GUIA DE EJERCICIOS (TEMA 1)

Vista previa del material en texto

INECUACIONES Y 
VALOR ABSOLUTO 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 1 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
1. Resuelva las siguientes ecuaciones: 
a. 4 3x 5− = 
b. x 1 x 2 3+ + = 
c. x 1 x 4 10+ + = 
d. x 1 2 4− + = 
e. x 3 2 4+ − = 
f. 2x 1 x− = 
g. 2x 3 1 x+ = − 
 
2. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: 
a. 
2 7x
2 3
5 2x
−− < ≤
+
 
b. 
2
2
2x 3x 1
0
x 2x 1
− + >
− +
 
c. 
6 x 2
2x x 5
+− < −
+
 
 
3. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: 
a. x 2 3− < 
b. x 2 3− > 
c. 2x 1 2− ≤ 
d. x 2 x 3+ < + 
e. 2x 2x 2 1− − ≥ 
f. 2x x 5 x 1+ − ≤ − 
g. 1 x 2x− < 
h. 21 x x 1− > − 
i. 2 1
3
2x 2 x 1− ≥ − 
j. 
7 x
3
x 1
− <
+
 
k. 
2 x
0
x 8
− ≥
+
 
l. 
2x 2
x 3
x
− ≥ − 
 
 
 
 
 
INECUACIONES Y 
VALOR ABSOLUTO 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 2 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
m. 
2x 3 x
x
1 x
− + ≥
−
 
n. 
24x 4x 1
1
6x 5
− − <
−
 
o. 
2
x 3
3
x
+
> 
p. 
3
2
x 1
0
20x 5x 1
− ≤
− +
 
q. 2 x 3 4< − + < 
r. 
3 2
x 2 x
>
−
 
s. (x 2) x 2 3x 0+ + + ≤ 
t. 3x 2 x 1− < + 
 
4. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: 
a. 2 2x 3x 5 x 6− − < + 
b. x 1 x 2 2+ − − ≤ − 
c. 4 x 2x 1 4− + + ≤ 
d. x 1 x 2 2x 9+ > − + − 
e. 2x 1 x x 1− ≤ − − 
f. (x 2)(x 6) x 4 2− − + − ≤ 
g. 
2x x 1 3
x 1 2x 2
+− ≤
+
 
h. (x 2) x 2 3x 0+ + + ≤ 
i. x 1 x 2 2x 9+ > − + − 
j. 2(x 1)(x 1) x 3 0+ − − ≤ 
k. (x 2) x 2 x 4+ + ≥ − 
l. 
4 x 2x 1
x 3 1 x
− −≥
− −
 
m. x 1 x 2 x 1+ − − ≤ − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INECUACIONES Y 
VALOR ABSOLUTO 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 3 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
R E S P U E S T A S 
 
1.a. –1/3, 3 
 b. ( 3 13) / 2− + , ( 3 13) / 2− − 
 c. –6, 1 
 d. –1, 3 
 e. –9, 3 
 f. ( 1 5) / 2− + , (1 5) / 2+ 
 g. No tiene solución 
 
2.a. [ 1,4)− 
 b. ( ,0) (1, )−∞ ∪ ∞ 
 c. ( , 5) (0, )−∞ − ∪ ∞ 
 
3.a. (-1,5) 
 b. (-∝,-1]∪[5, ∝) 
 c. [- 3 , 3 ] 
 d. (-5/2, ∝) 
 e. (-∝,-1]∪[1- 2 ,1+ 2 ]∪[3, ∝) 
 f. [-1+ 7 , 2] 
 g. (1/3, ∝) 
 h. ℜ-{1} 
 i. ℜ 
 j. (-∝,-5) ∪(1, ∝) 
 k. ℜ-{-8} 
 l. ℜ-{0} 
 m. (-∝,1]∪[1, 3 / 2 ]∪[3/2, ∝) 
 n. (-3/2,1/2)∪(1,2) 
 o. ((1- 37 )/6,0)∪(0,(1+ 37 )/6) 
 p. (-∝,-1] 
 q. (-1,1)∪(5,7) 
 r. (-∝,-4)∪(4/5, ∝) 
 s. (-∝,(-7+ 35 )/2) 
 t. (1/4,3/2) 
 
4.a. (-11/3,1/2)∪(1, ∝) b. (-∝,-1/2] c. ∅ d. (3,6) 
 e. [0, 2 ] f. [2,6] g. [-1/2,-1/5]∪[1/3, ∝) h. (-∝,(-7+ 33 )/2) 
 i. (3,6) j. [1- 2 ,(6- 15 )/3]∪[1+ 2 ,3)∪(3,(6+ 15 )/3] 
 
 
 
