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ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 
 
Capítulo # 5 
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 
DE ORDEN “n” 
PRIMERA PARTE: 
Introducción: 
 Este tipo de ecuaciones contiene derivadas de orden superior las mismas 
que están elevadas a la unidad, para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza 
un operador diferencial llamado: 𝑫 =
𝒅
𝒅𝒙
 que transforma a la ecuación diferencial 
en una ecuación del tipo algebraico de grado n para la variable D. 
Una ecuación diferencial lineal de orden n presenta dos tipos de soluciones, una 
complementaria o general y otra particular, la solución total estará dada por la 
suma de ambas. La solución complementaria es la respuesta de la ecuación 
homogénea asociada a la ecuación diferencial de orden n. 
Su forma general es la siguiente: 
𝑷𝟎
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏
+ 𝑷𝟏
𝒅𝒏−𝟏𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏
+ 𝑷𝟐
𝒅𝒏−𝟐𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟐
+⋯+ 𝑷𝒏−𝟐
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑷𝒏−𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
O también: 𝑷𝟎𝒚
𝒏 + 𝑷𝟏𝒚
𝒏−𝟏 +⋯+𝑷𝒏−𝟐𝒚
′′ + 𝑷𝒏−𝟏𝒚
′ + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Sea el operador diferencial: 𝑫 =
𝒅
𝒅𝒙
 la ecuación diferencial con este operador 
tendrá la siguiente forma: 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + 𝑷𝟐𝑫
𝒏−𝟐𝒚 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟐𝑫
𝟐𝒚 + 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚+ 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) (1) 
Clasificación: 
 Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n se clasifican en: 
1. Si en la ecuación (1) los coeficientes P son constantes, la ecuación se 
denomina: Ecuación de Coeficientes Constantes. 
 
𝑃0𝐷
𝑛𝑦 + 𝑃1𝐷
𝑛−1𝑦 +⋯+ 𝑃𝑛−1𝐷𝑦 + 𝑃𝑛𝑦 = 𝑄(𝑥)con: 𝑃𝑖 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
2. Si en la ecuación (1) los coeficientes P son variables, la ecuación se 
denomina: Ecuación de Coeficientes Variables. 
 
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𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) con: 𝑃𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥) 
 
3. Si en la ecuación (1) se verifica que: Q(x) = 0 entonces, la ecuación se 
denomina: Ecuación Homogénea. 
 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + 𝑷𝟐𝑫
𝒏−𝟐𝒚 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟐𝑫
𝟐𝒚 + 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝟎 
Soluciones: 
 Para asegurar la existencia de una solución de una ecuación diferencial 
lineal de orden n se dispone del siguiente teorema: 
Teorema: Si en la forma general de este tipo de ecuaciones se cumple que: 
𝑃1(𝑥), 𝑃2(𝑥), 𝑃3(𝑥), … , 𝑃𝑛(𝑥) son funciones continuas en un intervalo cerrado: [𝑎, 𝑏]. 
Si: 𝑥0 es cualquier punto del intervalo donde: 𝑦0, 𝑦′0, 𝑦′′0, … son números 
arbitrarios, la ecuación en su forma general tiene una y solo una solución de la 
forma: y(x) sobre el intervalo completo tal que: 
𝒚(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎 , 𝒚′(𝒙𝟎) = 𝒚′𝟎 , 𝒚′′(𝒙𝟎) = 𝒚′′𝟎 , … 
Entonces, bajo las hipótesis indicadas, en cualquier punto: 𝒙𝟎 de [𝑎, 𝑏] se pueden 
predecir los valores de: y(x), y’(x), y’’(x), … existiendo una solución que toma esos 
valores en el punto dado. 
Geométricamente el teorema se puede interpretar como que la ecuación lineal 
de orden n posee una única solución en el intervalo dado que pasa por un punto 
específico (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)con pendiente 𝒚
′
𝟎
. 
La condición requerida por el teorema se asume que se cumplen en forma 
implícita. 
En la práctica para determinar las soluciones de una ecuación diferencial de 
orden n se toman las siguientes consideraciones: 
 Una función y(x) es solución de este tipo de ecuaciones si satisface 
completamente la misma. 
 
 Si y(x) es una solución de la ecuación diferencial de orden n entonces 
también lo es: C y(x) con C constante. 
 
