Contacto Mecanico

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Instituto Politécnico Nacional 
 
Escuela Superior de Ingenieria Mecanica y 
Electrica 
 
Unidad Profesional Culhuacan 
 
Ingenieria en Sistemas Automotrices 
 
TRIBOLOGÍA 
 
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN 
 
Contacto Mecanico. 
 
GRUPO: 8SV12 
 
Profesor:De la Vega Ibarra Ricardo 
 
Hernández Serna Benjamin 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El contacto mecanico es un fenomeno que desborda en gran variedad de 
fenomenos asi como en una ciencia entera dedicada a su estudio, que es la 
Mecanica de contacto la cual esta asociada a Heinrich Hertz. 
 
En 1882, Hertz soluciono el problema del contacto entre dos cuerpos elasticos 
de superficies curvas, el resultado sento las bases de la Mecanica de contacto 
actual permitiendo que hasta el dia de hoy se sigan resolviendo e investigando 
los tipos de contacto. 
 
Por lo que en este trabajo de investigacion se abordaran conceptos asociados al 
contacto mecanico y algunas aplicaciones que se dan en la ciencia de la 
Tribologia y la mecanica del contacto, las cuales estan intimamente 
relacionadas. 
 
CONTACTO MECANICO 
 
El contacto mecanico se define como el estudio y analisis de los campos de 
esfuerzo y deformacion que ocurren en cuerpos que se tocan entre si en uno o 
mas puntos debido a una fuerza externa aplicada, esto aplica a solidos elasticos, 
viscoelasticos, hiperelasticos y rigidos ya sea en contacto estatico o contacto 
dinamico. 
Como ya se menciono,Hertz fue el primero en estudiar el contacto mecanico 
entre dos cuerpos sin friccion. Su estudio comenzo a partir de la teoria de la 
elasticidad , con esto pudo deducir el comportamiento de los cuerpos y estudio 
el area de contacto creada por las superficies de los solidos. 
 
La teoria de contacto predice la forma del area de contacto y su incremento 
conforme la aplicación de la carga, la magnitud y distribucion de las tracciones 
en la superficie normal y tangencial a traves de la interseccion, asi se puede 
calcular en la vecindad de la region de contacto de los campos de esfuerzo y 
deformacion en ambos cuerpos. 
 
Para ello Hertz propuso algunas condiciones de frontera para la distribucion de 
presion y la deformacion localizada entre dos cuerpos en contacto, esto para 
poder presentar matematicamente los problemas de contacto: 
 
1. Los desplazamientos y esfuerzos deben satisfacer las ecuaciones de 
equilibrio para cuerpos elasticos y los esfuerzos se deben disipar a una 
distancia considerable de la zona de contacto 
2. Los cuerpos se deben encontrar en contacto sin friccion 
3. En la superficie de los cuerpos, la presion normal es cero fuera de la zona 
de contacto 
4. La distancia entre las superficies de los cuerpos es cero dentro del circulo 
de contacto y mayor que cero fuera de el 
5. De la integral de distribucion de presion en el circulo de contacto con 
respecto al area del circulo de contacto, se obtiene las fuerzas actuantes 
entre los dos cuerpos. 
 
Estas consideraciones se deben tener en cuenta en analisis posteriores, ya que 
es lo que desarrollo Hertz para poder dar solucion a los problemas de contacto. 
 
PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 
 
Considerando que se tienen en cuenta los fundamentos de la teoria de la 
elasticidad, se cosideran algunas definiciones de los parametros mas 
importantes que sirven para el tratamiento del contacto mecanico. 
Las expresiones que se muestran son los conceptos basicos de la teoria de la 
elasticidad y la plasticidad, la cual engloba definiciones y ecuaciones mas 
generales. 
 
