Angulos-de-la-circunferencia-para-Quinto-Grado-de-Secundaria

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Introducción
a) Ángulo central
El arco de una circunferencia se puede medir en forma 
métrica, es decir, en su longitud o en forma angular. 
Es importante tener medidas angulares iguales, sin 
embargo, sus longitudes no son necesariamente iguales; 
parte de esta definición se utiliza en los relojes.
La medida del ángulo central es igual a la de su arco 
correspondiente.
 ∠AOB : Ángulo central
x = θ
Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, 
siendo uno de sus lados tangente y el otro secante.
A
x
θ
B
P
A
θ
P
x
B
P
A
B
θ Q
xb) Ángulo Inscrito
Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia 
y sus lados son dos secantes.
x = θ2
c) Ángulo Semiinscrito
x = θ
2
 ∠APB : Ángulo semiinscrito
Es el ángulo adyacente al ángulo inscrito.
d) Ángulo Exinscrito
x = θ2
 ∠BPQ : Ángulo exinscrito
A
x θ
B
O
R
• Conocer el concepto de arco.
• Conocer las propiedades de arco.
• Definir las propiedades de cuadrilátero 
inscrito o inscriptible.
Objetivos:
 ∠APB : Ángulo inscrito
ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
e) Ángulo Interior
x =
θ+β
2
β
θ
x
B
A
C
D
f) Ángulo Exterior
θ
β
x
x	= θ-β
2
θ
β
x
x	= θ-β2
θ β
x
x	= θ-β2
1) Calcule x si mAB = 80° y mCD = 20°.
x
A
B
D
C
P
Arco capaz
Es aquel arco en el cual los ángulos inscritos en este arco 
son iguales.
Arco AB : AB
es un arco capaz
Teorema 1
θ + β =180°
Resolución:
Del gráfico: m∠CPD = 
m∠CPD = = 30° 
pero x + m∠CPD = 180° 
																									→ x= 150°
mAB – mCD
2
80° – 20°
2
Propiedades
Teorema 2
Ejemplo:
θ
θ
θ
A
B
arco 
capaz 2θ
R
A B
C
Si AB es diámetro:
 ∠ACB = 90°
β θ
A
B
C
Si A y B son puntos de tangencia:
Si A, B, C y D pueden ser ubicados en una misma 
circunferencia, entonces: 
ABCD : INSCRIPTIBLE
B
C
A D
* Condición para que un cuadrilátero sea 
inscriptible 
a) Primer caso: 
 Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos 
interiores opuestos son suplementarios, es 
inscriptible.
b) Segundo caso: 
 Todo cuadrilátero convexo, cuyo ángulo interior es 
igual al ángulo opuesto exterior, es inscriptible.
B
C
A
D
β
α
Si α + β = 180°, entonces:
 ABCD : INSCRIPTIBLE
B
C
A D
α
α
P
c) Tercer caso: 
 Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales 
determinan con dos lados opuestos ángulos de 
igual medida, es inscriptible.
B
C
A D
α = β
βα
Si A, B y T son puntos de tangencia:
T
A
B
Cuadrilátero Inscrito
Es aquel cuadrilátero convexo que puede inscribirse 
en una circunferencia. Sus cuatro vértices pueden ser 
ubicados en una misma circunferencia. 
Si m∠ABC = m∠CDP, entonces:
ABCD : INSCRIPTIBLE
ABCD : INSCRIPTIBLE
Teorema 3
Si α	= β, entonces:
A
P
B 
Q
C
Propiedades
Teorema 1
APQC : INSCRIPTIBLE
 ∠ATB = 90°
∆ APT isósceles: m∠APT = m∠ATP = 59°
∆ AFT: m∠AFT = 180°– (23°+59°)
 m∠AFT = 98°
En el cuadrilátero inscrito FEGT:
m∠EGT = m∠AFT = 98°
En el ∆ PGT: x + y = 180°– 98°
 x + y = 82°
Luego: 2x + 2y = 164°
 mPB+mTC=164°
Si ABCD es inscriptible, calcula el valor de θ.
θ = 45°
B
D
A C
θ
A
B
C
D20°
10°
θ
A
O B
Teorema 2
APQC : INSCRIPTIBLE
Teorema 3
Resolución:
Como ABCD es inscriptible, entonces: 
θ = m∠ADC = 20° + m∠BDC
Pero : m∠BDC = 10° →			θ = 30° 
B A
O
R
R
θ
x
β
θ
β
R
x+β
C
 
Resolución:
P
A T
C
B
G
E
F
x
y
2x
2y
59°
23°
98°
98° 59°
2) En el gráfico; T y P son puntos de tangencia, además 
mAT + mBC = 148°. Calcule x.
 a) 32° b) 37° c) 42°
 d) 46° e) 52°
A
T P
BC
x
Ejemplo:
Demostración
1) OA ; OC y OB (Radios)
2) AOB (Isósceles)
→ OAC (Isósceles)
Luego: x + x + β	= θ	+	β
														2x = θ
													x = θ2
1) Según el gráfico, calcula mPB + mTC.
 a) 170° b) 150° c) 164°
 d) 160° e) 154°
P
A T
C
B
G
E
F
23°
59°
Ejercicios resueltos
En primer lugar sabemos que la m∠ATP = 90°
Por otro lado: mAT = mTB = 74°
Entonces la m∠TAQ = 37°
Luego en el ATQ:
x = 5µ
Finalmente en el OQB:
 mTQ + mPB = 180°
Resolución:
A
T P
B
C
x
α
2x-θ
α/2
R
x-θ/2
θ
x
α
2
 = x– +xθ
2
2x =α+θ
2
x =α+θ
4
x =148°
4
(1) en (2)
x = 37°
...(2)
3) Según el gráfico; T, P y Q son puntos de tangencia. 
 Calcule mTQ + mPB.
 a) 120° 
 b) 135° 
 c) 150°
 d) 180° 
 e) 270°
Por dato: α	+ θ	= 148° ...(1)
De la figura:
mTC = 2x – θ m∠A = x –
mRP = 2x m∠RPT = x
En el ∆ TAP; por teorema del ángulo exterior:
θ
2
A
T
O B
P
Q
L
θ/2
α α
θ
θ/2α/2
Resolución:
4) En el gráfico; α	+ β	= 150°. Calcule x.
 a) 130° 
 b) 140° 
 c) 150°
 d) 160° 
 e) 170°
Resolución:
Dato: α	+ β	= 150° ...(1)
En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple:
m∠M = m∠APC = α
En la circunferencia menor:
m∠APC = m∠B = α
Finalmente en el ∆ABC: 
x = α+β
x = 150° 
5) En la figura mostrada, calcula x.
 a) 1µ 
 b) 2µ 
 c) 3µ
 d) 4µ 
 e) 5µ
Los puntos colineales son:
L,T y P ; T, Q y B
TO es mediatriz de LB, entonces el ∆LTB es isósceles:
m∠L = m∠B = θ/2
Pero: mTQ = mQB= α
α βx
α
α
P
N
A C
B
M 2α
Resolución:
P
x
74
74
3
A C
B
T
Q
32°
74°
37°
A
T
O B
P
Q
α
2
θ
2
 + = 90° α	+ θ	= 180°
α βx
PA C
B
T
Q
32°
3
x
Nivel I
1. Calcula m BM si ABCD es un 
cuadrado.
B
A
C
D
M
a) 20° b) 30° c) 45°
d) 53° e) 60°
2. Si TP = 4 y AB = 6, calcula 
 m TL .
T
A O
P
L
B
a) 30° b) 37° c) 45°
d) 53° e) 60°
3. Calcula m AB .
40°
A
B
O
a) 20° b) 40° c) 50°
d) 80° e) 100°
4. Calcula x si m AB = 80°.
A
x
O
B
a) 20° b) 40° c) 50°
d) 60° e) 80°
Nivel II
5. Halla x.
A
B
Cx 20°
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 30°
6. E n l a f i g u r a , ha l l a x s i 
 m∠A + m∠C = 100°.
A C
B
x
a) 80° b) 60° c) 50°
d) 40° e) 45°
7. Calcula x si O es centro.
C
OA B
x
40°
a) 65° b) 85° c) 55°
d) 45° e) 75°
Nivel III
8. Calcula m∠BAC.
20°
B
C
DA
a) 50° b) 10° c)20°
d) 40° e) 70°
9. Calcula AB si CD = 2 2 y 
AD = 7
A
B
C
D
30°
a) 3 b) 1 c) 5 
d) 4 e) 2
10. Halla x si m AB = 100°
x
A
BC
40°
a) 5° b) 50° c) 36°
d) 68° e) 10°
Trabajando en Clase
 
Rpta : Rpta :
Rpta :Rpta :Rpta :
1. En la figura, halla θ. 
F
A
2θ θ M
4. Halla x si m AB = 100°.
40° x
B
A
3. Calcula x si O es centro.
80°
O
x
2. Si AB = 140° y m∠APT = 50°, calcula x.
A B
P
T
x
50°
Tarea domiciliaria N° 6
Rpta : Rpta :
Rpta :Rpta :
6. Calcula x.
A
B
C
Q P
x
x
30°
20°
8. Calcula x si m AB = 60°.
x
B
A
O
 5. Calcula x.
x
100°
40°
7. Calcula m AB si m∠OAB = 40°.
A B
O
70°