 Si 𝒚𝟏(𝒙), 𝒚𝟐(𝒙) son soluciones, entonces también lo son la suma de ambas de 
la forma: 𝑪𝟏𝒚𝟏(𝒙) + 𝑪𝟐𝒚𝟐(𝒙) con 𝐶1 y 𝐶2 constantes. 
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Independencia lineal de las soluciones: 
Las funciones: 𝒚𝟏(𝒙), 𝒚𝟐(𝒙), 𝒚𝟑(𝒙), … , 𝒚𝒏(𝒙); se denominan linealmente 
independientes si se verifica la siguiente igualdad: 
𝑪𝟏𝒚𝟏(𝒙) + 𝑪𝟐𝒚𝟐(𝒙) +⋯+ 𝑪𝒏−𝟏𝒚𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑪𝒏𝒚𝒏(𝒙) = 𝟎 
Solamente en el caso de que: 𝑪𝟏 = 𝑪𝟐 = ⋯ = 𝑪𝒏 = 𝟎, esto significa que para 
constantes distintas de cero, la igualdad anterior no debe de cumplirse, para que 
las funciones sean linealmente independientes. 
Si: 𝒚𝟏(𝒙), 𝒚𝟐(𝒙), 𝒚𝟑(𝒙), … , 𝒚𝒏(𝒙) son soluciones y además son funciones linealmente 
independientes entre sí, entonces es solución de la ecuación diferencial es la 
siguiente expresión: 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒚𝟏(𝒙) + 𝑪𝟐𝒚𝟐(𝒙) +⋯+ 𝑪𝒏−𝟏𝒚𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑪𝒏𝒚𝒏(𝒙) 
Esta forma de colocar todas las soluciones encontradas en la forma de una suma 
se denomina también principio de Superposición. 
En la práctica toda vez que se desee plantear una suma de funciones como 
solución de una ecuación diferencial lineal de orden n, se debe verificar que las 
funciones componentes de la solución sean linealmente independientes. Para 
verificar tal condición es conveniente el uso del Wronskiano. 
Wronskiano: 
 Una condición necesaria y suficiente para que el conjunto de soluciones: 
𝒚𝟏(𝒙), 𝒚𝟐(𝒙), 𝒚𝟑(𝒙), … , 𝒚𝒏(𝒙) sea linealmente independiente es que el Wronskiano 
sea distinto de cero; siendo el Wronskiano un de terminante conformado en su 
primera fila por las funciones a analizar y sus filas posteriores las derivadas 
respectivas de dichas funciones, de la forma: 
𝑾 = 𝒅𝒆𝒕
(
 
 
𝒚𝟏 𝒚𝟐 …. 𝒚𝒏
𝒚′
𝟏
 𝒚′
𝟐
 …. 𝒚′
𝒏
𝒚′′
𝟏
 𝒚′′
𝟐
 …. 𝒚′′
𝒏
⋮
𝒚𝒏−𝟏
𝟏
 𝒚𝒏−𝟏
𝟐
 …. 𝒚𝒏−𝟏
𝒏)
 
 
≠ 𝟎 
Ejemplo 1: Dadas las siguientes funciones hallar el valor de x para que las 
mismas sean linealmente independientes. 
 
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SEGUNDA PARTE: 
ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES 
Introducción: 
 Sea una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes 
de la forma: 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + ⋯+ 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Para resolver la misma primero debemos encontrar su ecuación homogénea 
asociada, la cual nos dará la solución complementaria y luego determinaremos la 
solución particular mediante un método adecuado según sea la forma de la 
función Q(x). 
Ecuación Homogénea: 
Si Q(x) = 0 tendremos la ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial. 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝟎 con: 𝑃𝑖 = 𝐶𝑡𝑡𝑒 
(𝑷𝟎𝑫
𝒏 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟏𝑫+ 𝑷𝒏)𝒚 = 𝟎 
Si consideramos a la expresión dentro del paréntesis como F(D), en la anterior 
ecuación, con D, un operador diferencial, entonces la ecuación diferencial de 
orden n se transformará en una ecuación polinómica de grado n para D. 
𝑭(𝑫)𝒚 = 𝟎 
Como “y” es la solución de la ecuación diferencial, este no puede ser cero por lo 
cual, para que se cumpla la igualdad F(D) deberá ser cero. 
Ecuación Característica: 
 Se llama ecuación característica de una ecuación diferencial a: 
𝑭(𝑫) = 𝑷𝟎𝑫
𝒏 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏 +⋯+ 𝑷𝒏−𝟏𝑫+ 𝑷𝒏 = 𝟎 
Factorizando esta ecuación, se podrá escribir la misma de la forma: 
(𝑫 −𝒎𝟏)(𝑫 −𝒎𝟐)(𝑫 −𝒎𝟑)… . . (𝑫 −𝒎𝒏−𝟏)(𝑫 −𝒎𝒏) = 𝟎 
Donde: 𝒎𝟏,𝒎𝟐,𝒎𝟑, … ,𝒎𝒏 se denominan raíces características de la ecuación. 
Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden n, primero se debe hallar 
la solución de la ecuación homogénea asociada, para tal efecto se deben 
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considerar las raíces características de acuerdo a como se presenten, se dan 
seis casos generales: 
 Raíces reales y distintas 
 Raíces reales y múltiples 
 Raíces imaginarias puras 
 Raíces imaginarias puras repetidas 
 Raíces complejas 
 Raíces complejas repetidas 
Caso # 1: Raíces Reales y Distintas: Cuando las raíces de la ecuación 
característica son números reales diferentes entre sí, es decir: 
𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐 ≠ 𝒎𝟑 ≠ … ≠ 𝒎𝒏 con: 𝒎𝒊 ∈ ℝLa solución complementaria está dada por: 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
𝒎𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝒎𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒆
𝒎𝟑𝒙 +⋯+ 𝑪𝒏−𝟏𝒆
𝒎𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪𝒏𝒆
𝒎𝒏𝒙 
Caso # 2: Raíces Reales y Múltiples: (Repetidas “n” veces) Cuando las raíces de 
la ecuación característica son números reales iguales entre sí, es decir: 
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝒎𝟑 = … = 𝒎𝒏 = 𝒎 con: 𝒎 ∈ ℝ 
La solución complementaria está dada por: 
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
𝒎𝒙 + 𝑪𝟐𝒙𝒆
𝒎𝒙 + 𝑪𝟑𝒙
𝟐𝒆𝒎𝒙 +⋯+ 𝑪𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟐𝒆𝒎𝒙 + 𝑪𝒏𝒙
𝒏−𝟏𝒆𝒎𝒙 
Caso # 3: Raíces Imaginarias Puras: Cuando las raíces son diferentes y de la 
forma: 𝒎𝒏 = ±𝒃𝒌𝒊, con: 𝑖 = √−1 y 𝑘 = 1, 2, 3,… , 𝑛 
𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐 ≠ 𝒎𝟑 ≠ … ≠ 𝒎𝒏 con: 𝒎𝒏 ∈ ℂ 
La solución complementaria está dada por: 
𝒚 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝟏𝒙 + 𝑪𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝟐𝒙 + 𝑪𝟒𝑺𝒆𝒏𝒃𝟐𝒙 + ⋯+ 
+𝑪𝒏−𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒏−𝟏𝒙+𝑪𝒏−𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪𝒏−𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒏𝒙 + 𝑪𝒏𝑺𝒆𝒏𝒃𝒏𝒙 
Caso #4: Raíces Imaginarias Puras Repetidas: Cuando las raíces son iguales 
entre si y de la forma: 𝒎 = ±𝒃𝒊 con: 𝑖 = √−1 
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝒎𝟑 = … = 𝒎𝒏 = 𝒎 con: 𝒎 ∈ ℂ 
La solución complementaria está dada por: 
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𝒚 = 𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙 + 𝒙(𝑪𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝟒𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) + ⋯+ 
+𝒙𝒏−𝟐(𝑪𝒏−𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝒏−𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) + 𝒙
𝒏−𝟏(𝑪𝒏−𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝒏𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) 
Caso # 5: Raíces Complejas: Cuando las raíces son diferentes y de la forma: 
𝒎𝒏 = 𝒂𝒌 ± 𝒃𝒌𝒊 con: 𝑖 = √−1 y 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… , 𝒏 
𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐 ≠ 𝒎𝟑 ≠ … ≠ 𝒎𝒏 con: 𝒎𝒏 ∈ ℂ 
La solución complementaria está dada por: 
𝒚 = 𝒆𝒂𝟏𝒙(𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝟏𝒙 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝟏𝒙) + 𝒆
𝒂𝟐𝒙(𝑪𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝟐𝒙 + 𝑪𝟒𝑺𝒆𝒏𝒃𝟐𝒙) + ⋯+ 
+𝒆𝒂𝒏−𝟏𝒙(𝑪𝒏−𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒏−𝟏𝒙 + 𝑪𝒏−𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒏−𝟏𝒙) + 𝒆
𝒂𝒏𝒙(𝑪𝒏−𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒏𝒙 + 𝑪𝒏𝑺𝒆𝒏𝒃𝒏𝒙) 
Caso # 6: Raíces Complejas Repetidas: Cuando las raíces son iguales entre sí y 
de la forma: 𝑚 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 con: 𝑖 = √−1 
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 = 𝒎𝟑 = … = 𝒎𝒏 = 𝒎 con: 𝒎𝒏 ∈ ℂ 
La solución complementaria está dada por: 
𝒚 = 𝒆𝒂𝒙(𝑪𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) + 𝒆
𝒂𝒙𝒙(𝑪𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝟒𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) +⋯+ 
+𝒆𝒂𝒙𝒙𝒏−𝟐(𝑪𝒏−𝟑𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝒏−𝟐𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) + 
+𝒆𝒂𝒙𝒙𝒏−𝟏(𝑪𝒏−𝟏𝑪𝒐𝒔𝒃𝒙 + 𝑪𝒏𝑺𝒆𝒏𝒃𝒙) 
Ejemplo 2: Hallar la solución complementaria de las siguientes ecuaciones 
homogéneas: 
Solución Particular: 
La solución particular de una ecuación homogénea de coeficientes constantes se 
encuentra cuando la ecuación no está igualada a cero sino más bien a una función 
de x. Para resolver la misma se disponen de varios métodos de los cuales los más 
utilizados son los siguientes: 
 Variación de Parámetros 
 Fracciones Continuas 
 Fracciones Parciales 
 Coeficientes Indeterminados 
 Anulador 
 Métodos abreviados 
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De todos estos métodos el único general es el primero (Variación de 
Parámetros), puesto que los otros métodos son aplicables solo en ciertos casos 
es decir que presentan restricciones, indudablemente en ciertos ejercicios es 
conveniente aplicarlos por su simplicidad en cuanto a tiempo y espacio. 
Variación de Parámetros: 
Sea 𝑃0𝐷
𝑛𝑦 + 𝑃1𝐷
𝑛−1𝑦 +⋯+ 𝑃𝑛−1𝐷𝑦 + 𝑃𝑛𝑦 = 𝑄(𝑥) una ecuación diferencial de 
orden n con coeficientes constantes, con solución homogénea de la forma: 
𝑦𝑐 = 𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) +⋯+ 𝐶𝑛−1𝑓𝑛−1(𝑥) + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥) 
Su solución particular estará dada por: 
𝑦𝑝 = 𝐿1𝑓1(𝑥) + 𝐿2𝑓2(𝑥) +⋯+ 𝐿𝑛−1𝑓𝑛−1(𝑥) + 𝐿𝑛𝑓𝑛(𝑥) 
Donde 𝑳𝒊 son los parámetros a determinar, para hallar los mismos se deberá 
formar un sistema de ecuaciones lineales n x n, de la siguiente manera: la primera 
ecuación será la derivada respecto de x de la solución particular, tomando a las 
funciones como constantes y derivando solo los parámetros; para las demás 
ecuaciones se derivará la anterior, pero ahora los parámetros serán 
considerados como constantes y se derivaran las funciones; cada una de estas 
ecuaciones se igualará a cero menos la última que será igual a Q(x). 
{
 
 
 
 
 
 
𝑳′𝟏𝒇𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝟐𝒇𝟐(𝒙) +⋯+ 𝑳
′
𝒏−𝟏𝒇𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝒏𝒇𝒏(𝒙) = 𝟎
𝑳′𝟏𝒇′𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝟐𝒇′𝟐(𝒙) +⋯+ 𝑳
′
𝒏−𝟏𝒇′𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝒏𝒇′𝒏(𝒙) = 𝟎
𝑳′𝟏𝒇′′𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝟐𝒇′′𝟐(𝒙) +⋯+ 𝑳
′
𝒏−𝟏𝒇′′𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑳
′
𝒏𝒇′′𝒏(𝒙) = 𝟎
.
.
.
𝑳𝟏
′𝒇𝟏
𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑳𝟐
′𝒇𝟐
𝒏−𝟏(𝒙) + ⋯+ 𝑳𝒏−𝟏
′𝒇𝒏−𝟏
𝒏−𝟏(𝒙) + 𝑳𝒏
′𝒇𝒏
𝒏−𝟏(𝒙) = 𝑸(𝒙)
 
Al resolver el sistema las soluciones serán de la forma: 𝐿′𝑖 = 𝑔𝑖(𝑥) que se puede 
escribir como: 
𝒅𝑳𝒊
𝒅𝒙
= 𝒈𝒊(𝒙) → 𝒅𝑳𝒊 = 𝒈𝒊(𝒙)𝒅𝒙 → 𝑳𝒊 = 𝑮𝒊(𝒙) 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 
Una vez que se tienen todos los parámetros se reemplazarán los mismos en la 
solución particular para luego efectuar operaciones indicadas con el fin de 
simplificar. 
Ejemplo 3: Hallar la solución de las siguientes ecuaciones de orden n utilizando 
el método de variación de parámetros para encontrar la solución particular. 
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Coeficientes Indeterminados: Como su nombre lo indica este método consiste 
en encontrar ciertos coeficientes que se encuentran en la solución particular de 
una ecuación diferencial de orden n; dicha solución está dada por fórmulas pre – 
determinadas que se construyen mediante el análisis de la función Q(x) y todas 
las derivadas que de esta pueden obtenerse. 
Partiendo de la forma general tenemos: 
𝑷𝟎
𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏
+ 𝑷𝟏
𝒅𝒏−𝟏𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏
+ 𝑷𝟐
𝒅𝒏−𝟐𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟐
+⋯+ 𝑷𝒏−𝟐
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝑷𝒏−𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
𝑷𝟎𝑫
𝒏𝒚 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + 𝑷𝟐𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + ⋯+ 𝑷𝒏−𝟐𝑫
𝟐𝒚 + 𝑷𝒏−𝟏𝑫𝒚 + 𝑷𝒏𝒚 = 𝑸(𝒙) 
(𝑷𝟎𝑫
𝒏 + 𝑷𝟏𝑫
𝒏−𝟏 + 𝑷𝟐𝑫
𝒏−𝟏𝒚 + ⋯+ 𝑷𝒏−𝟐𝑫
𝟐 + 𝑷𝒏−𝟏𝑫+ 𝑷𝒏)𝒚 = 𝑸(𝒙) 
Entonces: 𝒚𝒑 = 𝑨𝒓𝟏(𝒙) +𝑩𝒓𝟐(𝒙) + 𝑪𝒓𝟑(𝒙) +⋯+𝑵𝒓𝒏(𝒙) 
Donde se considera que las funciones : 𝒓(𝒙) son los términos de Q(x) con sus 
derivadas, a su vez A, B, C, etc. Son coeficientes constantes que luego se deben 
determinar, reemplazando la función 𝒚𝒑 y sus derivadas en la ecuación original, 
de esta manera igualando los coeficientes correspondientes a cada potencia, 
entre ambos miembros de la igualdad, se conformará un sistema de ecuaciones. 
Algunas funciones con sus derivadas son las siguientes: 
1. Si Q(x) es un polinomio de grado n, su solución particular es otro polinomio 
del mismo grado, es decir: 
 
𝒚𝒑 = 𝑨𝒙
𝒏 + 𝑩𝒙𝒏−𝟏 + 𝑪𝒙𝒏−𝟐 +⋯+𝑴𝒙 +𝑵 
 
2. Si: 𝑸(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒆
𝒂𝒙 
 
3. Si: 𝑸(𝒙) = 𝒙𝒆𝒂𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒆
𝒂𝒙 +𝑩𝒙𝒆𝒂𝒙 
 
4. Si: 𝑸(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒙 + 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒙 
 
5. Si: 𝑸(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨 𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒙 + 𝑩 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒙 
 
6. Si: 𝑸(𝒙) = 𝒆𝒂𝒙𝑺𝒆𝒏 𝒃𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒆
𝒂𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒃𝒙 + 𝑩𝒆𝒂𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒃𝒙 
 
Casos Especiales: se consideran casos especiales los siguientes: 
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1. Si un término Q(x) es también un término de la función complementaria, 
es decir que la raíz se encuentra en Q(x) en la función de la solución 
particular debe agregarse x, lo mismo si existe multiplicidad en las raíces, 
por ejemplo: 
 
(𝑫 − 𝟏)(𝑫 − 𝟐)𝒚 = 𝒆𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒙𝒆
𝒙 +𝑩𝒆𝟐𝒙 
(𝑫 − 𝟏)𝟐(𝑫 − 𝟐)𝒚 = 𝒆𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒙
𝟐𝒆𝒙 +𝑩𝒙𝒆𝒙 + 𝑪𝒆𝟐𝒙 
 
2. Si un término Q(x) es 𝒙𝒓 también un término de la función 
complementaria, y corresponde a una raíz de orden n, en la solución 
particular debe agregarse el término 𝒙𝒓+𝒏, por ejemplo: 
 
(𝑫 − 𝟏)𝟐(𝑫 − 𝟐)𝒚 = 𝒙𝟐𝒆𝒙 ⇒ 𝒚𝒑 = 𝑨𝒙
𝟒𝒆𝒙 +𝑩𝒙𝟑𝒆𝒙 + 𝑪𝒙𝟐𝒆𝒙 + 𝑫𝒙𝒆𝒙 + 𝑬𝒆𝒙 + 𝑭𝒆𝟐𝒙 
Nota: Con algunas funciones Q(x) el método es inaplicable ya que el desarrollo 
de sus derivadas es infinito, este es el caso por ejemplo de la función logarítmica. 
Ejemplo 4Hallar la solución particular de las ecuaciones del ejemplo anterior 
utilizando el método de coeficientes indeterminados 
 
Métodos Abreviados: Como su nombre lo indica este método es el más fácil y 
rápido para encontrar la solución particular de una ecuación con coeficientes 
constantes ya que consta de fórmulas pre – determinadas basadas solo en la 
forma que tiene Q(x), su desventaja es que cada fórmula presenta una condición 
y además solo se tiene fórmulas para ciertos Q(x) y sus combinaciones. 
1. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫)
𝒆𝒂𝒙 ⇒ 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝒂)
𝒆𝒂𝒙 𝑐𝑜𝑛: 𝑭(𝒂) ≠ 𝟎 
2. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫𝟐)
𝑺𝒆𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) ⇒ 𝒚 =
𝟏
𝑭(−𝒂𝟐)
𝑺𝒆𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝑐𝑜𝑛: 𝑭(−𝒂𝟐) ≠ 𝟎 
3. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫𝟐)
𝑪𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) ⇒ 𝒚 =
𝟏
𝑭(−𝒂𝟐)
𝑪𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) 𝑐𝑜𝑛: 𝑭(−𝒂𝟐) ≠ 𝟎 
4. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫)
𝒙𝒎 ⇒ 𝒚 = (𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝑫 + 𝒂𝟐𝑫
𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏𝑫
𝒏)𝒙𝒎 𝑐𝑜𝑛: 𝒂𝟎 ≠ 𝟎 
5. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫)
𝒆𝒂𝒙𝑽(𝒙) ⇒ 𝒚 = 𝒆𝒂𝒙
𝟏
𝑭(𝑫+𝒂)
 𝑽(𝒙) 𝑐𝑜𝑛: 𝑭(𝑫 + 𝒂) ≠ 𝟎 
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6. Si: 𝒚 =
𝟏
𝑭(𝑫)
𝒙𝑽(𝒙) ⇒ 𝒚 = 𝒙
𝟏
𝑭(𝑫)
 𝑽(𝒙) −
𝑭′(𝑫)
[𝑭(𝑫)]𝟐
𝑽(𝒙) 𝑐𝑜𝑛: 𝑭(𝑫) ≠ 𝟎 
Ejemplo 5: Hallar la solución particular de las ecuaciones del ejemplo 3, 
encontrando la solución particular por métodos abreviados. 
Ejercicios: