Práctica 1-PP

Vista previa del material en texto

𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺 
GUÍA DE EJERCICIOS (Primer Parcial) 
Gestión II- 2020 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO PRIMER ORDEN 
 
 
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por un método 
adecuado 
 
a) 𝒚′ =
𝟏+𝑪𝒐𝒔 𝒙
𝑺𝒆𝒏𝟐𝒚
 
 
b) 𝒙𝒍𝒏(𝒙𝒚)𝒅𝒙 + 𝒍𝒏𝒚 (𝒅𝒚 − 𝒙𝒅𝒙) = 𝟎 
 
c) (𝒙 + 𝒚𝒆𝒚/𝒙)𝒅𝒙 − 𝒙𝒆𝒚/𝒙 = 𝟎 
 
d) 𝒚 𝒍𝒏 (
𝒚
𝒙
+ 𝟏) 𝒅𝒙 − 𝒙 𝒍𝒏 (
𝒚
𝒙
) 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
e) 𝒚′ = (
𝒙+𝟐𝒚
𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝟏
)
𝟐
 
 
f) (𝟒𝒙 + 𝟏𝟏𝒚 − 𝟒𝟐)𝒅𝒙 + (𝟏𝟏𝒙 − 𝟗𝒚 − 𝟑𝟕)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
g) 𝒚′ =
𝒚(𝟐𝒙𝟑−𝒚𝟑)
𝒙(𝟐𝒙𝟑−𝟑𝒚𝟑)
 
 
h) 𝒚′ =
𝒚
𝒙
+ √
𝒚𝟐
𝒙𝟐
− 𝟏 
 
i) 𝟓(√𝟓𝒙 − 𝒚 + 𝟐)𝒅𝒙 + (𝒚 − √𝟓𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
j) (𝒙 + 𝒚 − 𝟐 +
𝟏
𝒙
) 𝒅𝒙 + (𝟐 − 𝒙 − 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
k) (𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒙𝒆𝒙)𝒅𝒙 − (𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
l) 𝒙𝟐𝒚𝒅𝒙 − (𝒙𝟑 + 𝒚𝟓)𝒅𝒚 = 𝟎 
m) (𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓)𝒅𝒙 − (𝟐𝒙 + 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
n) 𝑺𝒆𝒏(𝒙 + 𝒚) 𝒅𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒚 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒅𝒚 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙) = 𝟎 
 
o) 𝒙(𝒙 + √𝒚)𝒅𝒙 + 𝟐√𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 
 
p) (𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 − 𝒚𝟐)𝒅𝒙 + (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
q) (𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙 + 𝟐 (
𝒙𝟐
𝒚𝟐
−
𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒚
) 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
r) (
𝒚
𝒙
+ 𝒍𝒏 𝒚) 𝒅𝒙 + (
𝒙
𝒚
+ 𝒍𝒏 𝒙) 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
s) (𝟓𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟓𝒚𝟒)𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒚(𝟏𝟎𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
t) 
𝒚𝒅𝒙−𝒙𝒅𝒚
(𝒙+𝒚)𝟐
+
𝟏
𝒚
𝒅𝒚 = 𝟎 
 
u) 
𝒚𝒅𝒙−𝒙𝒅𝒚
𝒙𝒚
+
𝒙𝒅𝒚+𝒚𝒅𝒙
√𝟏+(𝒙𝒚)𝟐
= 𝟎 
 
v) 𝒅𝒙 + 𝒚𝟐𝒅𝒚 +
𝒚𝒅𝒙−𝒙𝒅𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐
= 𝟎 
 
w) [𝒍𝒏(𝒙 − 𝒚) +
𝒙+𝒚
𝒙−𝒚
] 𝒅𝒙 + [𝒍𝒏(𝒙 − 𝒚) −
𝒙+𝒚
𝒙−𝒚
𝒅𝒚 = 𝟎] 
 
x) 𝒚(𝟒𝒙𝒚 + 𝟑)𝒅𝒙 + 𝒙(𝟑𝒙𝒚 + 𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
y) [𝟐𝒙𝒚 𝒔𝒊𝒏(𝒙 + 𝒚) + 𝒚 𝒔𝒆𝒄(𝒙 + 𝒚)]𝒅𝒙 + [𝟐𝒙𝒚 𝒔𝒊𝒏(𝒙 + 𝒚) + 𝒙 𝒔𝒆𝒄(𝒙 + 𝒚)]𝒅𝒚 = 𝟎 
 
z) (𝒚𝟐 − 𝟏)𝒅𝒙 + [𝒙 − (𝒚𝟐 − 𝟏)√𝒚 + 𝟏 ]𝒅𝒚 = 𝟎 
 
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por un método 
adecuado 
a) 𝒚 [
𝟏
𝟐
−
𝟏
(𝒙−𝒚)𝟐
] 𝒅𝒙 + 𝒙 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
(𝒙−𝒚)𝟐
] 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
b) 𝒆𝒙(𝒙𝟐𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝒙𝒚 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙𝒆𝒙 + 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
c) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 (𝟐 + 𝟑𝒚 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝒅𝒙 + 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
d) 𝒚 (
𝟏
𝒙𝟐+𝒚𝟐
−
𝟏
𝒙√𝒙𝟐−𝒚𝟐
) 𝒅𝒙 + (
𝟏
√𝒙𝟐−𝒚𝟐
−
𝒙
𝒙𝟐+𝒚𝟐
) 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
e) 𝒚′ = 𝒚𝟐 − 𝟒 , con: 𝒚(𝟎) = 𝟎 
 
f) 𝒚′ = 
𝒚𝟐
𝒙𝟐
+ 
𝒚
𝒙
− 𝟏 
 
g) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙 
= 
𝟐𝒚+√𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝟐𝒙
 
 
h) (𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟐)𝒅𝒙 + (𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒆𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
i) 𝒚′ = 
𝒚(𝒚𝟐−𝒙𝟐−𝟏)
𝒙(𝒚𝟐−𝒙𝟐+𝟏)
 
 
j) [𝟏 − 
𝒙
√(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝝅
] 𝒅𝒙 + [𝟏 − 
𝒚
√(𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝝅
] 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
k) (𝟐𝒙 − 𝒚)𝟐 𝒚′ = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟏 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒚𝟐 𝒄𝒐𝒏 𝒚(𝟏) = 𝟒 
 
l) 
𝒙𝒅𝒙+𝒚𝒅𝒚
√(𝒙𝟐+𝒚𝟐)(𝟏−𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)
+ [
𝟏
𝒚√𝒚𝟐−𝒙𝟐
+ 
𝒆
𝒙
𝒚
𝒚𝟐
] (𝒚𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒚) = 𝟎 
 
m) (𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝒚𝟐𝒅𝒙 
 
n) 𝟑𝒕𝒚′ − 𝟐𝒚 = 
𝒕𝟑
𝒚𝟐
 
 
o) (𝟐𝒙𝟖𝒚 − 𝟔𝒚𝟔)𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝒚𝟓 − 𝟑𝒙𝟗)𝒅𝒚 = 𝟎 , 𝒚(𝟏) = 𝟏 
 
p) (𝒙 + 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒚) + 𝒔𝒆𝒏𝒚 + 𝒚′ = 𝟎 𝒚(𝟎) = 𝟎 
 
q) 𝒚′ = 𝒆𝒕𝒚𝟕 + 𝟐𝒚 
 
r) 𝒕𝒄𝒐𝒔(𝒕 + 𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒕 + 𝒙) + 𝒕(𝒕 + 𝒙)𝒙′ = 𝟎 
 
s) 𝒚(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏)𝒅𝒙 + 𝒙(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
t) 𝟑𝒙𝒅𝒚 = 𝒚(𝟏 + 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟑𝒚𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙)𝒅𝒙 
 
u) (𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟒𝒚) + (𝟑𝒙 − 𝟒𝒙𝟐𝒚)𝒚′ = 𝟎 
 
v) 𝒚′ = 𝒙−𝟒 − 𝒚𝟐, 𝒚𝒑(𝒙) = 
𝟏
𝒙
−
𝟏
𝒙𝟐
 
 
w) 
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝒚
+ 𝒙 + (𝒚 −
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)
𝒚𝟐
) 𝒚′ = 𝟎 
 
x) (𝒙 − 𝒚𝒄𝒐𝒔 (
𝒚
𝒙
)) 𝒅𝒙 + 𝒙𝒄𝒐𝒔 (
𝒚
𝒙
) 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
y) (𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝒚𝟐𝒅𝒙 
 
z) 𝒚′ = 𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝟏 , 𝒚𝒑(𝒙) = 𝒙 
 
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por un método 
adecuado 
 
a) 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝒚) + 𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚) + 𝒚𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝒚) 𝒙′ = 𝟎 
 
b) 𝒙𝒚′(𝒚 − 𝟏) − 𝒚 = 𝟎 
 
c) 𝒙𝒚′ − 𝟒𝒚 = 𝒙𝟓𝒆𝒙 
 
d) 𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝒚𝟐𝐥𝐧 (𝒙) 
 
e) (𝒙 − 𝒚𝒍𝒏𝒚 + 𝒚𝒍𝒏𝒙)𝒅𝒙 + 𝒙(𝒍𝒏𝒚 − 𝒍𝒏𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
f) 𝒚𝟐(𝒚𝟔 − 𝒙𝟐)𝒚′ = 𝟐𝒙 
 
g) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 + 𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝒅𝒙 + (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 + 𝒕𝒂𝒏 𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
h) [𝟏 + 𝒕𝒂𝒏(𝒙𝒚)]𝒅𝒙 + [𝒔𝒆𝒄(𝒙𝒚) 𝒕𝒂𝒏(𝒙𝒚) + 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙𝒚)](𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚) 
 
i) 𝒚′ =
𝟏+𝒙𝒚𝟑
𝟏+𝒙𝟑𝒚
 
 
j) 𝒆(𝒙+𝒚) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + (𝟐𝒚 + 𝟏)𝒆−𝒚
𝟐
𝒅𝒚 = 𝟎 
 
k) 𝒅𝒙 = (𝟑𝒚 − 𝒙 − 𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
l) (𝟏 + 𝒙𝟐𝒚𝟐)𝒚 + (𝒙𝒚 − 𝟏)𝟐𝒙𝒚′ = 𝟎 
 
m) (𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝒚𝒍𝒏𝟐𝒚 + 𝒚𝒍𝒏𝒚)𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝟐𝒍𝒏𝒚 + 𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
n) √𝒙 + 𝒚 + 𝟏𝒚′ = √𝒙 + 𝒚 − 𝟏 
 
o) 𝒚′ = (𝒚 + 𝑺𝒆𝒏𝒙)
𝟏
𝟐 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 
 
p) 𝟐 (𝒙𝟐𝒚 + √𝟏 + 𝒙𝟒𝒚𝟐) 𝒅𝒙 + 𝒙𝟑𝒅𝒚 = 𝟎 
 
q) (𝟐𝒙𝒚𝟒𝒆𝒚 + 𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝒚)𝒅𝒙 + (𝒙𝟐𝒚𝟒𝒆𝒚 − 𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟑𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
r) 𝑪𝒐𝒔𝜽(𝟏 + 𝟐𝒓𝑪𝒐𝒔𝟐𝜽)𝒅𝒓 + 𝒓𝑺𝒆𝒏 𝜽(𝟏 − 𝒓𝑪𝒐𝒔𝟐𝜽)𝒅𝜽 = 𝟎 
 
s) 𝟐𝒙(𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒚𝒆−𝒙
𝟐
)𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝒆−𝒙
𝟐
)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
t) 𝒚′ =
(𝒙+𝟏) 𝐥𝐧 𝒙−𝒙(𝟑𝒙+𝟒)𝒚𝟑
(𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐−𝟏)𝒚𝟐
 
 
u) (𝒚𝟓𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏√
𝒙
𝟏+𝒙
− 𝒚𝟒𝑨𝒓𝒄𝑻𝒈√𝒙) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎 
 
v) 𝒙𝒚′ +
𝒚
𝒍𝒏 𝒙
=
𝒙(𝒙+𝒍𝒏 𝒙)
𝒚𝟐𝒍𝒏 𝒙
 
 
w) 𝒙𝒅𝒚 − 𝟐𝒚𝒅𝒙 =
𝒙𝟖𝒚−𝟐
𝟑
[𝟑(𝒚𝒙−𝟐)𝟐 + 𝟐𝒚𝒙−𝟐]𝒅𝒙 
 
x) 𝒚(𝒚𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒚) + 𝟑√𝒚𝟒 − 𝒙𝟒(𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚) = 𝟎 
 
y) 𝒚′ = 𝒆𝟐𝒙 − 𝒚𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙𝒚𝟐 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝒚 = 𝒆𝒙 
 
z) 𝒚′ = √
𝟓𝒙+𝟔𝒚
𝟓𝒙−𝟔𝒚
 
 
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 
a) (𝒙𝟐 + 𝟏)√𝒚𝒚′ = 𝒙𝒆
𝟑𝒙
𝟐 + (𝟏 − 𝒙)𝟐𝒚√𝒚 
b) 𝒚′ = −
𝒚𝟑
𝒆𝟐𝒙+𝒚𝟐
 
c) (𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒅𝒙 + 𝟒𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 , 𝒚(𝟐) = 𝟏 
d) (𝟏 − 𝒙𝟐)𝒚′ + 𝒙𝒚 = 𝒙(𝟏 − 𝒙𝟐)√𝒚 , 𝒚(𝟎) = 𝟏 
e) 𝒙𝟑𝒚𝟒 + 𝒙𝟓𝒚𝟓 + 𝒙𝟓𝒚𝟐 + 𝒙𝟑𝒚𝟓 + 𝒚𝟕 + 𝒚𝟓 − (𝒙𝟒𝒚𝟑 + 𝒙𝟔𝒚 + 𝒙𝒚𝟔)𝒚′ = 𝟎 
f) 𝒙𝒅𝒚 − 𝒚𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒙 
g) (𝒙𝟑 + 𝟏)𝒚′ + (𝟐𝒙𝟑 − 𝟏)𝒚 =
𝒙𝟑−𝟐
𝒙
 
h) 𝟐𝒙𝟐𝒚𝒚′ = 𝑻𝒈(𝒙𝟐𝒚𝟐) − 𝟐𝒙𝒚𝟐 
i) (𝟏 + 𝒚𝟐)𝒅𝒙 = (√𝟏 + 𝒚𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒚 − 𝒙𝒚) 𝒅𝒚 
j) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +
𝒚+𝟐𝒙
𝒙
) 𝒚′ = [𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) +
𝒚+𝟐𝒙
𝒙𝟐𝒚
] 
k) 𝒅𝒚 + (𝟒𝒙𝟐𝒚 − 𝒙𝟐𝒆−𝒙
𝟑
)𝒅𝒙 = 𝟎 
l) [𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) + 𝟐𝒙𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)]𝒅𝒙 + 𝟐𝒚𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒅𝒚 = 𝟎 
m) (𝒙𝒚𝟐 + 𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙)𝒅𝒙 − 𝟐𝒚𝒅𝒚 = 𝟎 
n) 𝒚′ − 𝒚𝒆𝒙 = 𝟏
𝒙𝟐
𝑺𝒆𝒏 (
𝟏
𝒙
) − 𝒆𝒙𝑪𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) , 𝒚 → 𝟐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → −∞ 
o) 𝟐√𝒙 𝒚′ − 𝒚 + 𝑺𝒆𝒏√𝒙 + 𝑪𝒐𝒔√𝒙 = 𝟎, 𝒚 es acotada cuando 𝒙 → ∞ 
p) 𝒚′ − 𝒚𝒍𝒏 𝒙 = (−𝟏 − 𝟐𝒍𝒏 𝒙)𝒙−𝒙 , 𝒚 → 𝟎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → ∞ 
q) 𝒚′𝑺𝒆𝒏𝒙 − 𝒚 𝑪𝒐𝒔 𝒙 = − 𝑺𝒆𝒏
𝟐𝒙
𝒙𝟐
 , 𝒚 → 𝟎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → ∞ 
r) 𝟐𝒙𝟐𝒚′ − 𝒙𝒚 = 𝟐𝒙𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 , 𝒚 → 𝟎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒙 → ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN GRADO SUPERIOR 
 
a) 𝒑𝟒 − (𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏)𝒑𝟑 + (𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚)𝒑𝟐 − 𝟐𝒙𝒚𝒑 = 𝟎 𝑐𝑜𝑛 𝒑 = 𝒚′ 
b) 𝒙𝒑𝟐 + 𝒑(𝒚 − 𝒙𝟐 − 𝟏) − 𝒙𝒚 + 𝒙 = 𝟎 
c) 𝒙𝒑𝟐 + (𝒙 − 𝒚)𝒑 + 𝟏 = 𝒚 
d) 𝒙(𝟏 + 𝒑𝟐) = 𝟏 
e) 𝒙(𝟏 + 𝒑𝟐)
𝟑
𝟐 = 𝒂 
f) 𝒑 = 𝒆𝒑𝒚
−𝟏
 
g) 𝒙√𝟏 + 𝒑𝟐 = 𝒑 𝒙 + 𝒑 = 𝒑𝟑 
h) 𝒚𝟒 − 𝒑𝟒 − 𝒚𝒑𝟐 = 𝟎 
i) 𝒚 = 𝑪𝒐𝒔 𝒑 + 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒑 
j) 𝒑 = 𝒍𝒏(𝒙𝒑 − 𝒚) 
k) 𝒚 = 𝒙𝒑 − √𝟏 − 𝒑𝟐 − 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒑 
l) 𝒑𝟐(𝑪𝒐𝒔 𝒚) + 𝒑 𝑺𝒆𝒏 𝒙 (𝑪𝒐𝒔𝒙)𝑪𝒐𝒔 𝒚 − 𝑺𝒆𝒏 𝒚 𝑪𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟎 
m) 𝒙(𝒚′)𝟑 − 𝟐𝒚(𝒚′)𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 
n) 𝒙𝟔(𝒚′)𝟑 − 𝟑𝒙𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟎 
o) 𝒙(𝒚′)𝟑 − 𝒚𝒚′ + 𝟏 = 𝟎 
p) 𝒙(𝒚′)𝟐 + 𝒚𝒚′ = 𝟑𝒚𝟒 
q) 𝒙(𝒚′)𝟒 − 𝟐𝒚(𝒚′)𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 = 𝟎 
r) 𝟒𝒚(𝒚′)𝟐 − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 
s) 𝟐𝒙(𝒚′)𝟑 − 𝟔𝒚(𝒚′)𝟐 + 𝒙𝟒 = 𝟎