Clase 8

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8. Momento canónico conjugado.
Simetŕıas y teorema de Noether
Clase 8: jueves 9 de abril
Yo estoy al derecho, dado vuelta
estás vos
Sumo
En la clase anterior encontramos una estrecha relación entre tiempo y
enerǵıa: cuando el tiempo no aparece expĺıcitamente en la lagrangeana se
conserva la función hamiltoniana del sistema, la cual puede identificarse con
la enerǵıa en la mayoŕıa de los sistemas estudiados. Tanto en la definición
de H como en las ecuaciones de Lagrange, aparece la derivada parcial de la
lagrangeana respecto a las velocidades generalizadas. En esta clase daremos
un nombre especial a dicha derivada parcial, será el momento canónico con-
jugado de la coordenada generalizada correspondiente, y veremos ahora que
existe una estrecha relación entre coordenada generalizada y su momento
canónico conjugado, como antes la encontramos entre tiempo y enerǵıa.
En la última parte de la clase nos introduciremos en una de las ideas
centrales de la f́ısica teórica moderna: por cada simetŕıa continua de un sis-
tema existe una integral de movimiento, una magnitud f́ısica que se mantiene
constante en el tiempo. Esta idea está encerrada en el teorema de Noether
(1918), un resultado relativamente tard́ıo en la historia de la mecánica
clásica.
8.1. Momento canónico conjugado
Vamos a obtener integrales de movimiento, relacionadas con simetŕıas
espaciales que puede presentar el sistema. Primero definimos el momento
canónico conjugado de la coordenada generalizada j
pj =
∂L
∂q̇j
, (8.1)
cantidad que vimos aparecer en las ecuaciones de Lagrange y en la definición
de la hamiltoniana. Decimos que qj y pj forman un par de variables con-
jugadas 17. Es en el contexto del formalismo hamiltoniano, que veremos en
algunas semanas, donde los momentos canónicos pj adquieren una impor-
tancia a la par de las coordenadas generalizadas. Por ahora para nosotros
17En la mecánica cuántica las variables conjugadas son las que deben satisfacer princi-
pios de incerteza como el de Heisenberg.
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el momento canónico conjugado será, por su propia definición, una función
de las coordenadas y velocidades generalizadas. De acuerdo a lo que sea la
coordenda generalizada qj (si es una distancia, un ángulo u otra cosa), su
momento conjugado pj puede tener dimensiones de momento lineal (si q es
una longitud) o momento angular (si q corresponde a un ángulo) o bien
corresponder a otras dimensiones.
¿Por qué se llama a p momento? Veamos unos pocos ejemplos:
Ejemplo 8.1 (Part́ıcula en coordenadas cartesianas)
En el caso simple de una part́ıcula en un potencial V (r) y usando coorde-
nadas cartesianas como las generalizadas, la función lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− V (x, y, z; t)
y el momento canónico conjugado de cada coordenada es
px =
∂L
∂ẋ
= mẋ, py =
∂L
∂ẏ
= mẏ, pz =
∂L
∂ż
= mż.
Es decir, el momento canónico conjugado de cada coordenada cartesiana
corresponde a la componente del momento lineal común y corriente, p = mṙ,
en la dirección de la coordenada.
Ejemplo 8.2 (Part́ıcula en coordenadas esféricas)
Otra vez una part́ıcula en un potencial V (r) pero usando coordenadas esféri-
cas como coordenadas generalizadas (r distancia al origen, θ ángulo polar,
ϕ ángulo acimutal). La función lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ṙ2 + r2θ̇2 + r2 sin2 θϕ̇2
)
− V (r, θ, ϕ; t)
y el momento canónico conjugado de cada coordenada es
pr =
∂L
∂ṙ
= mṙ, pθ =
∂L
∂θ̇
= mr2θ̇, pϕ =
∂L
∂ϕ̇
= mr2 sin2 θϕ̇.
Teniendo en cuenta que en coordenadas esféricas
r = r êr, p = mṙ = mṙ êr +mrθ̇ êθ +mr sin θϕ̇ êϕ,
l = r ∧ p = mr2θ̇ êϕ −mr2 sin θϕ̇ êθ,
en pr reconocemos la componente radial del momento lineal, pθ corresponde
a la componente acimutal del momento angular y pϕ a la proyección en el
plano xy de la componente polar del momento angular.
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Ejemplo 8.3 (Part́ıcula cargada en un campo electromagnético)
Veamos ahora el caso de una part́ıcula cargada en un campo electromagnético
con potenciales ϕ, A, usando coordenadas cartesianas La lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− qϕ(x, y, z, t) + qṙ ·A(x, y, z, t),
por lo tanto los momentos conjugados son
px =
∂L
∂ẋ
= mẋ+ qAx, py =
∂L
∂ẏ
= mẏ + qAy, pz =
∂L
∂ż
= mż + qAz,
vectorialmente podemos escribir
p = mṙ+ qA.
El momento canónico conjugado p, además del momento lineal mecánico
= masa × velocidad, incluye un término extra debido a la presencia del
campo, qA. Se puede asociar qA con un momento lineal electromagnético
de la part́ıcula. Remarcamos que el momento ’importante’ será el canónico
conjugado y no el mecánico, ésto se aprecia mejor en la mecánica cuántica.
8.2. Coordenadas ćıclicas (o ignorables)
Llamaremos coordenada ćıclica (o ignorable) a una coordenada gener-
alizada que no aparezca expĺıcitamente en la lagrangeana. Si qk es ćıclica
entonces L ̸= L(qk). Notemos que la condición de ćıclica de una coorde-
nada depende de la lagrangeana, depende del sistema particular en el cual
trabajamos.
De manera casi trivial podemos asociar una constante de movimiento
con cada coordenada ćıclica: si L ̸= L(qk) entonces ∂L/∂qk = 0 por lo cual
la ecuación de Lagrange correspondiente a dicha coordenada se simplifica
d
dt
∂L
∂q̇k
− ∂L
∂qk
= 0 → d
dt
∂L
∂q̇k
= 0 ⇒ ∂L
∂q̇k
= cte. (8.2)
Teniendo en cuenta que la derivada parcial ∂L/∂q̇k es el momento canónico
conjugado pk, resulta entonces que si una coordenada es ćıclica su momento
canónico conjugado es una constante de movimiento
∂L
∂qk
= 0 ⇒ pk = cte. (8.3)
Notemos que la conservación de la hamiltoniana tiene cierta semejanza
con lo anterior: si el tiempo es ’ćıclico’, es decir, no aparece expĺıcitamente en
la lagrangeana, se conserva la hamiltoniana, que vendŕıa a ser algo aśı como
el ’momento canónico conjugado’ del tiempo.
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Al momento de seleccionar las coordenadas generalizadas un buen crite-
rio es elegir el conjunto {qj} con más coordenadas ćıclicas, porque a may-
or cantidad de constantes de movimiento conocidas, el problema es “más
fácil” de resolver. ¿Qué significa “más fácil”? Sabemos desde F́ısica 1 que,
mediante razonamientos de conservación de enerǵıa, momento lineal o an-
gular, algunos problemas pueden resolverse sin necesidad de resolver las
ecuaciones de movimiento; otras veces las leyes de conservación permiten
hacer un primer análisis cualitativo del movimiento, como veremos en el
problema de fuerza central entre dos cuerpos. Por otro lado, las integrales
de movimiento pueden considerarse como ecuaciones diferenciales de primer
orden (involucran coordenadas y velocidades generalizadas, pero no acel-
eraciones), las cuales en determinados sistemas pueden resolverse mediante
integración (’cuadratura’).
X
x
y
d
M
m
α
Figura 8.1: Masa m sobre un plano inclinado móvil.
Ejemplo 8.4 (Masa sobre un plano inclinado móvil)
Veamos un sistema con una coordenada ćıclica y el principio de conser-
vación que resulta de ello. Tenemos una part́ıcula de masa m moviéndose
sobre un plano inclinado móvil de masa M y abertura angular α, sin roza-
miento en ningún contacto. El sistema tiene dos grados de libertad, como
coordenadas generalizadas tomamos la posición X del extremo izquierdo del
plano inclinado y la distancia d de la part́ıcula al vértice superior del plano.
Las relaciones constitutivas y velocidades son
rM = (X, 0), rm = (X + d cosα, h− d sinα),
ṙM = (Ẋ, 0), ṙm = (Ẋ + ḋ cosα,−ḋ sinα),
Como el plano inclinado no rota, solamente tenemos su enerǵıa cinética de
traslación. A la enerǵıa potencial sólo la part́ıcula contribuye de manera no
trivial
T =
1
2
M ṙ2M +
1
2
mṙ2m =
1
2
MẊ2 +
1
2
mẊ2 +
1
2
mḋ2 +m cosαẊḋ,
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V = mg(h− d cosα).
Por lo tanto, la lagrangeana es
L =
1
2
(M +m) Ẋ2 +
1
2
mḋ2 +m cosαẊḋ−mg(h− d cosα).
Esta lagrangeana depende de las dos velocidades generalizadas, Ẋ y ḋ, de
la coordenada d, pero no depende de la coordenada X, L ̸= L(X). Por lo
tanto X es una coordenada ćıclica para estesistema y se conservará en
consecuencia su momento canónico conjugado
pX =
∂L
∂Ẋ
= (M +m) Ẋ +mḋ cosα = cte.
¿Qué es pX? Notemos que si bien X nos da información sobre la posición del
plano inclinado, también aparece en la relación constitutiva de la part́ıcula
m. Esperamos entonces que su momento conjugado sea una propiedad del
sistema y no únicamente del plano inclinado. Efectivamente, vemos ensegui-
da que pX es el momento lineal total del sistema en la dirección horizontal
pX = MẋM +mẋm = MẊ +m(Ẋ + ḋ cosα).
De F́ısica 1 sab́ıamos que esta ley de conservación vaĺıa porque no hay fuerza
neta actuando en la dirección horizontal; en el formalismo de Lagrange la
misma conservación se deduce a partir del carácter de ćıclica de la coordena-
da X. Más adelante veremos que podemos reobtenerla a partir de argumentos
de simetŕıa: si al sistema lo trasladamos ŕıgidamente en la dirección hori-
zontal no cambian las fuerzas presentes: las internas del sistema no cambian
porque la traslación fue ŕıgida, respetando las relaciones entre las partes del
sistema, y las externas no cambian (el peso) porque fue una traslación en
la dirección horizontal, sin cambiar las distancias al centro de la Tierra.
A consecuencia de esta simetŕıa de traslación horizontal veremos que debe
conservarse el momento lineal total en dicha dirección.
8.3. Teorema de Noether
En muchos casos la mejor elección de coordenadas generalizadas, la que
nos asegura que aparezca mayor cantidad de coordenadas ćıclicas, no es
tan evidente. Pareciera entonces que la determinación de las integrales de
movimiento a partir de la condición de ćıclica de las coordenadas es una
cuestión de suerte: si fuimos afortunados con la elección de las coordenadas
tendremos constantes de movimiento, si no lo fuimos nos perdemos esas leyes
de conservación. Como ejemplo consideremos el caso de una part́ıcula sujeta
a un potencial central V (|r|) en un plano: en coordenadas polares claramente
el ángulo θ será ćıclico ya que el potencial sólo depende de r, V = V (r), y se
deduce en consecuencia la conservación del momento angular, pθ = cte. Por
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otro lado, en coordenas cartesianas el potencial V = V (x, y) depende de am-
bas coordenadas, x e y, ninguna de ellas será ćıclica; uno se puede preguntar
qué pasó con la conservación de pθ. Las integrales de movimiento existen
independientemente de las coordenadas ćıclicas, una integral de movimiento
es una función de las velocidades y de las posiciones de las part́ıcula y si
es constante, lo será independientemente de qué coordenadas generalizadas
usamos.
El teorema de Noether nos permite encontrar constantes de movimiento,
sin importar qué conjunto de coordenadas generalizadas usemos, y lo hace
recurriendo a las simetŕıas del problema.
8.3.1. Transformación de simetŕıa
De manera general, decimos que un sistema tiene una dada simetŕıa cuan-
do al actuar sobre el mismo una transformación asociada a dicha simetŕıa, el
sistema permanece invariante. Pensemos en una placa cuadrada homogénea,
si la rotamos un ángulo múltiplo de 90◦ alrededor de un eje perpendicular a
la placa y que pasa por su centro, no podremos diferenciar a la placa antes
y después de la rotación. En este caso decimos que la placa tiene simetŕıa
de rotacion en ángulos múltiplos de 90◦ y la transformación de simetŕıa es
la operación de rotación.
Veamos cómo aparecen estas ideas en el formalismo lagrangeano. Con-
sideremos una familia de transformaciones puntuales que dependen contin-
uamente de un parámetro real s (por ejemplo, un ángulo de rotación) 18,
{q} → {Q = Q(q, s)}, (8.4)
con la condición
Qj(s = 0; q1, q2, · · · , qn) = qj j = 1, · · · , n, (8.5)
es decir, cuando el parámetro s vale cero la transformación puntual es la
identidad.
Recordemos de un par de clases atrás que frente a una transformación
puntual la lagrangeana transforma como lo hace cualquier función frente a
un cambio de variables,
L(q̇, q, t) → L̄(Q̇,Q, t) = L(q̇(Q̇,Q, t), q(Q, t), t), (8.6)
donde resaltábamos mediante la notación L̄ que la dependencia funcional de
la nueva lagrangeana L̄ respecto a sus variables Q̇,Q, t es distinta en general
a la dependencia de la vieja lagrangeana L respecto a sus propias variables,
q̇, q, t.
18La llamamos familia de transformaciones porque para cada valor de s tenemos una
transformación distinta.
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Diremos que la transformación (8.4) es una transformación de simetŕıa
continua 19 del sistema si la lagrangeana es invariante frente a la misma, es
decir si la función L̄ es la misma que la función L:
L̄(Q̇,Q, t) = L(Q̇,Q, t). (8.7)
Ejemplo 8.5 (Part́ıcula en campo de fuerza central)
En esta caso veremos que la simetŕıa del sistema es una simetŕıa de rotación
de ángulo arbitrario alrededor de un eje arbitrario.
Consideremos a las coordenadas cartesianas x, y, z como las general-
izadas, la función lagrangeana es
L(ẋ, ẏ, ż, x, y, z) =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− V (x2 + y2 + z2), (8.8)
donde hemos tenido en cuenta que el potencial es central y sólo depende de la
distancia al origen. Ahora hacemos una transformación puntual consistente
en un rotar el sistema de referencia un ángulo α alrededor del eje z (lo que
se llama una transformación pasiva), es decir, pasamos de las coordenadas
x, y, z a un nuevo conjunto de coordenadas cartesianas X,Y, Z mediante la
transformación: 
X = cosα x+ sinα y
Y = − sinα x+ cosα y
Z = z.
(8.9)
Notemos que esta es una transformación del tipo (8.4), donde el parámetro
s es el ángulo α. Cuando α = 0 tenemos la transformación identidad. Cal-
culamos la transformación inversa (simplemente se invierte el ángulo α)
x = cosα X − sinα Y
y = sinα X + cosα Y
z = Z,
(8.10)
derivamos para conocer la relación entre velocidades 20
ẋ = cosα Ẋ − sinα Ẏ
ẏ = sinα Ẋ + cosα Ẏ
ż = Ż,
(8.11)
y reemplazamos en la lagrangeana L (8.8) para obtener la función lagrangeana
transformada L̄ :
L̄(Ẋ, Ẏ , Ż,X, Y, Z) =
m
2
[(
cosαẊ − sinαẎ
)2
+
(
sinαẊ + cosαẎ
)2
+ Ż2
]
+
19Además de las simetŕıas continuas existen las simetŕıas discretas, en las cuales el
parámetro s toma valores de un conjunto discreto, como es el caso de la placa cuadrada
antes mencionado.
20Recordemos que α es un parámetro, no depende del tiempo, por lo tanto no se lo
deriva.
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+V
(
(cosα X − sinα Y )2 + (sinα X + cosα Y )2 + Z2
)
. (8.12)
Desarrollamos los cuadrados y encontramos que
L̄(Ẋ, Ẏ , Ż,X, Y, Z, t) =
1
2
m
(
Ẋ2 + Ẏ 2 + Ż2
)
− V (X2 + Y 2 + Z2). (8.13)
Llegamos finalmente a que ambas lagrangeanas,(8.8) y (8.13), son idénticas
en sus dependencias funcionales. Es decir, la rotación de ángulo α alrededor
del eje z es una transformación de simetŕıa de la lagrangeana. Se puede
demostrar de manera sencilla que la lagrangeana será invariante frente a
una rotación alrededor de un eje arbitario, y no sólamente alrededor del eje
z, debido al carácter central del potencial.
Resaltamos el hecho que mientras en (8.12) aparece expĺıcitamente el
ángulo α, en la expresión final (8.13) no aparece. Esta ’trivialidad’ permi-
tirá demostrar el teorema de Noether.
8.3.2. Teorema
Vamos ahora a enunciar y demostrar el teorema publicado por Emmy
Noether en 1918 21. Este resultado es uno de los más importantes de toda
la f́ısica teórica. Vale tanto para la f́ısica clásica como la cuántica, para sis-
temas de part́ıculas como para teoŕıas de campo.
Teorema: A cada transformación de simetŕıa continua de una la-
grangeana está asociada una constante de movimiento.
En la sección anterior definimos familias de transformaciones puntuales
que dependen de un único parámetro continuo s (llamadas transformaciones
uniparamétricas). Podemos generalizar esta definición de manera directa
permitiendo que la transformación dependa de dos o más parámetros con-
tinuos. En tal caso, el teorema de Noether nos dirá que por cada parámetro
continuo de la transformación de simetŕıa existeuna constante de movimien-
to.
Demostración:
Si Qj = Qj(s; q) es una transformación de simetŕıa de la lagrangeana
entonces la lagrangeana transformada
L̄(Q̇,Q, t) = L(q̇(s; Q̇,Q), q(s;Q), t) (8.14)
coincide con la original,
L̄(Q̇,Q, t) = L(Q̇,Q, t). (8.15)
21El teorema fue inicialmente enunciado en el contexto de teoŕıas de campo, por lo tanto
la demostración que daremos es una versión muy simplificada de la demostración original.
71
De las ecuaciones anteriores resulta la igualdad
L(Q̇,Q, t). = L(q̇(s; Q̇,Q), q(s;Q), t), (8.16)
la cual, cambiando de variables Q → q, puede escribirse como
L(Q̇(q̇, q, s), Q(q, s), t) = L(q̇, q, t), (8.17)
En el término de la derecha de (8.17) evidentemente no aparece el parámetro
s, ya que es la lagrangeana original antes de cualquier transformación. En
la lagrangeana de la izquierda aparece formalmente el parámetro s a través
de la transformación de simetŕıa Q = Q(s; q). Vimos en el ejemplo anterior
de la part́ıcula en un campo de fuerza central cómo esa dependencia formal
en s desaparece.
Ahora derivamos la ecuación (8.17) respecto de s, al derivar el término
de la derecha nos da cero y en el término de la izquierda usamos la regla de
la cadena, obtenemos entonces
∂L
∂s
=
n∑
j=1
[
∂L
∂Q̇j
∂Q̇j
∂s
+
∂L
∂Qj
∂Qj
∂s
]
= 0. (8.18)
Usando las ecuaciones de Lagrange (un par de clases atrás encontramos que
valen para cualquier conjunto de coordenadas generalizadas, en particular
para el conjunto {Q} cualquiera sea el valor de s)
∂L
∂Qj
=
d
dt
∂L
∂Q̇j
,
llegamos a
n∑
j=1
[
∂L
∂Q̇j
d
dt
(
∂Qj
∂s
)
+
d
dt
(
∂L
∂Q̇j
)
∂Qj
∂s
]
= 0. (8.19)
En el primer término hemos intercambiado derivación total respecto al tiem-
po con la derivación parcial respecto a s, para que quede claro que lo que
tenemos es la derivada de un producto de funciones:
d
dt
 n∑
j=1
∂L
∂Q̇j
∂Qj
∂s
 = 0. (8.20)
De la ecuación (8.20) obtenemos la conservación de la función entre corchetes,
conservación válida para cualquier s. En particular consideraremos dicha
función para s = 0, valor para el cual sólo aparecen las variables sin trans-
formar q̇, q:
I(q̇, q, t) ≡
n∑
j=1
(
∂L
∂q̇j
)
∂Qj
∂s
∣∣∣∣
s=0
= cte. (8.21)
72
En teoŕıa de campos la función I suele llamarse la carga de Noether asociada
a la transformación de simetŕıa.
Notemos que hemos reemplazado la derivada ∂L/∂Q̇j
por ∂L/∂q̇j en la expresión anterior. Veamos por qué: te-
niendo en cuenta (8.16) y usando la cancelación de los
puntos obtenemos, para un valor de s cualquiera,
∂L
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂q̇i
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂qi
∂Qj
. (8.22)
Para s infinitesimal, recordando que s = 0 corresponde a
la transformación identidad, podemos escribir la relación
entre coordenadas q y Q como
qi = Qi + sf(Q1, Q2, · · · , Qn) +O(s2),
donde f es una función que no depende de s. Simplemente
hicimos un desarrollo de Taylor alrededor de la identidad,
válido para s infinitesimal. A partir de esta transformación
infinitesimal evaluamos
∂qi
∂Qj
= δij +O(s).
Si s = 0 tenemos entonces que la derivada parcial es la
delta de Kronecker, la cual reemplazada en (8.22) nos da
∂L
∂Q̇j
∣∣∣∣∣
s=0
=
∂L
∂q̇j
. (8.23)
8.4. Aplicaciones del teorema de Noether
Coordenadas ćıclicas
Si qk es ćıclica, L ̸= L(qk), entonces una posible transformación de
simetŕıa consiste en correr qk en el número real s y dejar las demás co-
ordenadas sin modificar, ya que este corrimiento no afectará la lagrangeana:
Qj = qj + δjks j = 1, · · · , n. (8.24)
Por teorema de Noether la constante de movimiento correspondiente a esta
simetŕıa es
I(q̇, q, t) =
n∑
j=1
pj
∂Qj
∂s
∣∣∣∣
s=0
=
n∑
j=1
pjδjk = pk = cte. (8.25)
Recobramos el hecho de que a cada coordenada ćıclica le corresponde la
conservación de su momento canónico conjugado.
73
Homogeneidad del tiempo y momento lineal
Consideremos un sistema aislado de N part́ıculas con potenciales que
dependen únicamente de los vectores posición relativos entre las part́ıculas
L =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i −
1
2
N∑
i̸=j=1
V (ri − rj). (8.26)
Tomamos las coordenadas cartesianas como las generalizadas y usamos no-
tación vectorial por simplicidad.
Hagamos una traslación ŕıgida de todas las part́ıculas
ri → Ri = ri + sn̂, i = 1, · · · , N (8.27)
donde n̂ es un versor arbitrario. Como s y n̂ son parámetros independi-
entes del tiempo, las velocidades no cambian, Ṙi = ṙi. Cuando hacemos el
reemplazo en la lagrangeana anterior, encontramos de manera simple que
esta traslación ŕıgida es una transformación de simetŕıa del sistema. Esta
simetŕıa se corresponde con el hecho de que el espacio es homogéneo para
un sistema aislado, no existen puntos ’especiales’ en el espacio; en cambio,
si el sistema estuviese inmerso en un campo externo el espacio ya no seŕıa
homogéneo: una traslación ŕıgida del sistema puede modificar la intensidad
del campo que actúa sobre el mismo.
Veamos que integral de movimiento corresponde a esta simetŕıa
I(ṙ, r, t) =
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
· ∂Ri
∂s
∣∣∣∣
s=0
=
N∑
i=1
miṙi · n̂ = P · n̂, (8.28)
donde P es el momento lineal total del sistema. Vemos entonces que se con-
serva la componente de P en la dirección n̂. Si la dirección n̂ es arbitraria,
entonces se conserva el momento lineal total vectorialmente.
