TP 1 - ANALISIS COMBINATORIO - BINOMIO DE NEWTON - MATEMÁTICA I - docx

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JUJUY 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS 
 MATEMÁTICA I 
Ciclo Lectivo 2.021 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 1 
ANALISIS COMBINATORIO – BINOMIO DE NEWTON 
1.- Desarrollar las siguientes sumas expresadas mediante el símbolo sumatoria ∑ : 
a)∑ (3𝑖 + 2)
5
𝑖=2
 b)∑ [𝑗2(𝑗 − 2)]
6
j=1
 c) ∑
(−1)𝑛+1
2𝑛+3
7
𝑛=0
 d)∑ (2𝑘 + 1)
𝑛
𝑘=1
 
2.- Expresar en forma de sumatoria: 
a) La suma de los primeros 8 números naturales pares, mayores a 5. 
b) La suma de todos los múltiplos de 5, desde 15 hasta 55. 
c) La suma de los cuadrados de todos los números naturales divisibles por 3 y 
menores a 15. 
d) La suma de la raíz cuadrada de los primeros 6 números naturales impares. 
3.- Expresar en forma de sumatoria las siguientes sumas: 
a) 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 d) √2 + √4
3
+ √8
4
+ √16
5
 
b) 2 + 6 + 18 + 54 + 162 
c) −
2
3
+
4
5
−
6
7
+
8
9
−
10
11
 
e) −4 + 7 − 10 + 13 − 16 + 19 
f) 
4
3
+
9
8
+
16
15
+
25
24
+
36
35
 
4.- Resolver aplicando, cuando sea posible, las propiedades del símbolo sumatoria ∑ : 
a) ∑ (2𝑖 − 5)
7
𝑖=1
 c) ∑ [(−1)𝑛+1 + 5𝑛]
6
𝑛=0
 
b) ∑ (𝑗2 − 2𝑗)
8
𝑗=3
 d) ∑ (2 − 𝑘 + 𝑎𝑘)
4
𝑘=1 
5.- Operar hasta llegar a su mínima expresión: 
a) 
[(3𝑚)!]2
(3𝑚+1)!(3𝑚−1)!
 c) 
(𝑛+1)!+𝑛!
(𝑛+1)!−𝑛!
 
b) 
(𝑎−3)!
(𝑎−2)!
− 
(𝑎+1)!
(𝑎+2)!
 d) 
2𝑚!(4𝑚2−1)
(2𝑚+1)(𝑚−1)!
 
6.- Verificar las siguientes igualdades: 
a) 
1
𝑚!
−
1
(𝑚+1)!
=
𝑚
(𝑚+1)!
 c) (
𝑘
1
) + 2 (
𝑘
2
) = 𝑘2 
b) 𝑃 𝑎+1 − 𝑃 𝑎 = 
(𝑃 𝑎)
2
𝑃 𝑎−1
 d) 𝐶 𝑛
 𝑟 = 𝐶 𝑛−1
 𝑟−1 + 𝐶 𝑛−1
 𝑟 
7.- Calcular el valor de 𝑥 en cada una de las siguientes expresiones: 
a) 𝑥. 7! .6! = 5! .8! d) 𝑥𝐴 6
′3 = 𝑃 3 . 𝐶 7
 3 
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b) 𝐶 7
 3 − 𝑃 4
 = 𝑥 + 𝐴 5
 3 e) 
1
2
𝑥. 𝐴 5
 3 = 𝑃 7
 4,3 . 𝐶 5
 2 
c) 𝑃 5 + 𝑥 + 𝐴 5
 3 = 𝐶 5
 3 f) 𝐶 7
′3 − 𝐶 10
 4 = 3!. 𝑥 
8.- Determinar el valor de “𝑥” para que se verifiquen las siguientes igualdades: 
a) 𝐶 9
 2𝑥+4 = 𝐶 9
 𝑥−1 b) 𝐶 6
 𝑥
2−3𝑥
− 𝐶 6
 12−2𝑥 = 0 c) (
39
5 + 2𝑥
) = (
39
2𝑥 − 2
) 
9.- Determinar el o los valores de la incógnita para que se verifiquen las siguientes 
igualdades: 
a) 12𝑃 𝑎 + 5𝑃 𝑎+1 = 𝑃 𝑎+2 e) 𝐶 𝑚
 2 . 𝐴 𝑚
 2 = 200 
b) 36𝐶 𝑛+1
 4 = 2𝐴 𝑛−1
 2 𝐴 𝑛
′2 f) 4𝐶 𝑝+1
′2 − 𝐶 𝑝+1
 2 − 2𝐴 𝑝
 2 = 29 
c) (
𝑘 + 2
3
) − 4 (
𝑘
2
) = 0 g) 18 (
ℎ
2
) + 24 (
ℎ
3
) = ℎ(𝑃 9
 4,5 − 1) 
d) 𝐶 𝑚
′2 − 3𝐴 𝑚
 2 = −3 h) 
4
3
𝐴 𝑚+3
 2 −
3
2
𝐴 𝑚+2
 2 =
1
2
𝑃 5
 3,1,1 
10.- Plantear y resolver los siguientes problemas: 
a) ¿De cuántas formas posibles pueden sentarse cuatro personas en una banqueta? 
b) En una prueba de atletismo en donde participan 8 personas, se pueden clasificar 
solo 3 para la final. ¿Cuántos grupos distintos de finalistas se pueden formar? 
c) Con las cifras: 2, 3, 4, 5 y 7: 
i. ¿Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden obtener? ¿Cuántos son 
si las cifras se repiten? 
ii. ¿Cuántos números de tres cifras no repetidas son pares? ¿Cuántos son si las 
cifras se repiten? 
iii. ¿Cuántos números de tres cifras no repetidas mayores que 350 se pueden 
formar? ¿Cuántos son si las cifras se repiten? 
d) ¿Cuántas personas asistieron a una reunión, si al terminar intercambiaron 45 
saludos? 
e) En una bolsa hay 10 bolillas, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde. 
i. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila esas 10 bolillas? 
ii. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila esas 10 bolillas, 
si la primera debe ser verde? 
iii. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila esas 10 bolillas, 
si la primera debe ser verde y la última roja? 
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f) En una pastelería se realizan 6 tipos de pasteles (vainilla, coco, limón, …). ¿De 
cuantas formas distintas se pueden comprar 4 pasteles no necesariamente 
distintos? 
11.- Desarrollar las siguientes expresiones aplicando la Ley del binomio de Newton. 
a) (2𝑎 − 3𝑏)5 c) (𝑚2 − 3𝑚−1)6 
b) (−2 + 𝑥2)5 d) (
1
√2
𝑥3 + √2𝑥)
5
 
12.- Obtener directamente sin efectuar el desarrollo del binomio, los datos requeridos en 
cada uno de los casos: 
a) Los términos centrales en el desarrollo de (
1
𝑥3
− 𝑥4)
5
. 
b) El término central y el término independiente en el desarrollo de (
1
𝑧
− 𝑧5)
6
. 
c) El sexto término y el término de grado seis en el desarrollo de (2𝑚3 −
4
3
)
12
. 
d) Calcular “n” exponente del binomio sabiendo que: 
i. El segundo término del desarrollo de (2𝑥2 −
3
𝑥
)
𝑛
 es de grado 11. 
ii. El séptimo término del desarrollo de (−
1
2
𝑎2 + 4𝑎3)
𝑛
 es de grado 24. 
13.- ¿Cuánto debe valer x, para que el tercer término del desarrollo de (
3
𝑥
− 𝑥)
5
 sea igual 
a 90? 
14.- Calcular x, sabiendo que el tercer término del desarrollo (𝑥2 +
3
𝑥
)
5
 coincide con el 
cuarto término del desarrollo de (𝑥3 −
1
𝑥
)
5
. 
15.- Aplicando la regla práctica para obtener los coeficientes de los términos, desarrollar 
hasta el quinto término inclusive: 
a) (𝑥 + 3𝑦)−2 c) √(𝑚3 − 3𝑛)2
3
 
b) 
1
(𝑏2−√2𝑏)
3 d) 
1
√(𝑥3−𝑦)2
5