TP3 - Mecanica Clasica

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Licenciatura en F́ısica | Profesorado en F́ısica
Mecánica Clásica I | Mecánica Clásica y Relatividad
Trabajo Práctico 3: Potenciales efectivo. Fuerzas centrales.
Dispersión.
Explicá cada paso y justificá los planteos de cada ejercicio. El trabajo práctico es una herramienta de
comunicación entre estudiantes y docentes, intentá entonces que tu mensaje se transmita lo más claro posible.
El problema y la pregunta que siguen son para todo el mundo
a) Sección eficaz total de captura de un potencial ∝ r−4
Se puede demostrar que cuando una part́ıcula se acerca al centro de fuerzas caracterizado por el potencial
central V (r) = −k/r4, con k > 0, queda atrapada en el mismo. Encontrá la sección eficaz total de captura
de este potencial central para part́ıculas de masa m que vienen del infinito con una velocidad inicial v∞.
b) Explicá cómo Rutherford llegó a la conclusión que la carga positiva de un átomo estaba concentrada dentro
de una pequeña región de dimensión del orden de 10−14 m. ¿Qué argumento podés usar para determinar el
orden de magnitud de la dimensión del núcleo?
1. Part́ıcula en un paraboloide de revolución
Una part́ıcula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie de un paraboloide de revolución
cuya ecuación en coordenadas ciĺındricas es z = r
2
2d , siendo d constante (ver figura 1).
a) Encontrá la ecuación de movimiento para la coordenada generalizada r en término de r y sus derivadas
únicamente.
b) Analizá cualitativamente el movimiento de la part́ıcula usando el concepto de potencial efectivo.
c) Demostrá que todas las órbitas circulares tienen la misma velocidad angular de precesión y expresala
en término de g y d. ¿Cuáles radios son posibles para las órbitas circulares?
d) Estudiá el caso de pequeñas desviaciones radiales respecto a órbitas circulares. Analizando la ecuación
de movimiento del apartado (a), ¿es suficiente el potencial efectivo para determinar las pequeñas
desviaciones? Calculá el cociente entre el peŕıodo de estas oscilaciones y el peŕıodo de precesión.
¿Cómo depende este cociente con el radio de la órbita circular?
2. Dependencia del peŕıodo con la enerǵıa para un sistema unidimensional
Considerá un sistema mecánico de un grado de libertad sujeto al potencial V (q) = αq2n, donde α es una
constante positiva y n es un número natural.
a) Argumentá “con los dedos” porqué el movimiento del sistema resulta periódico.
b) Expresá al peŕıodo τ como una integral sobre la coordenada generalizada q.
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Figura 1: (Problema 1) Una part́ıcula de masa m se mueve sobre la superficie interior
de este paraboloide de revolución.
c) Usando dicha integral, encontrá cómo depende el peŕıodo de la enerǵıa E del sistema.
d) Analizá el caso n = 2 y el ĺımite n → ∞.
3. Carga en campos eléctrico y magnético
Una part́ıcula de masa m y carga q se mueve en el campo eléctrico producido por una carga puntual Q en el
origen y en un campo magnético uniforme B = Bêz, como se muestra en la figura 2. La part́ıcula se mueve
solamente en el plano xy. Los potenciales escalar y vectorial son
φ =
Q
4πε0r
, A =
1
2
B ∧ r. (1)
a) Encontrá dos constantes de movimiento de este sistema e interpretalas f́ısicamente.
b) Calculá el potencial efectivo para el movimiento radial y analizá cualitativamente el movimiento de la
carga. Considerá las diferentes formas que puede tomar el potencial efectivo de acuerdo a los valores
de Q y B.
c) Cuando sean posibles las órbitas circulares, encontrá la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor
de las mismas en término de q,Q,m,B y el radio r0 de la órbita circular.
4. Transferencias entre órbitas en un potencial kepleriano
Una part́ıcula de masa m en un potencial central kepleriano V (r) = −k/r, donde k > 0.
a) Suponé que la part́ıcula está en una órbita parabólica. Se aplica un impulso sobre la part́ıcula cuando
está en el periápside para llevar a la part́ıcula a una órbita circular. Encontrá la enerǵıa y el momento
2
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Figura 2: (Problema 3) Carga puntual q moviéndose en el plano xy. La carga Q está
fija en el origen, el campo magnético es uniforme.
angular de la órbita circular en término de la enerǵıa y del momento angular de la órbita parabólica,
y caracterizá completamente el impulso requerido. Bosquejá un diagrama de potencial efectivo para
mostrar la transición entre las dos órbitas.
b) Suponé que la part́ıcula está inicialmente en una órbita eĺıptica. Se aplica un impulso en su apoápside
θ = π/2 para llevar la part́ıcula a una órbita circular. Encontrá la enerǵıa y el momento angular de la
órbita circular en término de la enerǵıa y del momento angular de la órbita parabólica, y caracterizá
completamente el impulso requerido. Bosquejá un diagrama de potencial efectivo para mostrar la
transición entre las dos órbitas.
5. Part́ıcula en un embudo ciĺındrico
Una part́ıcula de masa m se mueve sin rozamiento, bajo el efecto de la gravedad, en la superficie de un
embudo ciĺındrico definido por la ecuación en coordenadas ciĺındricas
z = −
a2
r
, (2)
donde a es una constante. En la figura 3 se ilustra el sistema.
a) Usando coordenadas ciĺındricas, derivá la ecuación de movimiento para la coordenada r en término de
r y de sus derivadas solamente.
b) ¿Cuál es el radio r0 de una órbita circular con momento angular l?
c) Siguiendo los pasos que usamos para derivar la ecuación de la órbita de Binet en el caso de un potencial
central, derivá la ecuación de la órbita en término de u = 1/r. Aviso: este cálculo puede ser bastante
tedioso, pero se llega a una expresión no tan complicada.
d) Usá la ecuación del apartado anterior para determinar la precesión del periápside de la órbita. Para
ello tenés que proponer una solución de la forma u = u0 + η, donde u0 = 1/r0 y η es una función
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mucho menor a u0.
Figura 3: Part́ıcula que se mueve bajo el efecto de la gravedad en un embudo cuya
ecuación en coordenadas ciĺındricas es z = −a
2
r .
6. Fuerza restauradora ∝ qn
Un cierto sistema mecánico con un grado de libertad tiene la ecuación de movimiento
q̈ = −q3. (3)
Supongamos que la máxima amplitud del oscilador vale q0. Encontrá una expresión para el tiempo que
tarda el sistema en ir desde q = 0 hasta q = q0. Demostrá que ese tiempo es inversamente proporcional a
q0. Encontrá el coeficiente A en la fórmula T = A/q0 por medios numéricos o de otra forma. Generalizá este
resultado para el caso de ecuación de movimiento
q̈ = −qn. (4)
7. Potencial armónico con “longitud natural” no nula
Considerá una part́ıcula de masa m y momento angular l en el potencial central correspondiente a un resorte
isótropo con longitud natural a no nula
V (r) =
1
2
k (r − a)
2
. (5)
a) Hacé un análisis cualitativo del movimiento usando el potencial efectivo.
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b) Encontrá la condición que relaciona al radio r0 de las órbitas circulares y las cantidades dadas. Sin
resolver esta condición para r0, determiná si es posible que r0 sea menor a a. Justificá f́ısicamente tu
respuesta (puede ayudar a apelar a la mecánica relativa).
c) Para órbitas casi circulares encontrá la expresión del peŕıodo de tiempo entre sucesivos máximos de
la distancia radial para a/r0 ≪ 1, expresando tu respuesta en primer orden en a/r0 (con l eliminado
de la respuesta). Usá este resultado para encontrar el cambio angular entre sucesivos máximos de la
distancia radial en el ĺımite a/r0 → 0 y chequeá que las órbitas son cerradasen ese ĺımite.
8. Órbita de transferencia de Hohmann
La transferencia de Hohmann es una técnica que se usa para cambiar desde una órbita de Kepler a otra
usando el encendido de un cohete durante un breve lapso, a lo largo de la dirección de movimiento en el
periápside o apoápside de una órbita (ver figura 4). Un satélite está en una órbita circular de radio R1 y
se lo quiere mover a una órbita circular de radio R2 > R1. Esto puede lograrse usando dos encendidos de
un cohete, uno que pone al satélite en una órbita de transferencia con puntos de retorno r1 y r2, y otro
encendido que pone al satélite en la órbita circular de radio r2 a partir de la órbita de transferencia. Para
cada transferencia de órbita, calculá los cambios necesarios en la enerǵıa cinética y velocidad del satélite
para realizar la transferencia.
Figura 4: Procedimiento de transferencia de Hohmann.
9. Polvo interplanetario y precesión del perihelio de Mercurio
A fines del siglo XIX se entend́ıa perfectamente el movimiento de Mercurio alrededor del Sol, excepto por una
pequeña precesión de su perihelio de 43”/siglo. Uno de los intentos de explicación fue analizar el efecto de
una densidad uniforme de polvo sobre la precesión del perihelio del planeta. Este problema intenta calcular
qué valor de densidad de polvo permitiŕıa entender esta precesión.
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a) Mostrá que el efecto de una distribución uniforme de polvo de densidad ρ alrededor del Sol es agregar a
la atracción gravitatoria del Sol sobre un planeta de masam una fuerza atractiva central fp(r) = −mCr
donde C = 4π3 ρG, siendo G la constante universal gravitatoria.
b) Encontrá la frecuencia angular de una órbita circular de radio r0 y encontrá la frecuencia angular de
pequeñas oscilaciones radiales. Demostrá que ωrot 6= ωrad y por lo tanto la órbita en general no será
cerrada.
c) Si fp es mucho menor que la fuerza gravitatoria, una órbita casi circular puede ser aproximada por una
elipse, cuyo semieje mayor precesa con velocidad angular ωp = 2πρ
√
Gr3
0
Msol
. ¿El eje precesa en la misma
dirección que la rotación ωrot?¿Qué densidad ρ es necesaria para causar la precesión de 43”/siglo de
Mercurio?
MSol = 2× 10
30kgs
r0 = 58× 10
6kms
G = 6,67× 10−11N
m2
kg
10. Dos masas acercándose
Dos part́ıculas de masas m1 y m2 vienen del infinito con velocidades v1 y v2 y se acercan entre śı de
forma tal que si no hubiese interacción entre ellas pasaŕıan una de otra a una distancia d, como se muestra
en la figura 5. Usando únicamente las leyes de conservación de la enerǵıa y del momento angular calculá
la distancia de mayor cercańıa entre ambas part́ıculas si se mueven bajo la mutua atracción gravitatoria.
Expresá el resultado en término de la distancia d, las velocidades v1, v2 y las masas m1 y m2. Analizá qué
pasa en los ĺımites de velocidad relativa inicial grande y pequeña.
Figura 5: (Problema 10) Dos masas se acercan con velocidades v1 y v2.
11. Potencial tipo Kepler “corrido” en a
Consideremos una part́ıcula de masa m que se mueve en el potencial central
V (r) = −
k
r − a
, (6)
donde k y a son constantes positivas. Sea l el momento angular de la part́ıcula.
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a) ¿Cómo podemos caracterizar la fuerza central asociada a este potencial? ¿Es atractiva o repulsiva o
depende de la distancia al centro de fuerza?
b) Encontrá la ecuación de movimiento de r.
c) Derivá la ecuación algebraica para los posibles valores de radios r0 de órbitas circulares (no es necesario
resolverla).
d) Considerá una pequeña desviación respecto a la órbita circular. Encontrá la ecuación diferencial lineal
para las pequeñas desviaciones, escrita en término de r0, a y k (sin l). Usá esta ecuación para encontrar
para qué radios r0 las órbitas circulares son estables.
e) Usá métodos gráficos para demostrar que la ecuación del apartado (b) para la órbita circular tiene una
o tres soluciones de acuerdo al valor de l2/mak.
12. Carga en el campo magnético de un dipolo puntual
Hacé una descripción cualitativa (usando el concepto de potencial efectivo y analizando leyes de conservación)
del movimiento y la forma de la órbita de una part́ıcula cargada que se mueve en el plano xy, bajo la acción
de un dipolo magnético ~M = Mêz localizado en el origen de dicho plano. Tomá el potencial vector como
A =
µ0
4π
~M∧ r
r3
, (7)
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vaćıo.
13. Órbitas casi circulares
Una part́ıcula de masa m se mueve bajo el campo de fuerza central
F = −m
(
γe−εr/a
r2
)
r̂ (8)
donde γ, a y ε son constantes positivas.
a) Encontrá el ángulo apsidal (desplazamiento angular entre dos ápsides consecutivos, siendo los ápsides
los puntos de la órbita de mayor y menor distancia al centro de fuerza) para una órbita casi circular
de radio a.
Ayuda: Para resolver el caso de órbitas que se apartan muy poco de una órbita circular de radio a,
conviene partir de la ecuación de la órbita y escribir la variable u como u(θ) = 1a +
ξ(θ)
a donde se
considera a ξ muy pequeño. Paso seguido se linealiza la ecuación de la órbita para poder resolver ξ(θ).
b) Cuando ε es pequeño, demostrá que el perihelio de la órbita avanza aproximadamente πε en cada
revolución.
14. Precesión del perihelio de Mercurio
Demostrá que el movimiento de una part́ıcula en el potencial central
V (r) = −
k
r
+
h
r2
(9)
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es el mismo que el movimiento bajo el potencial de Kepler únicamente cuando éste está expresado en
término de un sistema de coordenadas que rota o precesa alrededor del centro de fuerza. Para una enerǵıa
total negativa demostrá que si el término potencial adicional es muy pequeño comparado con el de Kepler,
entonces la velocidad angular de precesión de la órbita eĺıptica es
Ω̇ =
2πmh
l2τ
, (10)
donde τ es el peŕıodo de revolución de Mercurio. Se ha observado que el perihelio de Mercurio precesa
(luego de quitar correcciones debido a la presencia de los otros planetas) a un ritmo de 43” de arco por siglo.
Demostrá que esta precesión puede ser explicada dentro de la mecánica clásica si la cantidad adimensional
η =
h
ka
, (11)
(que es una medida del potencial perturbador respecto del kepleriano) es tan pequeña como 7 × 108. La
excentricidad de la órbita de Mercurio es 0.206 y su peŕıodo es 0.24 años (años terrestres, por supuesto).
15. Órbitas de un satélite y velocidad de escape
Se pretende poner a un satélite de masa m en órbita alrededor de un planeta esférico de masa M ≫ m y
radio R. El satélite se eleva a una altura h = ρ−R (es decir, a una distancia ρ del centro del planeta) y se
le da una velocidad inicial v0 perpendicular al radio.
a) Encontrá la excentricidad ε de la órbita resultante en función de v0. ¿Para cuáles valores de v0 la órbita
es una elipse, una parábola o una hipérbola?
b) Encontrá la distancia de mayor cercańıa con el planeta y, si es apropiado, de mayor lejańıa. Para esta
parte ignorá la posibilidad de colisión con el planeta.
c) Encontrá la enerǵıa necesaria para elevar el satélite en la órbita más baja que evite chocar con el
planeta (una órbita que pasaŕıa “raspando” la superficie del planeta).
d) Ahora suponé que la velocidad no es más necesariamente perpendicular al radio. Encontrá la velocidad
de escape ve en función del ángulo α entre la velocidad y el radio. Tené cuidado de no chocar el satélite
con el planeta. [Rta. Sea r = ρ/R; sinα1 =
1√
r
con π2 < α1 < π; sinα2 = 1/r con
π
2 < α2 < π. Luego
vescape =
√
2GM
R para 0 < α < α1, y vescape =
√
2GM
R
(r−1)
(r2 sin2 α−1)
para α1 < α < α2. No hay escape
para α2 < α ≤ π].16. Potencial logaŕıtmico
Dos part́ıculas de masas m1 y m2 interactúan mediante el potencial central
V (r) = V0 ln
(
r2
r2 + b2
)
, (12)
donde b es una constante.
a) ¿Para qué valores del momento angular relativo l existen órbitas circulares? Encontrá el radio r0. ¿La
órbita es estable o no?
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b) En el caso en el que existe una órbita circular bosquejá las curvas de fases en el plano r− ṙ (las curvas
de fases consisten en graficar la curva r− ṙ que resulta de la conservación de la enerǵıa). Identificá los
rangos de enerǵıa para órbitas acotadas y no acotadas.
c) Supongamos que la órbita es casi circular. Encontrá la ecuación de movimiento para las pequeñas
desviaciones respecto de la órbita circular.
d) ¿Cuál es el ángulo que cambia el periápside en cada revolución? ¿Para cuáles valores de l la órbita no
precesa?
17. Potencial central que depende de la ráız cuadrada de la distancia
Dos part́ıculas de masas m1 y m2 interactúan mediante un potencial central
V (r1, r2) = −V0
√
a
|r1 − r2|
(13)
a) Encontrá y bosquejá el potencial efectivo del sistema unidimensional equivalente. Bosquejá las curvas
de fase en el plano r − ṙ (las curvas de fases consisten en graficar la curva r − ṙ que resulta de la
conservación de la enerǵıa).
b) Encontrá el radio r0 de órbitas circulares en función del momento angular y de las otras constantes.
c) Linealizá la ecuación de movimiento de las pequeñas desviaciones respecto a la órbita circular y encontrá
la frecuencia de las oscilaciones radiales.
d) ¿Cuál es la forma de las órbitas casi circulares? ¿Son cerradas? ¿Por qué o por qué no?
e) ¿Cuál es el cociente de la velocidad de escape en r0 con la velocidad orbital en r0?
18. Potencial central que depende con una ley de potencia
Consideremos el movimiento de una part́ıcula de masa m bajo la influencia de un potencial central
V (r) = αrk, donde α y k son constantes.
a) ¿Qué condiciones deben cumplir α y k para que la fuerza correspondiente al potencial V (r) sea
atractiva?
b) Demostrá que existen órbitas circulares para todos los potenciales del tipo V (r) y encontrá el radio y
la enerǵıa de las órbitas circulares en función de k, α, el momento angular l y la masa de la part́ıcula
m.
c) ¿Cuándo son estables tales órbitas circulares? Interpretá la estabilidad pensando en una órbita r(θ)
desviada apenas de una circular y la dirección de la fuerza efectiva que actúa en tal caso.
d) Consideremos que tenemos una órbita circular estable y apartamos de ella levemente a la part́ıcula,
¿cuál seŕıa la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de la órbita circular?¿Las órbitas resultantes
son cerradas?
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19. Tiempo de choque
La excentricidad de la órbita terrestre alrededor del Sol es muy cercana a cero, supongamos que es
perfectamente circular. De repente la Tierra se detiene y comienza a caer una hacia el Sol
a) Calculá el tiempo que tardará en chocar, suponiendo que Tierra y Sol son puntuales.
b) En el apartado anterior seguramente consideraste que el Sol teńıa una masa infinita ¿Cómo cambia
este problema si ahora suponemos que el Sol tiene la misma masa que la Tierra?
20. Potencial de Yukawa
Una part́ıcula se mueve en un campo de fuerzas centrales dado por el potencial de Yukawa
V (r) = −
ke−r/a
r
donde k y a son constantes positivas. Este es un potencial muy utilizado en F̈ısica Nuclear.
a) Escrib́ı las ecuaciones de movimiento y reducilas a un problema unidimensional equivalente.
b) Discut́ı la naturaleza del movimiento usando el potencial efectivo: regiones permitidas, regiones
prohibidas, órbitas acotadas o no acotadas, puntos de retorno, órbitas circulares.
c) ¿Qué condiciones iniciales podés especificar que correspondan a cada categoŕıa posible de movimiento?
d) Demostrá que si la órbita es casi circular los ápsides (peri- y apoápsides) avanzarán aproximadamente
πr0/a por revolución, donde r0 es el radio de la órbita circular.
21. Cometas
a) Un cometa de masa m va hacia el sistema solar partiendo del infinito con una velocidad v∞ y un
parámetro de impacto s. Demostrá que la distancia de mayor cercańıa al Sol es aproximadamente
s2v2∞/GM . Escrib́ı la ecuación de la órbita en coordenadas polares en término de M , v∞ y s, donde
M es la masa solar.
b) El cometa Halley tiene una excentricidad de 0.967. Su perihelio está a una distancia 8.81× 1010 m del
Sol. ¿Cuál es su peŕıodo?
c) Un cometa se mueve en una órbita eĺıptica con semieje mayor a y excentricidad ε. La velocidad vaŕıa
desde v1 hasta v2. Determiná el peŕıodo del cometa.
22. Problema inverso: dada la órbita encontrar la fuerza
a) Si una part́ıcula describe una órbita circular bajo la influencia de una fuerza central atractiva dirigida
hacia un punto del ćırculo (ver figura 6) ¿cómo depende la fuerza de la distancia al origen?
b) Demostrá que la enerǵıa de la part́ıcula es cero.
c) Encontrá el peŕıodo de la órbita.
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Figura 6: La part́ıcula describe una órbita circular, uno de cuyos puntos pasa por el
centro de fuerzas centrales.
d) Encontrá ẋ, ẏ y v como función del ángulo alrededor del ćırculo y demostrá que las tres cantidades se
hacen infinitas cuando la part́ıcula pasa por el centro de fuerzas.
23. Problema inverso: dada la órbita encontrar la fuerza
Una part́ıcula tiene una órbita de la forma
r(θ) =
1
u0 + u1 cos
(
3θ
2
) (14)
donde 0 < u0 < u1.
a) Dibujá la órbita en el plano xy para 0 < θ < 4π. ¿La órbita es acotada?¿Es cerrada?
b) Encontrá el potencial responsable de esta órbita. ¿Te resulta conocido?
c) Graficá el potencial efectivo correspondiente a dicho potencial y describ́ı cualitativamente las posibles
órbitas, dependiendo del valor de la enerǵıa y del momento angular. Identificá la órbita descripta en
el apartado (a).
24. Potencial armónico invertido
Consideremos un part́ıcula en un plano bajo el efecto de un potencial central armónico invertido, esto es
V (r) = −
k
2
r2, (15)
con k > 0.
a) Demostrá que todas las órbitas son asintóticas en los ĺımites t → infty y t → −∞ a rectas que pasan
por el origen.
b) De lo anterior se deduce que es imposible definir un parámetro de impacto en el sentido usual. Sin
embargo se puede definir un ángulo de dispersión. Sea rmin la distancia de mayor acercamiento de la
part́ıcula al centro de fuerza. Encontrá el ángulo de dispersión en función de rmin y de la enerǵıa total
de la part́ıcula.
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25. Órbita del momento en el problema de Kepler
En el problema de Kepler tenemos que el vector posición relativo describe una elipse. ¿Cuál es la curva
trazada por el vector momento en el espacio de momentos? Demostrá que es un ćırculo centrado en
1
l2
l ∧A, (16)
donde l es el momento angular y A es el vector de Laplace-Runge-Lenz.
26. Vector que se conserva para una carga en campo de fuerza central y de monopolo magnético
Un hipotético monopolo magnético está definido por un campo magnético singular de la forma
B =
b
r2
êr, (17)
donde b es una constante que mide la intensidad de la hipotética carga magnética. Supongamos que una
carga q puntual de masa m se mueve en el campo magnético del monopolo magnético y en un campo de
fuerza central con potencial V (r).
a) Calculá la segunda ley de Newton para la carga. Mirando al producto r ∧ ṗ demostrá que mientras el
momento angular mecánico no se conserva (¿por qué?) existe un vector que śı se conserva:
D = l−
qb
r2
êr. (18)
b) Siguiendo los pasos de la demostración dela conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL)
encontrá para cuales potenciales V (r) se conserva un vector análogo al LRL en el cual D juega el rol
del momento angular l del problema de Kepler.
27. Sección eficaz de Rutherford para un potencial atractivo
Calculá la sección eficaz diferencial para un potencial V (r) = −k/r con k > 0. ¿Cómo se compara con el
resultado de la dispersión de Rutherford para el caso repulsivo? Analizando las órbitas en ambos casos,
contá si te parece sorprendente o no la respuesta a la última pregunta.
28. Estrella que va capturando part́ıculas
Una estrella de masa M y de radio R se mueve con velocidad v constante a través de una nube de part́ıculas
de densidad ρ. Si todas las part́ıculas que colisionan con la estrellas quedan atrapadas por ella, demostrá
que la masa de la estrella se incrementará a un ritmo
dM
dt
= πρv2
(
R2 +
2GMR
v2
)
. (19)
Dado M = 1031 kg y R = 108 km, encontrá cómo la sección eficaz total de captura de part́ıculas compara
con la sección geométrica πR2 para velocidades 1000 km/s, 100 km/s y 10 km/s.
29. Dispersión en un potencial coulombiano truncado (este es complicado)
Calculá la sección eficaz diferencial y la sección eficaz total para part́ıculas que dispersan en el potencial
central de Coulomb truncado:
V (r) =



k
r −
k
a si r ≤ a
0 si r ≥ a.
(20)
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Preguntas
Cuando respondas a estas preguntas justificá siempre tu respuesta, sin ahorrar palabras, y si podés introdućı
algún ejemplo que sirva para ilustrarla.
1. Bosquejá las órbitas de dos masas iguales que se atraen gravitatoriamente usando un sistema de referencia
cuyo origen coincida con el punto medio entre las dos masas en el instante inicial. Considerá las dos
situaciones: enerǵıa positiva y enerǵıa negativa.
2. ¿Por qué una fuerza central es siempre conservativa?
3. Suponé que en un instante inicial el radio vector y la velocidad son perpendiculares, sin embargo el ángulo
entre ambos vectores cambia en el tiempo. Explicá porqué estos dos vectores nunca pueden ser paralelos.
4. En la figura 7 se muestra la órbita de un planeta P alrededor de la Tierra en el modelo geocéntrico. ¿Es
posible que esa órbita sea el resultado de un potencial central que ejerce la Tierra sobre el planeta? Si es
posible, ¿qué dependencia en r tendŕıa el potencial? Si no es posible, ¿por qué?
Figura 7: Órbita con epiciclos del modelo geocéntrico. P es un planeta que orbita a la Tierra T .
5. Cuando se agrega al problema de Kepler un potencial perturbativo ∝ 1r2 el término adicional es muy parecido
a la barrera centŕıfuga del potencial efectivo. ¿Por qué entonces este término adicional provoca una precesión
de la órbita mientras una adición a la barrera centŕıfuga a través de un cambio del momento angular provoca
precesión? (Esta pregunta está muy relacionada con el problema 10 de la Gúıa Práctica Nro. 4).
6. ¿Qué significa que una órbita es cerrada? Si el peŕıodo orbital es 2π pq , con p y q enteros, ¿la órbita es
cerrada? Justificá tu respuesta y bosquejá una órbita con tal caracteŕıstica.
7. ¿Cómo es la órbita de una part́ıcula sujeta a un potencial central si su momento angular es nulo? Evaluá
los casos atractivo y repulsivo por separado.
8. Materia oscura
En la página 154 del Hand y Finch se discute la necesidad de “materia oscura” para explicar la distribución
de velocidades observadas en las galaxias tipo espiral. En la figura 8 se muestran la distribución esperada y
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la observada. Explicá la forma de la distribución de velocidades esperada. En particular, usando argumentos
de potencial efectivo explicá porque a distancias mayores a r0 del centro de la galaxia, la velocidad de una
estrella va como 1√
r
.
Figura 8: Distribución de velocidades de estrellas en una galaxia espiral de radio r0. En el panel superior se
grafica lo esperado, en el inferior lo observado (Figura 4.16 del Hand y Finch).
9. En la figura 9 se muestra un bosquejo de órbita en un campo de fuerza central. ¿Es f́ısicamente posible ese
tipo de órbita? Justificá tu respuesta.
Figura 9: Hipotética órbita en un campo de fuerzas centrales.
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Proyecto computacional
Este proyecto computacional está tomado del libro Computational Physics de Steven Koonin. Consiste en el
estudio de la dispersión de part́ıculas por un potencial de Lennard-Jones (también llamado potencial 6-12):
V (r) = 4V0
[
(a
r
)12
−
(a
r
)6
]
(21)
donde V0 y a son dos constantes positivas. En la figura 10 se ilustra este potencial. El de Lennard-Jones es
un potencial emṕırico muy usado para modelizar interacciones entre moléculas neutras. A largas distancias es
atractivo, debido a las interacciones entre dipolos eléctricos inducidos o permanentes, mientras que a corta distancia
es muy repulsivo porque se solapan las nubes electrónicas de ambas moléculas.
Figura 10: Potencial de Lennard-Jones.
Abajos adjuntamos las páginas del libro que tratan de proyecto. ¿Alguien se anima a encararlo?
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1. Basic Mathematical Operations
Figure 1.1 Quantities involved in the scattering of a particle by a 
central potential.
vibrational state. Find the value of (3 appropriate for the H2 molecule, 
modify the program above to use the Morse potential, and calculate the 
spectrum of vibrational states. Show that a much more reasonable num­
ber of levels is now obtained. Compare the energies with experiment 
and with those of the Lennard-Jones potential and interpret the latter 
differences.
Project I: Scattering by a central potential
In this project, we will investigate the classical scattering of a particle of 
mass m by a central potential, in particular the Lennard-Jones potential 
considered in Section 1.4 above. In a scattering event, the particle, with 
initial kinetic energy E and impact parameter 6, approaches the potential 
from a large distance. It is deflected during its passage near the force 
center and eventually emerges with the same energy, but moving at an 
angle 0 with respect to its original direction. Since the potential depends # 
upon only the distance of the particle from the force center, the angular 
momentum is conserved and the trajectory lies in a plane. The polar 
coordinates of the particle, (r, 0), are a convenient way to describe its 
motion, as shown in Figure 1.1. (For details, see any textbook on classical 
mechanics, such as [G08O].)
Of basic interest is the deflection function, 0(6), giving the final 
scattering angle, 0 , as a function of the impact parameter; this function 
also depends upon the incident energy. The differential cross section for 
scattering at an angle 0 , da/dtl, is an experimental observable that is
I. Scattering by a central potential
related to the deflection function by
b db
sin 0 dQ
Thus, if dQ/db = (db/dQ)"'1 can be computed, then the cross section is 
known.
Expressions for the deflection function can be found analytically for 
only a very few potentials, so that numerical methods usually must be 
employed. One way to solve the problem would be to integrate the equa­
tions of motion in time (i.e., Newton’s law relating the acceleration to the 
force) to find the trajectories corresponding to various impact parameters 
and then to tabulate the final directions of the motion (scattering angles). 
This would involve integrating four coupled first-order differential equa­
tions for two coordinates and their velocities in the scattering plane, as 
discussed in Section 2.5 below. However, since angular momentum is con­
served, the evolution of 6 is related directly to the radial motion,and the 
problem can be reduced to a one-dimensional one, which can be solved by 
quadrature. This latter approach, which is simpler and more accurate, is 
the one we will pursue here.
To derive an appropriate expression for 0 , we begin with the conser­
vation of angular momentum, which implies \that
is a constant of the motion. Here, dO/dt is the angular velocity and v is 
the asymptotic velocity, related to the bombarding energy by E = \mv2. 
The radial motion occurs in an effective potential that is the sum of V 
and the centrifugal potential, so that energy conservation implies
If we use r as the independent variable in (1.2), rather than the time, we 
can write
L = mvb — mr — , 
dt
2 d0
(1 .2 )
(7.3)
dO _ d6 f dr\ 1 _ bv ( dr\ 1 
dr ~ I t \ d t) = ^ \ 7 t ) ’
(7.4)
and solving (1.3) for dr/dt then yields
1. Basic Mathematical Operations
Recalling that 0 = n when r = oo on the incoming branch of the tra­
jectory and that 9 is always decreasing, this equation can be integrated 
immediately to give the scattering angle,
r00 bdr ( b2 V \ ~ 1/2
’ (/-6)
where rm[n is the distance of closest approach (the turning point, deter­
mined by the outermost zero of the argument of the square root) and 
the factor of 2 in front of the integral accounts for the incoming and out­
going branches of the trajectory, which give equal contributions to the 
scattering angle.
One final transformation is useful before beginning a numerical cal­
culation. Suppose that there exists a distance rmax beyond which we can 
safely neglect V. In this case, the integrand in (1.6) vanishes as r“ 2 for 
large r, so that numerical quadrature could be very inefficient. In fact, 
since the potential has no effect for r > rmax, we would just be “wasting 
time” describing straight-line motion. To handle this situation efficiently, 
note that since 0 = 0 when V = 0, Eq. (1.6) implies that
which, when substituted into (1.6), results in
...................... -1/2 /•?'max / a2 t/\ -1 /21
0 = 2b
' T™* dr / _ -1/2 _ / r“ “ d r ( 1 _ ^ _ _ Z V
.Jb r2 \ r2) X mi„ r2 V r2 E )
(1 .8)
The integrals here extend only to rmax since the integrands become equal 
when r > rmax.
Our goal will be to study scattering by the Lennard-Jones poten­
tial (1.16), which we can safely set to zero beyond rmax = 3a if we are 
not interested in energies smaller than about
V(r = 3a) » 5 X KT3V0 •
The study is best done in the following sequence of steps:
Step 1 Before beginning any numerical computation, it is important to 
have some idea of what the results should look like. Sketch what you think 
the deflection function is at relatively low energies, E & Lo, where the 
peripheral collisions at large b < rmax will take place in a predominantly 
attractive potential and the more central collisions will “bounce” against 
the repulsive core. What happens at much higher energies, E Vo, where
I. Scattering by a central potential
the attractive pocket in V can be neglected? Note that for values of b 
where the deflection function has a maximum or a minimum, Eq. (1.1) 
shows that the cross section will be infinite, as occurs in the rainbow 
formed when light scatters from water drops.
Step 2 To have analytically soluble cases against which to test your 
program, calculate the deflection function for a square potential, where 
V (r ) = Uo for r < rmax and vanishes for r > rmax- What happens when 
Uo is negative? What happens when Uo is positive and E < Z7o? when 
E y U o ?
Step 3 Write a program that calculates, for a specified energy E , the 
deflection function by a numerical quadrature to evaluate both integrals 
in Eq. (1.8) at a number of equally spaced b values between 0 and rmax. 
(Note that the singularities in the integrands require some special treat­
ment.) Check that the program is working properly and is accurate by 
calculating deflection functions for the square-well potential discussed in 
Step 2. Compare the accuracy with that of an alternative procedure in 
which the first integral in (1.8) is evaluated analytically, rather than nu­
merically.
Step 4 Use your program to calculate the deflection function for scat­
tering from the Lennard-Jones potential at selected values of E ranging 
from 0.1 Vo to 100 Vo* Reconcile your answers in Step 1 with the results 
you obtain. Calculate the differential cross section as a function of 0 at 
these energies.
Step 5 If your program is working correctly, you should observe, for 
energies E & Vo, a singularity in the deflection function where 0 appears 
to approach — oo at some critical value of 6, 6Crit> that depends on E . 
This singularity, which disappears when E becomes larger than about 
Lo, is characteristic of “orbiting.” In this phenomenon, the integrand in 
Eq. (1.6) has a linear, rather than a square root, singularity at the turning 
point, so that the scattering angle becomes logarithmically infinite. That 
is, the effective potential,
F + £ ( ; ) 1 ’
has a parabolic maximum and, when b = 6Crit, the peak of this parabola is 
equal to the incident energy. The trajectory thus spends a very long time 
at the radius where this parabola peaks and the particle spirals many 
times around the force center. By tracing 6crit as a function of energy
1. Basic Mathematical Operations
and by plotting a few of the effective potentials involved, convince yourself 
that this is indeed what’s happening. Determine the maximum energy for 
which the Lennard-Jones potential exhibits orbiting, either by a solution 
of an appropriate set of equations involving V and its derivatives or by 
a systematic numerical investigation of the deflection function. If you 
pursue the latter approach, you might have to reconsider the treatment 
of the singularities in the numerical quadratures.