CALCULO-Limites con infinito

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3▪ Límites en el infinito
ASÍNTOTA HORIZONTAL
4▪ Cálculo de límites
4▪ Cálculo de límites
4▪ Cálculo de límites
Para poder realizar las operaciones con la expresión ±∞, es necesario
conocer antes las siguientes propiedades:
▪ K partido por cero. (k/0)
Para resolver este tipo de límites, en los que se divide un
numero real (distinto de 0) entre 0, debemos tomar
límites laterales. Cuando éstos coincidan significa que
existirá el límite.
Ejemplo:
E
5▪ Propiedades. ALGEBRA DE LIMITES
- Límite de una constante:
- Límite de una suma:
- Límite de un producto:
- Límite de un cociente:
- Límite de una potencia:
- Límite de una raíz:
- Límite de un logaritmo:
6▪ Indeterminaciones.
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda
determinar, sino que en estos casos hay que efectuar operaciones
particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
Veamos los siguientes 7 tipos 
de indeterminaciones:
- Infinito partido por infinito:
- Cero partido por cero:
- Infinito menos infinito:
- Cero por infinito:
K
0
NO LA TRATAREMOS COMO UNA indeterminación.
Estas las estudiaremos este curso pero las siguientes no:
-Infinito elevado a cero: ∞ 0
-Cero elevado a cero 0 0
-Uno elevado a infinito: 1∞
6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞)
Con este tipo de indeterminación pueden darse tres casos :
- Si el grado polinomio del denominador es de mayor grado que el 
numerador.
- Si el grado del polinomio del numerador es de mayor grado que 
el denominador.
- Si el grado del polinomio del numerador y denominador son de 
igual grado.
)(
)(
lim
xQ
xP
x →
6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞)
Procedimiento:
Sustituyo y compruebo que es ind (∞/∞) .
- Dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado.
- Simplificar.
- -Sustituir (calcular límite).





