PARCIAL 4A

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CÁLCULO I – (0251) 
4to Parcial 
 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE 
MATEMÁTICA 
APLICADA U.C.V. F.I.U.C.V. 
 
 
Nombre y Apellido: _______________________________________________ CI: ________________ 
 
Problema 1 2 3 a 3 b 3 c 4 a 4 b 5 Total 
Puntuación 2 2 3 1 1 4 1 6 20 
 
1. Utilice la Regla de L’Hopital para calcular el siguiente límite: 
 
 
 
 
 
2. Dadas las funciones: y . Halle los Valores de , para los cuales la pendiente 
de la recta tangente a es igual a la pendiente de la recta normal a . 
 
3. Desde un tanque cilíndrico, de base circular con radio = 2 m, y altura = 10 m, contentivo de agua, se llena 
un tanque flexible cuya forma siempre se mantiene esférica. Si el nivel del agua en el tanque cilíndrico 
desciende a una velocidad constante de 0,01 m/s. Indique: 
a) A qué velocidad crece el radio del tanque esférico cuando su radio es igual a 1,00 m. 
b) Cuál es el caudal de agua que sale del tanque cilíndrico (variación de volumen en el tiempo). 
c) Si se duplica la velocidad con que baja el nivel del agua en el tanque cilíndrico, eso implicaría que el 
radio del tanque esférico crecería el doble de rápido, al momento en que su valor es igual a 1,00 m. 
 
4. Se desea construir un tanque para almacenamiento de gas. El tanque debe tener una parte cilíndrica de 
longitud “L”, y sección circular de radio R. Las tapas del cilindro serán construidas con media esfera a cada 
lado. Si el volumen del tanque, en m
3
, debe ser: V= 
 
 
π, y sabemos que el material para construir las tapas 
(casquetes esféricos) cuesta 2 Bs/m
2
, mientras que el material para construir el cilindro cuesta 1 Bs/m
2
. 
a) Determine las dimensiones que debe tener el tanque, para que el costo de fabricación sea mínimo. 
b) Demuestre que el valor obtenido es realmente un valor mínimo. 
 
 
5. Realice un estudio completo de la función f(x) = 
 
 
 
Indique: Dominio, Rango, signos de la función, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y 
decrecimiento, concavidad, puntos críticos, valores extremos, asíntotas verticales, horizontales y oblícuas. 
Dibuje la función. 
 
 
Importante: Apague su celular. Sea ordenado al trabajar. Simplifique los resultados para mayor claridad. No use 
Calculadora. Justifique todas sus respuestas. 
 
 
 
 
 
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Utilice la Regla de L’Hopital para calcular el siguiente límite: 
 
 
 
 
 
Por tanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APLICADA U.C.V. F.I.U.C.V. 
 
 
Dadas las funciones: y . Halle los Valores de , para los cuales la pendiente de 
la recta tangente a es igual a la pendiente de la recta normal a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desde un tanque cilíndrico, de base circular con radio = 2 m, y altura = 10 m, contentivo de agua, se llena 
un tanque flexible cuya forma siempre se mantiene esférica. Si el nivel del agua en el tanque cilíndrico 
desciende a una velocidad constante de 0,01 m/s. Indique: 
A qué velocidad crece el radio del tanque esférico cuando su radio es igual a 1,00 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuál es el caudal de agua que sale del tanque cilíndrico (variación de volumen en el tiempo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si se duplica la velocidad con que baja el nivel del agua en el tanque cilíndrico, eso implicaría que el 
radio del tanque esférico crecería el doble de rápido, al momento en que su valor es igual a 1,00 m. 
 
 
 
 
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Si se duplica. 
 
Se desea construir un tanque para almacenamiento de gas. El tanque debe tener una parte cilíndrica de 
longitud “L”, y sección circular de radio R. Las tapas del cilindro serán construidas con media esfera a cada 
lado. Si el volumen del tanque, en m
3
, debe ser: V= 
 
 
π, y sabemos que el material para construir las tapas 
(casquetes esféricos) cuesta 2 Bs/m
2
, mientras que el material para construir el cilindro cuesta 1 Bs/m
2
. 
Determine las dimensiones que debe tener el tanque, para que el costo de fabricación sea mínimo. 
 
Objetivo: Minimizar el costo de construcción. 
 
 
 
 
Relación: El volumen del objeto es fijo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por tal motivo la función costo queda de la forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensiones r=1 m y L=4 m 
 
Demuestre que el valor obtenido es realmente un valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Signo -1 2 
Crecimiento 
- + 
Por tanto es un mínimo 
Verificando con la segunda derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función convexa en el punto, es un mínimo. 
 
 
 
 
 
 
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Realice un estudio completo de la función f(x) = 
 
 
 
Indique: Dominio, Rango, signos de la función, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y 
decrecimiento, concavidad, puntos críticos, valores extremos, asíntotas verticales, horizontales y oblícuas. 
Dibuje la función. 
 
a) Dominio: 
 
 
b) Cortes con los ejes 
Eje x 
 
 
 
Eje y 
 
 
 
 
Punto (0,0) 
c) Simetría 
 
 
 
 
 
 
 
No simétrica 
d) Signo 
 
 + + + 
 + + - 
 
 
 
++ - 
 
Positiva: 
Negativa: 
 
 
 
 
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e) Asíntotas 
- Asíntotas verticales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe asíntota vertical en 
- Asíntota oblicua y/o Horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe Asíntota oblicua de ecuación 
 
f) Estudio de la primera derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - + + + 
 + + + - 
 + + + + 
Signo - + + - 
 
Creciente: 
 
 
 
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Decreciente: 
g) Estudio de la segunda derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 + + 
 + - 
 
 
 
+ - 
 
Concava: 
Convexa: