P_sem02_Ses08_Prueba de Hipótesis para una media con varianza conocida y desconocida

Vista previa del material en texto

SESIÓN 8
Estadística Inferencial
SUMARIO
1. Prueba de Hipótesis para la media poblacional con
varianza conocida.
2. Prueba de Hipótesis para la media poblacional con
varianza desconocida.
LOGRO
Al finalizar la clase, el estudiante estará en la capacidad de formular hipótesis
para la media poblacional con varianza conocida y desconocida.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
Paso 1: Planteamiento de la hipótesis
𝛼/2 𝛼/2
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
H0: 𝜇 = 𝜇0
H1: 𝜇 ≠ 𝜇0
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
𝛼
𝑍
1−
𝛼
2
𝑍𝛼
2
𝛼
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
1 − 𝛼
H0: 𝜇 ≤ 𝜇0
H1: 𝜇 > 𝜇0
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
𝑍1−𝛼
𝛼
𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
H0: 𝜇 ≥ 𝜇0
H1: 𝜇 < 𝜇0
𝑵𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒂𝒛𝒂 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝛼
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
Paso 2: Establecer el nivel de significancia (α). El cual puede ser: 0.01, 0.05, 0.10, etc. 
Paso 3: Estadístico de prueba:
Caso 1: Varianza poblacional conocida
Caso 2: Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra pequeño (n < 30) 
𝑍𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇hip
𝜎
𝑛
𝑍𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇hip
𝑆
𝑛
Si la Varianza poblacional desconocida y 
tamaño de muestra grande (n ≥ 30) (TLC) 
𝑇𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇hip
𝑆
𝑛
Grado de libertad: 𝑛 − 1
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
Paso 4: Región de Rechazo de H0 (RH0) y región de No Rechazo de la H0 (NRH0)
Paso 5: Decisión Estadística
 Rechazar H0 si Zcal o tcal se encuentra en la región de rechazo.
Con los valores de la muestra hallar el valor de la estadística de prueba Z o t, llamado Zcal o tcal
 No Rechazar H0 si Zcal o tcal se encuentra en la región de no rechazo.
𝛼/2 𝛼/2
𝑹 𝒉𝟎𝑹𝒉𝟎 𝑵𝑹𝒉𝟎
𝛼
𝑍
1−
𝛼
2𝑍𝛼
2
𝛼
𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝑵𝑹 𝒉𝟎
𝑍1−𝛼
𝛼
𝑹 𝒉𝟎
𝑵𝑹 𝒉𝟎
1 − 𝛼
𝛼
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
PROBLEMA 1:
Una máquina está calibrada para embolsar cereales a un
peso promedio de 500 g. Cada cierto tiempo el jefe de
control de calidad realiza una inspección para determinar
si debe mandar a calibrar la máquina. Para tomar una
decisión toma una muestra aleatoria de 36 bolsas y
encuentra un promedio de 496.5 g. ¿A que conclusión
llegará el jefe de control de calidad, si suponemos que el
peso se distribuye normalmente con una desviación
estándar de 9 g? Use un 5% de significancia.
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
SOLUCIÓN:
X: peso de la bolsa de cereal, la cual tiene una distribución
normal.
Paso 1:
H0: μ = 500 g (Las bolsas de cereal pesan en promedio 500 g)
H1: μ ≠ 500 g (Las bolsas de cereal no pesan en promedio 500 g)
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.05
Datos población
𝜎 = 9
Datos Muestra
𝑛 = 36
ത𝑋 = 496.5 g
Paso 3: Estadístico de prueba: (𝜎: conocida, n>30)
𝑍𝑐 =
ത𝑋 − 𝑢
𝜎
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
SOLUCIÓN:
Paso 4:
 ,96.196.1, o
Región crítica para α dado:
𝛼 = 0.05
𝑁𝑅 ℎ0
ൗ𝛼 2
1 − 𝛼
𝑍 1− ൗ𝛼 2
= 1,96
𝑅 ℎ0
𝑍 ൗ𝛼 2
= −1,96
𝑅ℎ0
𝑍𝑐 = −2.33
Se rechaza ℎ0 Si:
Paso 5: Decisión con estadístico de prueba:
Cálculo de Zcal : 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 =
496.5 − 500
9
36
= −2.33
Paso 6: Conclusiones:
H0: μ = 500 g
H1: μ ≠ 500 g
Con un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística para concluir que el peso promedio
de las bolsas de cereal no pesan 500 gramos. Se justifica enviar a calibrar la máquina.
Se rechaza ℎ0
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
PROBLEMA 2:
En estudios previos se ha determinado que el nivel de
colesterol promedio de pacientes con problemas cardíacos es
220. Un cardiólogo piensa que en realidad el nivel es más alto y
para probar su afirmación usa la muestra:
217 223 225 245 238 216 217 226 202 233
235 242 219 221 234 199 236 248 218 224
¿Habrá suficiente evidencia estadística para apoyar la afirmación
del cardiólogo? Justificar su respuesta con un α = 0.05.
fuente: http://academic.uprm.edu/eacuna/miniman7sl.pdf
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
SOLUCIÓN:
La variable de estudio es el nivel de colesterol de los pacientes,
el cual tiene una distribución normal.
Paso 2: Nivel de significancia:  = 0.05
Paso 1: Plantear Hipótesis
H0: μ = 120 (El nivel promedio de colesterol es 220)
H1: μ > 120 (El nivel promedio de colesterol es mayor que 220)
Datos población
No hay datos
Datos Muestra
𝑛 = 20
ത𝑋 = 225.9
𝑆 = 13.09
Usa tu calculadora!
Paso 3: Estadístico de prueba:
𝑇𝑐 =
ത𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA
MEDIA POBLACIONAL
SOLUCIÓN:
Paso 4: Región crítica para α dado:
09.13,90.225  Sx
Si: tcal >ttabla se rechaza H0.
𝛼1 − 𝛼
𝑇 1−𝛼,𝑛−1 =𝑇 0.95,19 = 1.729
𝑹 𝒉𝟎𝑵𝑹 𝒉𝟎
𝛼 = 0.05
𝑇𝑐𝑎𝑙 =
225.90 − 220
13.09
20
= 2.02
Paso 5: Decisión

Paso 6: Conclusiones
Con un nivel de significación del 5% existe evidencia estadística de que el nivel de colesterol 
promedio de los pacientes con problemas cardíacos es mayor a 220. 
𝑇𝐶 = 2.02
EJERCICIO INDIVIDUAL
Resolveremos el 
siguiente ejercicio de 
manera individual
5 minutos!!
EJERCICIO INDIVIDUAL
Resultados obtenidos 
en el dosaje etílico
0.4 0.3 0.5 0.6 0.7 0.2
0.4 0.3 0.6 0.2 0.1 0.1
Se realiza un control a los conductores, deteniendo a los autos que circulan a altas horas de la 
noche, midiendo a sus conductores el grado de alcohol consumido en decigramos de alcohol por 
litro de sangre. Se muestra a continuación el resultado contenido en 12 conductores tomados 
aleatoriamente.
Suponiendo que los resultados en dosaje etílico se distribuyen normalmente. Pruebe usted la 
hipotesis que sostiene que el grado medio de alcohol consumido por los conductores es 
menor a 0.6 decigramos de alcohol por litro de sangre. Use ∝=0.05.
Calculadora: muestra: ത𝑋 = 0.37, 𝑆 = 0.2
Grupos de 4 Estudiantes
Vamos a los 
ejercicios propuestos 
de la separata!!
TALLER GRUPAL
TALLER GRUPAL
ES FUNDAMENTAL QUE TODOS PARTICIPEN EN LAS
DELIBERACIONES, EXPONIENDO SUS PUNTOS DEL VISTA.
EVITANDO QUE ALGÚIEN SE ADJUDIQUE UN
PROTAGONISMO DESMEDIDO, O TOME UNILATERALMENTE
DECISIONES QUE AFECTAN A TODOS.
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Para qué sirve la prueba de hipótesis de la 
media poblacional?
2. ¿Cuál es la influencia de la varianza en la
prueba de hipótesis de la media
poblacional?