 
 En este material se realizará la demostración de algunas funciones usuales 
 
1) Derivada de una constante: R K con K xf )( 
0(x)' f 









 ntoncese 
x
xfxxf
 
R K todo para
x
KK
x
xfxxf
ónDemost raci
xx
00lim
)()(
lim
0
)()(
00
 
 
 
2) Derivada de la variable independiente: x xf )( 
1(x)' f 








 entonces xf
x
x
x
xxx
xf
ónDemost raci
x
xx
11lim)´(
lim
)(
lim)´(
0
00 
 
 
3) Derivada de la suma algebraica de funciones: )()()()( xhxgxfxF  
   
  w'- ' v ' u ' w- v u 















 entonces v' g´(x) ; v g(x) ; u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' h(x)' g(x)' f(x)' F entonces
x
xhxxh
x
xgxxg
x
xfxxf
xF
ementeconvenient agrupando
x
xhxgxfxxhxxgxxf
xF
ónDemost raci
xh
x
xg
x
xf
x
x
      
)('
0
)('
0
)('
0
0
)()(
lim
)()(
lim
)()(
lim)´(
)()()()()()(
lim)´(
 
 
 
TOME NOTA 
Determinar la derivada de funciones, aplicando la definición, es un proceso 
laborioso, por ello utilizaremos REGLAS DE DERIVACIÓN (“fórmulas de derivadas”) 
obtenidas al aplicar la definición de DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 133 - 
 
4) Derivada del producto de funciones: )().()( xg xfxF  
 
   
 
      
   
    
    
  v' . u v . u' 'u.v
v' g´(x) ; v g(x)
u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' g . f(x) g(x) (x).' f(x)F' 









































 
 ent onces
(x) f' . g(x) (x) g' . f(x) xF
xf
x
f(x)-xxf 
x
xg 
xg
x
g(x) xxg
x
xxf
x
xF
x
f(x)-xxf xg
x
 
x
g(x) xxg xxf
x
xF
:ement econvenient
 ordenandoy g(x) limit e segundo el eny x)f(x limit e primerel en común fact or sacando
x
g(x) . xxf xg xf
x
 
x
g(x) . xxf xxg xxf
x
xF
:t érmino t ercer el con segundo ely t érmino cuart o el con t érmino primerel agrupando
x
g(x) . xxf -g(x) . xxf xg xfxxg xxf
x
xF
ant erior expresión la de numerador el en g(x) . xxf resión la dores y sumando
x
xg xfxxg xxf
x
xF
ónDemost raci
)('
)('
0
lim).(
)('
)(
0
lim).(
0
lim)´(
).(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().()().(
0
lim)´(
exptan
)().()().(
0
lim)´(
    
 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 134 - 
 
5) Derivada del cociente de dos funciones: 
)(
)(
)(
xg
xf
xF  
 
   
    
   
   
   

  2
'
2 v
v' . u - v . u'
 
v
u
 ; 
g(x)
(x)f(x).g'(x)g(x).f'
F´(x) 































































































































 entonces
)xg(xxg
 x
g(x)-x)g(x
 xf
x
 f(x-x)f(x 
 g(x).
xF
x)g(xxg
 x
g(x)-x)g(x
 xf
x
 f(x-x)f(x 
 g(x).
xF
xxg
 . 
 x
g(x)-x)g(x
 
xg
xf
 
x)g(x
1
 
x
 f(x-x)f(x 
 x
x)g(x . g(x) . x
g(x)-x)g(x f(x).
 
x)g(x . g(x) x.
 f(x-x)f(x . g(x)
 xF
x)g(x . g(x)
xgxxg f(x).
x)g(x . g(x)
 xfxxf . g(x)
 
x
1
 xF
x)g(x . g(x)
g(x) . f(x) -g(x) f(x).x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
 
x
1
 xF
x)g(x . g(x)
x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
 
x
1
 
xg
xf
x)g(x
x)f(x
 
x
1
 xF
ónDemost raci
x
xg
x
(x)f'
x
x
xx
xxxx
xx
x
x
xx
adordeno común teebraicamena operando
:limites de des propiedaaplicando
:común factor sacandoy término tercer el con segundo ely término cuarto el con término primerel agrupando
anterior expresión la de numerador el en g(x) . xf resión la dores y sumando
00
)('
00
0
00
0000
00
0
0
00
lim).(
lim).(lim
)('
lim).(
lim).(lim
)('
)(
1
limlim.
)(
)(
lim.lim)´(
limlim)´(
)()()()(
lim)´(
lim)´(
lim
)(
)(
lim)´(
:)min(lg
exptan
    
