Analitica 2cuat 2015 completo parte 1

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Facultad de Ciencias 
Veterinarias 
 
U.B.A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área Bioestadística 
2015 – 2do. Cuatrimestre 
Estadística Analítica 
Guía de Trabajos Prácticos 
1ra. Parte 
 II 
Cronograma 2015 – 2do. Cuatrimestre 
 
Sem lunes 
1 18/8 
Revisión de conceptos relativos a inferencia. Intervalos de confianza y pruebas 
de hipótesis para la diferencia de medias de dos poblaciones (hasta test t con 
varianzas desconocidas y distintas inclusive). 
2 24/8 
Continuación con valores centrales (medias/medianas) de dos poblaciones pa-
ramétrico y no paramétrico. Intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para 
el valor central (media/mediana) de las diferencias. 
 
3 31/8 
Intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para la diferencia de proporciones 
de dos poblaciones. Distribución F. Intervalos de confianza y pruebas de hipóte-
sis para el cociente de varianzas de dos poblaciones. 
4 7/9 
Ejercitación. Introducción al Diseño de experimentos y Diseño Completamente 
Aleatorizado. 
5 14/9 Diseño Completamente Aleatorizado (continuación). Modelo paramétrico. 
6 21/9 Diseño Completamente Aleatorizado. Modelo no paramétrico. 
7 28/9 
 
Ejercitación e integración (1er. Parcial: sábado 3 de octubre) 
 
8 5/10 
Estadístico de Chi cuadrado para pruebas de bondad de ajuste. Pruebas de In-
dependencia. 
9 12/10 Estadístico de Chi cuadrado para Pruebas de Homogeneidad. Ejercitación. 
10 19/10 
Regresión Lineal Simple: Supuestos del Modelo y Estimadores. Dócima de hipó-
tesis e intervalo de confianza utilizando la t de Student. 
11 26/10 
Regresión lineal simple: Intervalos de predicción y de confianza. ANOVA en la 
regresión. Coeficiente de determinación. 
12 2/11 Regresión Lineal Múltiple. Correlación lineal Simple paramétrica. 
13 9/11 
 
Correlación Simple no paramétrica. Ejercitación 
14 16/11 
 
Integración. Revisión y consulta. (2do. Parcial: sábado 21 de noviembre) 
 
15 23/11 
 
-------- 
16 30/11 Recuperatorio: Jueves 3 de Diciembre, a las 18 hs 
 
 
 
 III 
NOTA IMPORTANTE: 
 
La cátedra publica solamente la 
GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS 
y la GUIA DE FORMULAS Y TABLAS 
para la cursada de esta materia. 
Cualquier otra publicación NO CUENTA 
CON LA APROBACION DE LA CATEDRA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía 
 
 
 Cantatore de Frank, Norma M.: Manual de Estadística Aplicada. Ed. Hemis-
ferio Sur. 1ra. Edición. Buenos Aires. Capítulos: 4, 5, 6, 7, 8, 12 y 13. 
 
 Cappelletti, Carlos A.: Elementos de estadística. Cesarini Hnos. Editores. 
2da. Edición. Bs. As. Capítulos 8, 9, 10, 11, 13 y 14. 
 
 Daniel, Wayne W.: Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la 
salud. 3ra. Edición. Uteha, Noriega Editores. México. Capítulos: 5, 6, 8, y 10. 
 
 
 
 
 IV 
Sistema de Evaluación de Estadística Analítica 
Se tomarán dos parciales, que serán calificados en una escala de 0 a 10, en for-
ma global. 
Las condiciones de LIBRE, ASISTENCIA CUMPLIDA, REGULAR Y PROMO-
CIÓN se obtienen si se cumplen las situaciones con respecto a calificación y 
asistencia que abajo se detallan. 
 
ASISTENCIA: Concurrencia a las clases teórico-prácticas en un porcentaje: 
LIBRE: inferior al 75% 
ASISTENCIA CUMPLIDA y REGULAR: mayor o igual al 75% 
PROMOCIÓN: mayor o igual al 80% 
 
CALIFICACIÓN: 
 
 SEGUNDO PARCIAL 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
 
 P
R
IM
E
R
 P
A
R
C
IA
L
 
1 LIBRE LIBRE LIBRE AC AC 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
2 LIBRE LIBRE LIBRE AC AC 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
3 LIBRE LIBRE LIBRE AC AC 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
4 AC AC AC AC AC 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
COL 
5 AC AC AC AC AC 
REC 
1P 
REC 
1P 
REC 
1P 
COL COL 
6 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REG REG PROM PROM PROM 
7 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REG PROM PROM PROM PROM 
8 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
PROM PROM PROM PROM PROM 
9 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
COL PROM PROM PROM PROM PROM 
10 
REC 
2P 
REC 
2P 
REC 
2P 
COL COL PROM PROM PROM PROM PROM 
Siendo: 
AC: asistencia cumplida 
COL: coloquio 
PROM: promoción 
REC 2P: recupera 2do. Parcial 
REC 1P: recupera 1er. Parcial 
REG: regular 
 
NOTA 
1. Los alumnos que estén ausentes a un parcial y presenten certificado oportu-
namente en la cátedra lo rendirán en la fecha de recuperatorio y si posteriormen-
te quedan en situación de recuperar un parcial se les asignará una fecha. 
2. Los alumnos que recuperan algún parcial consiguen como máximo la condición 
de REGULAR. 
3. Los coloquios se tomarán en forma oral sobre los contenidos que involucra el 
parcial de menor puntaje y definen la condición del alumno. 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 1 
Unidad 1: INFERENCIA para DOS POBLACIONES 
 
Objetivos específicos: 
 
 Comprender la importancia de diseñar experimentos. 
 Analizar la adecuación de cada diseño en función del contexto de la investigación. 
 Aplicar los conceptos de inferencia estadística a la comparación de dos poblaciones, utilizando como 
procedimientos la estimación y la prueba de hipótesis. 
 Seleccionar el procedimiento de inferencia adecuado en función del objetivo y del cumplimiento de los 
supuestos. 
 Resolver problemas e interpretar conclusiones aplicando los métodos de análisis sobre dos 
poblaciones. 
 
