Mec_nica_Cu_ntica_II___Trabajos_Pr_cticos (2)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico VII
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
Figura 1: Merzbacher E.
’Quantum mechanics’.
Tomando como referencia el capítulo VII del Merzbacher sobre
aproximación WKB:
1. Deducir ecuación 7.6.
2. Deducir ecuaciones 7.8 y 7.11.
3. Usando ecuación 7.12, deducir 7.13.
4. Partiendo de 7.11 y utilizando la condición 7.14, obtener 7.15.
5. Deducir la condición 7.17.
4 trabajo práctico vii
El método WKB1 se utiliza para obtener soluciones aproximadas 1 El nombre del método viene dado
por sus creadores G. Wentzel, H. A.
Krameres y L. Brillouin.
para la ecuación de Schödinger independiente del tiempo2:
2 También puede ser aplicado al
caso tridimensional, mientras que el
potencial posea simetría esférica y la
ecuación diferencial radial pueda ser
establecida.
d2ψ
dx2
+
2m
h̄2
(E−V)ψ = 0 (1)
La idea básica surge de observar que si V = constante, las solu-
ciones de (1) son e±ikx. Este comportamiento de (1) sugiere que V
varía muy poco con x, se puede intentar conseguir una solución de
la forma:
ψ(x) = eiu(x) (2)
donde ahora u(x) no es más una simple función linear de x. La
función u(x) está relacionada con la función S(x, t) de la teoría de
Hamilton:
S(x, t) = h̄u(x)− Et (3)
Problema 1
Sustituir (2) en (1) da una ecuación diferencial de segundo orden
en la variable x donde la incógnita es la ”fase” u(x):
0 =
d2
dx2
[
eiu(x)
]
+
2m
h̄2
[E−V(x)]eiu(x)
= i
[
d2u
dx2
+ i
(du
dx
)2]
eiu(x) +
2m
h̄2
[E−V(x)]eiu(x)
= i
d2u
dx2
−
(du
dx
)2
+
2m
h̄2
[E−V(x)]
(4)
Introduciendo la función
k(x) =

√
2m
h̄2
[E−V(x)] si E−V(x) > 0
−i
√
2m
h̄2
[V(x)− E] si E−V(x) < 0
es fácil ver que [k(x)]2 = 2m
h̄2
[E − V(x)] sin importar el signo de
E−V, con lo que (4) termina tomando la forma buscada:
i
d2u
dx2
−
(du
dx
)2
+ [k(x)]2 = 0 (5)
�
Problema 2
Ec. (5) es totalmente equivalente a (1), salvo que ahora es una
ecuación diferencial no lineal. Esto en general sería visto como una
desventaja respecto a (1), no obstante el hecho que u′′(x) = 0 para
una partícula libre permite obtener un simple método de aproximar
soluciones de (5). Es natural suponer que este comportamiento se
modificará poco si el potencial no varía violentamente con x.
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
la afirmación sería: si V(x) varía muy poco...
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
ok
Rodolfo Id Betan
en forma iterativa
Rodolfo Id Betan
parece ser que ya existía de antes
5
Cuando se omite el término proporcional a u′′ en (5) se obtiene
u0, una primera aproximación de u:
(u′0)
2 = [k(x)]2 ⇔ u′0 = ±k(x)⇔ u0 = ±
∫ x
0
k(t)dt + C (6)
Si V es constante, la integral en (6) tiene solución exacta; si V varía
con x otra aproximación puede ser hecha reescribiendo (5) de la
forma: (du
dx
)2
= i
d2u
dx2
+ [k(x)]2 (7)
Si se sustituye la n-ésima aproximación en el lado derecho de esta
ecuación, se obtiene la (n+1)-ésima aproximación por mera cuadra-
tura:
un+1(x) = ±
∫ x
0
√
[k(t)]2 + iu′′n(t)dt + Cn+1 (8)
Así, para n = 0 se tiene
u1(x) = ±
∫ x
0
√
[k(t)]2 + iu′′0 (t)dt + C1
= ±
∫ x
0
√
[k(t)]2 ± ik′(t)dt + C1
(9)
�
Problema 3
Los dos signos diferentes en (6), (8) y (9) permiten obtener dos
aproximaciones para dos soluciones particulares de (5). Denotanto
a estas como u− y u+, la solución general de (5) se puede expresar
como
u(x) = u+ − i ln[1 + Aei(u−−u+)] + B
= u− − i ln[A + ei(u+−u−)] + B
(10)
donde A y B son constantes a determinar. La correspondiente solu-
ción a la ecuación de Schrödinger resulta:
ψ(x) = eiu(x) = exp{iu+ + ln[1 + Aei(u−−u+)] + iB}
= eiu+(x)eiB(1 + Aei(u−−u+))
= eiu+(x)eiB + AeiB eiu−(x)
(11)
�
Problema 4
La esperanza de que (8) tienda al valor correcto u(x) es nula a
menos que u1(x) está cerca del u0(x), esto es, a menos que
|k′(x)| � |k2(x)| (12)
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
falta argumentar: para V=0, u(x)=kx, luego u´´=0...
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
podría ser que si uno considera todos los términos n a infinito pueda armarse una serie que de el valor correcto
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
esto es para que valga la pena el hecho de haber cambiado un ec. lineal en una no lineal
Rodolfo Id Betan
cómo determinaste el límite inferior de la integral?
Rodolfo Id Betan
ok,
a menos del límite interior de la integral
Rodolfo Id Betan
citar la fuente, dado que no se deduce en este trabajo
6 trabajo práctico vii
Bajo esta condición, se puede expandir a primer orden el integran-
do de (9) obteniendo:
u1(x) = C1 ±
∫ x
0
√
k2(t)± ik′(t)dt
= C1 ±
∫ x
0
k(t)
√
1± i k
′(t)
k2(t)
dt
= C1 ±
∫ x
0
k(t)
[
1± i k
′(t)
2k2(t)
]
dt
= C1 +
∫ x
o
[
± k(t) + i k
′(t)
2k(t)
]
dt
= C1 +
i
2
ln[k(x)]±
∫ x
0
k(t)dt
(13)
�
Problema 5
Reemplanzando (13) en (2) se obtiene la función de onda WKB
ψ(x) ≈ 1√
k(x)
exp
[
± i
∫ x
0
k(t)dt
]
(14)
La condición (12) puede reformularse de manera tal que sea
más fácil de interpretar físicamente. Si k(x) es considerado como
un número de onda efectivo, se puede definir, en regiones donde
E > V(x), una longitud de onda efectiva
λ(x) =
2π
k(x)
(15)
Así, en términos de (15), el criterio de convergencia (12) dice:
|k′(x)| =
∣∣∣−2π
λ2
dλ
dx
∣∣∣� |k2(x)| = ∣∣∣4π2
λ2
∣∣∣⇒ ∣∣∣dλ
dx
∣∣∣� 1 (16)
es decir, que la longitud de onda varíe muy lentamente. �
Rodolfo Id Betan
bien (ojo los el límite de la integral)
Rodolfo Id Betan
bien!!!
Rodolfo Id Betan
bien!
Rodolfo Id Betan
bien!
también se la llama longitud de onda local
Rodolfo Id Betan
bien!!