TP2 - Mecanica Clasica

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Mecánica Clásica I | Mecánica Clásica y Relatividad
Trabajo Práctico 2: Multiplicadores de Lagrange. Principios de
conservación.
Explicá cada paso y justificá los planteos de cada ejercicio. El trabajo práctico es una herramienta de
comunicación entre estudiantes y docentes, intentá entonces que tu mensaje se transmita lo más claro posible.
Nunca te olvides de indicar en las figuras el sistema de referencia y las coordenadas generalizadas que usás.
1. Part́ıcula enhebrada en un aro que puede deslizar y girar libremente
Un aro azul de masa M y radio R puede deslizar sin rozamiento a lo largo del eje x horizontal fijo y girar
también libremente alrededor de su diámetro AB. Además, una part́ıcula de masa m desliza sin rozamiento
ensartada en el aro (ver figura 1). Consideremos que el mecanismo que sujeta al diámetro AB al eje x no
impide el movimiento de la part́ıcula.
a) Calculá las ecuaciones de movimiento.
b) Determiná las posibles constantes de movimiento e interpretalas f́ısicamente.
c) Calculá la reacción entre el aro y la part́ıcula.
Figura 1: Part́ıcula m enhebrada en un aro de masa M y radio R que puede deslizar
y girar a lo largo del eje x.
2. Transformación puntual de la lagrangiana
Considerá la siguiente función lagrangiana de un sistema con un único grado de libertad
L = eβt
(
1
2
mq̇2 − 1
2
kq2
)
, (1)
donde β es una constante positiva, lo mismo que m y k.
a) Encontrá la ecuación de Lagrange correspondiente e interpretala f́ısicamente ¿A qué sistema mecánico
conocido corresponde?
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b) Ahora planteá esta transformación puntual
Q = e
β
2 tq (2)
y reescrib́ı la lagrangiana en término de la nueva coordenada generalizada y su velocidad. ¿A qué
sistema mecánico corresponde? Tené en cuenta que los términos del tipo αQ̇Q, donde α es una
constante, los podés tirar de la lagrangiana ¿por qué?
c) Encontrá una constante de movimiento correspondiente a la nueva lagrangiana.
d) Interpretá la constante de movimiento del apartado anterior en término de las variables viejas.
3. Péndulo en un plano que rota
Una part́ıcula de masa m se mueve unida mediante una varilla AB ŕıgida, sin masa y de longitud l, al
punto A obligado a permanecer en todo momento sobre una circunferencia horizontal fija de radio R. Un
mecanismo en el punto A actúa obligando a que la varilla se mueva contenida en el plano vertical tangente
por A a la circunferencia. La figura 2 muestra el sistema.
a) Obtené las ecuaciones de Lagrange del péndulo.
b) Expresá las posibles integrales primeras del movimiento, e interpretalas f́ısicamente.
c) En el caso de que A se mueva con velocidad ángular ω constante expresá las posibles integrales primeras
del movimiento e interpretalas f́ısicamente.
Figura 2: El péndulo es obligado a moverse en un plano vertical tangente al punto
A, que puede moverse sobre la circunferencia de radio R.
4. Simetŕıas y constantes del movimiento
a) En el plano xy una part́ıcula de masa m está sujeta a un potencial de la forma V (x−2y). Encontrá una
transformación de simetŕıa de la función lagrangiana. ¿Cuál es la carga de Noether y qué interpretación
le podés dar?
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b) Cómo buscar una constante de movimiento cuando la lagrangiana depende del tiempo.
Un péndulo de longitud l y masa m está suspendido de un punto que está acelerado horizontalmente
según una ley dada X(t).
1) Calculá la ecuación de Lagrange del péndulo e interpretala f́ısicamente.
2) Considerá el caso de aceleración Ẍ constante. Determiná una función W (q̇, q, t) tal que
∂L
∂t
=
d
dt
W (q̇, q, t). (3)
Dedućı de este resultado que la denominada integral de Painlevé
I(q̇, q, t) = E(q̇, q, t) +W (q̇, q, t) (4)
es constante (E es la enerǵıa del péndulo). Interpretá f́ısicamente.
3) Repet́ı este problema trabajando en un sistema de referencia no inercial. En el caso de aceleración
constante del sistema no inercial demostrá que existe una integral primera del movimiento, que
es precisamente la cantidad (4.
5. Part́ıculas separadas por la mesa
Dos part́ıculas de masas m1 y m2 están unidas por un hilo inextensible y sin masa como indica la figura 3.
m1 se mueve en el plano de la mesa y m2 sólo verticalmente. En t = 0, m1 se encuentra a una distancia r0
del orificio y se le aplica una velocidad v0 perpendicular al hilo.
a) Escrib́ı las ecuaciones de Lagrange y encontrá sus integrales primeras en términos de las condiciones
iniciales.
b) Calculá la tensión del hilo.
c) Repet́ı los dos apartados anteriores suponiendo ahora que el movimiento de m2 es bidimensional.
Figura 3: Dos masas unidas por un hilo que pasa por un orificio en una mesa.
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6. Varilla cayendo
Una varilla de longitud L, de masa despreciable, tiene adherida en su extremo una part́ıcula de masa m. En
el instante inicial la varilla está en reposo, en posición vertical, con el extremo opuesto a la masa m apoyado
sobre el borde de una mesa (ver Figura 4). Si al soltarla, la varilla cae de la mesa, calculá el ángulo para el
cuál la varilla se separa de la mesa.
θ
m
L
Figura 4: Varilla cayendo
7. Disco con varilla sujeta a fuerza externa
Un disco homogéneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre una recta r, manteniéndose vertical. De
su centro cuelga, mediante una articulación, una varilla de masa m y longitud l < R. En el extremo inferior
de esta varilla actúa una fuerza horizontal, de valor f = A sin Ωt. En la figura 5 se ilustra el sistema. Actúa
la gravedad.
a) Encontrá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Analizá la existencia o no de constantes del movimiento. Si existen obtenélas e interpretalas f́ısicamente.
c) Calculá la fuerza de roce de la recta sobre el disco responsable de que el disco ruede sin deslizar.
Figura 5: Disco que rueda sin deslizar con una varilla suspendida de su centro, sobre
la que actúa una fuerza externa.
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8. Dos discos unidos por un resorte
El sistema de la figura 6 está formado por dos discos iguales, de masa M y radio R, cuyos centros A y B
están unidos mediante un resorte de constante elástica k. Los discos ruedan sin deslizar. Supongamos que
en el instante inicial el sistema parte del reposo con el resorte con su longitud natural.
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Determiná las integrales primeras de movimiento e interpretálas f́ısicamente.
c) Obtené la reacción (fuerza de roce) de la recta sobre el disco A.
Figura 6: Dos discos unidos por un resorte ruedan sin deslizar por una recta inclinada.
9. Part́ıcula deslizándose dentro de anillo unido a resortes
Una part́ıcula de masa m se desliza suavamente, bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un anillo
de radio R y masa M . El centro del anillo está fijo verticalmente. El anillo está conectado a dos resortes de
constante elástica k como muestra la figura 7. Todo el movimiento ocurre en el plano de la hoja.
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Determiná las posibles integrales primeras de movimiento. Si existen interpretálas f́ısicamente.
c) Obtené la reacción del anillo sobre la part́ıcula.
Figura 7: Part́ıcula dentro de un anillo unido a resortes.
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10. Disco rodando sobre plano inclinado móvil
Un plano inclinado de masa M y ángulo α (ver figura 8) puede deslizar sobre una superficie horizontal suave.
Sobre el plano un disco de masa m y radio R rueda sin deslizar.Todo el movimiento ocurre en un plano
vertical.
a) Calculá las ecuaciones de movimiento y resolvelas.
b) Analizá la existencia de constantes de movimiento y asocialas a simetŕıas del sistema.
c) Obtené la normal que ejerce el plano inclinado sobre el disco.
α
M
m
Figura 8: Disco rodando sin deslizar sobre un plano inclinado móvil.
11. Péndulo elástico suspendido de una part́ıcula móvil
En un plano vertical fijo se mueven dos part́ıculas iguales, de masa m, que se encuentran unidas entre śı
por un resorte de constante elástica k y longitud natural l0. La part́ıcula 1 debe permanecer sobre una recta
horizontal fija y lisa (ver figura 9).
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) En el caso de existir integrales primeras, escribilas e interpretalas f́ısicamente.
c) Calculá la reacción de la recta sobre la part́ıcula 1. ¿Puede llegar a anularse esta reacción?
Figura 9: Péndulo elástico suspendido de una part́ıcula móvil.
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12. Masas, varillas y resorte que giran
En sistema está formado por dos part́ıculas de masas M y m. La part́ıcula M se encuentra unida a un
punto fijo O a través de una varilla sin masa de longitud a. Además, esta part́ıcula está sujeta mediante
un resorte de constante elástica k y longitud natural nula a una recta vertical fija r que pasa por O. La
part́ıcula m se encuentra unida a la part́ıcula M mediante otra varilla sin masa de longitud a. Todo el
conjunto de part́ıculas, varillas y resorte se mueve en todo momento contenido en un plano vertical que gira
con velocidad angular ω constante alrededor de la recta vertical r. En la figura 10 se muestra el sistema.
a) Encontrá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Discut́ı la existencia de integrales primeras del movimiento y expresalas si existen.
c) Calculá la reacción ejercida sobre la part́ıcula m.
Figura 10: Sistema de masas, varillas y resorte que rotan uniformemente alrededor
del eje vertical.
13. Part́ıcula moviéndose dentro de un aro que rueda
Considerá una part́ıcula de masa m que se mueve en el interior de un aro de radio R y masa M , que rueda
sin deslizar, como se muestra en la figura 11.
a) Calculá las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Analizá la existencia de integrales primeras del movimiento y en tal caso interpretalas f́ısicamente.
c) Usando multiplicadores de Lagrange, encontrá bajo cuáles condiciones es posible que la part́ıcula se
separe del aro.
Figura 11: Part́ıcula en el interior de un aro que rueda.
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14. Part́ıcula enhebrada en semiaro que rota
Un semiaro de radio R gira con velocidad angular ω constante alrededor del eje z, estando obligado a
permanecer en todo momento en un plano vertical, como se muestra en la figura 12. Una part́ıcula de masa
m puede moverse sin rozamiento enhebrada en el semiaro. En el instante inicial la part́ıcula se encuentra
situada en el punto B y se lanza con una velocidad v0 relativa al semiaro.
a) Encontrá las ecuaciones de Lagrange de la part́ıcula.
b) Calculá la velocidad mı́nima v0 para que la part́ıcula alcance el punto A.
c) Determiná si existen constantes del movimiento y en tal caso interpretalas f́ısicamente.
d) Calculá la fuerza que ejerce el aro sobre la part́ıcula en un instante genérico para una v0 cualquiera.
Figura 12: Part́ıcula enhebrada en semiaro que rota uniformemente.
15. Disco con péndulo
Tenemos un disco 1 de masa M y radio R que rueda sin deslizar sobre una gúıa horizontal. Del centro del
disco 1 cuelga una barra de masa despreciable y longitud l > R, en cuyo extremo está fija la part́ıcula 2 de
masa m (ver figura 13).
a) Escrib́ı las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Determiná, si existen, las integrales de movimiento del sistema y su interpretación f́ısica.
c) Calculá la fuerza de contacto entre el disco 1 y la gúıa horizontal.
16. Despegando de la esfera
a) Una part́ıcula de masa m parte del reposo del punto más alto de una esfera fija de radio R (izquierda
de la figura 14) y desliza hacia abajo. Usando multiplicadores de Lagrange determiná para qué ángulo,
medido desde la vertical, la part́ıcula se despega de la esfera.
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Figura 13: Disco con péndulo.
b) Repet́ı el problema reemplazando la part́ıcula por una esfera de radio a que rueda sin deslizar sobre
la esfera de radio R (derecha de la figura 14).
Figura 14: (a) Una part́ıcula de masa m se desliza sobre la esfera fija de radio R;
(b) Una esfera de radio a rueda sin deslizar sobre la esfera fija de radio R.
17. Sistema de discos y resorte
Considerá el sistema de la figura 15. Una varilla de longitud l constante une a un disco A de masa despreciable
y a otro disco B de masa M y radio R. El disco A solo puede moverse en la dirección horizontal, mientras
B solo en la vertical. El resorte tiene constante elástica k y longitud natural nula.
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Analizá la existencia de integrales primeras del movimiento. Si existen obtenélas e interpretalas
f́ısicamente.
c) Calculá la reacción que mantiene al disco B en el eje vertical.
18. Otro sistema más de una part́ıcula en un aro
Una part́ıcula de masa m está enhebrada a un aro circular liso de radio R y masa M sobre el que puede
deslizar libremente. A su vez el aro se mueve en un plano vertical, girando libremente alrededor de un punto
fijo O de su peŕımetro.