Homogeneidad del espacio ⇒ Invariancia traslacional del sistema
⇒ Conservación del momento lineal
Isotroṕıa del espacio y momento angular
Consideremos un sistema aislado de N part́ıculas, que interactúan a
través de un potencial central, que sólo depende de las distancias entre las
part́ıculas,
L =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i −
1
2
N∑
i̸=j
V (|ri − rj |). (8.29)
74
Proponemos una rotación ŕıgida infinitesimal de todas las part́ıculas, de
ángulo α ≪ 1 22 y con eje de rotación dado por el versor n̂ :
ri → Ri = ri + αn̂ ∧ ri, i = 1, · · · , n. (8.30)
La transformación inversa es simplemente una rotación de ángulo −α:
Ri → ri = Ri − αn̂ ∧Ri, i = 1, · · · , n. (8.31)
Calculamos cómo se transforman las velocidades,
Ṙi → ṙi = Ṙi − αn̂ ∧ Ṙi, i = 1, · · · , n. (8.32)
Veamos que la expresión de la enerǵıa cinética antes y después de la rotación
es la misma:
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i =
1
2
N∑
i=1
mi
(
Ṙi − αn̂ ∧ Ṙi
)2
= (8.33)
=
1
2
N∑
i=1
miṘ
2
i +
N∑
i=1
miα Ṙi · (n̂ ∧ Ṙi)︸ ︷︷ ︸
=0
+O(α2) =
1
2
N∑
i=1
miṘ
2
i
Por otro lado, la distancia entre part́ıculas
(ri − rj)2 = (Ri −Rj − αn̂ ∧ (Ri −Rj))2 = (8.34)
= (Ri −Rj)2 − 2α (Ri −Rj) · [n̂ ∧ (Ri −Rj)] +O(α2) = (Ri −Rj)2
también es invariante frente a la transformación, algo trivial considerando
que estamos rotando ŕıgidamente el sistema. Por lo tanto la enerǵıa potencial
tampoco cambia su forma funcional en las nuevas variables
V (|ri − rj |) = V (|Ri −Rj |). (8.35)
Como enerǵıas cinética y potencial son invariantes, lo mismo satisface la
lagrangeana y podemos aplicar el teorema de Noether. Veamos cuál es la
integral de movimiento que resulta de esta simetŕıa rotacional
I(ṙ, r, t) =
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
· ∂Ri
∂α
∣∣∣∣
α=0
=
N∑
i=1
pi · (n̂ ∧ ri) = (8.36)
= n̂ ·
N∑
i=1
ri ∧ pi = n̂ · L = cte,
22Por simplicidad consideramos rotaciones infinitesimales, el resultado a obtener se
mantiene para rotaciones generales, siendo necesario en el caso general utilizar matrices
ortogonales para representar la rotación.
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siendo L el momento angular total del sistema.
Entonces, si el sistema (la lagrangeana) es invariante frente a una rotación
alrededor del eje n̂, se conserva la componente del momento angular total en
la dirección del eje de rotación. Por supuesto que si n̂ es arbitrario, es decir,
el sistema es invariante frente a cualquier rotación, se conserva el momento
angular total vectorialmente.
Isotroṕıa del espacio ⇒ Invariancia rotacional del sistema
⇒ Conservación del momento angular
En esta clase:
Definimos el momento canónico conjugado de la coordenada gen-
eralizada qj
pj ≡
∂L
∂q̇j
,
variable que ocupará un rol central en el formalismohamiltoniano.
Si la lagrangeana no depende de la coordenada qj (qj es ćıclica)
entonces su momento canónico conjugado se conserva.
∂L
∂qj
= 0 ⇒ pj = cte.
El teorema de Noether nos dice que por cada simetŕıa continua del
sistema existe una constante de movimiento.
El concepto de simetŕıa es la base sobre la que se construye la f́ısica
teórica moderna.
Homogeneidad del espacio ⇒ Invariancia traslacional ⇒ Conser-
vación del momento lineal.
Isotroṕıa del espacio ⇒ Invariancia rotacional ⇒ Conservación del
momento angular.
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