S08 s1 - Aplicaciones de ecuaciones lineales de orden superior

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APLICACIONES DE 
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante modela y resuelve problemas utilizando 
ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.”
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan en:
✓ Mecánica y Electricidad.
✓ A problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
Entre otros.
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
MOVIMIENTO 
LIBRE
1MOVIMIENTO LIBRE NO
AMORTIGUADO
Suponga que un resorte flexible se suspende verticalmente de
un soporte rígido y luego se une una masa 𝒎 a su extremo
libre. Por la ley de Hooke. el resorte mismo ejerce una fuerza
restauradora 𝑭 opuesta a la dirección de elongación y
proporcional a la cantidad de elongación s,
𝑭 = 𝒌𝒔
donde 𝒌 es una constante de proporcionalidad llamada
constante de resorte.
Después que se une una masa m a un resorte, este alarga el
resorte por una cantidad 𝒔 y logra una posición de equilibrio
en la cual su peso 𝑾 = 𝒎𝒈 se equilibra mediante la fuerza
restauradora 𝒌𝒔, la condición de equilibrio es
𝑾 = 𝒎𝒈 = 𝒌𝒔 ó 𝒎𝒈− 𝒌𝒔 = 𝟎
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
1MOVIMIENTO LIBRE NO
AMORTIGUADO
Si la masa se desplaza por una longitud 𝑥 de su posición de equilibrio, la
fuerza restauradora del resorte es 𝒌(𝒙 + 𝒔). Suponiendo que no hay
fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la
masa vibra libre de otras fuerzas externas (movimiento libre) se puede
igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la
fuerza restauradora y el peso.
𝒎
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
= −𝒌 𝒔 + 𝒙 + 𝒎𝒈 = 𝒎𝒈− 𝒌𝒔 − 𝒌𝒙
donde la masa se mide en slugs; kg y 𝒈 =
𝟑𝟐𝒑𝒊𝒆𝒔
𝒔𝟐
= 𝟗, 𝟖𝒎/𝒔𝟐
si dividimos la ecuación anterior entre 𝑚 , obtenemos la ecuación
diferencial que describe el movimiento armónico simple o movimiento libre
no amortiguado
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
Datos/Observaciones
ALGUNAS CONSIDERACIONES:
1. El periodo del movimiento es T =
2π
ω
2π
2. La frecuencia de movimiento es 𝑓 =
1
𝑇
=
𝜔
2𝜋
es el número de ciclos completado cada segundo.
3. 𝜔 =
𝑘
𝑚
(medido en radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema.
4. 𝐴 = 𝑥0
2 +
𝑣0
2
𝜔2
, donde 𝑐1 = 𝑥0, 𝑐2 =
𝑣0
𝜔
5. 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
6. 𝑡𝑎𝑛𝜙 =
𝑥0𝜔
𝑣0
=
𝑐1
𝑐2
Ejemplo 1.
Una masa que pesa 2 libras alarga un resorte 6 pulgadas. En 𝑡 = 0 se libera la masa desde un punto que está 8
pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de
4
3
𝑝𝑖𝑒/𝑠. Determine la ecuación de
movimiento.
Solución:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 ⟶
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
4
1/16
𝑥 = 0 ⟶
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 64𝑥 = 0
Ecuación auxiliar 𝑚2 + 64 = 0
Raíces 𝑚 = ±8𝑖
𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 8𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 8𝑡
𝑥′(𝑡) = −8. 𝑐1𝑠𝑒𝑛 8𝑡 + 8. 𝑐2 cos 8𝑡
Reemplazando los datos iniciales
𝑥 0 = 𝑐1 cos 0 =
2
3
⟶ 𝑐1 =
2
3
𝑥′ 𝑡 = 8. 𝑐2 cos 0 = −
4
3
⟶ 𝑐2 = −
1
6
La ecuación del movimiento es:
𝑥 𝑡 =
2
3
cos 8𝑡 −
1
6
𝑠𝑒𝑛 8𝑡
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑊 = 2𝑙𝑏
𝑠 = 6 𝑝𝑢𝑙𝑔 =
𝟏
𝟐
𝒑𝒊𝒆
𝑥 0 = 8 𝑝𝑢𝑙𝑔 =
𝟐
𝟑
𝒑𝒊𝒆
𝑥′(0) = −
4
3
𝑝𝑖𝑒/𝑠2
𝑊 = 𝑚𝑔 𝑊 = 𝑘𝑠
2 = 32𝑚 2 = 𝑘
1
2
1
16
= 𝑚 𝑘 = 4
Ejemplo 2.
Una masa que pesa 32 libras alarga un resorte 2 pies. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si la 
masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad 
ascendente de 2 pies/s. Encuentre la ecuación del movimiento.
