Trabajo Practico 2 - Parte III

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Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Tucumán
Cátedra de Investigación Operativa
	
Trabajo Práctico N° 2 Parte III
TRABAJO PRACTICO N°2
PARTE III
INTEGRANTES:
· Alawi Tarif – 48324
· Arnedo Tobías – 48127
· Juárez Nahuel – 50546
Materia: Investigación Operativa 
Tema: Programación Lineal
Trabajo Practico N°2
Parte III
1. Un agricultor es propietario de 500 hectárea de tierras, adecuadas para cultivar trigo, avena o centeno. Por cada hectárea que cultive, necesita la mano de obra, incurre en los costos y obtiene los beneficios que se indican en la siguiente tabla:
	Cosecha
	Horas-Hombre
	Costo
	Beneficio
	Trigo
	6
	100
	60
	Avena
	8
	150
	100
	Centeno
	10
	120
	80
Si el agricultor dispone de mano de obra capaz de proporcionar 5000 horas – hombre en el período de cultivo y de 6000 euros para gastos de cultivo. Se pide: 
a. Encuentre la superficie de cultivo que maximicen los beneficios del agricultor 
Variables:
 X1= cantidad de ha de trigo
 X2= cantidad de ha de avena
 X3= cantidad de ha de centeno
Función objetivo:
 MAX Z= 60[$/ha] X1[ha] + 100[$/ha] X2[ha] + 80[$/ha] X3[ha]
 
Restricciones:
 #1: Horas-hombre= 6[hs/ha] X1[ha] + 8[hs/ha] X2[ha] + 10[hs/ha] X3[ha] <= 5000 [hs]
 #2: Dinero= 100[$/ha] X1[ha] + 150[$/ha] X2[ha] + 120[$/ha] X3[ha] <= 60000 [$]
 #3: Hectáreas= X1[ha] + X2[ha] + X3[ha] <= 500 [ha]
 #3: No negatividad= X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
b. Plantee el problema dual del inciso anterior 
FORMA ESTANDAR 
Función objetivo:
 MAX Z= 60[$/ha] X1[ha] + 100[$/ha] X2[ha] + 80[$/ha] X3[ha] + 0S1 + 0S2 + 0S3
 
Restricciones:
 #1: Horas-hombre= 6[hs/ha] X1[ha] + 8[hs/ha] X2[ha] + 10[hs/ha] X3[ha] + S1= 5000 [hs]
 #2: Dinero= 100[$/ha] X1[ha] + 150[$/ha] X2[ha] + 120[$/ha] X3[ha] + S2= 60000 [$]
 #3: Hectáreas= X1[ha] + X2[ha] + X3[ha] + S3= 500 [ha]
MODELO DUAL
Variables:
 Y1= costo de proporcionar 5000 horas hombre
 Y2= costo de la inversión
 Y3= costo de las 500 ha
Función objetivo:
 MIN W= 5000[hs] Y1[$/hs] + 60000[$] Y2[$/$] + 500[ha] Y3[$/ha]
 
Restricciones:
 #1: Hectáreas de trigo= 6[hs/ha] Y1[$/hs] + 100[$/ha] Y2[$/$] + Y3[$/ha] >= 60[$/ha]
 #2: Hectáreas de avena= 8[hs/u] Y1[$/hs] + 150[$/ha] Y2[$/$] + Y3[$/ha] >= 100[$/ha]
 #3: Hectáreas de centeno= 10[hs/u] Y1[$/hs] + 120[$/ha] Y2[$/$] + Y3[$/ha] >= 80[$/ha]
c. Si el agricultor pudiera contratar 500 horas – hombre de trabajo adicional por 1500 euros ¿estaría dispuesto a hacerlo? 
 No estaría dispuesto ya que no estaría utilizando la totalidad de las horas.
d. La superficie cultivada mínima de trigo para percibir subvenciones es de 100 hectáreas. Si se perciben subvenciones el beneficio por hectárea para el trigo es de 60 euros, pero si no se percibe dicho beneficio baja a 45 euros por hectárea. Analice la solución óptima del problema bajo estas condiciones. 
 
2. Una empresa produce tres tipos de productos A, B y C para la primera etapa de producción A, B y C necesitan una unidad de material donde se dispone de un máximo de 10 mil unidades. Para la segunda etapa el producto B es la mitad de producto A y como máximo de recurso se posee 2000 unidades de material. Como contrato se necesita fabricar 5000 unidades del producto C. Y, por último, se invierte 1000 horas en la etapa tres para los productos A y B, siendo A la mitad de B. Se pide: 
a. Encuentre el problema dual y formule en forma estándar 
b. Encuentre los valores óptimos de las variables de los problemas primal y dual, sabiendo que la solución del problema primal las restricciones primera, segunda y tercera están activas. 
c. Si en el problema original se eliminan la primera y cuarta restricción, justifique que el nuevo problema es no acotado. 
3. Una refinería puede comprar petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es de 11 y 9 euros respectivamente. De cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, keroseno y combustible para reactores. 
	
	Gasolina
	Keroseno
	Combustible
	Petróleo crudo ligero
	0.40
	0.20
	0.35
	Petróleo crudo pesado
	0.32
	0.40
	0.20
En el proceso de refinamiento se pierde el 5% y el 8% del crudo respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar un millón de barriles de gasolina y cuatrocientos mil barriles de keroseno y doscientos cincuenta mil barriles de combustible para reactores. 
a. Determine el número de barriles de cada tipo de petróleo crudo que satisfacen la demanda y minimizan el costo. 
Variables:
 X1= cantidad de barriles de petróleo crudo ligero
 X2= cantidad de barriles de petróleo crudo pesado
Función objetivo:
 MIN Z= 11[$/ba] X[ba] + 9[$/ba] X2[ba]
Restricciones:
 #1: Gasolina= 0,4[c/ba] X1[ba] + 0,32[c/ba] X2[ba] >= 1.000.000 [ba]
 #2: Keroseno= 0,2[c/ba] X1[ba] + 0,4[c/ba] X2[ba] >= 400.000 [ba]
 #3: Combustible= 0,35[c/ba] X1[ba] + 0,2[c/ba] X2[ba] >= 250.000 [ba]
 #4: No negatividad= X1 >= 0, X2 >= 0
b. Solución grafica 
c. Proporcione el dual y analice 
FORMA ESTANDAR
Función objetivo:
 MIN Z= 11[$/ba] X[ba] + 9[$/ba] X2[ba] + 0S1 + 0S2 + 0S3
Restricciones:
 #1: Gasolina= 0,4[c/ba] X1[ba] + 0,32[c/ba] X2[ba] – S1= 1.000.000 [ba]
 #2: Keroseno= 0,2[c/ba] X1[ba] + 0,4[c/ba] X2[ba] – S2= 400.000 [ba]
 #3: Combustible= 0,35[c/ba] X1[ba] + 0,2[c/ba] X2[ba] – S3= 250.000 [ba]
MODELO DUAL
Variables:
 Y1= costo de un millón de barriles de gasolina
 Y2= costos de 400.000 barriles de keroseno
 Y3= costos de 250.000 barriles de combustible
Función objetivo:
 MAX W= 1.000.000[ba] Y1[$/ba] + 400.000[ba] Y2[$/ba] + 250.000[ba] Y3[$/ba]
 Y3
Restricciones:
 #1: Barriles Petróleo Ligero= 0,4 Y1[$/ba] + 0,2 Y2[$/ba] + 0,35 Y3[$/ba] <= 11[$/ba]
 #2: Barriles Petróleo Pesado= 0,32 Y1[$/ba] + 0,4 Y2[$/ba] + 0,2 Y3[$/ba] <= 9[$/ba]
4. Tres productos son fabricados en una máquina. El tiempo de preparación de cada producto es de 2,3 y 4 respectivamente mientras que el tiempo de proceso es de 3, 2 y 1 minutos. El beneficio aportado por cada producto es respectivamente de 12, 10 y 15 euros. Se dispone de 100 minutos de máquina y 200 para la preparación de la misma. Se pide: 
a. Determine el numero óptimo de unidades a fabricar de cada artículo para que sean las máximas posibles. 
b. Análisis de sensibilidad 
c. Dual y su análisis correspondiente 
5. El desarrollo de tres estrategias de un proceso administrativo de fondos de inversión a largo plazo causa costos de 1, 3 y 2 millones de pesos por año de procesamiento, respectivamente. Cada estrategia genera 10, 20 y 40 millones en beneficios por año, en el mismo orden, y se requiere un nivel mínimo de 800 millones en beneficios para que el negocio sea conveniente a los inversionistas. Por último, se sabe que la diferencia entre el triple de la duración de la estrategia con costo de 3 millones menos la duración de la estrategia de 2 millones debe ser por lo menos 10 años. ¿Cuál es la duración optima de cada estrategia que garantiza los beneficios esperados y minimiza los costos de administración? 
Variables:
 E1= duración de estrategia 1
 E2= duración de estrategia 2
 E3= duración de estrategia 3
Función objetivo:
 MIN Z= 1[$/a] E1[a] + 3[$/a] E2[a] + 2[$/a] E3[a]
Restricciones:
 #1: Beneficio mínimo= 10[$/a] E1[a] + 20[$/a] E2[a] + 40[$/a] E3[a] >= 800 [$]
 #2: Relación E2-E3= 3 E2[a] - E3[a] >= 10[a]
 #3: No negatividad= E1, E2, E3 >= 0
 Para obtener un costo mínimo de 57.142.857$, la duración de las estrategias debe durar:
E1= 0 años, E2= 8,57 años y E3= 15,71 años.
FORMA ESTANDAR
Función objetivo:
 MIN Z= 1[$/a] E1[a] + 3[$/a] E2[a] + 2[$/a] E3[a] + 0S1 + 0 S2
Restricciones:
 #1: Beneficio mínimo= 10[$/a] E1[a] + 20[$/a] E2[a] + 40[$/a] E3[a] - S1= 800 [$]
 #2: Relación E2-E3= 3 E2[a] - E3[a] – S2= 10[a]
MODELO DUAL
Variables:
 Y1= costo del beneficio mínimo
 Y2= costo de que la relación entre E2 y E3 sea por lo menos 10 años
Función objetivo:
 MAX W= 800[$] Y1[$/$] + 10[a] Y2[$/a]
 Y3
Restricciones:#1: Estrategia 1= 10[$/a] Y1[$/$] <= 1[$/a]
 #2: Estrategia 2= 20[$/a] Y1[$/$] + 3 Y2[$/a] <= 3[$/a]
 #3: Estrategia 3= 40[$/a] Y1[$/$] – Y2[$/a] <= 2[$/a] 
6. Para el eficiente desempeño de las actividades de una empresa comercializadora de bienes raíces se han cuantificado para los departamentos los costos de ventas y administración en $10.5000 y $12.000 respectivamente. Mientras que, para una casa los mismos costos ascienden a $18.000 y $10.000 respectivamente. La utilidad que reporta cada departamento es de $150.000 y de $300.000 para cada casa. La empresa desea reducir al nivel mínimo posible el importe de sus costos totales manteniendo una utilidad de al menos $18,000,000.00, así como la necesidad de que la cantidad de departamentos vendidos a lo menos sea el doble de casas vendidas. ¿Cuál es la combinación optima de departamentos y casa que se deben comercializar? ¿Cuál es el importe de los costos totales con el nivel de ventas calculado?
7. Un colegio privado en planeación estima que el costo por gestión escolar de cada alumno de nivel medio es de $7.4000 y de $ 9.500 para uno de nivel superior. El colegio espera iniciar actividades con al menos 1.250 inscriptos en total y requiere de ingresos mínimos de $26.000.000 los cuales obtendrá con las utilidades de $26.000 y de $32.000 por alumno inscripto en el nivel medio y nivel superior respectivamente. El propósito de resolver este escenario en la etapa de planeación es que apoyado en los resultados cuantitativos se determine la cantidad optima de inscriptos en cada nivel académico y se estime el monto mínimo de los costos del colegio. Diseñe el modelo primal-dual. 
8. Los costos por manejo de cuentas en una institución financiera dependen del tipo de servicios que ofrece. En la siguiente tabla se presenta información de las diferentes cuentas que ofrece la institución: 
	Cuenta
	Costo por manejo ($)
	Comisión por manejo ($)
	Tipo I
	360
	478
	Tipo II
	318
	424
	Tipo III
	376
	400
La institución debe manejar un mínimo de 87 cuentas del tipo I y del tipo III en cualquier combinación, y garantizar comisiones mínimas de $68,298.00. ¿Cuál es la combinación óptima del tipo de cuentas que la institución debe manejar? Se pide solución primal –dual. Análisis de sensibilidad. 
9. Tres productos diferentes (A, B y C) que maneja una compañía tienen una demanda mínima de 1,000, 500 y 250 unidades respectivamente. Por otra parte, se conoce que el costo de producción correspondiente a cada producto es de $100.00, $125.00 y $124.00, además que, debido a regulaciones externas, la producción del producto A debe ser al menos el doble de la producción conjunta de B y C. Con este escenario establece las condiciones para minimizar los costos, satisfaciendo las demandas dadas. Diseño primal-Dual. Análisis de sensibilidad 
MODELO PRIMAL
 Todos los costos reducidos son 0 por ser variables básicas nuestros valores finales.
 Por cada unidad demandada para los productos B y C, mi funcional costara 325 y 324 más, respectivamente.
MODELO DUAL
10. Considera que se desea realizar una inversión y que existe todo el capital disponible para tal negocio. Sin embargo, para acceder a tres instrumentos diferentes de inversión A, B y C la agencia solicita un monto mínimo a invertir en el instrumento. A de $70.000 además de que exige que la inversión en el instrumento C sea al menos el doble que la cantidad total invertida en los instrumentos A y B. La inversión genera un costo administrativo de 6% 3% y 5% respecto a la cantidad invertida en cada instrumento y cada uno rinde 25% 45% y 30% respecto a la cantidad invertida. Si se requiere obtener un monto por rendimientos de más de $85.000 y un total mínimo por costos administrativos ¿Cuáles son las cantidades que deben invertirse en cada tipo de instrumento? Diseñe primal – dual y realice el análisis de sensibilidad. 
11. Para trasladar tres materias primas, M1, M2 y M3, necesarias en un proceso industrial se tienen que cubrir los siguientes costos: $90.00, $60.00 y $30.00 por tonelada de materia prima respectivamente, mientras que los requerimientos de materia prima son:
• La cantidad total de los tres tipos de materia prima sea mayor a las 55 tonelada.
• La cantidad de M1 al menos sea dos veces la cantidad conjunta de M2 y M3 más 10 tonelada.
a. ¿Qué combinación de materia prima minimiza los costos bajo estas condiciones?
Variables:
 M1= cantidad de materia prima 1
 M2= cantidad de materia prima 2
 M3= cantidad de materia prima 3
Función objetivo:
 MIN Z= 90.000 [$/Tn] M1 [Tn] + 60.000 [$/Tn] M2 [Tn] + 30.000 [$/Tn] M3 [Tn]
Restricciones:
 #1: Cantidad Total= M[Tn] + M2[Tn] + M3[Tn] >= 55 [Tn]
 #2: Cantidad M1= M1[Tn] - 2 M2[Tn] + 2 M3[Tn] >= 10 [Tn]
 #3: No negatividad= M1, M2, M3 >= 0
 Para minimizar un costo de 4260000$ se debe trasladar 38 Tn de materia prima 1 y 14 Tn de materia prima 2.
b. Diseño primal-Dual. Análisis de sensibilidad.
FORMA ESTANDAR
Función objetivo:
 MIN Z= 90.000 [$/Tn] M1 [Tn] + 60.000 [$/Tn] M2 [Tn] + 30.000 [$/Tn] M3 [Tn] + 0S1 +0S2
Restricciones:
 #1: Cantidad Total= M1[Tn] + M2[Tn] + M3[Tn] – S1= 55 [Tn]
 #2: Cantidad M1= M1[Tn] - 2 M2[Tn] + 2 M3[Tn] - S2 = 10 [Tn]
MODELO DUAL
Variables:
 Y1= costo de las 55 Tn
 Y2= costo de las 10 Tn
Función objetivo:
 MAX W= 55[Tn] Y1 [$/Tn] + 10[Tn] Y2 [$/Tn]
Restricciones:
 #1: Materia Prima 1= Y1[$/Tn] + Y2[$/Tn] <= 90.000 [$/Tn]
 #2: Materia Prima 2= Y1[$/Tn] - 2 Y2[$/Tn] <= 60.000 [$/Tn]
 #3: Materia Prima 3= Y1[$/Tn] + 2 Y2[$/Tn] <= 30.000 [$/Tn]
 Para que sea conveniente invertir en las 10 Tn debo reducir 100 unidades mi coeficiente económico (10).
 Por cada $/Tn que aumente en mi lado derecho de materia prima 3, mi funcional aumentara 55$.