hamilton modificado

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15. Formalismo de Hamilton
BORRADOR
Todo se ve de distinto color
Los Twist
Hasta ahora hemos estudiado el formalismo de Lagrange de la mecánica clásica.
Seguramente los problemas resueltos ya nos habrán convencido que el camino de
Lagrange para llegar a las ecuaciones de movimiento es más directo que el de las
leyes de Newton. Determinamos cuáles son los grados de libertad del sistema, los cuantificamos
mediante coordenadas generalizadas {qi}, calculamos la función fundamental del formalismo, la
función lagrangeana, en término de las coordenadas generalizadas, las velocidades generalizadas
y eventualmente el tiempo, la derivamos y ya tenemos las ecuaciones de Lagrange, un sistema
de ecuaciones diferenciales de segundo orden cuya solución nos dice cómo se mueve el sistema.
Además de las ventajas prácticas del formalismo de Lagrange, encontramos que, a través del
teorema de Noether, nos permite establecer una estrecha conexión entre simetŕıas del sistema e
integrales del movimiento.
Sin embargo, si pretendemos profundizar el entendimiento de la mecánica debemos recurrir a
nuevos formalismos, más abstractos pero de mayor alcance en cuanto a sus posibilidades teóricas.
En esta clase nos introduciremos en el formalismo de Hamilton69. En una primera mirada nos
parecerá que este formalismo está de más. No permite resolver problemas más allá que los que
pod́ıamos resolver con Lagrange, no se le ven ventajas prácticas. Sin embargo existen razones de
peso para introducirlo. Por una parte, está en la base de la formulación de la mecánica cuántica
y de la mecánica estad́ıstica. Por otra parte, es adecuado para aproximar sistemas complejos
por sistemas más simples, mediante la teoŕıa perturbativa. Finalmente, es el formalismo que se
presta a una sofisticada geometrización mediante la geometŕıa diferencial.
¿En qué consiste el formalismo de Hamilton? En una respuesta rápida podemos decir que
duplicaremos las variables fundamentales de la teoŕıa: los momentos canónicos conjugados serán
tan importantes como las coordenadas generalizadas. Recordemos que durante el desarrollo de
Lagrange encontramos conveniente definir los momentos canónicos conjugados: a la coordenada
qi le corresponde un momento canónico conjugado pi definido mediante la ecuación
pi ≡
∂L
∂q̇i
. (15.1)
Vimos que los momentos son importantes: si una coordenada dada qi es ćıclica, es decir, no
aparece expĺıcitamente en la función lagrangiana, entonces su momento canónico conjugado se
conserva. Además los momentos aparecen en la carga de Noether,
I(q̇, q, t) =
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂Q
∂s
∣
∣
∣
∣
s=0
. (15.2)
En Hamilton, los pares de variables conjugadas (qi, pi) están ı́ntimamente relacionados, la función
de Hamilton toma el rol de función fundamental, las ecuaciones de movimiento en este formalismo
–ecuaciones canónicas de Hamilton– adquieren una forma muy simétrica, el espacio de fases,
espacio base del formalismo, tiene una “buena geometŕıa”.
69También llamado formalismo canónico. Todo lo que lleva el calificativo de ”canónico” en mecánica clásica
hace referencia al formalismo de Hamilton y sus posteriores desarrollos.
152
La transición de Lagrange a Hamilton la podemos resumir entonces como el cambio
(q, q̇) → (q, p) (15.3)
L(q̇, q, t) → H(q, p, t). (15.4)
Queremos reemplazar las velocidades por los momentos, la forma matemática conveniente de
hacerlo es recurriendo a la denominada transformación de Legendre.
15.1. Transformación de Legendre
Veamos en qué consiste una transformada de Legendre y cuáles son sus ventajas. Sea A(x, y)
una función de dos variables a partir de la cual queremos definir una nueva función B(x, z),
que dependa de x y de una nueva variable z que reemplace a y. Es decir, queremos definir
una transformación A(x, y) → B(x, z). Diremos que y, z son las variables activas de la trans-
formación, mientras x es la variable pasiva. Por supuesto, existen infinitas maneras de hacer
tal cambio. Por ejemplo, podemos hacer un cambio de variable común y corriente, es decir,
elegir una función arbitraria y = g(x, z) y reemplazarla en A(x, y) para definir la nueva función
B(x, z) ≡ A(x, g(x, z)). Pero esto no es lo que nosotros haremos porque tiene ciertos inconve-
nientes. Por ejemplo, si después de haber hecho tal cambio de variables nos dan la nueva función
en término de sus variables naturales x, z, no podemos saber de cuál función es transformada
y cuál era la variable que se reemplazó. En cambio, en una transformada de Legendre dada la
función nueva B(x, z) podemos determinar cuál era la función vieja A(x, y) y cuál era la variable
y, utilizando las simetŕıas de la transformación.
