PROBABILIDAD

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PROBABILIDAD
Explicar las diferentes maneras en que surge la probabilidad
Examinar el uso de la teoría de la probabilidad en la toma de decisiones
Desarrollar reglas para el cálculo de diferentes tipos de probabilidades
Utilizar las probabilidades para tomar en cuenta nueva información: 
Definición y uso del teorema de Bayes
Probabilidad es una ciencia que trata acerca del comportamiento de los fenómenos aleatorios (al azar).
 
Guía del curso:
Se tomará como bibliografía el libro de Bioestadística base para para el análisis de ciencias de la salud, Wayne W. Daniel 4ª| Edición Capitulo 3 Página 57. 
 
La probabilidad la hemos aplicado aún sin darnos cuenta de que es probabilidad mediante el sentido común, por ejemplo, ante situaciones tales como cruzar una calle se debe tomar una decisión y aparecen al menos dos alternativas o sucesos:
 
Suceso (A) Cruzaré la calle en este momento
Suceso (B) No cruzaré la calle en este momento
Existe incertidumbre en esta situación porque hay más de una alternativa posible, la decisión de cruzar dependerá del grado de certeza asociada con cada una de estas alternativas. Podría pasar un auto a gran velocidad o tal vez no.
 
EL CONCEPTO DE AZAR
 
Población. Conjunto completo de elementos, Muestra. Subconjunto de la población
cosas o personas que poseen alguna 
característica en común observable.
 
 Muestra aleatoria. Aquella en que sus elementos son escogidos al azar dentro de una población bajo estudio.
Características de los resultados de los experimentos
La probabilidad tiene que ver o estudiar los resultados de los experimentos (experimento desde una simple observación).
Para que los resultados de los experimentos se puedan tratar deben cumplir con las siguientes características:
Ser repetitivos esto es que se puedan reproducir bajo circunstancias similares
Ser numerables
Que se les pueda asignar frecuencia relativa.
 
De la manera como se asigna la frecuencia relativa a los resultados de los experimentos, aparecen tres enfoques de la probabilidad:
 
Enfoque clásico o a priori. Es aquel en que la frecuencia relativa se asigna a los resultados de los experimentos, antes de realizar el experimento.
 
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda, aparezca un águila (A), inmediatamente contestamos que 1 de 2 resultados esto ½ = 0.5
 
 Ejemplo 2: Obtener la probabilidad de que al tirar un dado presente la cara de cuatro puntos. P (4) = 1/6 = 0.1666 = 16.7 %.
 
	Ejemplo 3: Al seleccionar una carta de una baraja bien barajada ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea una reina? La probabilidad es P (Reina) = 4/52 = 1/13 
Sin haber tenido la moneda, el dado o la baraja de 52 cartas, físicamente, pudimos asignar la frecuencia relativa, dado que se conocen todas las posibilidades de eventos. Esto generalmente es aplicable a los juegos de azar.
 
La probabilidad de que ocurra un evento A simbólicamente se puede representar por:
 
 		
P (A) =
II. Enfoque empírico o a posteriori. Es aquel en que la frecuencia relativa se asigna a los eventos después de realizar el experimento.
	
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que en la presente clase de Estadística un estudiante vista de mezclilla? El grupo lo integran 32 estudiantes y al contar quienes visten de mezclilla se encuentra que son 28 de 32, por lo tanto  
P (M) = 28/32 = 7/8 = 0.875 = 87.5%
Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de que en esta clase un estudiante utilice lentes?
Haciendo el conteo respectivo se encuentran 8 estudiantes con lentes por lo que 
  P (L) = 8/32 = ¼ = 0.25 = 25% 
Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un estudiante de un grupo de 32 estudiantes, sea mayor de 20 años. Se hace la encuesta y resulta que 4 de 32 son mayores a 20 años, siendo la probabilidad:
		
	 P (E > 20 años) = 4/32 = 1/8 = 0.125 = 12.5 % 
II. Enfoque empírico o a posteriori. Es aquel en que la frecuencia relativa se asigna a los eventos después de realizar el experimento.
	