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 135 - 
 
6) Derivada de la función potencial: 
nxxf )( 
 

1-n x . n (x)' f 





















































 :entonces xxx 1)-(n nxn xf :
xxx 1)-(n nxn 
x
xxx 1)-(n nxxn
 xf 
x
xxxx 1)-(n nxxnx
 xf
 
x
xxx
 xf
ónDemost raci
nnn
x
nnn
x
nnn
x
nnnnn
x
nn
x
limite el aplicando
:Newton de Binomio el según término 1 el ndodesarrolla

   0
1
0
0
21
0
121
0
221
0
221
0
0
.....
!2
1
.lim)´(
.....
!2
1
.lim
.....
!2
1
..
lim)´(
.....
!2
1
..
!1
1
lim)´(
lim)´(
 
7) Derivada de la función logarítmica: xxf alog)(  
 
a ln x.
1
e alog . 
x
1
 (x)' f 
























































 






 







 








 







 













 
x
x
 log 
x
 x f
:(1) en doreemplazan
 e 
g(x)
 :doGeneraliza lFundamenta Limite al acuerdo de
(1) 
x
x
1
 log 
x
 xf :límites de propiedadpor
x
x
log 
x
 (x)f' :lìmites dey logaritmos de propiedadsegún
x
x
log .
x
x
 
xx
x
log 
x
x
.
x
1
 (x)' f
:x pordividiendoy ndomult iplica
x
x
log 
x
1
 
x
xx
log 
x
1
 x log-x)(x 
x
1
 xf
ónDemost raci
 :entonces e alog . 
x
1
 
e
x
x
x
a
xg
x
x
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
aa
x
  
1
1lim.
1
)('
1
1lim
1lim.
1
)('
1lim.
1
1lim.
1
1lim
1limlimloglim)´(
0
)(
0
0
00
000
 
ACTIVIDAD: En forma análoga, determine la derivada de f(x) = ln x 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 136 - 
 
8) Derivada de la función trigonométrica f(x) = sen x 
 
 

 xcos f´(x) 

























 






 





 






 





 







 





 







 ; 
x
2
x2x
 
x
2
x
 sen
 xf
2
x2x
 
2
x
 sen 
x
2
 
2
xxx
 
2
x-xx
 sen 2. 
x
1
 xf
 expresada quedará (1)
 
2
 
2
 sen . 2 sen - sen :comoy x seny x x si
 (1) x sen-x)(x ens 
x
1
 xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
cos.1coslim.
2
lim)´(
cos.limcos..lim)´(
cos.
lim)´(
0
0
1
0
00
0
  


 
 
9) Derivada de la función trigonométrica f(x) = cos x 
 


 xsen f´(x) 

























 






 





 






 





 







 





 








 : entonces 
x
sen
2
x2x
 sen 
x
2
x
 sen
 xf
2
x2x
 sen
2
x
 sen 
x
2
 
2
xxx
 sen
2
x-xx
 sen 2. 
x
1
 xf
 :como expresada quedará (1)
 
2
 sen
2
 sen . 2 - cos - cosy 
cosenos) de as(Diferenci cos - cos x cos -x)(x cos omoc 
 x cos-x)(x 
x
1
 xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
.1lim.
2
lim)´(
.lim..lim)´(
.
coslim)´(
0
0
1
0
00
0
  





 
 
En base a las demostraciones anteriores y aplicando derivada de un cociente y equivalencias 
trigonométricas 
senx
xgxtco ; 
x
senxgxt ; 
senx
ecx ; 
x
x cos
cos
1cos
cos
1sec  
Se pueden demostrar la derivada de f(x) = tgx, f(x) = cotg x ; f(x) = secx ; f(x) = cosec x 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 137 - 
 
DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS 
 
 
 
 
 
 
 
10) Derivada de las funciones trigonométricas inversas 
a) x arcsenf(x)  
 
 
2x-1
1
 (x)' f 








 entonces 
x
 arcsenx D :(2) segúny 
 
ysen
y
 arcsenx D
x D
y D 
y D
x D 
(3) f(x) x DyfD 
(2)y sen x :sea o f(x) senyf x 
 (1) x rcsena xfy
ónDemost raci
x
x :expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
y
x
x
y :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
y
1-
y :derivada suy 
1-
 :es inversa su
2
2
1
1
1
1
cos
1
11
cos)(
)(
)(
 
 
x arctgf(x) b)  
 
 
2x1
1
 (x)' f 










 entonces 
x
 arctgx D :(2) segúny 
ytgy
 arctgx D
:expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
x D
y D 
y D
x D :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
(3) f(x) sec x DyfD :derivada suy 
(2)y tg x :sea o f(x)tgyf x :es inversa su
 (1) x rctga xfy
ónDemost raci
x
x
y
x
x
y
2
y
1-
y
1-
2
22
1
1
1
1
sec
1
11
)(
)(
)(
 
 
ACTIVIDAD: En forma análoga,determine las derivadas de las restantes funciones inversas 
trigonométricas. 
 
Teorema 
Sea f una función creciente (o decreciente) y continua en un intervalo. Si 
para un punto x de ese intervalo )x(' ff(x) xD  existe y es distinta de cero, 
entonces la función inversa f-1 es derivable en f(x), y su derivada está dada 
por: 
f(x) xD
)y(1-f yD
1
 , 
y xD
x yD
1
 TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 138 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A modo de ejemplo, determinamos la derivada de la función exponencial: 
 
11) Derivada de la función exponencial 
 
aln.xa(x)' f
1a y 0 a con xaf(x)


 
 
a ln xa (x)' f . entonces
 
 xa . a ln y' :(1) sustituir )5
 y . a ln y' y´: despejar )
0 . x a ln 1.
y
'y
 :miembros ambos derivar )3
 a ln x. y ln :miembro segundo el en ,logaritmos de spropiedade según )
 xa ln y ln 
:miembros ambos en )neperianos emente(preferent logaritmos Aplicar )1
xa )x(fy
ónDemostraci













4
2
 
 
 
 
TOME NOTA 
MÉTODO DE DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 
Se aplica este método para derivar funciones de la forma 
v(x)
(x)uf(x):f  
 
El método consiste en aplicar logaritmos, y aprovechar sus propiedades, para 
transformar el segundo miembro del ejercicio dado en producto y recién 
derivar. 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 139 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicación 6 
Aplicando el Teorema anterior, determine la derivada de f(x) = cos 
(3x2-2x) 
 
 
     
 
2)-(6x .x23x sen
'
x2(3x cos :sea o
2)-(6x .g(x) sen
'
x2(3x cos 
:anterior Teorema al acuerdo de
 g(x) sen)x(f´(g) :es derivada su g(x) cos)x(f(g) entonces 
 
2-6x (x)g' es derivada su x23x g(x) si 
x23x cos)x(f Sea
Desarrollo



 



 




 







 
22
2
2
2
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS 
 
Teorema 
Si f y g son funciones derivables de modo que g es derivable en x y f 
es derivable en g, entonces f(g) es derivable en x y su derivada está 
dada por: 
    (x) 'g .g(x) 'f(x)'f(g)  Regla de la Cadena 
 
  g(x) 'f es la derivada de f respecto a g. 
 (x) 'g es la derivada de g respecto a x. 
 
TOME NOTA 
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 140 - 
 
OBSERVA 
 REGLA DE LA CADENA 
Ampliación del Teorema de funciones compuestas 
En el caso de funciones más complejas conviene usar otra 
expresión de la Regla de la Cadena: 
dx
dw
 ... 
dv
du
 . 
du
dy
dx
dy
(x)' f  
Demostración: 
Sean las funciones y = f(u) , u = g(v) , v = h(w) funciones continuas. 
Recordando que: 
x
y
 
x
lim'yyxD




0
 
Multiplicando y dividiendo, el 2° miembro, por w , v , u  se tiene: 
dx
dw
 . 
dw
dv
 . 
dv
du
 . 
du
dy
y'yxD 



































































 
x
w
 . 
w
v
 . 
v
u
 
u
y
 yyD
 :limites de es propiedadaplicando
0w , 0v , 0u , 0x cuando cont ínuas, funciones ser por
x
w
 . 
w
v
 . 
v
u
 . 
u
y
 yyD ordenando
w
w
 . 
v
v
 . 
u
u
 . 
x
y
 yyD
xwvu
x
x
x
x
x
0000
0
0
limlimlim.lim'
lim':
lim'
 