Dada A(x, y) definimos la función B̃ de tres variables de la siguiente manera
B̃(x, y, z) = yz −A(x, y). (15.5)
Busquemos una relación entre x, y, z que sea apropiada. Para ello primero calculamos la variación
de la función B̃
dB̃ = ydz + zdy −
∂A
∂x
dx−
∂A
∂y
dy. (15.6)
Definimos el cambio de variable y → z como
z =
∂A(x, y)
∂y
. (15.7)
Pedimos que la función A tenga derivada segunda d
2A
dy2
no nula, para poder invertir la relación
(15.7) y despejar y = y(x, z). Ahora reemplazamos y = y(x, z) en la ecuación (15.5) y definimos
entonces la función
B(x, z) = B̃(x, y(x, z), z) = y(x, z)z −A(x, y(x, z)). (15.8)
Hicimos la elección (15.7) de cambio de variable porque con ella el diferencial de B resulta
dB = −
∂A
∂x
dx+ ydz. (15.9)
Como B es función de x y z, su diferencial se escribe también como
dB =
∂B
∂x
dx+
∂B
∂z
dz. (15.10)
153
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Comparando ambas expresiones, tenemos
∂B
∂x
= −
∂A
∂x
, (15.11)
y =
∂B
∂z
. (15.12)
Esta transformación
B(x, z) = yz −A(x, y), z =
∂A
∂y
(15.13)
es la llamada transformación de Legendre. Decimos que la función B es la función transformada
de Legendre de A.
Notemos la siguiente simetŕıa: la ecuación anterior nos dice que la variable vieja es igual a
la derivada parcial de la función nueva respecto a la variable nueva, mientras que la ecuación
(15.7) nos dice que la variable nueva es igual a la derivada parcial de la función vieja respecto a
la variable vieja. Esta propiedad nos dice que al transformar Legendre una función no se pierde
la información acerca de dónde viene la función transformado. ¿Qué queremos decir? Si tengo
la función B(x, z) y sé que es la transformada de Legendre de alguna otra función, sabemos
entonces que la variable vieja es y = ∂B
∂z
y la función vieja es A(x, y) = yz −B(x, z).
Esta simetŕıa implica una propiedad muy interesante de la transformación de Legendre: su
operación inversa coincide con la misma transformación de Legendre. Para verlo más claramente
hagamos una transformación de (x, z) → (x,w), calculando la función transformada de Legendre
de B, que llamaremos C:
C(x,w) = zw −B(x, z). (15.14)
Como la nueva variable w = ∂B(x,z)
∂z
resulta w = y, por lo tanto, reemplazando arriba tenemos
que C = A. Es decir, si volvemos a transformar una transformación de Legendre obtenemos la
función original, la operación transformación de Legendre es su propia inversa. Veamos ahora
un simple ejemplo de cómo opera la transformación de Legendre, luego veremos otro ejemplo
tomado de la termodinámica.
Ejemplo 15.1.Dada la función
A(x, y) = (1 + x2)y2 ⇒ z =
∂A
∂y
= 2(1 + x2)y ⇒ y =
z
2(1 + x2)
, (15.15)
su transformada de Legendre es
B(x, z) = yz −A(x, y) =
z2
2(1 + x2)
− (1 + x2)
z2
4(1 + x2)2
=
z2
4(1 + x2)
. (15.16)
Podemos verificar que
y =
∂B
∂z
=
z
2(1 + x2)
(15.17)
y
∂B
∂x
= −
∂A
∂x
. (15.18)
Ejemplo 15.2. Potenciales termodinámicos
En termodinámica la transformación de Legendre aparece en la definición de los potenciales
termodinámicos. Partimos de la enerǵıa interna como función de la entroṕıa y del volumen
154
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U(S, V ). A partir de U se define la enerǵıa libre de Helmholtz como función de la temperatura
y del volumen
F (T, V ) = U(S, V )− TS. (15.19)
Esta es una transformación tipo Legendre aunque, por cuestiones históricas, difiere en los signos
respecto a la que definimos antes. Sin embargo, lo importante que define una transformada de
Legendre es el producto de la nueva y la vieja variable. Para esta transformación vale
T =
∂U
∂S
, S = −
∂F
∂T
. (15.20)
Si ahora reemplazamos el volumen por la presión en la enerǵıa interna llegamos a la entalṕıa
H(S, P ) = PV + U(S, V ), (15.21)
y vale
P = −
∂U
∂V
, V =
∂H
∂P
. (15.22)
Por último, mediante una doble transformación de Legendre, donde transformamos simultánean-
te entroṕıa y volumen por temperatura y presión se obtiene la enerǵıa libre de Gibbs
G(T, P ) = U(S, V ) + PV − TS. (15.23)
Cualquiera de estos potenciales nos sirven, en principio, para describir la termodinámica de
un sistema. Sin embargo, algunos son más adecuados que otros dependiendo de cuáles son las
variables que se controlan experimentalmente. Por ejemplo, si trabajamos a presión constante,
es preferible describir el sistema con la enerǵıa libre de Gibbs o con la entalṕıa, ya que estas
dependen de la presión.