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que en la presente clase de Estadística un estudiante vista de mezclilla? El grupo lo integran 32 estudiantes y al contar quienes visten de mezclilla se encuentra que son 28 de 32, por lo tanto  
P (M) = 28/32 = 7/8 = 0.875 = 87.5%
Ejemp. 2: ¿Cuál es la probabilidad de que en esta clase un estudiante utilice lentes?
Haciendo el conteo respectivo se encuentran 8 estudiantes con lentes por lo que
			P (L) = 8/32 = ¼ = 0.25 = 25%
Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un estudiante de un grupo de 32 estudiantes, sea mayor de 20 años. Se hace la encuesta y resulta que 4 de 32 son mayores a 20 años, siendo la probabilidad:
			P (E > 20 años) = 4/32 = 1/8 = 0.125 = 12.5 %
Interpretación: Existe una probabilidad del 12.5% de que el estudiante elegido se mayor de 20 años. 
 
III. Enfoque subjetivo o de criterio. Es aquel en que la frecuencia relativa se asigna con base en el criterio de un experto o de un especialista.
 
 Ejemplo 1: Si el interés es conocer la probabilidad de que un paciente elegido al azar del IMSS, padezca diabetes. El especialista en el tratamiento de diabetes nos indica que es 17%, e inmediatamente consideramos que dicha cifra es la probabilidad requerida.
 
 Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de que al aplicar suficientes láminas de riego al terreno donde se cultiva mango, este frutal tropical supere la producción del año anterior?
 El agrónomo experto en fruticultura estima que se puede incrementar la producción un 25% con respecto al ciclo de producción anterior, y procedemos a considerar que la probabilidad será precisamente un 25%.
	
	Ejemplo 3. El equipo de seguridad radiológica de una planta nucleoeléctrica, considera que la probabilidad de que haya una fuga radiactiva en una planta es de 1 en un millón = 0.000001
PROPIEDADES FORMALES DE LA PROBABILIDAD
 
Las probabilidades varían entre 0 y 1. Simbólicamente 0 < P(A) < 1
1 si el evento ocurre con toda certeza.
 0 si el evento es imposible que ocurra
 
2. Expresión de la probabilidad.
Si tiramos un dado ¿Cuál es la probabilidad de que presente la cara 4?
 
a) En proporción P(C4) = 1/6
b) En decimal	 	 0.167
c) En porcentaje 	 16.7%
d) Probabilidad en contra del suceso A 
= (Núm. Total de resultados – Núm. De sucesos favorables a A)
= 6 – 1 = 5 en contra de 1
REGLA DE LA SUMA. Se emplea cuando se desea conocer la probabilidad de que ocurra uno entre varios sucesos.
 
Sucesos relacionados. Aquellos sucesos que comparten algunos resultados.
Ejemplo 1. Si se extrae una carta de una baraja bien barajada, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un Rey o una figura negra?
Rey = evento R (se tienen 4 reyes), Figura Negra = evento N (Se tienen 6 figuras negras). El total de cartas en esta baraja son 52. Por lo que puede obtenerse la probabilidad de Rey o la probabilidad de Figura Negra de la siguiente manera:
P(R) = 4/52 y P(N) = 6/52 como ambas probabilidades son favorables se suman
 
P(R o N) = P(R) + P (N) sustituyendo P(R o N) = 4/52 + 6/52 = 10/52. Esta sería la probabilidad buscada sin embargo existen 2 carta que son reyes y a la vez figura Negra
Por lo que debe restarse a la suma la probabilidad de 2 cartas que ocurren conjuntamente quedando 10/52 – 2/52 = 8/52, surge así la siguiente:
Regla de la suma. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B, es igual a la probabilidad de A, más la probabilidad de B, menos la probabilidad de su ocurrencia conjunta A y B.
 
Simbólicamente: P (A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B)
Ejemplo 2: Si se tiran dos dados honestos, ¿Cuál es la probabilidad de 
que la suma de sus caras sea un número
par o aparezca al menos un cuatro en 
alguno de los dos dados?
El espacio muestral (S) es el formado 
por todos los posibles resultados. 											
P(A=suma par) = 18/36 
P (B = al menos un cuatro)= 11/36 
P (A y B) = 5/36
P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B) = 18/36 + 11/36 -5/36 = 24/36 = 2/3 = 66.67%
 
Interpretación existe una probabilidad del 66.67% de que al tirar dos dados la suma de sus caras sea par o aparezca al menos un cuatro, en alguno de los dos dados
Ejemplo 3: Al extraer una carta de una baraja bien barajada ¿Cuál es la probabilidad 
de sacar un as o un corazón?
Datos: Existen: 4 ases; 13 corazones 
 
P(as o corazón) = P(as) + P (corazón) - P(as y corazón)
 
P(as o corazón) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0.3077 = 30.77%
Interpretación Existe una probabilidad del 30.77% de sacar un as o un corazón de 
un mazo de barajas.
Ejemplo 4: Entre 5 empleados de una compañía deciden elegir a un vocero, la elección es por sorteo, sacando de un sombrero uno de los nombres impresos. 
1. Alan 30	 2. Carlos 32 3. Diana 45 4. Paola 20 5. David 40
 Se pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que el vocero sea mujer o cuya edad esté por arriba de 35 años? 
P(mujer) = 2/5
P (mayor de 35) = 2/5
P (mujer y mayor de 35) = 1/5
Sustituyendo en la regla:
P (mujer o mayor de 35) = P (mujer) + P (mayor de 35) – P (mujer y mayor de 35)
			 		= 2/5 + 2/5 - 1/5
 			 	 = 3/5 = 0.60 = 60%
Interpretación: Existe una probabilidad del 60% de que el vocero sea una mujer o con edad mayor a 35 años.
 
Sucesos mutuamente excluyentes. Son aquellos sucesos que con su ocurrencia impiden la ocurrencia de otro suceso.
  Ahora la regla de la suma es: P(A o B) = P(A) + P (B)
 
Ejemplo 1. De la tirada de los dos dados, encuentra la probabilidad de que la suma de sus caras sea un número impar o aparezcan dos caras con el mismo resultado.
A = (1,2) (1,4)(1,6)(2,1)(2,3) … (6,1)(6,3)(6,5) = 18 impares
		B = (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)		 = 6 caras iguales
 
	P(A o B) = P(A) + P (B) = (18/36) + (6/36) = 24/36 = 2/3 = 0.6667 = 66.67% 
 
Ejemplo 2: Si se lanza una moneda, se tira un dado y se extrae una carta de una baraja, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un águila, un cuatro o una reina?
 
		P(A, C o R) = ½ + 1/6 + 4/52 = ½ + 1/6 + 1/13 = =0.7436 = 74.36%
Eventos Exhaustivos- Son aquellos que con su ocurrencia agotan todos los posibles resultados.
Ejemplo 1. Si se extrae una carta de una baraja bien barajada, ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea Roja o Negra?
Datos: Cartas rojas son 26 y negras son 26 también por lo tanto la probabilidad de escoger 
P(R o N) = P(R) + P(N) = 26/52 + 26/52 = 52/52 = 1 ó 100%
Interpretación: Existe una probabilidad del 100% de que al extraer una carta de una baraja sea Roja o Negra.
Ejemplo 2. Si se tiran dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea par o impar? 
				P(A o B) = P(par) + P(impar) = 18/36 + 18/36 = 36/36 = 1 ó 100%
Interpretación: Existe una probabilidad del 100% de que al tirar dos dados la suma de sus caras sea un número par o impar.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN. Se emplea cuando se quiere la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos simultáneamente.
Sucesos dependientes. Son aquellos que al ocurrir influyen en la ocurrencia de otro evento.
 
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN. Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran a la vez A y B, es la probabilidad de que ocurra A, multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A, o viceversa.
Simbólicamente:
		P(A y B) = P(A) P (B | A) si ocurre primero A 
				= P(B) P (A | B) si ocurre primero B
 
Tanto el término P (B | A) como P (A | B) se llaman probabilidades condicionales.
Tanto P(A) como P (B) se denominan probabilidades marginales
 
Ejemplo 1: Si se tiran dos dados, cual es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un número par y aparezca un cuatro en al menos uno de los dos dados.
 11 21 31 41 51 61			 P(A) = 18/36
 12 22 32 42 52 62			 P(B|A) = 5/18
		 13 23 33 43 53 63			 P(A y B) = P(A) P(B|A) 
 14 24 34 44 54 64			 = 18/36 x 5/18 = 5/36
		 15 25 35 45 55 65			ó 
		 16 26 36 46 56 66 			P(B y A) = P(B) P(A|B)
			 P(B)= 11/36 igual
	Suma par en rojo					P(A/B) = 5/11
 Un 4 en al menos un dado subrayado	P(B y A) = 11/36 x 5/11 = 5/36
Interpretación: Existe una probabilidad de 0.1389 ó 13.89% de al tirar dos dados la suma de sus caras sea par y aparezca un 4 en al menos uno de los dos dados.
 
Sucesos independientes. Son aquellos en que al ocurrir un evento no influye en la ocurrencia de otro evento.
Regla de la multiplicación: P(A y B) = P(A) P(B)
Ejemplo 1, La probabilidad de que un paciente se encuentre en su casa cuando lo visita un promotor de la salud es de 0.70, y estos sucesos son independientes para cada uno de los pacientes que se programaron visitar.
¿Cuál es la probabilidad de que el promotor de la salud al visitar a dos pacientes se encuentren en su casa?
Como estos sucesos son independientes, se emplea la fórmula antes señalada. 		P(A y B) = P(A) P(B) = 0.7 x 0.7 = 0.49 ó 49%
Interpretación: Existe una probabilidad del 49% de que al visitar en su casa a 2 pacientes se encuentren en su casa. 
Ejemplo 2. Si se tira un dado, se lanza una moneda y se extrae una carta de una baraja bien barajada, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un cuatro, un sol y un rey. Respectivamente? 
Entónces P(C, S y R) = P(C) P(S) P(R)
Sustituyendo = (1/6) (1/2) (4/52) = (1/6) (1/2) (1/13) 
 					 = 1/156 = 0.0064 = 0.64%
Interpretación: Existe una probabilidad del 0.64% de que aparezca un cuatro, un sol y un rey. Respectivamente.
Ejemplo 3. Suponga que 3 por ciento de una poblaci6n de adultos ha intentado suicidarse. También se sabe que 20 por ciento de esa poblaci6n vive en condiciones extremas de pobreza. Si estos dos eventos son independientes,¿cuáI es la probabilidad de que un individuo elegido aleatoriamente haya intentado suicidarse y además. viva en condiciones extremas de pobreza? 
Aplicando la fórmula:			 P(S y P) = P(S) P(P) sustituyendo
 = 0.03 x 0.20 = 0.006 ó 0.6%
Interpretación: Existe una probabilidad del 0.6% de que un adulto haya intentado suicidarse y viva en extrema pobreza.
El efecto del tipo de muestreo:
Muestreo con reemplazo (MCR) es aquel en que al seleccionar un elemento de una población se analiza y se devuelve a la población antes de elegir el siguiente elemento para conocer su probabilidad.
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar dos cartas al azar de una baraja, aparezcan dos reinas utilizando el MCR?
P(y sustituyendo
 = 4/52 x 4/52 = 1/13 x 1/13 = 1/169
Muestreo sin reemplazo (MSR) es aquel en que al seleccionar un elemento de una población se analiza y no se devuelve a la población antes de elegir el siguiente elemento para conocer su probabilidad.
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar dos cartas al azar de una baraja, aparezcan dos reinas utilizando el MSR?
P(y sustituyendo
 = 4/52 x 3/51 = 1/13 x 1/17 = 1/221 
¿Cuál probabilidad resulta ser mayor?