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Figura 15: Sistemas de discos: A tiene masa despreciable, solo se puede mover
horizontalmente; B tiene masa M y radio R, solo puede moverse verticalmente. .
a) Obtené las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Analizá la existencia de integrales primeras del movimiento. Si existen obtenélas e interpretalas
f́ısicamente.
c) Considerá ahora que la velocidad de rotación del aro alrededor de O es ω constante. Volvé a plantear
los dos apartados anteriores.
d) Para el último caso, calculá la reacción del aro sobre la part́ıcula.
Figura 16: Otra part́ıcula más enhebrada en un aro liso .
19. Part́ıcula deslizando sobre varilla que gira
Una varilla AB de masa m y longitud total l se mueve en un plano vertical de forma que el extremo A
desliza sobre la vertical y el extremo B desliza sobre una recta horizontal. Aśımismo, una part́ıcula de masa
m puede deslizar libremente sobre la varilla (ver figura 17). No existe rozamiento entre ninguna de las partes
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móviles.
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema.
b) Analizá la existencia de integrales primeras del movimiento. Si existen obtenélas e interpretalas
f́ısicamente.
c) Si θ̇ = ω constante, calculá la reacción de la varilla sobre la part́ıcula suponiendo que el sistema parte
del reposo formando un ángulo θ0, con la part́ıcula m en el extremo A.
Figura 17: La part́ıcula de masa m desliza sobre la varilla.
20. Rueda con resorte
En la figura 18 se muestra un disco homogéneo de radio r y masa M, unido en su eje a un resorte de
constante elástica k, y longitud de reposo l0, que reudea sin deslizar. El momento de inercia de la rueda
respecto a su eje de simetŕıa es I = Mr2/2.
a) Obtené las ecuaciones de movimiento del disco.
b) Analizás las constantes del movimiento. Si existen escribilas e interpretalas f́ısicamente.
c) Obtene la fuerza de roce del piso con la rueda en función de la posición.
Figura 18: Rueda con resorte.
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21. Part́ıcula en un aro que giraalrededor de un eje excéntrico
Una part́ıcula de masa m es libre de moverse a lo largo de un alambre circular de radio R y masa despreciable
sobre un plano horizontal. El alambre es forzado a rotar con una velocidad angular constante Ω alrededor
de un eje perpendicular al plano, separado una distancia l del eje del ćırculo (ver figura 19).
a) Las constantes de movimiento si existen.
b) La fuerza de reacción del alambre sobre la part́ıcula.
R
l
m
Ω
Figura 19: Part́ıcula m sobre un aro que gira alrededor de un eje excéntrico.
22. Part́ıcula en la superficie de un cilindro
Una part́ıcula de masa m está restringida a moverse sobre la superficie de un cilindro definida por la ecuación
x2 + y2 = R2, como se muestra en la Fig. 20. Sobre la part́ıcula actúa una fuerza dirigida hacia el origen
y proporcional a la distancia de la part́ıcula al origen (es decir, una fuerza central), de la forma F = −kr,
donde k es una constante positiva. No hay gravedad.
a) Encontrá las ecuaciones de Lagrange del sistema y describ́ı cómo se mueve la part́ıcula.
b) Evaluá cuáles son las integrales de movimiento del sistema.
c) Calculá la fuerza de v́ınculo que obliga a la part́ıcula a permanecer sobre la superficie del cilindro.
23. Dos masas unidas ŕıgidamente con restricciones en sus velocidades
Un sistema está formado por dos masas m iguales unidas por una varilla ŕıgida sin masa de longitud l,
que se puede mover solamente sobre un plano horizontal. Cada masa está apoyada sobre el plano mediante
un mecanismo (denominado “cuchillo”, piensen, por ejemplo, que las masas representan un par de esqúıes)
que impide totalmente el desplazamiento en la dirección de la varilla, quedando libre el movimiento en la
dirección normal. En la figura 21 se ilustra el sistema.
a) Calculá las ecuaciones de Lagrange del sistema mediante el método de multiplicadores de Lagrange.
b) ¿Cuál es el significado f́ısico del o de los multiplicadores de Lagrange?
c) Analizá los principios de conservación de este sistema.
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Figura 20: Part́ıcula sobre la superficie de un cilindro.
Figura 21: Dos masas unidas ŕıgidamente, que solo pueden desplazarse en la dirección
normal a la varilla.
Preguntas
Cuando respondas a estas preguntas justificá siempre tu respuesta, sin ahorrar palabras, y si podés introdućı
algún ejemplo que sirva para ilustrarla.
Antes de pasar a las preguntas particulares, un par de preguntas para todo el mundo:
a) ¿Por qué a las constantes del movimiento se las llama también “integrales primeras del movimiento”?
b) ¿Por qué usamos la notación L̄ al aplicar una transformación puntual q → Q a la función lagrangiana L?
1. En un cálculo con multiplicadores de Lagrange te quedó λ como función de q̈, q̇, q. Vos querés escribir
λ solamente en término de q. ¿Es posible obtener siempre una expresión de λ donde no aparezcan las
aceleraciones? Justificá tu respuesta usando argumentos f́ısicos.
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2. En el problema 2 de la Gúıa Práctica de multiplicadores de Lagrange estudiamos el problema de una varilla
apoyada sobre una superficie. Encontramos que bajo ciertas condiciones la varilla se puede separar del piso.
¿Qué ocurre una vez que la varilla se separa del piso? ¿Cómo seŕıa el movimiento? ¿Qué necesitaŕıas conocer
para poder calcular ese movimiento? ¿En qué sentido este problema es no holónomo?
3. En “clases” vimos que la fuerza de Lorentz qv ∧B puede incorporarse al formalismo de Lagrange mediante
un potencial generalizado. ¿En qué otro contexto de la mecánica aparece una fuerza que involucra a la
velocidad y es formalmente muy parecida a la de Lorentz? ¿Podŕıas encontrar en algún caso simple un
potencial generalizado asociado a dicha fuerza y para qué lo usaŕıas?
4. En el teorema de Noether ¿qué significa el requerimiento de que la transformación de simetŕıa sea continua?
¿Por qué es necesario ese requisito? ¿Qué ejemplos se te ocurren de simetŕıas no continuas?
5. Supongamos que tenemos un sistema mecánico de dos grados de libertad, a los que asociamos las coordenadas
generalizadas x e y, y que
L = mẋẏ − kxy (5)
es su función de Lagrange. Calculá las ecuaciones de movimiento que se obtienen a partir de L. ¿A qué sistema
f́ısico corresponden estas ecuaciones de movimiento? Explicá porqué es correcto describir ese sistema f́ısico
con la lagrangiana (5). El término mẋẏ, ¿puede ser una enerǵıa cinética? Justificá tu respuesta.
6. Considerá una part́ıcula cargada en un campo electromagnéticos cuyos potenciales satisfacen
φ = φ(x2 + y2, z), A = A(x2 + y2, z)ẑ. (6)
¿Cuáles constantes de movimiento tiene este sistema? Justificá mediante argumentos de simetŕıa.
7. Si calculaste las ecuaciones de Lagrange respecto a un sistema inercial S, ¿qué transformación usaŕıas para
obtener las ecuaciones de Lagrange respecto a otro sistema inercial S′? ¿Cómo cambiaŕıan las ecuaciones de
Lagrange?
8. ¿Qué pasa con la función hamiltoniana cuando se hace una transformación de gauge de la función
lagrangiana? ¿Bajo cuáles condiciones la hamiltoniana no cambia?
9. Expresado en lenguaje moderno Newton, en sus Principia, nos dice que el espacio absoluto es homogéneo e
isótropo. Sin embargo cuando vimos el teorema de Noether y su relación con los principios de conservación
de los momentos lineal y angular, dećıamos que a veces el espacio puede no ser homogéneo y/o isótropo.
¿Qué significa ésto? Menciona ejemplos de sistemas f́ısicos para ilustrar tus argumentos.
10. Tenés una lagrangiana que se descompone de esta forma:
L(q̇, q, t) = G(q̇, q, t) + f(t). (7)
¿Por qué razón podés “tirar” la función f sin afectar en nada a las ecuaciones de movimiento? Recordá
algún ejemplo de lagrangiana que se escriba de esa forma.
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11. Luego de haber estudiado el teorema de Noether, ¿cómo relacionaŕıas la transformación de Galileo de F́ısica
I con propiedades de simetŕıa de un sistema mecánico?
12. En una transformación de simetŕıa pedimos que la dependencia funcional de la nueva lagrangiana L̄ con
respecto a sus argumentos (Q̇,Q, t) sea idéntica a la dependencia funcional de la antigua lagrangiana
L respecto a sus argumentos (q̇, q, t). Por otra parte, sabemos que una transformación de gauge de una
lagrangiana no cambia las ecuaciones de movimiento. ¿Cómo podŕıas generalizar el requerimiento L̄ = L
para una transformación de simetŕıa? ¿Cómo seŕıa entonces la carga de Noether?
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