15.1.1. Interpretación geométrica de la transformada
Para dar una interpretación geométrica de la transformación de Legendre recurrimos a la
figura 15.1. Para un valor de x fijo, A es una función de y. Como z = ∂A(x,y)
∂y
, z evaluada en el
punto y = y∗ es la pendiente de la recta tangente a A que pasa por el punto (y∗, A(x, y∗)). La
ecuación de esta recta tangente es zy+b, siendo b la ordenada al origen. Como A(x, y∗) = zy∗+b,
de aqúı resulta que b = −B(x, z). Por lo tanto, geométricamente la transformada de Legendre
de una función A consiste en cambiar la coordenada y por la pendiente de la recta tangente a la
curva A(x, y) en dicho punto, y al valor de la función A(x, y) por menos la ordenada al origen
de la recta tangente, B = −b.
15.1.2. Extensión de la transformada de Legendre a más variables
La transformación de Legendre se generaliza de manera directa al caso de más variables.
Sea A(x1, · · · , xn, y1, · · · , yn) una función de las n variables pasivas xi y de las n activas yi.
Definimos las nuevas variables z mediante
zi =
∂A(x, y)
∂yi
, i = 1, · · · , n, (15.24)
y la transformada de Legendre de A como la función
B(x, z) =
n∑
i=1
yizi −A(x, y). (15.25)
155
Figura 15.1: Interpretación geométrica de la transformación de Legendre (figura tomada de Hand
y Finch).
Para poder despejar yi como función de x y z a partir de la ecuación (15.24) necesitamos que la
matriz de derivadas segundas ∂
2A
∂yi∂yj
sea definida positiva (o negativa). Una vez despejadas las
y’s las reemplazamos en B para expresarla en sus variables naturales x, z.
Una variación infinitesimal de B es, usando la definición de los z’s,
dB =
n∑
i=1
(
yidzi + zidyi −
∂A
∂xi
dxi −
∂A
∂yi
dyi
)
= (15.26)
=
n∑
i=1
(
yidzi −
∂A
∂xi
dxi
)
.
Por lo tanto, si las variables son independientes (no existen v́ınculos entre sus variaciones)
tenemos
yi =
∂B
∂zi
,
∂B
∂xi
= −
∂A
∂xi
, i = 1, · · · , n. (15.27)
15.2. Función hamiltoniana y ecuaciones canónicas de movimiento
Luego de este recorrido matemático, volvemos a la mecánica y hacemos la transformación de
Legendre de la función lagrangeana, tomando a las velocidades generalizadas como las variables
activas a transformar, y a las coordenadas como las variables pasivas. Las nuevas variables serán
las derivadas de L respecto a las velocidades, es decir, los momentos canónicos conjugados,
pi =
∂L
∂q̇i
, i = 1, · · · , n. (15.28)
A la transformada de Legendre de la lagrangiana la llamaremos la función hamiltoniana (porque
coincidirá con la hamiltoniana que vimos aparecer en el contexto del principio de conservación
cuando L no depende expĺıcitamente del tiempo):
H(q, p, t) ≡
n∑
i=1
q̇ipi − L(q̇, q, t). (15.29)
156
Por transformación de Legendre tenemos
q̇i =
∂H
∂pi
, i = 1, · · · , n. (15.30)
mientras que para las variables pasivas -las coordenadas generalizadas- vale
∂L
∂qi
= −
∂H
∂qi
, i = 1, · · · , n. (15.31)
Estas ecuaciones se pueden reescribir apelando a las de Lagrange,
∂L
∂qi
=
d
dt
∂L
∂q̇i
= ṗi, i = 1, · · · , n. (15.32)
llegando a
ṗi = −
∂H
∂qi
, i = 1, · · · , n. (15.33)
Por otro lado, el tiempo es una variable pasiva, por lo que vale
∂L
∂t
= −
∂H
∂t
. (15.34)
Las ecuaciones (15.30) y (15.33)
q̇i =
∂H
∂pi
, ṗi = −
∂H
∂qi
. (15.35)
son las llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton. Debemos considerar que en el for-
malismo de Hamilton tenemos el doble de funciones incógnitas respecto del de Lagrange: las
coordenadas generalizadas y sus momentos canónicos conjugados. Las ecuaciones canónicas de
Hamilton son entonces las ecuaciones de movimiento de este formalismo: constituyen un siste-
ma de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden que nos permite determina las 2n funciones
incógnitas, qi, pi, i = 1, · · · , n, una vez elegida las 2n condiciones iniciales correspondientes a
las coordenadas y los momentos en un tiempo inicial, {qi(t0), pi(t0)}. Si repasamos la forma de
llegar a ellas vemos que son válidas para sistemas holónomos monogénicos: en la transformación
de Legendre usamos la condición de independencia de las variables, usamos las ecuaciones de
Lagrange en su forma usual (sin términos de fuerzas generalizadas, es decir, todas las fuerzas
que no son de v́ınculo están inclúıdas en el potencial). Se dice que el formalismo de Hamilton
no es válido para sistemas disipativos, aunque en la literatura se encuentran trabajos que van
en la dirección de generalizar el formalismo para ser aplicado a tales casos.
Matemáticamente, con respecto a las ecuaciones de movimiento, lo que hicimos al pasar
de Lagrange a Hamilton es haber transformado un sistema de n ecuaciones diferenciales de
segundo orden (las de Lagrange) en uno de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden (las de
Hamilton). En cuanto a resolución de las ecuaciones de movimiento, no existe prácticamente
ventaja en Hamilton70. La ventaja de Hamilton está relacionada con la posibilidades teóricas
que abre.
La ecuación que relaciona las derivadas parciales respecto al tiempo de L y H no es una
ecuación de movimiento.
70Quizás una ventaja mı́nima es que cuando resolvemos ecuaciones diferenciales numéricamente hay que escri-
birlas en forma de sistema dinámico, como lo son las ecuaciones de Hamilton.
157
15.2.1. Notación simpléctica
Notemos la estructura simétrica que tienen las ecuaciones de Hamilton. Si definimos un “vec-
tor”de 2n componentes η, con las coordenadas como sus n primeras componentes, y momentos
canónicos las n segundas,
η =












q1
q2
· · ·
qn
p1
p2
· · ·
pn












(15.36)
entonces las ecuaciones de Hamilton se escriben de manera compacta como
η̇ = J ·
∂H
∂η
(15.37)
donde J es la matriz 2n× 2n
J =
(
0n×n In×n
−In×n 0n×n
)
(15.38)
siendo 0n×n la matriz n× n idénticamente nula, mientras In×n es la matriz identidad n× n. A
J la llamaremosla matriz de Menchón. A esta notación matricial de las ecuaciones canónicas
de Hamilton se la denomina notación simpléctica. Si se sigue avanzando en el estudio del for-
malismo canónico, recurriendo a la geometŕıa diferencial, se encuentra que lo simpléctico no es
una mera cuestión de notación. En términos geométricos se dice que la mecánica clásica tiene
una estructura simpléctica, donde lo importante que define esta estructura es la existencia
de pares de variables conjugadas qi, pi, ı́ntimamente vinculadas
71.
15.2.2. Pasos para construir la función de Hamilton
1. Elegido el conjunto de coordenadas generalizas, se calcula la función lagrangeana L(q̇, q, t).
2. Se calculan los momentos canónicos conjugados, pi =
∂L
∂q̇i
como funciones de q̇, q, pi =
pi(q̇, q, t).
