NÚMEROS REALES

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Contenidos 
Desigualdades 
Inecuaciones 
Valor Absoluto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hay muchos casos de aplicación de desigualdades en la vida cotidiana, eso incluye áreas de la 
tecnología, la medicina, la economía y otras. 
En la tecnología, existen umbrales a partir de los cuales las cosas pueden prenderse, apagarse o 
hacer algo. Por ejemplo la diferencia de potencial en los diodos de silicio obedece a la 
desigualdad si VD < 0.7V no conduce, si VD > 0.7 conduce. Si fuera de germanio seria con 0.3V. 
En la naturaleza todo obedece las leyes de mínimo esfuerzo y energía, como las leyes Clausius, los 
procesos espontáneos, la entropía, entre otras; cuyas condiciones se expresan con desigualdades. 
 
NÚMEROS REALES 
UNIDAD 
TEMÁTICA 
1 
 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 2 - 
 
CONTENIDOS TEÓRICOS 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
NATURALES 
 N 
 
1, 2, 3, … 
 ENTEROS Z 
 
 
 
 
 
 RACIONALES 
Q 
 
 
 
 
 REALES 
R 
Cero 0 
Negativos …-3, -2, -1 
 
 
 
 
 Irracionales 
... ; ; 32 
 
FRACCIONARIOS 
5
3
 
DECIMALES EXACTOS 6,25 
DECIMALES PERIÓDICOS 10,33… 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 3 - 
 
1.- DESIGUALDADES 
1.1 Definición 
Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando 
éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en 
cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los números reales, entonces pueden 
ser comparados. 
a < b ; a ≤ b ; a > b ; a ≥ b 
 
1.2.- Propiedades de ordenamiento 
1.2.1 Definición 
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es menor que b si y solo si 
(b-a) es un número real positivo. 
Simbólicamente: R a) - (b b a : R b a, 



   
Ejemplo: 
 R 4 3 -7 diferencia la ue porq7 3 
1.2.2 Definición 
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es mayor que b si y solo si 
(a - b) es un número real positivo. 
Simbólicamente: R b) - (a b a : R b a, 



   
1.2.3 Definición 
El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado porque existe una relación entre sus 
elementos tal que: 
Para todo a, b, c  R, se cumple: 
Transit iva Propiedad Si2)
 : verdadera es iones proposiclas de una soloy Una 
 c a entonces c b y b a
 b a ó b a ; b a 

)1
 
 
1.3 Propiedades de la relación mayor 
Sean a, b, c pertenecientes a R: 
 
b a ó b a que significa b a Si )1 Si x ≥ 2 quiere decir que x puede tomar por 
ejemplo los valores 2, 3, 4,5, … 
b a ó b a que significa b a Si )2
 
 Si x ≤ 2 quiere decir que x puede tomar por 
ejemplo los valores … -1, 0, 1 , 2 
 c b c a ent onces b a Si3)  
2 1 
4 - ... 4 - ent onces 4 - cy 2 5Si

 2.5
 
 c b c a entonces 0 cy b a Si4 ..) 
 
 
6
2.5
 15 
 3. .... 3. ent onces 3 cy 2 5Si


 
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 c b c a entonces 0 cy b a Si ..)5  
6
2.5
 - 15 - 
(-3) . .... (-3) . ent onces 3 - cy 2 5Si


 
 6) 
 0 b . a  si 
 





0 b
0 a
 o 





0 b
0 a
 
 
7) 0 b . a  si 
 





0 b
0 a
 o 





0 b
0 a
 
 
1.2 INECUACIONES 
 1.2.1 Definición Inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. 
7 2x x  23 ; 7 2x 
x
x

 23
 ; 522  2x xx 
1.2.2 Generalidades 
 A diferencia de las ecuaciones, que pueden verificarse sólo para algunos valores de la 
variable, las inecuaciones pueden tener infinitas soluciones. 
 
 Resolver una inecuación es determinar todos los valores de la variable que la verifican. 
 
 Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más 
simples hasta que el resultado final sea de alguno de los siguientes tipos 
K x ; K x ; K x ; K x  
 
 La solución de una inecuación se expresa en forma de conjunto o unión de conjuntos. 
 
 El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en 
cuenta las propiedades de las desigualdades. 
 
1.2.3 Clasificación de las Inecuaciones 
En el desarrollo de este curso se trabajará con las siguientes inecuaciones: 
 
 
ALGEBRAICA 
RACIONAL 
 Lineales o de 1° 
grado 
7 2x x  23 
ENTERAS 
 Cuadráticas o de 
2° grado 
522  2x xx 
 
FRACCIONARIAS 
7 2x 
x
x

 23
 
CONTINUAS 
 
4
23

 2x7 2x 
x
x
 
 
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1.3 VALOR ABSOLUTO 
1.3.1 Definición 
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por x , se define como: 








0 x si x-
0 x si x
 x 
Cualquier número x tiene su representación en la recta real. 
 
1.3.2 Interpretación gráfica 
El Valor Absoluto de un número es no negativo ya que gráficamente representa la distancia desde 
ese número al origen. 
 
Así 
 3 representa la distancia desde 3 al origen 
 
 
 
 
 - 3 representa la distancia desde -3 al origen 
 
 
3 x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 3 unidades del 
origen 
 
 
 
 
4 3-x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 4 unidades del 
número 3 
 
3 
3 
3 
3 
4 4 
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 6 - 
 
1.3.3 Propiedades 
El Valor Absoluto goza de las siguientes propiedades: 
 
 
y x y x 
0 y siendo 
y 
 x 
 
y
x
 7)
 y . x y . x 6)
 a x o a - x si 0 a con a x 5)
 a x a -si 0 a con a x 4)
 x x 3)
x todo arap 0 x 2)
0 x si 0 x 
2








)8
)1
 
 
*********************************************************