Propiedades elasticas 
 
𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛	𝑑𝑒	𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛.			𝜎 =
𝐹
𝐴… (1) 
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛	𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙				𝜀 =
Δ𝑙
𝑙!
…(2) 
𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 − 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.		𝜎 = 𝐸𝜀.		 … (3) 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑎.		𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝑣)… (4) 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛	𝐾 =
𝐸
3(1 − 2𝑣)…
(5) 
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑	𝑑𝑒	𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎			Ε =
1
2 𝜀𝜎 =
1
2𝐸𝜀
" =
𝜎"
2𝐸 … (6) 
 
Propiedades plasticas 
 
En la figura uno se observa el diagrama esfuerzo deformacion, donse se ve que 
al pasar el esfuerxo de fluencia o limite elastico, el esfuerzo cambia de forma 
abrupta y pasa de comportarse 
de forma lineal en la zona 
elastica , a ser practicamente 
horizontal. 
En esta region el material se 
deforma plasticamente la cual es 
una deformacion permanente de 
la que el material no se recupera. 
 
Para conocer mejor los 
esfuerzos en esta zona se hace 
una premeditacion haciendo 
pruebas de dureza a los 
materiales. 
 
SEMI-ESPACIO ELASTICO 
 
En el caso de cuerpos en contacto, los esfuerzos presentan valores 
concentrados en las zonas de contacto y decrecen en regiones alejadas del 
contacto, por lo que si las dimensiones de los cuerpos son mayores al area de 
Ilustración 1 Diagrama Esfuerzo-deformacion 
contacto, el esfuerzo en la zona de contacto no depende de la forma del cuerpo, 
si no del area de contacto y su vecindad. 
Para el calculo preciso de los esfuerzos de contacto se suponen a los cuerpos 
como un semi-espacio elastico, es decir, cada cuerpo es tomado como un solido 
elastico semi-infinito delimitado por una superficie plana, esto para simplificar las 
condiciones de frontera y desarrollar la teoria de la elasticidad para este caso. 
 
Se debe asumir una deformacion 
plana (∈#= 0) en el semi-espacio, 
ya que el espesor del solido 
debera ser mayor que la region de 
contacto. 
 
En la figura 2 se observa un semi-
espacio elastico, las fuerzas p(x) y 
q(x), fuerza normal y tangencial 
respectivamente, actuan sobre 
una linea de la superficie, x=-b a 
x=a, mientras que en el resto 
muestra una superficie libre de 
esfuerzos. Con esto se pueden 
encontrar los componentes de 
esfuerzo 𝜎# , 𝜎$		𝑦		𝜏%$ en cualquier 
punto a lo largo del solido, asi 
mismo los componentes 
𝑢%		𝑦	𝑢$			del desplazamiento 
elastico, provocados por dichas cargas aplicadas. 
 
ECUACIONES DE EQUILIBRIO 
 
Tomando en cuenta la Teoría de la Elasticidad para satisfacer la ecuacion 
diferencial del equilibrio para cuerpos elasticos, el estado de esfuerzos en un 
cuerpo elastico plano esta determinado por tres componentes de 
esfuerzos:𝜎%% , 𝜎%# , 𝜎##. 
Como enuncia uno de los postulados de Hertz, las ecuaciones de equilibrio 
elastico deben de estar satisfechas, esto es: 
 
𝜕𝜎%%
𝜕𝑥 +
𝜕𝜎%#
𝜕𝑦 =
𝜕𝜎##
𝜕𝑥 +
𝜕𝜎#%
𝜕𝑦 = 0… (7) 
 
La deformacion de un cuerpo elastico se representa por las relaciones 𝜀%% , 𝜀## 
en la direccion de los ejes x & y, y por la rotacion angular 𝜀%#. 
La deformacion elastica 𝜀%% , 𝜀##	𝑦	𝜀%# estan relacionadas a las componentes u y 
v del vector desplazamiento elastico (u, v) por las ecuaciones: 
 
𝜀%% =
𝜕𝑢
𝜕𝑥 .				𝜀%# =
1
2 V
𝜕𝑢
𝜕𝑦 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥W						𝜀## =
𝜕𝑣
𝜕𝑦	… (8) 
 
Ilustración 2 Aplicacion de cargas en un semi-espacio elastico 
Ya que los tres componentes de la deformacion estan expresados en terminos 
de dos componentes de desplazamiento, debiendo existir alguna relacion entre 
ellos, esta es la llamada “condicion de compatibilidad del desplazamiento”: 
 