Solución:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 16𝑥 = 0
Ecuación auxiliar 𝑚2 + 16 = 0 raíces 𝑚 = ±4𝑖
𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 4𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 4𝑡
𝑥 ′(𝑡) = −4. 𝑐1𝑠𝑒𝑛 4𝑡 + 4. 𝑐2 cos 4𝑡
Reemplazando los datos iniciales
𝑥 0 = 𝑐1 cos 0 = −1 ⟶ 𝑐1 = −1
𝑥 ′ 𝑡 = 4. 𝑐2 cos 0 = −2 ⟶ 𝑐2 =
−1
2
La ecuación del movimiento es: 
𝑥 𝑡 = − cos 4𝑡 −
1
2
𝑠𝑒𝑛 4𝑡
Amplitud 𝐴 = 𝑐1
2 + 𝑐2
2 =
5
4
; Periodo 𝑇 =
2𝜋
4
=
𝜋
2
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑊 = 32𝑙𝑏
𝑠 = 2𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑥 0 = −1𝑝𝑖𝑒
𝑥′(0) = −2 𝑝𝑖𝑒/𝑠2
𝑊 = 𝑚𝑔 𝑊 = 𝑘𝑠
32 = 32𝑚 32 = 2𝑘
1 = 𝑚 𝑘 = 16
Reemplazando el la ecuación
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 ⟶
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
16
1
𝑥 = 0
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
2 MOVIMIENTO LIBRE
AMORTIGUADO
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que supone que no hay fuerzas
retardadoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío
perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante.
En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton que
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −𝛽
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑘𝑥
donde 𝛽 es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del
hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.
Al dividir la ecuación entre la masa m se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre
amortiguado es
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝛽
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
Ejemplo 3.
Solución:
𝑥′′ + 2𝑥′ + 10𝑥 = 0
Ecuación auxiliar 𝑚2 + 2𝑚 + 10 = 0 raíces 𝑚 = −1 ± 3𝑖
𝑥 𝑡 = e−t(𝑐1 cos 3𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 3𝑡 )
𝑥 ′(𝑡) = e−t((−𝑐1+3𝑐2) cos 3𝑡 + −3𝑐1 − 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 )
Reemplazando los datos iniciales
𝑥 0 = 𝑐1 cos 0 = −2 ⟶ 𝑐1 = −2
𝑥 ′ 0 = (−𝑐1+3𝑐2) cos 0 = 0 ⟶ 𝑐2 =
𝑐1
3
𝑐2 =
−2
3
La ecuación del movimiento es:
𝑥 𝑡 = e−𝑥 −2cos 3𝑡 −
2
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑡
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑊 = 16 𝑙𝑏
𝑠 = 3,2 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝛽 = 1
𝑥 0 = −2𝑝𝑖𝑒
𝑥′(0) = 0 𝑝𝑖𝑒/𝑠2
𝑊 = 𝑚𝑔 𝑊 = 𝑘𝑠
16 = 32𝑚 16 = 3,2𝑘
1
2
= 𝑚 5 = 𝑘
Reemplazando el la ecuación
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝛽
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
1
1/2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
5
1/2
𝑥 = 0
Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En el equilibrio el resorte
mide 8,2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la
posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos 𝑥(𝑡) si se sabe además que el medio
circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
Ejemplo 4.
Solución:
Ecuación auxiliar 𝑚2 + 8𝑚 + 16 = 0 raíz 𝑚 = −4
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒
−4𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
−4𝑡
𝑥′ 𝑡 = −4𝑐1𝑒
−4𝑡 + 𝑐2𝑒
−4𝑡 − 4𝑐2𝑡𝑒
−4𝑡
= −4𝑐1 + 𝑐2 𝑒
−4𝑡 − 4𝑐2𝑡𝑒
−4𝑡
Reemplazando los datos iniciales
𝑥 0 = 𝑐1 = −1
𝑥 ′ 0 = −4𝑐1 + 𝑐2 = 8 ⟶ 𝑐2 = 4
La ecuación del movimiento es: 
𝑥 𝑡 = −𝑒−4𝑡 + 4𝑡𝑒−4𝑡
Luego 𝑥 𝑡 = 0 → 𝑡 =
1
4
que es el tiempo en el que la masa 
pasa por su posición de equilibrio.
También 𝑥𝑚á𝑥 = 𝑥
′ 𝑡 = 0 → 𝑡 =
1
2
y 𝑥 𝑡 = 𝑒−2
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑊 = 4 𝑙𝑏
𝑘 = 2 𝑙𝑏/ 𝑝𝑖𝑒
𝛽 = 1
𝑥 0 = −1𝑝𝑖𝑒
𝑥′(0) = 8 𝑝𝑖𝑒/𝑠2
𝑊 = 𝑚𝑔
4 = 32𝑚
1
8
= 𝑚
Reemplazando el la ecuación
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝛽
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
1
1/8
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
2
1/8
𝑥 = 0
𝑥′′ + 8𝑥′ + 16𝑥 = 0
Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 Ib/pie. El medio ofrece una fuerza de
amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado
a 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que
la masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante?
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Una masa de 1 kg se une a un resorte de constante 𝑘 = 4 𝑁/𝑚. El medio ofrece una
fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a cinco veces la velocidad
instantánea. La masa se libera desde un punto situado 0,3 m arriba de la posición de
equilibrio,con una velocidad descendente de 2,4 m/s. Determine el tiempo en el que la
masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza su
desplazamiento extremo. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante?
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar las 
unidades en las que 
se va a trabajar.
2.Plantear 
adecuadamente la 
ecuación diferencial 
a resolver.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto las 
aplicaciones de las 
ecuaciones 
diferenciales lineales 
de orden superior.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones