Funciones trigonométricas

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FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA-PARTE 2 
SEDE METÁN- ROSARIO DE LA FRONTERA 
PROF. LUIS CRESPO 
 ING. EN AGRONOMÍA 
 
 
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Hasta el momento se ha trabajado las razones trigonométricas con ángulos agudos de un triángulo 
rectángulo. A continuación, se amplía el dominio al de los números reales. 
Funciones trigonométricas de ángulos en general 
 
Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto del plano cartesiano y 𝑟 un segmento de 
recta de longitud 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, llamado radio vector, que une el 
punto 𝑃 con el origen de coordenadas y forma un ángulo 𝛼 con el 
semieje 𝑥 positivo. 
En el triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es 𝑟, la del 
cateto adyacente la abscisa 𝑥 y la del cateto opuesto la ordenada 
𝑦 del punto 𝑃. 
Las funciones trigonométricas de ángulos en general, en términos de las coordenadas del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) 
y el radio vector 𝑟 (número positivo), son: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝒚
𝒓
 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝒙
𝒓
 𝑡𝑔 𝛼 =
𝒚
𝒙
 
Observación: Las otras tres funciones trigonométricas se definen como las recíprocas de estas tres 
Signo de las funciones trigonométricas 
Si el radio vector gira alrededor del origen de 
coordenadas, en sentido contrario a las agujas del 
reloj, las funciones trigonométricas y sus recíprocas 
adoptan signos que dependen del cuadrante al que 
pertenece el ángulo. 
 
Función I II III IV Recíproca 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + + - - 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + - - + 𝑠𝑒𝑐 𝛼 
𝑡𝑔 𝛼 + - + - 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 
 
 
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Relación trigonométrica fundamental 
La relación trigonométrica fundamental establece que la suma de 
los cuadrados del seno y coseno de un mismo ángulo es igual a 1. 
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + cos2𝛼 = 1 
 o también de la forma (𝑠𝑒𝑛 𝛼)2 + (cos 𝛼)2 = 1 
Vamos a probar, esta identidad. Partimos del triángulo rectángulo 
de la figura, y por el teorema de Pitágoras tenemos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (1) 
Pero tenemos que 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 y 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 , reemplazando en (1) 
(𝑟. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 )2 + (𝑟. 𝑠𝑒𝑛 𝛼)2 = 𝑟2 
 
𝑟2(𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ) = 𝑟2 
 
𝑟2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 𝑟2 
 
𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 
 
𝑟2(𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ) = 𝑟2 
 
 
Otras relaciones trigonométricas 
Partiendo de 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + cos2𝛼 = 1 obtiene otras relaciones trigonométricas. El signo (negativo o 
positivo) depende del cuadrante al que pertenezca el ángulo. 
 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ±√1 − cos2𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 
 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼 𝑡𝑔2𝛼 + 1 = sec2𝛼 
Probar cada una de ellas. 
Elementos de las funciones seno y coseno 
El dominio de cada 
función trigonométrica 
que hemos estudiado es 
un conjunto de ángulos. 
En cálculo y en numerosas 
aplicaciones, los dominios 
de funciones están 
formados por números 
reales. 
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir se cumple 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) siendo T un 
número real positivo (𝑇 > 0), denominado período de la función 𝑓. 
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Elementos 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
Valor Máximo y 
 Mínimo 
𝑦 = 1 , 𝑦 = −1 𝑦 = 1 , 𝑦 = −1 
Amplitud 1 1 
Período 2𝜋 2𝜋 
Dominio ℝ ℝ 
Imagen [−1,1] [−1,1] 
Intersección con el 𝒙 … , −𝜋, 0, 𝜋, 2𝜋, … (𝑥 = 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ) … , −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
, … (𝑥 =
(2𝑛 + 1)𝜋
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ) 
Intersección con el 𝒚 𝑦 = 0 𝑦 = 1 
 
 
Función tangente 
La función trigonométrica tangente se expresa como: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 donde “𝑥” es la variable 
independiente o argumento (amplitud angular medida en radianes) 
Elementos 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 
Valor Máximo y 
 Mínimo 
No tiene 
Asíntotas verticales 𝑥 =
(2𝑛 + 1)𝜋
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ 
Período 𝜋 
Dominio ℝ − {𝑥 =
(2𝑛 + 1)𝜋
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ} 
Imagen ℝ 
Intersección con el 𝒙 … , −𝜋, 0, 𝜋, 2𝜋, … (𝑥 = 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℤ) 
Intersección con el 𝒚 𝑦 = 0 
 
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Funciones seno y coseno transformadas 
Las funciones seno y coseno transformadas son 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷 
𝑓(𝑥) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 + 𝐶) + 𝐷 
Donde A, B, C y D son números reales, con A y B distintos de cero 
Los elementos de estas gráficas, llamadas sinusoidales, son el eje de referencia, amplitud, período y 
desfase. 
Eje de referencia: 𝒚 = 𝒅 Amplitud: |𝑨| Desfase: 𝑭 = − 𝑪
|𝑩|
 Periodo 𝑷 = 𝟐𝝅
|𝑩|
 
El intervalo que necesita una gráfica para completar un ciclo es 𝑰𝑷 = [𝑭, 𝑭 + 𝑷] 
Gráficas de las funciones seno y coseno respecto a los parámetros A y D 
Para |𝐴| > 1, las gráficas de esas funciones son un estiramiento vertical (aumento de la amplitud), si 
|𝐴| < 1 tenemos una compresión vertical (disminución de la amplitud) de las gráficas de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 o 
de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. En el caso de A < 0, las gráficas también se reflejan respecto al el eje x. 
Notemos que los valores máximo y mínimo cambian como se observan en las gráficas 
En general, si una función periódica 𝑓 es continua, entonces, en un intervalo cerrado de longitud igual 
a su periodo, 𝑓 tiene un valor máximo 𝑀 y también un valor mínimo 𝑚. Entonces podemos decir la 
amplitud como: 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =
1
2
(𝑀 − 𝑚) 
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Si 𝐷 > 0, tenemos un desplazamiento vertical, hacia arriba. Si 𝐷 < 0 hay un desplazamiento vertical, 
hacia abajo. 
 
Gráficas de las funciones seno y coseno respecto a los parámetros A y B 
Ahora examinaremos la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥) para 𝐵 > 0. La función tiene amplitud 1, porque 
𝐴 = 1. Como el período de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 es 2𝜋, un ciclo de la gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥) comienza en 𝑥 = 0 
se completa en el intervalo definido por 0 < 𝐵𝑥 < 2𝜋. Esta desigualdad se divide entre B, y se ve que 
el período de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥) es 2𝜋/𝐵. 
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Gráficas de las funciones seno y coseno respecto a los parámetros C 
El parámetro C produce un desplazamiento horizontal 
 
Gráficas del coseno transformado