PLANO CARTESIANO 
Y LÍNEA RECTA 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 1 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
1. Un cuadrado de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a 
los ejes coordenados. Halle las coordenadas de sus cuatro vértices. Rta: (a,a); (-a,a); 
(-a,-a); (a,-a) 
 
2. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-2), (4,-2), (4,2). Determine las 
longitudes de los catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de la 
hipotenusa. Rta: 6, 5 
 
3. Halle la distancia del origen al punto (a,b). 2 2Rta: a b+ 
 
4. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1). Halle las 
coordenadas del tércer vértice. Rta: (1,1 2 3); (1,1 2 3)+ − 
 
5. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). 
Rta: 20.26 
 
6. Demuestre que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son los vértices de un triángulo isósceles. 
 
7. Demuestre que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo 
y halle su área. Rta: 34 
 
8. Demuestre que los tres puntos (12,1), (-3,-2), (2,-1) son colineales, es decir, que están 
sobre una misma línea recta. 
 
9. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,2), (4,-2) son los vértices de un cuadrado. 
 
10. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del 
otro extremo es 6, halle su ordenada. Rta: 2, -6 
 
11. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3). 
Halle el otro extremo. Rta: (1,-2) 
 
12. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la 
recta, ¿cuál es su ordenada? Rta: 5 
 
13. Demuestre que los puntos (1,6), (9,-2), (-5,-4) son los vértices de un triángulo. 
 
14. Demuestre que el punto (1,-2) es colineal con los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista 
de ellos. 
 
 
 
PLANO CARTESIANO 
Y LÍNEA RECTA 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 2 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2. Rta: 
2x-y+3=0 
 
16. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ángulo de 
inclinación de 45� . Rta: x-y+3=0 
 
17. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es –2. 
Rta: 3x+y+2=0 
 
18. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de 
sus lados. Rta: 2x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+2y-56=0, y=0 
 
19. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-2,2) y 
D(3,-4). Halle su ecuación. Rta: 6x+5y-82=0 
 
20. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección 
de las rectas 2x+y-8=0 y 3x-2y+9=0. Rta: 4x+y-10=0 
 
21. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3): 
a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado 
opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0 
 
22. Las coordenadas de un punto P son (2,6) y la ecuación de una recta l es 4x+3y=12. Halle 
la distancia del punto P a la recta l. Rta: 14/5 
 
23. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el 
punto A(7,-2). Calcule la abscisa de P. Rta: 11 
 
24. Determine el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si 
debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta: A=20/19, B=16/19 
 
25. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el 
punto (-1,-3). Rta: 4x+3y+13=0 
 
26. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. 
Rta: 4 
 
 
 
 
 
PLANO CARTESIANO 
Y LÍNEA RECTA 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 3 de 3 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
27. En las ecuaciones ax+(2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que 
representen rectas que pasan por el punto (2,-3). Rta: a=4, b=7 
 
28. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(2,-3). Rta: 33
41
41 
 
29. Halle la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0. 
Rta: 7
10
 
 
30. Halle la posición relativa de las rectas 72x-123y+235=0, 32y+54x-43=0. Rta: secantes 
 
31. Una recta pasa por los puntos M(x,3) y N(7,-1). Si su pendiente es –4/5, determine el 
valor de “x”. Rta: 2 
 
32. Se tiene el triángulo formado por los puntos A(1,6), B(-5,-2) y C(8,1). Determine: 
a. Su perímetro. Rta: 10 178 73+ + 
b. Su área. Rta: 43 
 
33. Una recta tiene inclinación 3
2π y pasa por el punto A(2,1). Otra recta tiene inclinación 6
π y 
pasa por el punto B(-2,-3). Determine el punto común a ambas. 
 
34. Se dan los puntosA(2,1), B(-2,3) y C(-4,-1). Halle la ecuación de la recta que pasa por el 
punto medio de AB y es perpendicular a la que pasa por B y C. 
 
35. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3): 
a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-27=0, x+2y=0 
b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto 
BC. Rta: 5x+y+9=0 
c. Halle las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección. 
Rta: (8/3,5/3) 
d. Halle las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de 
intersección. Rta: (10/3,5/3) 
e. Halle las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Rta: (4/3,5/3) 
 
36. Los vértices de un triángulo son (1,1), (4,7) y (6,3). Demuestre que el baricentro, el 
circuncentro y el ortocentro son colineales. 
 
37. Halle la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas de ecuaciones 
dadas por x-2y-4=0 y 4x-y-4=0. Rta: ( 17 4 5)x (2 17 5)y 4 17 4 5 0+ − + − − = 
 
 
 
SECCIONES CÓNICAS 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 1 de 5 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) y B(-4,5). Halle 
la ecuación de la curva. Rta. 2 2(x 1) (y 4) 10+ + − = 
 
2. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el 
punto A(2,2). Rta: 2 2(x 7) (y 6) 89− + + = 
 
3. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. 
2 2(x 2) (y 4) 4− + + = 
 
4. La ecuación de una circunferencia es 2 2(x 3) (y 4) 36− + + = . Demuestre que el punto 
A(2,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior. 
 
5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección 
de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. Rta. 2 2(x 6) (y 3) 25− + + = 
 
6. La ecuación de una circunferencia es 2 2(x 2) (y 3) 5+ + − = . Halle la ecuación de la 
tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3). Rta. x+2y-9=0, x-2y+3=0. 
 
7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 2 225x 25y 30x 20y 62 0+ + − − = . 
 Rta. 2 3π 
8. Demuestre que las circunferencias 2 2x y 4x 6y 23 0+ + + − = y 2 2x y 8x 10y 25 0+ − − + = 
 son tangentes. 
 
9. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,2) y (7,3). Halle su ecuación. Rta. 
2 2(x 4) (y 1) 25− + + = , 2 2(x 3) (y 6) 25− + − = 
 
10. Determine el valor de la constante k para que la recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la 
circunferencia 2 2x y 6x 4y 0+ + + = . Rta. k= -1, 25 
 
11. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a 2 2x y 25+ = que pasan por el punto 
(7,-1). 
 
12. Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de 
sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto 14
3
( 5, ) . Rta. 
22 yx
9 49
1+ = , 2 10
7
e = 
 
 
 
 
 
 
SECCIONES CÓNICAS 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 2 de 5 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
13. Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son 
los puntos (3,0), (-3,0). Rta. 
22 yx
16 7
1+ = 
 
14. Los vértices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la 
ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y 
menor y de cada lado recto. 
2 2(x 4) (y 1)
9 8
Rta. 1− −+ = ; focos (5,1) , (3,1); 6, 4 2 , 16/3. 
 
15. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la 
longitud de cada lado recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y las 
coordenadas de sus focos. 
 Rta. 
2 2(x 2) (y 1) 15
25 10 5
1, e , fo cos ( 2 15, 1),( 2 15, 1)+ ++ = = − + − − − − 
 
16. Halle las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (3,-1) a la elipse 
2 22x 3y x y 5 0+ + − − = . Rta. x y 2 0, 9x 191y 218 0+ − = − − = 
 
17. Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en (4,-1), uno de los focos está en 
(1,-1) y pasa por (8,0). Rta. 
2 2(x 4) (y 1)
18 9
1− ++ = 
 
18. La ecuación de una familia de elipses es 2 24x 9y ax by 11 0.+ + + − = Halle la ecuación del 
elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) y (5,1). 
 Rta. 2 24x 9y 16x 18y 11 0+ − − − = . 
 
19. La ecuación de una familia de elipses es 2 2kx 4y 6x 8y 5 0.+ + − − = Halle las ecuaciones 
de aquellos elementos de la familia que tienen una excentricidad igual a .2
1 
 Rta. 2 2 2 23x 4y 6x 8y 5 0; 16x 12y 18x 24y 15 0+ + − − = + + − − = 
 
20. Los vértices de una hipérbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/2. Halle la 
ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. Rta. 
2 2y x
16 20
1− = focos (0,6), 
(0,-6) 
 
21. Si k es un número cualquiera diferente de cero, demuestre que la ecuación 2 23x 3y k− = 
representa una familia de hipérbolas de excentricidad igual a 2 . 
 
22. Halle y trace las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 2 24x 5y 7− = . 
 Rta. 2x 5y 0− = , 2x 5y 0+ = . 
 
 
 
SECCIONES CÓNICAS 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 3 de 5 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
23. Halle los puntos de intersección de la recta 2x 9y 12 0− + = con las asíntotas de la 
hipérbola 2 24x 9y 11.− = Rta. (3,2) 3
2
( ,1)− 
 
24. Halle las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la hipérbola que es 
conjugada a la que tiene por ecuación 2 29x 4y 36− = . 
 Rta. Vértices (0,3), (0,-3); focos (0, 13 ), (0, 13− ), e 13 3= 
 
25. El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la 
excentricidad de la hipérbola es 2, halle su ecuación. 
 
26. Demuestre que la elipse 2 2x 3y 6+ = y la hipérbola 2 2x 3y 3− = tienen los mismos focos. 
 
27. Determine todos los elementos de las siguientes hipérbolas y construya su gráfica: 
a. 2 24x 9y 32x 36y 64 0− + + + = 
b. 2 2x 4y 2x 1 0− − + = 
c. 2 29x 4y 54x 16y 29 0− + + + = 
d. 2 23x y 30x 78 0− + + = 
 
28. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y 5 0− = . Rta. 
2x 20y= − 
 
29. Halle la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos ( 4,3)− y ( 1,3)− , 
respectivamente y la ecuación de su directriz. Rta. 2(y 3) 12(x 4) ; x 7− = + = − 
 
30. Determine todos los elementos de las siguientes parábolas y construya su gráfica: 
a. 24y 48x 20y 71 0− − − = 
b. 29x 24x 72y 16 0+ + + = 
c. 24x 48y 12x 159 0+ + − = 
 
31. La ecuación de una familia de parábolas es 2y ax bx= + . Halle la ecuación del elemento 
de la familia que pasa por los dos puntos (2,8) y ( 1,5)− . Rta. 2y 3x 2x= − 
 
32. Halle la distancia entre el centro de la elipse 2 225x 9y 150x 54y 81 0+ − + + = y el centro 
de la circunferencia 2 23x 3y 12x 4 3y 12 0+ + + + = . Rta. 5.32 
 
33. Diga si 2 2x y 4− = y 2 2x 9y 9+ = son cónicas homofocales (tienen focos iguales). Rta. Si 
 
 
 
SECCIONES CÓNICAS 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 4 de 5 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
34. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse 
2 27x 11y 77+ = ycuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. 2 27x 4y 28− = 
 
35. Dibuje la región limitada por las curvas indicadas: 
 35.1. 2y x 4 , y x 2.= − = + 
 35.2. 2 2x y , x 2y 3.= = − + 
 35.3. y x 1 , y x 1 , y 2x 4.= + = − + = − 
 35.4. 2y 2x 8x 7 , y x 4.= − + − = − 
 35.5. 2y 4 x , y x 2 , x 2 , x 3.= − = − + = − = 
 35.6. 2 2x 16 y , x 6 y . = − = 
 35.7. 2x (y 1) 1 , x 1 y 1 .= + − = − + 
 35.8. 2 2 2 2x 16 y 9 1 , x y 1.+ = + = 
 35.9. 2y x 1 3 , y 4(x 1) .= − + = − 
 35.10. 2 2y x , y 8 x , 4x y 12 0.= = − − + = 
 35.11. 2 22y x 4 , x y .= + = 
 35.12. 3y x 6 , y x , 2y x 0.− = = + = 
 35.13. 
2(x 2) 2 2
y 1 ; y x ; x 4
9 5 5
−= − = + = 
 35.14. 
2x x
y 2x 1 ; y 1 ; y x 5
2 3
= − + = + = − + 
 35.15. = − 2y 2(x 2) , =y 2x 
 35.16. = 24x y , − = 24(8 x) y 
 35.17. y x 5 3= + + , y 0= , x 8= − , x 3= − 
 35.18. 2 2y 1 x ; x y 1 ; (x 1) (y 1) 1≤ + + ≥ − + − ≤ 
 35.19. − = = + =3y x 6 ; y x ; 2y x 0 
 35.20. Primer cuadrante ; 2 2 2 2x y 3 ; x 2y ; y 2x+ ≤ ≤ ≤ 
 35.21. 2
x
x 1 y ; x 1 (y 1) ; y 2 ; y 0
2
= − − = − − = + = 
 35.22. 2x y ; x 1 1 y ; y x= − = + − = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SECCIONES CÓNICAS 
Números Reales y 
Geometría Analítica 
Pág.: 5 de 5 
Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 1 
 
 
36. Dibuje las siguientes curvas: 
 36.1. 
2 2
1
2
2
2
1
2
(x 2) (y 1) 4 1 y 3
y (x 2) 0 y 1
x
y 1 1 y 0
4
y (x 2) 0 y 1
 − + − = ≤ ≤

= + ≤ ≤


+ = − ≤ ≤

 = − ≤ ≤
 
 36.2. 
2 2
2
x y 4 2 x 4
y 2 3 0 2 x 4
y
x 2 4 2 3 y 2 3
3

 − = ≤ ≤
 − = − ≤ ≤


= − + − − ≤ ≤

 
 36.3. 
2 2
2
2 2
x y 16y 60 8 y 10
2x y 4 0 y 8
y 4 x 4 y 0
16(x 2) (y 4) 16 2 x 1
 + = − ≤ ≤

= − ≤ ≤

+ = − ≤ ≤
 + + − = − ≤ ≤ −
 
 36.4. 
2 2
2
x y 4 2 x 4
y 2 3 0 2 x 4
y
x 2 4 2 3 y 2 3
3

 − = ≤ ≤
 − = − ≤ ≤


= − + − − ≤ ≤

 
 36.5. x y 1+ = 
 36.6. 
2y 1 x 0 x 1
x 0 1 y 1
y x 1 0 0 x 1
 = − ≤ ≤
 = − ≤ ≤
 − + = < ≤

 
 36.7. 
2
2 2
2 2
y x 0 x 3
(x 3) (y 2)
1 0 x 3, y 2
9 49
x (y 1) 1 1 x 0
 = ≤ ≤

− − + = ≤ ≤ ≥

 + − = − ≤ ≤

 
 
a.