LÍMITES

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Contenidos 
CONCEPTOS PRELIMINARES 
DEFINICIONES 
LÍMITES LATERALES 
LÍMITE EN UN PUNTO 
PROPIEDADES 
LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTA VERTICAL 
LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTA HORIZONTAL 
LÍMITES INDETERMINADOS 
LÍMITES NOTABLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
LÍMITE es el concepto más importante del cálculo. 
Algunos autores, definen el CÁLCULO como el estudio 
de los límites. La noción de límite no solamente aparece 
en continuidad, derivación e integración, sino, también, 
en temas de Cálculo II como series, funciones de varias 
variables, integrales múltiples y cálculo vectorial. 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
4 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 77 - 
 
 
 
MAPA CONCEPTUAL 
 
 
Regla de la 
cadena 
 Regla de 
sustitución 
 Teorema 
fundamental 
del cálculo 
 
 Antiderivada 
 
 
 Teorema del 
Valor Medio 
 
 
 Teorema de 
monotonía 
 Teorema del 
Punto crítico 
 Fórmula de 
Taylor 
 
 
 
 
Derivada 
 Teorema de 
existencia de 
máximos y 
mínimos 
 Integral 
definida 
 
 Teorema 
del valor 
intermedio 
 Teorema de 
integrabilidad 
 
 
 Continuidad 
 Serie de 
potencia 
 
 
Derivadas 
parciales 
 
LÍMITE 
 Series 
infinitas 
 
 
 
 
Gradiente Integral 
Múltiple 
 Teorema 
fundamental 
de la integral 
de línea 
 Teorema de 
Green 
 Teorema de 
Gauss 
 
 
Derivada 
direccional 
 Integral 
Iterada 
 Integral de 
línea 
 Teorema de 
Stokes 
 Integral de 
superficie 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 78 - 
 
a+ a-  
a+ a-  
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
4.1 .- CONCEPTOS PRELIMINARES 
 
Definición 1 
Sea aR y   R+, se llama Entorno del punto a de radio  , y se simboliza   a, E , al conjunto 
de valores de x contenidos en el intervalo abierto   a , -a 
     a x -a / R x a, E   
También puede expresarse en términos de Valor Absoluto 
    a-x / R x a, E   
 
 
Definición 2 
Sea aR y   R+, se llama Entorno Reducido del punto a de radio  , y se simboliza   a, E* , al 
conjunto de valores de x contenidos en el intervalo abierto   a , -a sin considerar a. 
El entorno reducido se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto a, 
sin que interese lo que ocurre en dicho punto. 
    a x a x -a / R x a, E  ,*  
 
En términos de Valor Absoluto 
    ax , a-x / R x a, E  * 
 o     a-x 0 / R x a, E  * 
 
 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 79 - 
 
4.2.- NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
Supongamos tener una función f definida en todos los puntos del intervalo (c, d), salvo 
posiblemente en un punto a perteneciente a (c, d). 
Nos proponemos estudiar el comportamiento de la función f cuando x se acerca a “a” 
independientemente del valor que tome en a. 
Ejemplo 
Dada la función definida por 






2 x si 5
2 x si x
xf
12
)( analizamos el comportamiento de f 
cuando x se acerca a 2. 
x f(x) 
1 1 
1,5 2 
1,9 2,8 
1,99 2,98 
1,999 2,998 
2 5 
2,001 3,002 
2,01 3,02 
2,1 3,2 
2,5 4 
3 5 
 
Se puede observar que aunque x no toma el valor 2, pudimos tomar valores de x tan próximos a 2 
como quisimos y comprobamos que f(x) se aproxima cada vez más a 3 
Simbólicamente 3)(lim
2


xf
x
 
en cambio el valor que toma la función es: f(2) = 5 
 
 
 
Noción Intuitiva de límite de una función1 
Sea una función f definida en un intervalo (c, d) que contiene al número a, excepto en a donde 
la función puede o no existir, entonces cuando escribimos 
reales números Ly a con Lxf
ax


)(lim 
Significa que para valores de x cada vez más próximos a a, pero distintos de a, la función toma 
valores f(x) tan próximos a L como se quiera 
 L, si existe, es único y finito 
 
 
 
1
 Contenidos básicos del Cálculo Diferencial e Integral FBQFcia 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 80 - 
 
4.3.- DEFINICIÓN RIGUROSA 
Definición 1 
La función y=f(x) tiende al límite L cuando x se aproxima hacia a y se simboliza 
 R L , a con L f(x) 
ax
lim 

 
Si para todo E (L, ), arbitrariamente prefijado, existe un  δ a, *E contenido en el dominio de f tal 
que:     a,*E x L, E xf todo para  )( 
 
 
Lxf
ax


)(lim 
 
Definición 2 - Actividad del estudiante: Complete 
 “Sea a, un punto de un intervalo abierto I, y f(x) una función definida en I, excepto posiblemente 
en el punto x = .…. 
Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende al punto a, existe y se escribe: 
............ ............. lim
ax


 , si y solamente si, para todo 0......... , existe un 0........ , dependiente 
de ……. , tal que si ....... ..... -x 0 , entonces ....... xf  .......)( “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
f(x) 
a x 
L+ 
L=f(a) 
L- 
 
a x 
L+ 
L=f(a) 
L- 
 
Punto vacío 
f(x) 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 81 - 
 
4.4.- LIMITES LATERALES 
Límite lateral izquierdo 
-L f(x)
ax
lim 

 si dado 0 existe  > 0 tal que si 
 -L-f(x) axa  
 
 
Límite lateral derecho 


L f(x)
ax
lim si dado 0 existe  > 0 tal que si 
 L-f(x) axa  
 
4.5 LÍMITE EN UN PUNTO 
Condición de existencia 
 Se dice que existe f(x)
ax
lim

si: 
f(x)
ax
limf(x)
ax
lim c)
f(x)
ax
lim existe b)
f(x)
ax
lim existe a





)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f(x)
ax
lim existe

 f(x)
ax
lim existe NO

 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 82 - 
 
 
 Si los límites laterales existen pero son distintos, o si por lo menos uno de 
 ellos no existe, NO EXISTE el límite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 2f(x)
-2x
lim 

 i) 1f(x)lim
2x


 
ii) 1f(x)lim
-2x


 f(x)
2x
lim

 ii) 

f(x)lim
2x
 
iii) f(x)limf(x)lim
2-x2x 
 
 
4.6 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 
01. R k con 

 k k lim
ax
 
 
02.   g(x) lim f(x)lim g(x)f(x) lim
axaxax 
 
 
03.-   g(x) lim . f(x)lim f(x).g(x) lim
axaxax 
 
04.- 0g(x) lim si 
 g(x) lim
f(x)lim
 
g(x)
f(x)
 lim
ax
ax
ax
ax










 
05.- k kklim
f(x)
ax
lim
f(x)
ax







 
06.- 
g(x)
ax
lim
f(x)
ax
lim
g(x)
ax
 f(x)lim

 











 
 
07.- f(x)lim f(x) lim n
ax
 n
ax 
 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 83 - 
 
4.7 LÍMITES INFINITOS y ASÍNTOTA VERTICAL 
Definición Intuitiva de Límites Infinitos 
Se dice que la función f tiende a infinito cuando x  a, si a medida que “x” se aproxima a “a” por 
derecha o por izquierda, el valor absoluto de f(x) toma valores cada vez más grandes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITE INFINITO implica que “NO EXISTE LÍMITE” o que la función NO TIENE LÍMITE. 
 
 
Definición Asíntota Vertical 
Cuando f(x)   cuando x  a , ó (x  a+ ó x  a- ) diremos que la recta x = a es una 
Asíntota Vertical de la función f 
 
Ejemplo: 
 

f(x)limf(x)lim
axax


f(x)limf(x)lim
axax


f(x)lim ; f(x)lim
´axax
 
f de vertical Asíntota es 2 x 
2x
x
lim y 
2x
x
lim
 ; 2 - domf ; 
2x
x
f(x)
2x2x








FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 84 - 
 
4. 8 LÍMITES EN EL INFINITO y ASÍNTOTA HORIZONTAL 
 
Definición Intuitiva 
Se dice que la función f tiende a L con L  R , cuando los valores de x crecen o decrecen 
indefinidamente, Lf(x) 
 x
lim 

, y la función se acerca cada vez más a L. 
 
 
 
Definición Asíntota Horizontal 
Cada vez que para x -  o x + , el límite es un número “L” ( con L  ), la recta 
 y = L es una Asíntota Horizontal de la función f. 
 
Ejemplo: 
 















 xcuando horizontal asíntota hay o 22lim y
. xcuando 0 y horizontal asíntota Hay 0
2
1
 
22lim
 2f(x)
x
-
x
N 
y
x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 85 - 
 
4.9 LÍMITES INDETERMINADOS 
 
 El cálculo de los límites conducen a determinar si la función tiene, o no, límite cuando es 
 x se aproxima al valor a 
" 
 EXISTE NO LÍMITE EL real constante a con (x)f 
 ax
lim 2)
 
" 
EXISTE LÍMITE EL reales constantes ky a con k(x)f 
 ax
lim 
limit e t iene nof función la a, valor al aproxima se x Cuando"
k es valor suy limit e t ienef función la a, valor al aproxima se x Cuando"




)1
 
 
Pero en algunas ocasiones, el cálculo de los límites conducen a expresiones que, aritméticamente, 
no tienen significado, tal es el caso de: 
 
 


1 ; 0 ; 00 ; - ; . 0 ; ; 
0
0
 
 
Estas expresiones se llaman Indeterminaciones o Indeterminadas. 
Las mismas no significan que no existe el límite 
 
Para decidir si existe o no el límite en el punto analizado se deben “levantar” o eliminar las 
indeterminaciones aplicando distintos procedimientos algebraicos: factoreo, racionalización, 
aplicación de límites notables entre otros. 
 
Ejemplo 
 
 
 
1/4. es valor su y
2 a acerca se x cuando f de limite el existe
lim
).2(
)2(
lim
4
2
lim
:aciónindetermin la eliminar de Proceso
0
0
 
4
2
lim 
4
2
f(x)
2x
2x22x
22x2
 
 
4
1
 
2)(x
1
 
2)(x x
x
 
x
x
 
aciónIndetermin 
x
x
 
x
x





































FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 86 - 
 
4. 10.- LÍMITE NOTABLES o LÍMITES FUNDAMENTALES 
Los límites notables o fundamentales con los que se trabajará durante el dictado de la materia 
son: 
 
 
 
 
PRIMER LÍMITE FUNDAMENTAL 
Requisitos Previos 
 
TEOREMA DE ESTRICCIÓN 
Sean f, g y h funciones definidas en algún intervalo abierto I que contiene a “a”, excepto 
posiblemente para x=a. Suponga además que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para toda x en I para la cual 
x  a . Suponga también que: 
Lh(x)
ax
limg(x)
ax
lim 



 
entonces: 
Lf(x)
ax
lim 

 
 
 
Enunciado 
Sea 
x
 xsen
f(x) entonces 1f(x)
0x
lim 

 
 
Demostración Primer Límite Fundamental 
Consideremos la circunferencia de ecuación 12y2x  y 
2
π
x
2
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
x
 xsen
lim
0x


e
x
1
1 lim 
x
x








FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 87 - 
 
ABAB =DABA
 xsenAF ; 
BA
AF
senx  
 xtgED ; 
BD
ED
tgx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x
sup.sector ; 
2π
π.x
sup.sector
 
.1 2π
x
2
π.1
sup.sector
nf.long.circu
long.arco
osup.círcul
sup.sector



 
Quedan determinadas las siguientes figuras geométricas: 
 
Δ
EBD ; ABD ; 
Δ
ABD

 
 
Cuyas medidas de áreas son: 
 
Δ
EBD Sup. ABD Sup. 
Δ
ABDSup. 

 
(1) 
2
ED .BD
 sect or sup. 
2
AF .BD
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reemplazando en (1): 
 
2
1.t gx
 
2
x 
 
2
x 1.sen
 ; 
x cos 2
x sen
 
2
x 
 
2
x sen
 
Multiplicando miembro a miembro por 
senx
2
y operando: 
 
x sen
2
 .
x cos 2
x sen
 
x sen
2
 .
2
x 
 
x sen
2
.
2
x sen
 
 
x nes
2
 .
x cos 2
x nes
 
x sen
2
 .
2
x 
 
x nes
2
.
2
x nes
 
 
x cos
1
 
x sen
x
 1  
Aplicando propiedades: 
h(x)
1 
 f(x)
x
x sen
 
 ) g(x
x cos x cos 
x
x sen
 1 





 
 
Aplicando límite miembro a miembro: 1 
0x
lim 
x
x sen
 
0x
lim x cos 
0x
 lim





 
Como: 
1 1 
0x
limy 1 x cos 
0x
 lim 



 
Según el teorema de estricción*: 1 
x
 xsen
 
0x
 lim 

 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 88 - 
 
SEGUNDO LÍMITE FUNDAMENTAL 
Requisitos Previos 
 
BINOMIO DE NEWTON 
 
n!
n
1)...b-n.(n
...
3
.b
3-n
a 
3!
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a 
! 2
1)n.(n
!1
1
.b
1-n
a n
0!
n
a
 
n
ba 




  nb...3.b3-na 
6
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a 
2
1)n.(n1
.b
1-n
a n
n
a 
n
ba 




con n Z+ 
Demostración Primer Límite Fundamental 
Aplicando a la función exponencial dada, el Binomio de Newton: 
n
n
1
... 
n
2
1 
n
1
1 .
n
n
n...3.2.1
1
...
3
n
1
. 
n
2
1 
n
1
1 
3
n
6
1
2
n
1
. 
n
1
1 
2
n
2
1
11
n
n
1
1
n
n
1
... 
n
2
1 
n
1
1 n.n.n...
n...3.2.1
1
...
3
n
1
. 
n
2
1 
n
1
1 n .n. n
6
1
2
n
1
. 
n
1
1 .n n
2
1
n
1
. n1
n
n
1
1
:n común factor sacando
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
. 
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
. 
2
1)n.(n
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
. 
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
. 
2
1)n.(n
1
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
3-n
1 
3.2.1
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2-n
1 
2.1
1)n.(n
1
n
1
.
1-n
1 
1
nn
1 
n
n
1
1






























































































































































 
 
n-n
1 
 
e2,7182... 
límit e aplicando
ndosimplifica





















































































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que es lo que se quería demostrar.