=


=
→
))(())((
))(())((0
))(())((
)(
)(
lim
xPgrxQgrk
xPgrxQgr
xQgrxPgr
xQ
xP
x
Coeficiente principal P(x)/Coeficiente principal Q(x)
6.2▪ Cero partido por cero (o/o)
A)Tipo racional: 
-Factorizar el polinomio (Factor Común, Productos notables, Ruffini)
-Simplificar.
-Sustituir (calcular límite). 
Ejemplos: ind
=
OBSERVACION: CUIDADO AL FACTORIZAR EL POLINOMIO CON EL COEFICIENTE PRINCIPAL
- B)Tipo irracional: 
- -Multiplicar numerador y denominador por el conjugado.
- -Aplicar diferencia de cuadrados.
- -Simplificar y calcular límite.
- Ejemplos:
=
ind
=
No es el conjugado 
Este es el conjugado porque separa las dos terminos 
6.3 ▪ Infinito menos infinito (∞-∞) 
Al igual que en la anterior indeterminación, aquí también existen dos 
tipos:
A)Tipo racional: Sacar denominador común (m. c. m)
Simplificar
Calcular el límite
ind
=−lim
𝑥→∞
(
𝑥+1
2
−
𝑥+4
5
)=
lim
𝑥→∞
(
𝑥 + 1
2
−
𝑥 + 4
5
) = lim
𝑥→∞
5𝑥 + 5 − 2𝑥 − 8
10
= lim
𝑥→∞
3𝑥 − 3
10
= ∞
B)Tipo irracional: Multiplicar por el conjugado al numerador y al 
denominador.
Aplicar diferencia de cuadrados.
Simplificar y calcular límite.
ind
=
ind
=
−∞
∞
6.4▪ Cero por infinito (0 *∞) 
Para este tipo de indeterminación encontramos dos formas de 
proceder. Como sabemos que:
Podemos aplicar dos transformaciones:
0 ∙ ∞ = ─
1/0
= ∞─∞
0 ∙ ∞ = ─
1/ ∞
= 0─0
0
∞
Estas indeterminaciones se 
resolverán como ya hemos 
explicado anteriormente.
7▪ Continuidad en un punto
TEOREMA: Una función f es continua en un punto a si existe límite en él y 
coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Condiciones para la continuidad de f en x=a:
a) Tiene que existir el límite de la función f (x) en x=a, para lo que 
han de coincidir los límites laterales.
b) La función está definida en x=a, es decir, existe f (a).
c) La imagen de dicho punto y el límite tienen que coincidir.
Estudiemos la continuidad de la siguiente función para x=0
E
lim 2 = 1
-x
x 0
lim f (x) = 1
x 0
f (0) =
De esta forma resolvemos 
que f (x) es continua en x= 0
Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de 
los puntos del intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si
.
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=b si
.
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
a) y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
b) y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
c) y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
.
7.1▪ Continuidad en un intervalo
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
lim
𝑥→𝑏−
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
8. Continuidad de funciones
Propiedades: Sean f y g dos funciones de variable real:
a) Si una función f es de tipo polinómica, exponencial, tipo 
sen., cos., arctg., son siempre continuas en su dominio de 
definición.
b) Si una función f es continua en R y una función g es 
continua en R, entonces la composición de dichas funciones 
también es continua. Ejemplo: e
c) Si tenemos una función de tipo racional, irracional o 
logarítmica, para estudiar la continuidad, debemos 
estudiar el dominio de la función primero. 
x3- 3x2 + 3
8. Continuidad de funciones
c) Si tenemos una función de tipo racional, irracional o 
logarítmica, para estudiar la continuidad, debemos 
estudiar el dominio de la función primero. 
La función es continua en R− {3}. En x = 3 
no es continua porque no está definida. 
▪ Continuidad de una función a trozos
Es continua en todo R
9. Álgebra de funciones continuas
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
 f± g es continua en x = a.
 f · g es continua en x = a.
 f / g es continua en x = a, si g (a) ≠ 0.
 f
g 
es continua en x = a, (f(a) >0)
 Composición de funciones.
Si f(x) es continua en x=a y 
g(x) es continua en y=f(a)
 ( ) aencontinuaesxfg )(
10▪ Discontinuidad. tipos
Podemos decir que una función es discontinua en un punto si
incumple alguna de las condiciones expuestas en el capítulo
anterior. A partir de ahí podemos clasificarlas en tres tipos de
discontinuidades:
→ Discontinuidad evitable: 
No existe imagen. [ f (a) ,es decir, que no hay dominio en ese pto.] 
La imagen no coincide con el límite. [f (a) ≠ lim f (x) ]
→ Discontinuidad de 1ª especie o inevitable:
De salto finito.
De salto infinito.
→ Discontinuidad de 2ª especie o esencial.
No existe uno de los límites laterales o ambos.
▪ Discontinuidad evitable
A su vez, esta discontinuidad tiene dos formas de aparecer:
▫ No existe imagen 
▫ La imagen no coincide con el límite.
Estas dos funciones se redefinirían de la siguiente forma:
▪ Discontinuidad de 1ª especie o inevitable
Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto 
en el punto. Existen los límites laterales en el punto, pero toman 
valores diferentes.
Dicho concepto de salto se representa de la siguiente forma:
Según el tipo de salto nos encontraremos dos tipo de 
discontinuidades de 1ª especie: de salto finito o de salto 
infinito.
▫ De salto finito:
▫ De salto infinito: (basta solo con que uno de ellos tienda a infinito)
▪ Discontinuidad de 2ª especie o esencial
Se produce cuando no existe uno de los límites laterales o 
ninguno de los dos.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite 
por la derecha. 
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6: ▪ K partido por cero. (k/0)
	Diapositiva 7: 5▪ Propiedades. ALGEBRA DE LIMITES
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9: 6▪ Indeterminaciones.
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11: 6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞)
	Diapositiva 12: 6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞)
	Diapositiva 13: 6.2▪ Cero partido por cero (o/o)
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15: 6.3 ▪ Infinito menos infinito (∞-∞) 
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17: 6.4▪ Cero por infinito (0 *∞) 
	Diapositiva 18: 7▪ Continuidad en un punto
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21: 8. Continuidad de funciones
	Diapositiva 22: 8. Continuidad de funciones
	Diapositiva 23: ▪ Continuidad de una función a trozos
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25: 9. Álgebra de funcionescontinuas
	Diapositiva 26: 10▪ Discontinuidad. tipos
	Diapositiva 27: ▪ Discontinuidad evitable
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29: ▪ Discontinuidad de 1ª especie o inevitable
	Diapositiva 30
	Diapositiva 31: ▪ Discontinuidad de 2ª especie o esencial
	Diapositiva 32