20 Números de Ocupación

Vista previa del material en texto

Estadística cuántica: repaso . 
Hemos visto que en la estadística cuántica surge de la indistinguibilidad
entre partículas cuánticas, teniendo que pensar en la función de onda
global de un sistema de N partículas cuánticas como un todo. Debido a
ésta indistinguibilidad, surgen dos tipos de partículas (en el mundo
habitual de 3D): bosones y fermiones. Ello surge de la propiedad de
simetría o antisimetría que debe cumplir la función de onda ante el
intercambio de dos partículas. 
Definimos el operador permutación P: 
 
Por lo que si aplicamos el operador P nuevamente 
Esto implica que: 
 
Por lo que al intercambiar dos partículas, la función de onda queda o igual
o multiplicada por un signo menos. Esto puede generalizarse a una función
de onda de N partículas y un operador permutación Pij entre dos partículas
cualquiera.
 
 
Para los fermiones se deriva que se cumple el principio de exclusión de
Pauli. 
Bosones
Fermiones
simétrico ante 
permutaciones
antisimétrico ante 
permutaciones
Por ello, para bosones tenemos que un dado estado cuántico (caracterizado
por los buenos números cuánticos del sistema) puede estar ocupado por un
número cualquiera de partículas, mientras que para fermiones tan solo un
fermión puede ocupar cada estado. 
 
Además, según el teorema spin-estadística, los bosones son partículas con
spin entero mientras que los fermiones son partículas con spin semientero. 
Si queremos considerar un conjunto de partículas que constituyen una
entidad, por ejemplo un átomo, como una única partícula compuesta,
simplemente sumamos los spines, por lo que para bosones la suma no
cambia su carácter bosónico, mientras que si sumamos un número par de
fermiones la partícula compuesta será un bosón. 
Ejemplo: función de onda de dos partículas. 
 
Imaginemos que las partículas pueden existir en dos estados, que
denominamos ∣0> y ∣1>. Su estado conjunto estará dado por un estado
producto, por ejemplo: 
 
denomina al estado donde la partícula 1 está en el estado 0 y la partícula 2
está en el estado 1. La pregunta es, cuales son los posibles estados para estas
dos partículas si ellas son: (a) distinguibles, (b) indistinguibles, pero clásicas
(c) bosones y (d) fermiones . 
(a) Partículas distinguibles: hay cuatro posibles estados. 
 
(b) Partículas indistinguibles, pero clásicas: hay tan solo 3 estados posibles
ya que no hay forma de distinguir el estado ∣0>∣1> del ∣1>∣0>
(c) Bosones: 
Hay tres estados posibles. Claramente los estados ∣0>∣0> y el ∣1>∣1> son
autoestados del operador permutación, pero ∣0>∣1> y ∣1>∣0> no lo son. 
Pero si nos armamos una combinación lineal: 
este estado sí será autoestado del operador permutación P con autovalor +1.
Este estado nos muestra un ejemplo de lo que se denomina entrelazamiento
cuántico: si la primer partícula está en el estado 0 la otra debe ir al estado 1 y
viceversa. También vemos que aquí formamos este estado mediante una
combinación simétrica de estados. 
 
Por lo tanto para bosones tenemos tres estados: 
(d) Para el caso de fermiones, los estados ∣0>∣0> y el ∣1>∣1> no están
permitidos por el principio de exclusión (o por la antisimetría de la función
de onda, que es lo mismo). 
Hay un solo estado posible, el cual es: 
el cual es un autoestado del operador permutación P con autovalor -1. 
Aquí también vemos un ejemplo de entrelazamiento cuántico, y que aquí
formamos este estado mediante una combinación antisimétrica de estados. 
Representación número de ocupación 
Fuente: (Blundel, Cowan, Greiner) . 
 Hemos visto que la simetría de intercambio tiene un efecto importantísimo
sobre la función de onda de dos partículas. Ahora queremos tratar un sistema
de muchas partículas. Como vimos, a los estados de bosones y fermiones
nos lo podemos armar con permanentes o con determinantes de Slater,
respectivamente, pero ya para un número no muy grande de partículas
podemos ver que esta forma de trabajar nos lleva a un cálculo muy complejo
a la hora de armar la función de onda con la simetría correcta. 
En vez de enfocarnos en la función de onda, podemos enfocarnos en sus
números cuánticos. A la hora de tratar un sistema de N partículas cuánticas,
es conveniente trabajar con el formalismo gran canónico y calcular la gran
función de partición de bosones o fermiones. Si las partículas no
interactúan, o son muy débilmente interactuantes, podemos concentrarnos
primero en los estados de una partícula, los cuales etiquetamos con la letra k
(no es un momento). Por ser partículas no interactuantes, los estados de
muchas partículas serán especificados indicando cuantas partículas ocupan
cada estado k. 
Estado de muchas partículas = {n1,n2,n3,...nk,...}
 Energía del estado = 
 Número de partículas = 
Donde εk es la energía del estado k, y es independiente del número de
partículas N, por ser no interactuantes. Aquí la suma corre sobre todos los
estados de una partícula, y no sobre todas las partículas. A nk se lo
denomina número de ocupación del estado. Para fermiones, nkF=0,1
solamente. En cambio, para bosones, nk puede tomar todos los valores
enteros nkB = 0,1,2,3…etc. El conjunto {n1,n2,n3,...nk,…} junto con la
simetría de la función de onda (bosones o fermiones) determina
completamente el estado del sistema. 
Que las partículas no interactúen quiere decir que no existe un potencial
entre ellas (podemos pensar por ejemplo en el potencial coulombiano entre
(2)
(1)
partículas cargadas). Esto nos permite resolver el problema de una partícula
(encontrar sus estados cuánticos) y luego colocar N partículas en ellos
calculando la energía con la fórmula anterior. Sin embargo, que sean no
interactuantes no quiere decir que sean distinguibles entre ellas. Esto se debe
a que sus funciones de onda están solapadas o entrelazadas, lo cual puede
verse como que la longitud de onda térmica al cubo de cada partícula es
mucho mayor que el volumen disponible por partícula. 
La gran función de partición del sistema será: 
donde la suma en el conjunto de números de ocupación {nk} debe tener la
restricción (2) de arriba, de que la suma de los nk dé el número N de
partículas de cada sumando. Pero la suma en {nk} restringida junto con la
suma en todos los números de partículas N es equivalente a sumar en todos
los conjuntos {nk} sin restricciones, salvo la que impone el peso estadístico
que debe tener cada conjunto {nk} de acuerdo al tipo de partículas con las
que estemos tratando, 
Para partículas cuánticas indistinguibles, el peso estadístico del conjunto de
estados {nk} (dado por {n1,n2,n3,…} es: 
 
ya que nk no puede valer más que 1 debido al Ppio. de exclusión de Pauli. 
 
ya que no hay restricciones para el número de ocupación de cada estado. 
Bosones.
Fermiones
En cambio para las partículas distinguibles no hay restricciones en el
número de partículas por estado k, pero dado un conjunto de nk (n1,n2,...etc)
debemos tener en cuenta las permutaciones de partículas que nos dan una
misma energía (ver ejercicio más abajo).
 
Cabe destacar que si hubiéramos elegido trabajar en el canónico, con la
restricción de un número de partículas N fijas en nuestro sistema, esta
restricción habría traido gran dificultad para trabajar con fermiones y
bosones. Tal restricción no existe en el gran canónico, lo cual nos permite
simplificar el cálculo como lo veremos a continuación. 
De manera que podemos escribir, para bosones: 
La suma es una serie geométrica, por lo que 
donde z es la denominada fugacidad 
Finalmente entonces 
Para el caso de fermiones
Podemos sintetizar los dos casos en una sola expresión
donde a=1 para fermiones y a=−1 para bosones. 
Desde la gran función de partición podemos obtenerel gran potencial: 
aunque nos será más útil el gran potencial de cada estado k. 
D istribución de Fermi- Dirac . 
Para el caso de fermiones, el gran potencial de cada estado k nos queda
y el gran potencial total: 
y desde el gran potencial de cada estado k, podemos encontrar el número
medio de partículas en un estado k para fermiones, denominada distribución
de Fermi-Dirac (FD): 
obteniendo finalmente: 
También, como era esperable, 
D istribución de Bose-Einstein . 
Para bosones tenemos, análogamente
la cual se denomina distribución de Bose-Einstein (BE). Podemos ver que
tiene la misma forma que la ocupación de niveles de los osciladores
armónicos cuánticos que utilizamos para el modelo de Einstein del sólido, lo
cual es razonable ya que no había límite para la cantidad de osciladores que
podían encontrarse en un dado nivel de energía. 
 
Aquí también, claramente, 
Podemos sintetizar ambas distribuciones en una sola expresión: 
donde +1 (-1) es válido para fermiones (bosones). Remarcamos nuevamente
que se trata de una ocupación promedio del estado k. 
Límite clásico. Distribución de Maxwell-Boltzmann.
Las distribuciones de BE y FD dan la ocupación media de un estado k con
energía εk, para bosones y fermiones no interactuantes, en función de
(εk−μ)/kT .Cuando esta cantidad es grande, podemos despreciar el 1 en el
denominador, tanto para fermiones como para bosones, y vemos que ambas
distribuciones, en este límite, tienden a un mismo límite que es el de la
distribución de Maxwell-Boltzmann (MB). 
Vemos además que, en este límite, la ocupación media de cada estado es
muy pequeña, comparada con 1. Hay que tener cuidado en pensar que este
límite ocurre para bajas temperaturas (T → 0, β → ∞, εk>μ), ya que esto no es
correcto, pues el potencial químico también depende de la temperatura. Es
mejor pensarlo entonces como un límite de altas energías, para un potencial
químico y temperaturas fijas.
Ejercicio: la distribución de Maxwell-Boltzmann se puede derivar, en vez de
como un límite de las distribuciones de FD y BE, de forma análoga a como
lo hicimos para las distribuciones cuánticas. Hacerlo, partiendo de pensar
cual es el peso estadístico del conjunto {nk}, gMB{nk}, para el caso de
partículas distinguibles, y desde ahí procediendo a calcular su gran función
de partición. 
Distribuciones de Bose-Einstein, Fermi-Dirac y de Maxwell-Boltzmann en 
función del parámetro β(E-μ). 
Fuente: Topics in Statistical Mechanics, B. Cowan 
 
Para β(E-μ) → 0, la ocupación media de los bosones diverge. Ya que este es
un resultado no físico, esto implica que el potencial químico debe ser, para
bosones, siempre menor que la energía del menor valor posible de εk, o sea
del estado fundamental. 
 
Distribuciones de Bose-Einstein, Fermi-Dirac y de Maxwell-Boltzmann en 
función del parámetro β(E-μ) en escala logarítmica. 
Fuente: Concepts in Thermal Physics, S. Blundel.