 
 Aplicación 7 
Derive 



  2x(3x3ln seny
 aplicando Regla de la Cadena 
 
2)-6x
2x -3x
1
 . 2ln3 . 2x-(3x ln cos
dx
dy
dw
dv
 . 
dv
du
 . 
du
dy
dx
dy
 : en doreemplazan
 
 2x-(3x ln cos wln coscos
du
dy
 , 
2ln3ln.33
dv
du
v u
 
2x -3x
11
dw
dv
 ; wln v
 2-6x
dx
dw
 ;2x -3xw
 Desarrollo
2
2
23
233
2
223
2
2
( . x(3x . 
dx
dw
 . 
v cosu u seny
x(3x . wv ; 
w
2
3
2



 




















 




 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 141 - 
 
TOME NOTA 
OBSERVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otras formas de representar f’’ son: 
 
dx
y2d
 ; 
dx
)x(f2d
 ; 'y' ; y x
2D ; )x(fx
2D ; )x(''f
22
 con y = f(x) 
En general, la función derivada n-ésima de f se define como: 
x
(x) 1-nfx)(x 1-n f
 
0x
lim(x)nf



 
Otras formas de representar f n son: 
 
ndx
ynd
 ; 
ndx
)x(fnd
 ; (n)y ; y nD ; )x(fx
nD ; )x()n(f x con y = f(x) 
 
 Aplicación 8 
4)sen(3xf(x) Sea  determine, si existe, )(f 4 
 
4)-(3x sen 81(x)(4)f
4)-(3x cos 27 - (x) ''f'
4)-(3x sen -9(x)'f'
 4)-(3x 3.cos(x)'f
 4)-(3x senf(x)
 Desarrollo 





 
 
 
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 
Sea y = f(x), su función derivada f’ está dada por: 
x
f(x)x)f(x
 lim(x)' f
0x 


 
si el limite existe. 
Si la derivada de f’ existe se llama DERIVADA SEGUNDA de f y se denota f’’(x) 
de modo que: 
x
(x)' fx)(x' f
 
0x
lim(x)'' f



 
si el limite existe. 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 142 - 
 
TOME NOTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación 9 
 Obtener la derivada 
dx
dy
 de la siguiente función:
 
 F(x,y) = 3 x2y – 4 x y2 + 8 x3 – 2 y2 
 
DESARROLLO 
0
dx
dy
4y..1224x
dx
dy
x.2y.21.y4.
dx
dy
.2x2x.1.y3.
0
dx
dy
4y.
dx
dx
.224x
dx
dy
x.2y.2.y
dx
dx
4.
dx
dy
.2x.y
dx
dx
2x.3.
022y38x24xyy23x
022y38x24xyy23x y)F(x, 
: xa respecto miembro segundo y primer el varderi
 




























 
6xy224x24y
dx
dy
4y.3 
0
dx
dy
4y.36xy 
dx
dy
8xy.
dx
dy
.2x
dx
dy
 contienen que términos los miembro 1 el en agrupan se
224x
dx
dy
8xy.24y
dx
dy
.2x
:mentealgebraica operando





 
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS 
Una función en dos variables definida en forma implícita presenta la forma: 
F(x,y)=0 
Ejemplo: 022y38x24xyy23x  
 
Para obtener la derivada 
dx
dy
 de una función implícita, se emplean las 
mismas fórmulas 
y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, pero debe 
tenerse cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como 
una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el 
lugar de la u en las fórmulas. 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 143 - 
 
TOME NOTA 
4y8xy23x
6xy224x24y-
4y8xy23x
6xy224x24y
dx
dy
 
: despejando
6xy224x24y4y8xy23x.
dx
dy
 
:
dx
dy
 común factor sacando






 