3. Se escribe la función hamiltoniana dependiendo de todas las variables
H =
n∑
i=1
q̇ipi − L(q̇, q, t). (15.39)
4. Se invierten las relaciones entre momentos y velocidades generalizadas, q̇i = q̇i(q, p, t).
5. Se reemplazan estas funciones en H para obtener la función de Hamilton en término de
coordenadas y momentos, H(q, p, t). En los casos simples, la función de Hamilton coincide
con la enerǵıa del sistema, por lo tanto vale
H = T + V. (15.40)
71Algunos libros recomendables que tratan a la mecánica clásica desde la geometŕıa diferencial son el de Arnold,
el de José y Saletan, el de Fassano, el de Spivak.
158
Si sabemos cómo escribir la enerǵıa cinética en término de los momentos canónicos, pode-
mos directamente escribir la función hamiltoniana en término de sus variables naturales
q, p.
Ejemplo 15.3. Part́ıcula en un potencial central.
Nuestro sistema es una part́ıcula de masa m sujeta a una fuerza central de potencial V (r).
Considerando la simetŕıa rotacional del problema, elegimos las tres coordenadas esféricas como
coordenadas generalizadas, y escribimos su función lagrangeana
L = T − V =
1
2m
ṙ2 +
1
2mr2
θ̇2 +
1
2mr2 sin2 θ
φ̇2 − V (r). (15.41)
Tenemos tres grados de libertad, tendremos entonces tres momentos canónico conjugados:
pr =
∂L
∂ṙ
= mṙ, pθ =
∂L
∂θ̇
= mr2θ̇, pφ =
∂L
∂φ̇
= mr2 sin2 θφ̇. (15.42)
Escribimos la función hamiltoniana usando su definición como transformada de Legendre de L:
H = ṙpr + θ̇pθ + φ̇pφ − L. (15.43)
Invertimos la relación entre momentos y velocidades (15.42) para tener las velocidades genera-
lizadas en función de los momentos canónicos. En este ejemplo ese despeje es trivial:
ṙ =
pr
m
, θ̇ =
pθ
mr2
, φ̇ =
pφ
mr2 sin2 θ
. (15.44)
Reemplazamos estas expresiones en la ecuación (15.43) para llegar finalmente al hamiltoniano
escrito en sus variables naturales, q, p:
H(r, θ, φ, pr, pθ, pφ) =
p2r
2m
+
p2θ
2mr2
+
p2φ
2mr2 sin2 θ
+ V (r). (15.45)
Notemos que el tiempo no aparece expĺıcitamente en el hamiltoniano, por lo tanto se anula su
derivada parcial respecto al tiempo, esto nos dice que la función hamiltoniana es una constante
de movimiento, igual a la enerǵıa en este caso.
Ejemplo 15.4. Part́ıcula cargada en un campo electromagnético.
Suponemos a la part́ıcula libre de v́ınculos, elegimos a sus tres coordenadas cartesianas como las
coordenadas generalizadas. Su función lagrangeana es
L =
1
2m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− [qṙ ·A(r, t)− qφ(r, t)] . (15.46)
Debido a la presencia del potencial generalizado dependiente de la velocidad, sabemos que ahora
los momentos no serán los momentos mecánicos. En efecto,
px =
∂L
∂ẋ
= mẋ− qAx(r, t),
py =
∂L
∂ẏ
= mẏ − qAy(r, t), (15.47)
pz =
∂L
∂ż
= mż − qAz(r, t).
Vectorialmente tenemos
p = mṙ − qA(r, t). (15.48)
159
Definimos la hamiltoniana
H = ẋpx + ẏpy + żpz − L = ṙ · p− L. (15.49)
Despejamos velocidad en término de momentos y coordenadas
ṙ =
p
m
+
q
m
A(r, t). (15.50)
Reemplazamos en H y llegamos finalmenta a la hamiltoniana de la part́ıcula cargada en un
campo electromagnético como
H =
1
2m
(p− qA(r, t))2 + qφ(r, t). (15.51)
Esta expresión es sumamente importante, ya que tanto en sus variantes clásica como cuántica,
es la que se utiliza para estudiar las propiedades magnéticas y eléctricas de la materia.
15.3. Principio de Hamilton modificado
Anteriormente obtuvimos las ecuaciones canónicas de Hamilton a partir de la transforma-
ción de Legendre de la función lagrangiana y de las ecuaciones de Lagrange. Existe una manera
alternativa de encontrar las ecuaciones canónicas, que recurre al principio de Hamilton que ya
conocemos. Esta derivación tiene la ventaja de dejar en claro que en el formalismo de Hamilton
podemos tratar a los momentos canónicos conjugados como variables dinámicas tan fundamen-
tales como las coordenadas generalizadas.
El principio de Hamilton establece que para la trayectoria f́ısica la acción S toma un valor
estacionario cuando hacemos una variación a extremos fijos δqi(t1) = δqi(t2) = 0, es decir la
trayectoria f́ısica es un punto extremal de la acción:
δS = δ
∫ t2
t1
L(q̇(t), q(t), t)dt = 0 (15.52)
En el formalismo de Hamilton simplemente reexpresamos la acción mediante la función hamil-
toniana, dando origen a lo que llamaremos principio de Hamilton modificado. Notemos que
f́ısicamente este principio dice lo mismo que el principio de Hamilton, simplemente se escribe la
acción en término de otra función,
δS = δ
∫ t2
t1
(
n∑
i=1
q̇ipi −H(q, p, t)
)
dt = 0. (15.53)
Como sabemos de la introducción al cálculo variacional, la variación de la acción es igual a la
integral de la variación del integrando,
δS =
∫ t2
t1
δ
(
n∑
i=1
q̇ipi −H(q, p, t)
)
dt = (15.54)
=
∫ t2
t1
(
n∑
i=1
q̇iδpi +
n∑
i=1
piδq̇i − δH
)
dt =
=
n∑
i=1
∫ t2
t1
[(
q̇i −
∂H
∂pi
)
δpi + piδq̇i −
∂H
∂qi
δqi
]
dt.
160
Integramos por parte el término que tiene δq̇i,
∫ t2
t1
n∑
i=1
piδq̇idt =
n∑
i=1
piδqi
∣
∣
∣
∣
∣
t2
t1
︸ ︷︷ ︸
=0 (extremos fijos)
−
∫ t2
t1
n∑
i=1
ṗiδqidt = −
∫ t2
t1
n∑
i=1
ṗiδqidt (15.55)
Por lo tanto, el principio de Hamilton es
δS =
n∑
i=1
∫ t2
t1
[(
q̇i −
∂H
∂pi
)
δpi +
(
−ṗi −
∂H
∂q̇i
)
δqi
]
dt = 0. (15.56)
Podemos tomar dos puntos de vista diferentes respecto a esta expresión del principio de
Hamilton. El primero, que llamaremos el punto de vista matemático, es el más convencional:
sabemos queH es la transformada de Legendre de L, por lo tanto, por propiedad de transformada
de Legendre, vale q̇i =
∂H
∂pi
. Vamos a la ecuación (15.56): de lo anterior resulta que se anula el
primer paréntesis; como las variaciones δq’s son linealmente independientes (recordemos que el
formalismo de Hamilton lo definimos para sistemas holónomos) entonces se anulan tambien los
segundo paréntesis, ṗi = −
∂H
∂qi
. En resumen, rederivamos las ecuaciones canónicas de Hamilton,
q̇i =
∂H
∂pi
, ṗi = −
∂H
∂qi
, (15.57)
pero el origen de cada conjunto de ecuaciones es diferente: mientras las primeras ecuaciones,
q̇i =
∂H
∂pi
, son una consecuencia matemática de la transformación de Legendre72, el segundo
conjunto ṗi = −
∂H
∂qi
deriva del principio de Hamilton modificado. Este es un principio emṕırico,
f́ısico, no tiene origen matemático.
Independencia de coordenadas generalizadas y momentos
Ahora, regresemos a la expresión (15.56) del principio de Hamilton modificado y mirémosla
desde otro punto de vista, desde un punto de vista f́ısico: olvidémonos que existe una función
lagrangiana a partir de la cual obtuvimos la hamiltoniana. Pensemos que el problema dinámico
se plantea à la Landau de la siguiente manera:
Dado un sistema mecánico de n grados de libertad, existe una función llamada hamiltoniana
H que lo caracteriza, dependiente de 2n variables dinámicas linealmente independientes
entre ellas (las n coordenadas generalizadas y los n momentos canónicos) tal que la trayectoria
f́ısica es aquella que obedece el principio de Hamilton modificado
δS =
∫ t2
t1
(
n∑
i=1
q̇ipi −H(q, p, t)
)
dt = 0. (15.58)
Esta variación se hace imponiendo que las coordenadas estén fijas en los tiempos inicialy final,
δqi(t1) = δqi(t2) = 0.