𝜕"𝜀%%
𝜕𝑦" +
𝜕"𝜀##
𝜕𝑥" =
2𝜕"𝜀%#
𝜕𝑥𝜕𝑦 … (9) 
Las ecuaciones 7 y 9 son las que describen los esfuerzos en el caso del contacto 
en el semi-espacio, para poder dar solucion a estas ecuaciones se debe de 
recurrir a los metodos numericos acompañados del elemento finito,en la tesis de 
maestria del ing. Jonathan Armas Sanchez se propone una estructura diferente 
a estas ecuaciones que se muestran a continuacion; 
 
En la figura 3 se muestra la 
relacion entre los 
desplazamientos con los 
esfuerzos y deformaciones 
haciendo uso de la ley de Hooke. 
 
Ya que la carga aplicada sobre 
uno de los ejes, en este caso el 
eje y, se presenta la condicion de 
deformacion plana: 
 
∈#= 0, 𝜎# = 𝑣(𝜎% + 𝜎$)… (11) 
 
Utilizando las funciones de esfuerzo de Airy, es decir una funcion aleatoria 
𝜙(𝑥, 𝑦), para defirnir los esfuerzos: 
 
𝜎% =
𝜕"𝜙
𝜕𝑦" 				𝜎# =
𝜕"𝜙
𝜕𝑥" 				𝜏#% = −
𝜕"𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦… (12) 
 
Ademas de todo esto la funcion 𝜙(𝑥, 𝑦) debesatisfacer la ecuacion binomica, 
incluyendo las condiciones de frontera que se deben considerar: 
 
[
𝜕"
𝜕𝑥" +
𝜕"
𝜕𝑧"\ [
𝜕"𝜙
𝜕𝑥" +
𝜕"𝜙
𝜕𝑧"\ = 0… (13) 
 
La expresion 13 se obtuvo analizando la figura 2 y de igual manera las 
condiciones de frontera se obtendrian de un analisis en dicho diagrama. 
Como se observa, el contacto mecanico desborda en varios conceptos de 
mecanica de materiales y en expresiones que se deben abordar desde el punto 
de vista de los metodos numericos. 
 
Haciendo este analizis uno tambien puede recordar cuestiones requeridas en el 
elemento finito como lo es el analisis matricial que se propone a continuacion; 
 
Considere a los esfuerzos y deformaciones como vectores de solo 6 
componentes como se muestran a continuación; 
 
Ilustración 3 Relacion entre esfuerzos y deformaciones con la ley de 
Hooke 
𝝈 = ^𝜎% , 𝜎# , 𝜎$ , 𝜏#$ , 𝜏%$ , 𝜏%#_
' 			𝝐 = ^𝜖% , 𝜖# , 𝜖$ , 𝛾#$ , 𝛾%$ , 𝛾%#_
' …(14)			 
 
Esra seria la representacion matricial de los esfuerzos y deformaciones, 
respectivamente, a traves de la ley de Hooke se conectan las componentes de 
estas matrices y se obtiene que se require de una matriz del material que esta 
dada de la siguiente forma; 
 
𝑫 =
𝐸
(1 + 𝑣)(1 − 2𝑣)
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 − 𝑣 𝑣 𝑣 0 0 0
𝑣 1 − 𝑣 𝑣 0 0 0
𝑣 𝑣 1 − 𝑣 0 0 0
0 0 0 0.5 − 𝑣 0 0
0 0 0 0 0.5 − 𝑣 0
0 0 0 0 0 0.5 − 𝑣⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
… (15) 
 
Vemos que la matriz del material esta en terminos de la relacion de Poisson y 
del modulo de Young, entonces estos terminos , de acuerdo a la ley de Hooke 
estaran de la siguiente manera: 
 
𝝈 = 𝑫𝝐… (𝟏𝟔) 
 
Vemos como los conceptos de mecanica de materiales tienen gran conexión con 
el contacto mecanico. 
 
CLASIFICACIÓN DEL CONTACTO MECANICO 
 
• Contacto sin friccion: Es una idealizacion del modo de contacto que esta 
limitado por la aplicación practica.Generalmente con una buena 
lubricacion y componentes “lisos” podemos generar modelos sin friccion 
. 
• Contacto con friccion:Es el caso mas habitual ya que la friccion es un 
fenomeno que se encuentra en la naturaleza en los problemas de 
contacto, pero al considerarla se genran analisis mas complicados. 
 