 
 
 
Puede observarse que el numerador es igual a Dx F (derivada de F con 
respecto a x) 
y el denominador es igual a Dy F, por lo tanto otra forma de obtener 
dx
dy
 es 
aplicar derivadas parciales de F: 
cte)(x y a respecto F de parcial derivada 
cte)(y x a respecto F de parcial derivada 
 









δy
δF
δx
δF
(x)'f
dx
dy
 
 
 
Aplicación 10 
 Obtener, aplicando derivadas parciales, la derivada 
dx
dy
 de la siguiente función: 
nto.procedimie otro el mediante obtenido resultado mismo el es que
:entonces
 
δy
δF
 
constante como x a considera se y a respecto F de parcial derivada la determinar Para
 
xδ
Fδ
 
constante como y a considera se x a respecto F de parcial derivada la determinar Para
 
4y8xy2 x34y0 y 2 .4x 1 . 23x 22y2yy y)F(x,
224x2y 4 - 6xy02x2.24y2x . 3y 38xx2x y)F(x, 
022y38x24xyy23x y)F(x, 
4y8xy2 x3
224x2y 4 -6xy 
 
dx
dy








38x4x 23x
22y2y4y3 41
 
 
 
 
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 144 - 
 
TABLA DE DERIVADAS 
u(x)= u , v(x)=v , w(x)=w son funciones de la variable x 
k, n, a, e son constantes 
 
Derivada de … Función Función Derivada 
una constante 
𝑦 = 𝑘 
 
𝒚′ = 𝟎 
 
la variable independiente 
𝑦 = 𝑥 
 
𝒚′ = 𝟏 
 
producto de una cte por una función 
𝑦 = 𝑘. 𝑢 
 
𝒚′ = 𝒌. 𝒖′ 
suma algebraica de funciones 
𝑦 = 𝑢 + 𝑣 − 𝑤 
 
𝒚′ = 𝒖′ + 𝒗′ − 𝒘′ 
producto de dos funciones 
𝑦 = 𝑢. 𝑣 
 
𝒚′ = 𝒖′. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′ 
cociente de funciones 
𝑦 =
𝑢
𝑣
 
 
𝒚′ =
𝒖′. 𝒗 − 𝒖. 𝒗′
𝒗𝟐
 
función potencial 
𝑦 = 𝑢𝑛 
 
𝒚′ = 𝒏. 𝒖𝒏−𝟏. 𝒖′ 
función exponencial 
𝑦 = 𝑎𝑢 
 
𝒚′ = 𝒂𝒖. 𝐥𝐧 𝒂 . 𝒖′ 
función elevada a otra función 
𝑦 = 𝑢𝑣 
 
Método de Derivación Logarítmica 
raíz n de una función 
𝑦 = √𝑢
𝑛
 
 
Expresar como función potencial 
𝒚 = (𝒖) 
𝟏
𝒏 
y derivarla como tal 
función valor absoluto 
𝑦 = |𝑢| 
 
𝒚′ =
𝒖
⌈𝒖⌉
. 𝒖′ 
función logarítmica 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢 
 
𝒚′ =
𝒖′
𝒖
. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒆 
𝑦 = 𝑙𝑛 𝑢 
 
𝒚′ =
𝒖′
𝒖
 
Funciones trigonométricas circulares 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 
 
𝒚′ = 𝒄𝒐𝒔 𝒖 . 𝒖′ 
𝑦 = cos 𝑢 
 
𝒚′ = −𝒔𝒆𝒏 𝒖 . 𝒖′ 
𝑦 = tg 𝑢 
 
𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖. 𝒖′ 
𝑦 = cosec 𝑢 
 
𝒚′ = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒖. 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖 . 𝒖′ 
𝑦 = sec 𝑢 
 
𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄 𝒖. 𝒕𝒈 𝒖 . 𝒖′ 
𝑦 = cotg 𝑢 
 
𝒚′ = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖. 𝒖′ 
 
funciones trigonométricas inversas 
(circulares) 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑢 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
√𝟏 − 𝒖𝟐
 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
𝟏 + 𝒖𝟐
 
𝑦 = arcsec 𝑢 
𝑦 = arcosec 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
𝒖. √𝒖𝟐 − 𝟏