73
Si aśı enunciamos el principio fundamental de nuestra teoŕıa cuando llegamos a la expre-
sión (15.56) tenemos que proceder de manera distinta a como lo hicimos en el punto de vista
72Podemos pensar que derivan de la simple definición de momentos conjugados.
73Notemos que no pedimos que las variaciones de los momentos canónicos se anulen en los extremos, porque no
necesitamos esa condición.
161
matemático. Como ahora momentos y coordenadas tienen variaciones linealmente independien-
tes74, para que se cumpla δS = 0, tiene que anularse cada paréntesis por separado. Esto significa
que volvemos a obtener las ecuaciones canónicas de Hamilton, pero ahora desde un punto de
vista tal que el primer conjunto de ecuaciones, q̇i =
∂H
∂pi
, también deriva de un principio f́ısico,
el principio de Hamilton modificado.
Esto implica que, desde este punto de vista f́ısico, en un caso simple donde vale p = mṙ
no debemos ver a esta ecuación como una simple definición del momento, sino que debemos
considerarla como una de las ecuaciones de movimiento del sistema, ṙ = p
m
, tan fundamental
como la otra, ṗ = −∂H
∂r
(segunda ley de Newton).
Este punto de vista f́ısico, que considera a coordenadas generalizadas y momentos canónicos
como variables dinámicas independientes, es el punto de vista fundamental del formalismo de
Hamilton, es el que permite construir un complejo andamiaje teórico. Por supuesto, que conside-
rar que los momentos son independientes de las coordenadas resulta incómodo o raro a primera
vista, sin embargo, vimos que tal hipótesis nos permite llegar a las ecuaciones canónicas de Ha-
milton, las mismas que obtuvimos siguiendo el camino más convencional de la transformación
de Legendre y las ecuaciones de Lagrange.
15.4. Principios de conservación en el formalismo de Hamilton
De la relación entre derivadas parciales respecto al tiempo
∂H
∂t
= −
∂L
∂t
, (15.59)
resulta que si el tiempo no aparece expĺıcitamente en la lagrangiana, tampoco lo hará en la
hamiltoniana. Sabemos que en tal caso, la hamiltoniana será una constante de movimiento,
∂H
∂t
= 0 ⇒ H = cte. (15.60)
Recobramos entonces el mismo resultado que vale en el formalismo de Lagrange.
De manera análoga resulta que si una coordenada es ćıclica respecto a L también lo será
respecto a H, y se conservará su momento canónico conjugado.
Finalmente, se puede demostrar el teorema de Noether en el contexto de Hamilton de manera
análoga al caso de Lagrange. Por lo tanto, si tenemos una transformación de simetŕıa deH, habrá
una integral de movimiento.
15.5. Espacio de fases
Las variables del formalismo hamiltoniano son las coordenadas generalizadas y sus momentos
canónicos conjugados. El problema dinámico de un sistema de n grados de libertad se describe
por lo tanto con 2n variables indepedientes. Geométricamente las variables (q, p definen un
espacio 2n dimensional llamado espacio de fases o espacio fásico o espacio de Gibbs75. Un sistema
mecánico en un instante dado estará representado por un punto en dicho espacio. A medida que
evoluciona el tiempo, dicho punto representativo del sistema describirá una trayectoria en el
espacio de fases, llamada la trayectoria fásica.
74Recordemos que ya nos olvidamos del formalismo de Lagrange, por lo tanto no existe una lagrangiana tal que
p = ∂L
∂q̇
.
75De manera general el espacio de fases no tiene una estructura eucĺıdea, por ejemplo, para un péndulo simple
corresponde a la superficie de un cilindro, que denotamos S1 × R, siendo S1 el ćırculo unitario. Sin embargo, a
efectos gráficos, el espacio de fases lo dibujaremos usualmente apelando a un par de ejes ortogonales sobre un
plano.
162
En la mecánica cuántica clásica el espacio de fases juega un rol esencial. Cada punto en
este espacio representa un estado del sistema: no solamente nos dice cuál es la configuración del
sistema, es decir, dónde está cada part́ıculo, sino que además nos dice cómo se está moviendo
ya que los momentos forman parte de este espacio.
Diagramas de fases. Trayectorias en el espacio de fases.
Las trayectorias en el espacio de fases no pueden cruzarse. Existe una analoǵıa con los fluidos
incompresibles. Ejemplos: oscilador armónico y péndulo simple. Movimiento de libración y de
rotación en el último caso.
Tomemos como ejemplo el péndulo simple. Su enerǵıa se conserva, por lo tanto, las trayec-
torias en el espacio de fases son las curvas
1
2ml2
p2 −mgl cos θ = E. (15.61)
La menor enerǵıa posible es Emin = −mgl, que corresponde al péndulo en su posición de equi-
librio estable θ = 0, p = 0. Para enerǵıas cercanas a la mı́nima, podemos reemplazar el coseno
por su desarrollo a segundo orden,
1
2ml2
p2 +
mgl
2
θ2 = E +mgl (15.62)
Figura 15.2: Trayectorias del péndulo simple en el espacio de fases.
15.6. Corchetes de Poisson
Dadas dos funciones del espacio de fases u(q, p, t) y v(q, p, t) (por ejemplo, pueden ser la
enerǵıa del sistema, el momento angular, las mismas coordenadas y momentos, entre otras)
definimos el corchete de Poisson entre ellas como el producto de derivadas parciales
[u, v]qp =
n∑
i=1
(
∂u
∂qi
∂v
∂pi
−
∂u
∂pi
∂v
∂qi
)
. (15.63)
163
Este corchete (o producto) de Poisson aparece en muchos lugares: por ejemplo, juega un rol esen-
cial en las transformaciones canónicas76 y en el estudio de las simetŕıas de un sistema mecánico77,
permite reescribir las ecuaciones de movimiento como veremos en un rato, es importante por la
conexión que establece entre mecánica clásica y mecánica cuántica78, está en el corazón de la
estructura simpléctica de la mecánica clásica.
15.6.1. Propiedades del corchete de Poisson
De su definición resulta de manera inmediata que el corchete de Poisson de una función
consigo misma es nulo,
[u, u]qp = 0 (15.64)
y que es antisimétrico respecto a sus argumentos,
[u, v]qp = − [v, u]qp . (15.65)
Con bastante más trabajo se demuestra que dadas tres funciones del espacio de fase u, v, w vale
la identidad de Jacobi:
[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0. (15.66)
Todas estas propiedades las comparte el corchete de Poisson con el producto vectorial en R3.
Esto no es casualidad, ambas operaciones son ejemplos de un concepto más general, el de álgebra
de Lie con su operación corchete de Lie.
15.6.2. Ecuaciones de movimiento y evolución temporal
Si queremos evaluar cómo cambia una función del espacio de fases con el tiempo, podemos
usar los corchetes de Poisson, ya que
df(q, p, t)
dt
=
n∑
i=1
(
∂f
∂qi
q̇i +
∂f
∂pi
ṗi
)
+
∂f
∂t
. (15.67)
A partir de las ecuaciones de Hamilton, sabemos que q̇i =
∂H
∂pi
y ṗi = −
∂H
∂qi
, reemplazando en la
expresión de arriba encontramos
df(q, p, t)
dt
= [f,H]qp +
∂f
∂t
. (15.68)
En particular, si la función f no depende expĺıcitamente del tiempo, entonces su derivada total
es igual a su corchete de Poisson con la función hamiltoniana. Si además f es una constante de
movimiento, entonces
df
dt
= 0 ⇒ [f,H]qp = 0. (15.69)
76Transformaciones que llevan de un conjunto de variables (q, p) a otro (Q,P ), respecto del cual las ecuaciones
de movimiento preservan su forma canónica.
77En este contexto, el corchete permite definir un álgebra de Lie que describe las simetŕıas del sistema (Caṕıtulo
9 del Goldstein).
78En mecánica cuántica el corchete de Poisson corresponde al llamado conmutador de los operadores asociados a
las magnitudes f́ısicas u y v. Una de los caminos para ir de la clásica a la cuántica, llamado cuantización canónica,
consiste principalmente en identificar los corchetes de Poisson clásicos con los conmutadores cuántico.
164
15.7. Teorema de Liouville
..........
En esta clase:
Introdujimos un nuevo formalismo de la mecánica clásica: el formalismo canónico o
de Hamilton.
En este nuevo formalismo coordenadas generalizadas y momentos canónicos son las
variables dinámicas fundamentales.
La función de Hamilton H(q, p, t)caracteriza al sistema mecánico y a partir de ella
se deducen las ecuaciones de movimiento del formalismo: las ecuaciones canónicas de
Hamilton.
El formalismo de Hamilton es el puntapié para sofisticados desarrollos ulteriores de
la mecánica clásica. Además es el lenguaje natural de la mecánica cuántica, de la
mecánica estad́ıstica y de los sistemas dinámicos.
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