• Contacto Conformable:El contacto se dice ser conforme, cuando la 
superficie potencial de contacto entre dos cuerpos “ajusta” exactamente 
en un estado sin carga. 
 
• Contacto no conformable: Cuando dos cuerpos solidos sin carga son 
puestos en contacto solo se tocaran en un punto, al igual que dos esferas, 
o a lo largo de una linea como el contcto de un cilindro con una superficie 
plana. En ese contexto, donde el area potencial de contacto de los dos 
cuerpos que tienen diferentes perfiles es referenciado a problemas de 
contacto no conforme. 
 
• Contacto no Hertziano:La teoria de Hertz es un modelo idealizado que 
cubre un pequeño numero de probblemas de contacto. Los problemas 
practicos pueden violar algunos o todos los supuestos de la Teoria de 
Hertz, asi estos problemas son referidos como “contacto no Hertziano”. 
 
• Contacto de retroceso: Muchos cuerpos no conformes entran en contacto 
inicialmente en un punto a lo largo de una linea y el area de contacto crece 
con el incremento de la carga, por otra parte, en el contacto conforme al 
realizar la interseccion entre los cuerpos existe una apreciable area inicial 
de contacto, pero cuando se aplica la carga, el area inicial, se puede 
deformar de manera tal que dicha area sufre un decremento.Esta 
reduccion en el area de contacto con un incremento de carga es conocido 
como contacto de retroceso. 
 
CASOS SENCILLOS DE CONTACTO 
 
BLOQUE 
 
El caso de contacto mas sencillo es el que se produce entre un bloque 
rectangular y una superficie lisa sin rozamiento como se ve en la figura 4. Al 
presionar el cuerpo contra 
la superficie , este se 
deforma elasticamente. Se 
definira la profundidad de 
indentacion(d) como la 
profundidad de la huella 
que el bloque dejaria en la 
superficie, en el caso de 
que esta no ofreciese 
ninguna resistencia. 
 
En realidad, el cuerpo no penetra en la superficie rigida, sino que se deforma en 
una magnitud d. Si la longitud del bloque es mucho mayor que su anchura, 
entonces se cumple la llamada condicion de esfuerzo o tension uniaxial y la 
fuerza elastica resultante viene expresada por; 
 
𝐹 = 𝐸𝐴
𝑑
𝑙 … (17) 
 
Donde E es el modulo de elasticidad, A el area de la seccion transversal y l la 
longitud del bloque.En este caso, la fuerza es proporcional a la profundidad de 
indentacion d. 
 
PELICULA DELGADA 
 
Si la longitud del bloque es mucho 
mas pequeña que su anchura, 
como se ve en la figura 5, el medio 
no se deforma en la direccion 
transversal, y en su lugar, 
experimenta una deformacion 
uniaxial. En este caso, y según la 
teoria de la elasticidad; 
 
Ilustración 4 Contacto entre un bloque y una superficie rigida 
Ilustración 5 Contacto entre una pelicula elastica fina y una superficie 
rigida 
𝐹 = 𝐸l𝐴
𝑑
𝑙 … (18) 
 
 
Donde; 
 
𝐸l =
𝐸(1 − 𝑣)
(1 + 𝑣)(1 − 2𝑣)… (19) 
 
Para metales 𝑣 ≈ (
)
, de tal forma que 𝐸l ≈ 1.5𝐸. En el caso de elastomeros los 
cuales pueden considerarse practicamente incompresibles, 𝑣 ≈ (
"
, por lo que el 
modulo de compresion longitudinal Ê, es practicamente igual al modulo de 
compresibilidad volumetrica, 𝐸l ≈ 𝐾, y mucho mayor que E. 
 
𝐸l ≈ 𝐾 ≫ 𝐸, 𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 
 
Estos son unos cuantos ejemplos de contacto, pero existen gran variedad de 
estos contactos en donde se deben de tener en cuenta las propiedades 
mecanicas de los materiales. 
 
MACROCONTACTO,MICROCONTACTO Y NANOCONTACTO. 
 
Ya se han mencionado 
consideraciones en el estudio del 
contacto, en la figura 6 se muestra 
el modelo general para el estudio 
del contacto, considerando el 
contacto estatico y el contacto 
dinamico. 
 
El macrocontacto son los 
ejemplos anteriormente vistos, los 
mas comunes en la Mecanica del 
contacto, el nano contacto ya es 
un caso muy especial que se 
enfoca en las interacciones 
atomicas en el contacto, de este 
solo se hace mencion. 
 
El contacto mas interesante de 
estudiar es el microcontacto el 
cual no solo considera los 
esfuerzos en el area de contacto, 
si no que de igual manera considera las asperidades, para el microcontacto se 
estudia las deformaciones plasticas de las asperidades con un fenomeno de 
contacto, por lo que se hace uso del indice de plasticidad; 
 
Ilustración 6 Modelo de contacto deslizante 
Ψ = p
𝐸*
𝐻r V
𝜎∗
𝑅 W
(
"
…(20) 
 
Donde de igual manera se utilizan propiedades mecanicas, como lo es la dureza 
H y el modulo de young,que en este caso esta en funcion de la relacion de 
Poisson. 
 
Esto es como mencion honorifica, si seguimos trabajando con el macrocontacto 
podemos tener en cuenta las ecuaciones para el caso estatico o cuasi-estatico y 
contacto elastico, a continuacion se mostraran los parametros de las ecuaciones 
y en la figura 7 se podran encontrar las ecuaciones de Hertz para el caso mas 
simple de Macrocontacto; 
 
P: Carga normal 
p: Carga normal por unidad de longitud 
E1,2:Modulos de elasticidad para los cuerpos 1 y 2, respectivamente 
v1,2:Relacion de Poisson para las cuerpos 1 y 2 , respectivamente 
D: diametro del cuerpo curvado, solamente si uno tiene curva 
D1,2 :Diametros de los cuerpos 1 y 2, el diametro uno es mayor al segundo por 
convencion. 
Sc:Maxima compresion 
a: radio del contacto elastico 
b: Ancho de el contacto(para cilindros) 
E*:Modulo compuesto para los cuerpos 1 y 2 
A,B: funciones de los diametros para los cuerpos 1 y 2 
 
 
 
Ilustración 7 Ecuaciones para el contacto elastico(Hertziano) esfuerzos de contacto y dimensiones de contacto 
 
Como se puede observar, seguimos hablando de que estas ecuaciones, por 
muy simple que sea el caso, son escuaciones extensas que estan en funcion 
de propiedades mecanicas. 
 
Como se dijo, esto solo es aplicable para el caso de contacto estatico, que no 
tiene muchas aplicaciones, para el contacto deslizante es necesario entra de 
lleno a la teoriadel “Contacto Hertziano” . 
 
CONCLUSIONES 
 
Como se pudo ver, no se abordo por completo el tema del contacto mecanico 
ya que es un tema extenso, esto debido a que es un fenomeno fisico que 
abunda en la naturaleza asi como en la ingenieria. 
Aun asi la informacion que se trabajo nos hace darnos cuenta como es 
importante tener en cuenta que la tribologia y ramas asociadas a esta exigen 
tener los conocimientos de mecanica de materiales, como tal son los 
conocimientos en ingenieria mecanica, por lo que esta investigacion sirve para 
evaluar los conocimientos que tiene uno, y aporta una vision de lo que es el 
campo de la investigacion. 
El contacto Hertziano es un tema que queda pendiente pero que sin embargo 
genra curiosidad, para poder aprender mas y aplicarlo al ramo ingenieril. 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
Blau, P. J. (2008). Friction Science and Technology: From Concepts to 
Applications, Second Edition. CRC Press. 
 
Ing. Jonathan Armas Sanchez(2015) Analisis de la fractura por contacto 
mecanico y su solucion por analisis numerico. SEPI Zacatenco. 
 
Popov, V. (2020). Principios y aplicaciones de la mecánica de contacto en 
tribología, fricción y adherencia. 
 
Rao, S. S. (1989). The Finite Element Method in Engineering. Pergamon.