Contenidos temáticos: 
 Diseño de experimentos: necesidad, ventajas, propósitos, definiciones previas. Tipos de diseños y 
alcances. 
 Revisión de conceptos relativos a la estimación puntual y por intervalos. Intervalos de confianza 
para la diferencia de medias y para la media de las diferencias. Estimaciones para la diferencia de dos 
proporciones, para el cociente de varianzas, y para el cociente de desvíos estándar. 
 Revisión de conceptos relacionados con las pruebas de hipótesis. Prueba de hipótesis para: 
diferencia de medias en base a dos muestras independientes: diferencia de medias, cociente de 
varianzas, diferencias de proporciones. Muestras apareadas: media de las diferencias. 
 Relación entre intervalo de confianza y prueba de hipótesis bilateral. Aplicaciones. 
 
Glosario: 
Diseño de experimentos: experimento, unidad experimental, tratamiento, factor, niveles de un factor, 
observación, efecto. Repetición, aleatorización, control local. Estudios observacionales, pre-
experimentales, cuasiexperimentales y experimentales. 
Inferencia para dos poblaciones: Población, muestra. Parámetro. Estimador. Estimación. Estimador 
puntual. Intervalo. Intervalo de confianza. Nivel de confianza. Hipótesis de trabajo. Hipótesis estadística. 
Hipótesis nula y alternativa. Error tipo I y tipo II. Nivel de significación. Región crítica. Regla de decisión. 
Distribución F de Snedecor. Diferencia de medias y de proporciones, cociente de varianzas para muestras 
independientes. Muestras apareadas: media de las diferencias. 
 
El diseño de experimentos 
La ciencia, tiene entre sus objetivos la explicación y comprensión de los acontecimientos. Un requisito 
fundamental en toda ciencia fáctica es el contraste de las hipótesis planteadas, poniendo a prueba las 
mismas mediante una confrontación con la experiencia. 
El diseño experimental crea las condiciones para el contraste de la hipótesis y brinda la metodología es-
tadística correspondiente para el análisis de los datos. 
Es el proceso de planear un experimento para obtener datos apropiados que puedan ser analizados 
mediante métodos estadísticos, con objeto de producir conclusiones válidas y objetivas. La metodolog-
ía estadística es el único enfoque objetivo para analizar un problema que involucre datos sujetos a 
errores experimentales. Así es que hay dos aspectos en cualquier problema experimental: el diseño del 
experimento y el análisis estadístico de los datos. 
 
El propósito deldiseño experimental es controlar la máxima cantidad de información pertinente al pro-
blema bajo investigación. Sin embargo también es importante que el diseño o plan sea tan simple co-
mo sea posible, a fin de ahorrar tiempo, dinero, personal y material experimental. 
Para que la metodología de diseño de experimentos sea eficaz es fundamental que el diseño sea el ade-
cuado. Un experimento puede realizarse por alguno de los siguientes motivos: 
 Determinar los factores principales que influyen sobre la variable respuesta. 
 Encontrar las condiciones experimentales con las que se consigue un valor extremo en la variable 
de interés o respuesta. 
 Comparar las respuestas en diferentes niveles de observación de variables controladas. 
 Obtener un modelo estadístico-matemático que permita hacer predicciones de respuestas futuras. 
 
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 2 
Para poder realizar un buen diseño experimental, es necesario previamente comprender el problema 
que se desea estudiar, planteándose un conjunto de preguntas clásicas: 
1- ¿Cuáles son las características de interés? 
2- ¿Qué variables afectan a las características que se van a analizar? 
3- ¿Cuántas veces debería repetirse el experimento? 
4- ¿A partir de qué valor se considerará que el efecto es significativo? 
Lo cual conduce a elegir las variables más apropiadas y sus niveles de medición, elegir la o las res-
puestas a evaluar y el modelo de diseño. 
Para responder estas preguntas es necesario definir claramente algunos términos fundamentales: 
 Experimento: es un ensayo o una observación, realizado bajo condiciones establecidas y contro-
ladas por el experimentador, susceptible de repetirse bajo las mismas condiciones. 
 Variable de interés o respuesta: es la variable que se desea estudiar. 
 Unidad experimental: es la parte más pequeña de material experimental, entidad física o sujeto, 
en la que se aplica un tratamiento una sola vez. También puede entenderse como cada una de las 
reproducciones del experimento. 
 Tamaño del Experimento: es el número total de observaciones recogidas en la ejecución del ex-
perimento. Ejemplo: si se asignan 10 gallinas a cada una de tres dietas el tamaño del experimento es 
30. 
 Factor: es una variable que se sospecha que puede ejercer influencia sobre la variable respuesta 
de interés. 
 Factor controlado: se denomina así a una variable manipulada por el investigador o variable in-
dependiente, a fin de estudiar su influencia sobre la variable de interés o dependiente. Algunos autores 
la denominan variable de entrada al proceso. Ejemplo: si pensamos que la temperatura o la humedad 
pueden afectar a la conservación de cierta propiedad de un alimento o medicamento, se puede contro-
lar manteniendo dicho producto con tres valores distintos de temperatura. 
 Niveles del factor: son cada una de las categorías, o valores, o formas específicas que adopta la 
variable independiente o controlada. Ejemplo: en el caso de las tres dietas, el factor dieta tiene tres 
niveles; en el caso del rodeo, el factor tiene dos niveles. 
 Tipos de factores: existen factores cuantitativos, cuyos niveles son cantidades numéricas, y cuali-
tativas, cuyos niveles son procedimientos o cualidades. Ejemplo de factor cuantitativo puede ser la 
cantidad de fertilizante adicionado a las parcelas de cultivo por hectárea con niveles: 10kg/ha – 20 
kg/ha -30 kg/ha de fertilizante. Ejemplo de factor cualitativo puede ser el tipo de nutriente adicionado a 
una dieta con niveles: potasio, magnesio y calcio. 
 Tratamiento: conjunto de condiciones experimentales o procedimientos creados para el experi-
mento en función de la hipótesis de investigación a las que se someterá a las unidades experimentales 
en un diseño elegido. Con varios factores es una de las combinaciones específicas de los niveles de 
los factores de estudio, y en un diseño unifactorial es uno de los distintos niveles del factor en el caso. 
Por ejemplo: si se asignan tres dietas distintas a las gallinas de un criadero, cada una de las dietas es 
un tratamiento. Si en un tambo se combinan tres raciones de alimentación dos rodeos con vacas en 
ordeñe (uno con vacas de alta producción y el otro con las de baja producción). Cada combinación de 
rodeo y ración constituye un tratamiento (6 tratamientos). 
 Observación: valor que asume una variable, también denominada variable respuesta, en una de-
terminada realización del experimento, es decir cada registro realizado en el contexto del experimento 
de la variable respuesta. 
 Efecto: diferencia entre los valores medios poblacionales de la variable respuesta en presencia y 
ausencia de un nivel del factor. Si la variable respuesta de interés es el engorde semanal medido en 
gramos de una gallina con cierta dieta enriquecida, el efecto es la diferencia entre el engorde medio 
poblacional con la dieta enriquecida y el engorde medio poblacional con la dieta tradicional, ambos 
medidos en gramos. 
 Diseño equilibrado o balanceado: es el diseño en el que todos los tratamientos son asignados a 
un número igual de unidades experimentales, en el cual se obtiene la misma cantidad de repeticiones 
por tratamiento. Por ejemplo hay cuatro vacas en cada combinación de rodeo y nutriente para el agua. 
 
Principios Básicos del diseño experimental 
 
Los tres principios básicos que caracterizan a un diseño experimental: 
 
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 3 
 Repetición: cuando un tratamiento es aplicado a más de una unidad experimental. Las observacio-
nes repetidas con las mismas condiciones experimentales en el contexto de un experimento no coinci-
den necesariamente, y por lo tanto una de las cuestiones fundamentales a la hora de diseñar un expe-
rimento es la selección del tamaño de muestra o número de repeticiones adecuado en cada contexto. 
Las razones por las cuales es deseable realizar repeticiones del experimento son: 
a- Proporcionar una estimación del error experimental (error generado por causas no controladas por 
el experimentador), que actúa como unidad básica de medida para indicar el significado de las di-
ferencias. 
b- Obtener mayor precisión en la estimación. 
c- Permitirnos extender el alcance de la inferencia relativa al experimento. 
 
El error experimental según el contexto puede reflejar: 
 errores de experimentación 
 errores de observación 
 errores de medición 
 variación del material experimental 
 
El error experimental puede reducirse generalmente adoptando una o más de las técnicas siguientes: 
 usando material experimental tan homogéneo como sea posible. 
 utilizando información proporcionada por otras variables aleatorias 
 teniendo cuidado al dirigir el experimento 
 usando un diseño experimental más eficiente. 
 
 Aleatorización: Todo procedimiento de prueba se basa en un conjunto de supuestos que deben 
satisfacerse para que la prueba resulte válida. Una de las suposiciones más frecuentes es que las ob-
servaciones, o los errores en ellas, son independientes. Dicho en otras palabras la aleatorización 
hace válida la prueba. 
 
 Control local: Se denomina de esta manera al conjunto de acciones que implementa el investiga-
dor con el fin de reducir al máximo posible el error experimental manteniéndolo en un rango de varia-
ción manejable. 
Por ejemplo: selección de unidades experimentales homogéneas, división en bloques, calibración de 
instrumentos, etc. 
 
Tipos de estudios de investigación 
Los estudios observacionales son un conjunto de estudios en los que no hay intervención por parte 
del investigador y este se limita a medir las variables que define en el estudio. Por ejemplo, los estu-
dios epidemiológicos. 
 
Ventajas de los estudios observacionales 
1. Son más prácticos y factibles de realizar ya que la cooperación de los sujetos es menos necesaria 
2. Sus resultados son más generalizables a poblaciones, geográfica o demográficamente definidas.Inconvenientes de los estudios observacionales 
1. Escaso control de las influencias de los factores de confusión sobre los resultados del estudio. 
(Los factores de confusión son factores no tenidos en cuenta que pueden llegar a modificar los re-
sultados de un análisis). 
2. Debido a la falta de control por parte del investigador, cada estudio observacional tiende a ser úni-
co, siendo muy difícil reproducir los resultados por otro investigador. 
Los estudios pre-experimentales se caracterizan por analizar una única variable y prácticamente no 
existe ningún tipo de control. No existe manipulación de la variable independiente ni se utiliza el grupo 
de control; por consiguiente son escasas las posibilidades de que este grupo sea representativo de los 
demás. Este tipo de diseño consiste en administrar un tratamiento o estímulo en la modalidad de solo 
pre-prueba / posprueba. 
Un estudio de intervención, también llamado estudio experimental, es un estudio caracterizado por 
la manipulación artificial del factor de estudio por el investigador y por la aleatorización de los casos o 
sujetos en dos grupos, llamados control y tratado. 
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 4 
Cuando la característica de la aleatorización en el estudio no se cumple, se dice que el estudio es 
cuasiexperimental. La falta de aleatorización de los estudios cuasiexperimentales indica que no existe 
manera de asegurar la equivalencia inicial de los grupos denominados experimental y de control. 
También es usual que, en un experimento, se utilicen controles históricos. El problema que presenta 
este tipo de diseño es que el grupo actualmente en tratamiento puede presentar importantes diferen-
cias relativas al tratamiento respecto al grupo de control histórico. Los trabajos con controles históricos 
están generalmente sesgados a favor del tratamiento, mientras que los experimentos aleatorios evitan 
este tipo de sesgo. 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
1) Mediante los estudios ecográficos, los bebés pueden actualmente ser observados mientras están en 
el seno materno. Sin embargo, gran cantidad de experimentos desarrollados en animales de laborato-
rio dieron como resultado que la aplicación de ultrasonidos podía ser la causa de que el peso al nacer 
fuese inferior al normal. 
 Ante el temor de que esta conclusión fuese aplicable a los humanos, un grupo de especialistas del 
Hospital John Hopkins de Baltimore puso en marcha un estudio para investigar el tema. En el mismo 
se observó el peso al nacimiento de los bebés que estuvieron expuestos a controles ecográficos (ultra-
sonido) y de los que no estuvieron expuestos. 
 También en este caso los bebés expuestos al ultrasonido durante el embarazo pesaban en su ma-
yoría al nacer menos que aquellos que no lo habían estado, pero un dato a tener en cuenta es que los 
obstetras recomendaban el ultrasonido cuando sospechaban que el embarazo no se desarrollaba con 
normalidad. 
a) ¿Se trata de un estudio observacional o experimental? ¿Por qué? 
b) ¿Puede concluirse que el ultrasonido influye sobre el peso del nacimiento? 
 
Solución: 
a) Se trata de un estudio observacional, porque no hay intervención del investigador. 
b) Los bebés expuestos al ultrasonido y los no expuestos presentaban diferencias que no tenían nada 
que ver con el hecho de ser tratados o no. De modo tal que los investigadores tuvieron un conjunto de 
factores de confusión con el cual enfrentarse. La conclusión del estudio fue, por lo tanto, que las eco-
grafías y el menor peso de los bebés tenían una causa común: problemas durante el embarazo. 
 
2) Mediante la siguiente experiencia se quiere determinar si una droga reduce el nivel promedio de gluco-
sa en sangre (glucemia) en una línea de ratas diabéticas. 
Se tomaron al azar 40 ratas de esta línea y se les suministró la droga (grupo tratado). Al mismo 
tiempo se tomaron otras 30 ratas de la misma línea y se les suministró un placebo (grupo control). 
Los niveles sanguíneos de glucosa (mg/ml) en las ratas fueron: 
Tratadas con droga Tratadas con placebo 
1,82 1,89 1,39 1,79 1,27 1,73 2,01 1,74 1,91 1,52 1,41 
1,88 1,88 1,66 1,93 1,56 1,93 1,70 1,74 2,16 1,60 1,70 
1,69 1,94 1,62 1,44 1,68 1,99 1,82 1,40 1,68 1,57 1,91 
1,83 1,60 1,58 2,12 1,61 1,91 1,70 
2,15 1,91 1,93 2,22 2,18 1,75 1,93 2,03 
2,37 1,65 2,09 1,75 2,00 2,23 2,10 1,95 2,18 
1,95 1,92 2,01 2,48 1,67 2,23 1,96 1,87 2,06 
2,00 2,26 1,94 1,89 
 
 
 
 
 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p(una cola) 
Droga 40 1,73 0,20 0,97 0,7640 
 
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Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p(una cola) 
Placebo 30 2,02 0,20 0,97 0,7499 
 
a) ¿Es la droga efectiva para reducir el nivel promedio de glucosa en sangre, al 5%? Asuma que la 
droga no modifica la varianza poblacional del nivel de glucosa en sangre, y que ésta es conocida, 
simbólicamente 
2
droga=
2
placebo =0,04 mg
2
/ml
2
 
 
b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la media poblacional de la 
glucemia de las ratas tratadas con droga y la media poblacional de la glucemia de las ratas tratadas con 
placebo. 
 
Datos del problema: 
 
 Variables en estudio 
 X1: nivel de glucosa de una rata de una línea diabética, tratada con droga, en mg/ml 
 X2: nivel de glucosa de una rata de una línea diabética, tratada con placebo, en mg/ml 
 Tamaños de las muestras: n1= 40 y n2= 30 
 Varianzas poblacionales: Conocidas e iguales. (
2
1 = 
2
2 = 0,04 mg
2
/ml
2
) 
 Nivel de significación: =0,05 
 Nivel de confianza: 1 -  = 0,95 
 
Solución: 
a) 
 La hipótesis de trabajo que se desea poner a prueba es: 
“El empleo de la droga disminuye el nivel medio de glucosa en sangre de ratas de la línea diabética” 
 
 Verificación de supuestos: Para poder plantear las hipótesis estadísticas y llevar a cabo la prue-
ba, hay que verificar los supuestos teóricos necesarios. En este caso, los supuestos son que ambas 
variables (X1 y X2) sean independientes y se distribuyan normalmente. El supuesto de independencia 
se cumple por la forma en que se realizó el experimento: a un grupo de ratas, tomadas al azar, se le 
suministró la droga y a otro grupo, también tomado al azar, se lo trató con placebo. 
 
Para X1: se realizó un gráfico de cuantil-cuantil (qqplot) para estudiar la normalidad de la variable. En este 
gráfico se comparan dos distribuciones, la de los datos muestrales y la de una normal. Cuando los puntos 
están perfectamente alineados, se infiere que la distribución es exactamente normal, si los puntos están 
muy cercanos a la línea, la distribución es aproximadamente normal, grandes apartamientos de esta es-
tructura indican falta de normalidad. Esto sin embargo no tiene la fuerza de un test estadístico es una 
técnica exploratoria. 
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 6 
 
 
 
Observando el gráfico se puede ver que los 
puntos no se alejan mucho de la recta, sin 
embargo, por ser un gráfico, no se puede hacer 
inferencia sobre el comportamiento distribucional 
de la variable a nivel poblacional. Para poder 
concluir a nivel poblacional es necesario un test 
de normalidad. En Elementos de Estadística se 
estudió la prueba Shapiro-Wilks, para verificar 
normalidad, cuyas hipótesis son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0 1 1 1
2
1 1 1 1
: ~N ; 
: no se distribuye normalmente N ; 
H X
H X
 
 




 
 
En todos los casos para esta prueba utilizaremos un nivel de significación del 10% 
Al realizar el test, utilizando InfoStat, se obtuvieron los siguientes resultados: 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p (una cola) 
X1 40 1.73 0.20 0.97 0,7640 
 
Como p-valor= 0,7640 y es mayor que =0,10, no se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto, con un 
nivel designificación del 10% se puede decir que la variable X1 (nivel de glucosa en sangre de una rata 
tratada con droga, en mg/ml) se distribuye normalmente en esta población de ratas de línea diabética 
en estudio. 
Análogamente se estudia la normalidad de la variable X2: 
 
 
 
 
 
 
 
2
0 2 2 2
2
1 2 2 2
: ~N ; 
: no se distribuye normalmente N ;
H X
H X
 
 




 
 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p (una cola) 
X2 30 2.02 0.20 0.97 0,7499 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7 
Como p-valor = 0,7499 y es mayor que =0,10, no se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, con un 
nivel de significación del 10%, se puede decir que la variable X2 (nivel de glucosa en sangre de una 
rata tratada con placebo, en mg/ml) se distribuye normalmente en esta población de ratas de una línea 
diabética en estudio. 
Una vez verificado el supuesto teórico se puede seguir adelante con la prueba. 
Nota: este test no será necesario si la información asegura distribución normal de la variable. 
 Hipótesis estadísticas. 
El interés del investigador es probar si la droga disminuye el nivel medio de glucosa en sangre, 
por lo tanto quiere saber si la media del nivel de glucosa en sangre de ratas tratadas con droga es me-
nor que la media del nivel de glucosa en sangre de las ratas tratadas con placebo. 
Simbólicamente: 1 2  . Esta expresión no lleva el signo igual, por lo tanto debe corresponder a 
la hipótesis alternativa. Es decir que las hipótesis estadísticas son: 
0 1 2
1 1 2
:
:
H
H
 
 



 
Equivalentemente podría escribirse 
0 1 2
1 1 2
: 0
: 0
H
H
 
 
 

 
 
o también 
0 2 1
1 2 1
: 0
: 0
H
H
 
 
 

 
 
 
Cualquiera de estas formas expresan las mismas hipótesis estadísticas. Sin embargo hay que 
elegir una expresión para poder continuar con la prueba manteniendo la elección a lo largo de todo el 
análisis y concluir para las hipótesis elegidas. Si esto no se mantiene se podría estar concluyendo 
erróneamente. En este caso se va a trabajar 
 
con: 
0 1 2
1 1 2
:
:
H
H
 
 



 
 Nivel de significación: =0,05 
 Estadístico de prueba (o variable pivotal) 
 
Se está realizando un test de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales, por lo cual se 
cuenta con dos opciones al elegir la variable pivotal: Z o t de Student, dependiendo del conocimiento o 
no las varianzas poblacionales. En este caso las varianzas poblacionales son conocidas, por lo tanto 
se utiliza Z, la expresión de la variable pivotal es: 
   
 
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
0;1
X X
Z N
n n
 
 
  


 
 Región crítica: 
Observando la hipótesis alternativa (del par de hipótesis elegidas), se ve que la región crítica es unila-
teral izquierda. Se llega a esta conclusión analizando que si 1 2  , entonces, en la mayoría de los 
casos debería ser 1 2X X , lo que hará que el numerador de por resultado un número negativo y el 
denominador siempre es positivo (desvío estándar poblacional) así que el cálculo de la variable pivotal 
será negativo en la mayoría de los casos en que se cumpla la hipótesis alternativa, esto me indica que 
la región crítica es unilateral izquierda. 
Por lo tanto el valor crítico es: 0,05 1,64z   y la región crítica es: 1,64Z   
 Regla de decisión: 
Rechazo H0 si 1,64
oH
Z   
No rechazo H0 si 1,64
oH
Z   
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 8 
 Cálculo de ZHo: 
Hasta este momento no utilizamos los valores muestrales, excepto en la verificación de supues-
tos, sin embargo se podría haber hecho con muestras piloto y recién en esta instancia extraer las 
muestras para el análisis. Antes de calcular el valor del estadístico de prueba hay que calcular las me-
dias muestrales utilizando las fórmulas dadas en la unidad de estadística descriptiva de Elementos de 
Estadística:
1 21,73; 2,02x x  . Hay que tener en cuenta que la prueba se está realizando bajo la 
hipótesis nula que contiene el caso en que las medias poblacionales son iguales, por lo tanto la dife-
rencia de las medias poblacionales es cero, es decir que 
1 2 0   . Se utiliza esta igualdad en la 
prueba debido a que 1 2 0   es el valor extremo entre la hipótesis alternativa y la hipótesis nula, la 
decisión que se tome se cumplirá para cualquier otro resultado que valide la hipótesis nula (
1 2  ). 
Reemplazando estos valores y el resto de la información en la fórmula nos queda: 
 
     1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
1,73 2,02 0 0,29 0,29
6,017
0,04820,04 0,04 0,001 0,00133
40 30
X X
Z
n n
 
 
      
     


 
 Decisión: Se rechaza la hipótesis nula porque 6,017
oH
z   , es menor que –1,64, o sea que 
ZCALCULADO < ZCRITICO. 
 Conclusión: Con un nivel de significación de 5% tengo evidencia suficiente para rechazar la hipó-
tesis nula ( 0 1 2:H   ), por lo tanto la media poblacional del nivel de glucosa en sangre de ratas dia-
béticas tratadas con droga es menor que la media poblacional del nivel de glucosa en sangre de ratas 
diabéticas tratadas con placebo, en estas poblaciones de ratas diabéticas. Por lo tanto puedo decir 
que la droga es efectiva. 
b) La fórmula del intervalo del 95% que se está pidiendo se despeja de la variable pivotal y es: 
   
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 21 1
2 2
1 2 1 2
;x x z x x z
n n n n
 
   
 
 
      
  
 
 
reemplazando se obtiene que 
 
   
   
0,04 0,04 0,04 0,04
1,73 2,02 1,96 ; 1,73 2,02 1,96
40 30 40 30
0,29 1,96 0,0023; 0,29 1,96 0,0023
0,29 0,0939; 0,29 0,0939 0,3839; 0,1961
 
       
 
      
 
       
 
 
Por lo tanto el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales 1 2  es: 
[-0,3839 mg/ml; -0,1961 mg/ml] 
Conclusión: Con un nivel de confianza del 95%, se espera que el intervalo [-0,3839 mg/ml; -0,1961 
mg/ml] cubra o abarque a la diferencia entre la media poblacional del nivel de glucosa de las ratas tra-
tadas con droga y la media poblacional del nivel de glucosa de las ratas tratadas con placebo, en estas 
poblaciones de ratas diabéticas. 
 
NOTA: Observemos que el 0 (cero) no está incluido en el intervalo de confianza, y que ambos límites 
son negativos, lo cual es indicador de que la diferencia es negativa. Sin embargo, hay que tener en 
cuenta que el IC no es equivalente a la prueba de hipótesis realizada en el punto anterior porque la 
prueba es unilateral. 
 
3) Se tomó una muestra aleatoria de 21 cerdos Yorkshire del norte de la provincia de Buenos Aires. Los 
mismos tenían 3 meses de edad y pesos homogéneos, y se los separó, aleatoriamente, en dos lotes. Al 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 9 
lote 1 se le asignó una ración estándar (A) y al lote 2 otra con distinta formulación (B). La siguiente tabla 
contiene las ganancias de peso de cada animal, luego de 30 días de experiencia, expresadas en kg. 
 
Lote 1(A) 24 26 25 23 28 27 28 24 29 29 
Lote 2(B) 26 32 28 25 29 27 28 27 27 28 30 
 
 
Por estudios anteriores se sabe que ambas variables se distribuyen normalmente con varianzas igua-
les, pero desconocidas. 
a) ¿Se puede suponer, al 5%, que la ganancia media de peso de los animales alimentados con la 
ración B supera significativamente la ganancia media de peso de los animales alimentados con ración 
A? 
b) Construir un intervalo para la diferencia de medias al 95%. ¿Qué puede concluir? 
 
Datos del problema: 
 Variables en estudio: 
XA: ganancia de peso de un cerdo Yorkshire de 3 meses de edad del norte de la provincia de Bs. As. 
alimentado con la ración estándar A 
XB: ganancia de peso de un cerdo Yorkshire de 3 meses de edad del norte de la provincia de Bs. As. 
alimentado con la formulación distinta B 
 Tamaños de las muestras: nA=10 y nB=11 
 Varianzas Poblacionales: A
2 
= B
2
 = 
2(desconocidas) 
 Nivel de significación: =0,05 
 Nivel de confianza: 1 -  = 0,95 
 
Solución 
a) 
 Hipótesis de trabajo: “La ganancia media de peso de los animales alimentados con la ración B supera 
la ganancia media de peso de los animales alimentados con ración A” 
 Verificación de supuestos: En este caso, a diferencia del ejercicio anterior, en el enunciado se 
asegura la normalidad de ambas variables, por estudios anteriores. Por lo tanto no es necesaria la 
prueba de Shapiro–Wilks para verificarla. Por otro lado el supuesto de independencia también se cum-
ple por la forma en que se realizó el experimento: a un grupo de cerdos, tomado al azar, se lo alimenta 
con la ración A y al otro grupo, también tomado al azar, se lo alimentó con la ración B. Es decir que: 
XA  N (A, 
2
) y XB  N (B, 
2
) son variables aleatorias independientes. Observar que ambas va-
riables tiene la misma varianza poblacional. 
 Hipótesis estadísticas: La hipótesis de trabajo simbólicamente nos lleva a la expresión: B A  , por 
lo tanto esta corresponde a la hipótesis del investigador que ubicamos en la hipótesis alternativa. 
0
1
:
:
B A
B A
H
H
 
 



 
nuevamente, existen diversas formas de plantear la misma hipótesis, como por ejemplo: 
0
1
: 0
: 0
B A
B A
H
H
 
 
 

 
 
y otras más. En este caso, se trabajará con la segunda expresión y se concluirá para esta expresión: 
0
1
: 0
: 0
B A
B A
H
H
 
 
 

 
 
 
 Nivel de significación: =0,05 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 10 
 Variable pivotal: En este caso, como en el ejercicio anterior, se está realizando un test para la 
diferencia de medias poblacionales, por lo tanto hay dos opciones para la variable pivotal (Z o t-Student). 
Como las varianzas poblacionales son desconocidas no se puede utilizar la variable Z, por lo tanto se 
utilizará la variable pivotal t de Student, cuya fórmula es: 
   
 2
1 1 A B
B A B A
n n
a
A B
x x
t t
s
n n
 
 
  


 
Donde sa es la raíz cuadrada positiva de la estimación de la varianza amalgamada, es decir que la 
varianza muestral amalgamada es un promedio ponderado entre la varianza muestral de la variable XA y la 
varianza muestral de la variable XB, y estima a la única varianza poblacional que se desconoce, 
2
. 
 Región crítica: Observando la hipótesis alternativa planteada se deduce que la región crítica es 
unilateral derecha (es decir que se rechaza la hipótesis nula a valores grandes de la variable pivotal). Se 
llega a esta conclusión analizando que si 0B A   , entonces, en la mayoría de los casos debería ser 
0B Ax x  , lo que hará que el numerador de por resultado un número positivo y el denominador 
siempre es positivo (desvío estándar poblacional) así que el cálculo de la VP será positivo en la mayoría 
de los casos en que se cumpla la hipótesis alternativa, esto me indica que la región crítica es unilateral 
derecha. El valor crítico que se utiliza es 2;1 10 11 2;0,95 19;0,95 1,729A Bn nt t t       , por lo tanto la región 
crítica es: 1,729t  . Gráficamente: 
 
 
 
 Regla de decisión: Rechazo H0 si 1,729
oH
t  y no rechazo H0 si 1,729
oH
t  
 Cálculo: Para obtener el valor calculado del estadístico de prueba, hay que realizar ciertos cálcu-
los auxiliares (
2
A B aX ;X yS ) utilizando las fórmulas habituales para las medias y las varianzas muestra-
les, y la siguiente fórmula para la varianza amalgamada: 
2 2
2 ( 1) ( 1)
2
A A B B
a
A B
n s n s
s
n n
  

 
 
Se obtuvo:
2 226,3 ; 27,91 ; 4,90 ; 3,69A B A Bx x s s    y 
2 (9)4,90 (10)3,69 44,1 36,9 4,26
10 11- 2
as
 
 

 
 = 
19
 
por lo tanto 2,06as  
 
Reemplazando estos valores en la fórmula de la variable pivotal queda: 
 
     
0
27,91 26,3 0 1,61 1,61 1,61
1,78
2,06*0,44 0,9061 1 1 1 21
2,06 2,06
10 11 110
B A B A
H
a
A B
x x
t
s
n n
     
     
 
 
 
Como 
0
1,78Ht  y utilizando la regla de decisión se rechaza la hipótesis nula ya que 1,78 es mayor 
que 1,729. 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 11 
 Conclusión: Con un nivel de significación del 5% tengo evidencia suficiente para rechazar la hipó-
tesis nula (Ho: B - A  0), por lo tanto, la diferencia entre la media poblacional de la ganancia de peso 
de los cerdos alimentados con la ración B y la media poblacional de la ganancia de peso de los cerdos 
alimentados con la ración A es mayor a cero, en estas poblaciones de cerdos de 3 meses de raza 
Yorkshire del norte de la provincia de Buenos Aires. 
 Respuesta: Se puede suponer, al 5%, que la ganancia media poblacional del peso de los cerdos 
alimentados con la ración B supera significativamente a la ganancia media poblacional del peso de los 
cerdos alimentados con la ración A en esta población de cerdos Yorkshire de 3 meses de edad del nor-
te de la provincia de Bs. As. 
Para este problema, la salida de InfoStat correspondiente es: 
Prueba T para muestras Independientes 
Gr(1) Gr(2) n(1) n(2) media(1) media(2) p(Var.Hom.) T p prueba 
{A} {B} 10 11 26,30 27,91 0,6623 -1,78 0,0452 Unilat 
 
Nota: InfoStat compara grupos en orden alfabético, por lo cual la prueba es unilateral izquierda, o sea 
que utiliza H1: A-B<0. Para la comparación es indistinta la forma en que se plantea la diferencia, 
siempre que se respete el sentido de la misma. El valor de t observado es el mismo que obtuvimos al 
aplicar la fórmula, pero de signo opuesto, por haber invertido el orden de la diferencia. 
Si se presenta la salida de computadora, existe la opción de la regla de decisión y decisión con el valor 
de T dado en la tabla así como también con el p-valor de la prueba (0,0452) comparándolo con el  
utilizado. Por ser un curso de introducción a la materia, la cátedra recomienda la regla de decisión y 
decisión con el estadístico de contraste bajo la hipótesis nula, T. 
Como puede verse, al realizar la Prueba T para muestras independientes, también se realiza una 
prueba para evaluar la Homogeneidad de Varianzas (luego se analizará en detalle en el resuelto 6), el 
p-valor es 0,6623, por lo que se cumple este supuesto. 
 
En este caso, en que la región crítica es unilateral 
izquierda, el cálculo del p valor es: 
p valor= P (t  V.Calc.) = P (t19 -1,78) 
 
 
 
 
 
Ahora, si consideramos la región crítica derecha que 
planteamos al principio, el p valor se grafica y se calcula de la 
siguiente forma, dado que la región crítica es unilateral 
derecha: 
p valor= P (t  V.Calc) = P (t19≥ 1,78) 
 
b) La fórmula del intervalo de 95% de confianza para la diferencia de medias se deduce de la distribución 
de la variable pivotal: 
2;1 /2 2;1 /2
1 1 1 1
( ) ;( )
A B A BB A n n a B A n n a
A B A B
x x t s x x t s
n n n n
      
 
      
 
 
Reemplazando con los valores correspondientes queda: 
   
     
10 11 2;0,975 10 11 2;0,975
1 1 1 1
27,91 26,3 *2,06 ; 27,91 26,3 *2,06
10 11 10 11
1,61 2,093*2,06*0,44; 1,61 2,093*2,06*0,44 1,61 1,90; 1,61 1,90 0,29; 3,51
t t   
 
       
 
       
 
Por lo tanto el intervalo pedido es: [-0,29 Kg; 3,51 Kg] 
Conclusión: Con un nivel de confianza del 95% se espera que el intervalo [-0,29 Kg; 3,51 Kg] cubra o con-
tenga a la diferencia entre la media poblacional de la ganancia de peso de los cerdos alimentados con la 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 12 
ración B y la media poblacional de la ganancia de peso de los cerdos alimentados con la ración A, en es-
tas poblaciones de cerdos Yorkshire de 3 meses del norte de la provincia de Buenos Aires. 
 
NOTA: Tener en cuenta que en este caso el IC no es equivalente a la prueba de hipótesis porque la 
prueba es unilateral. 
 
4) En un experimento referido al uso de la vitamina B12 en casos de anemiaperniciosa durante el período 
de remisión, se administró, por vía intramuscular, 30 g de B12 a un total de 10 pacientes tomado al azar. 
En ellos se midió la concentración de hemoglobina en sangre (mg%) en dos momentos, al inicio del 
tratamiento y luego de tres meses. Los valores observados se muestran en la siguiente tabla: 
 
 Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Hemoglobina 
(mg%) 
Inicial (I) 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 12,3 13,0 12,7 13,0 
Después de 3 
meses (F, o final) 
13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,0 14,2 15,1 15,9 14,5 
¿Hay aumento significativo de hemoglobina después del tratamiento al nivel del 5%? 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p (una cola) 
D 10 -1,79 0,84 0,97 0,9425 
 
 
Datos del problema: 
 Variable en estudio: 
D: diferencia entre la concentración de hemoglobina en sangre (en mg%) al inicio del tratamiento 
con vitamina B12 y la concentración de hemoglobina en sangre (en mg%) después de tres meses del 
tratamiento con vitamina B12, de un paciente con anemia perniciosa. 
En símbolos: di = ii - fi 
En la siguiente tabla están calculados los valores correspondientes a la diferencia planteada: 
di -0,8 -2,1 -1,3 -2,2 -2,5 -0,3 -1,9 -2,1 -3,2 -1,5 
 
Nota: En este caso se utilizará: di = ii - fi, pero también se podría haber definido la variable como d i = 
fi - ii. La definición de esta variable debe quedar clara al comienzo de la resolución del ejercicio y debe 
mantenerse a lo largo del mismo. 
 Nivel de significación: =0,05 
Solución: 
 Hipótesis de trabajo: “Hay aumento significativo del nivel de hemoglobina después del tratamiento” 
 Antes de plantear las hipótesis estadísticas hay que analizar los supuestos teóricos para la situación 
planteada, ya que no es igual a las anteriores, dado que no hay independencia entre las mediciones reali-
zadas, ya que se realizaron dos veces sobre cada individuo, al inicio y al finalizar los 3 meses de aplicado 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 13 
el tratamiento con vitamina B12. Por esta razón no se van a comparar las medias en los diferentes tiempos, 
sino que se va estudiar la media de la variable diferencia. 
 Verificación de supuestos: En este caso, solamente hay que probar la normalidad de la variable Di. El 
otro supuesto teórico corresponde a la independencia entre las diferentes unidades experimentales que se 
cumple por el tipo de muestreo realizado. No confundir con “X1 y X2 no son independientes” en la misma 
unidad experimental. 
 
 
 
2
0
2
1
: ;
: ;
D D
D D
H D se distribuye normal
H D no se distribuye normal
 
 




 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
 
Variable n Media D.E. W* p (una cola) 
D 10 -1,79 0,84 0,97 0,9425 
 
 
 Como 0,9425 es mayor que 0,10, no se rechaza la hipótesis nula. Entonces, con un nivel de significa-
ción del 10% se puede concluir que la diferencia entre la concentración de hemoglobina en sangre (mg%) 
al inicio del tratamiento con vitamina B12 y la concentración de hemoglobina en sangre (mg%) luego de 3 
meses de tratamiento con vitamina B12 en pacientes con anemia perniciosa se distribuye normalmente en 
esta población de pacientes con anemia perniciosa en estudio. 
Simbólicamente  2;D DD N   
 
 Hipótesis estadísticas: si el tratamiento produce un aumento en el nivel de hemoglobina en 
sangre, los niveles de hemoglobina medidos a los 3 meses deberían ser mayores que los medidos al 
inicio del tratamiento, es decir que la variable D = I – F, tendría una media negativa. Simbólicamente 
0D  . 
La definición de la hipótesis alternativa depende exclusivamente de la definición de la variable en 
estudio, por esta razón debe quedar clara la forma en que se realiza la diferencia entre Ii y Fi. 
Luego, las hipótesis estadísticas son: 
0
1
: 0
: 0
D
D
H
H





 
 Variable pivotal: Por ser una prueba de medias apareadas la opción más usual para la variable 
pivotal es una t de Student (difícilmente se conocerá la varianza de la variable diferencia) con la 
siguiente fórmula:  1
D
n
D
d
t t
s
n



 . Observar que esta expresión es la misma que la utilizada en 
Elementos de Estadística para estudiar una población, la variable estudiada es D, su media muestral 
es d y su varianza muestral es 2Ds . 
 Región crítica: Observando la hipótesis alternativa planteada, se ve que la región crítica es 
unilateral izquierda, con valor crítico: 1;0,05 10 1;0,05 9;0,95 1,83nt t t      (los grados de libertad son 10 
- 1, porque hay 10 diferencias). Se llega a esta conclusión analizando que si 0D  , entonces, en la 
mayoría de los casos debería ser 0d  , lo que hará que el numerador de por resultado un número 
negativo y el denominador siempre es positivo (desvío estándar poblacional) así que el cálculo de la 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 14 
VP será negativo en la mayoría de los casos en que se cumpla la hipótesis alternativa, esto me indica 
que la región crítica es unilateral izquierda. Por lo tanto, la región crítica queda definida como 
1,83t  . Gráficamente: 
 
 Regla de decisión: Rechazo H0 si 1,83
oH
t   y no rechazo H0 si 1,83
oH
t   
 Cálculo: Para obtener el valor calculado del estadístico de prueba hay que realizar ciertos cálculos 
auxiliares (
2
Dd y s ), utilizando las fórmulas habituales para la media muestral y la varianza muestral, 
sobre las 10 diferencias. 
Utilizando los valores calculados para di (ver la tabla correspondiente al plantear la forma de realizar la 
misma), se obtuvo 1,79d   y 2 0,71Ds  , reemplazando en la fórmula de la variable pivotal: 
1,79 1,79
6,7
0,84 0,26
10
oH
t
 
    . 
Como el valor observado –6,7 es menor que –1,83, vale decir pertenece a la región crítica, se rechaza 
la hipótesis nula. 
 Conclusión: Con un nivel de significación del 5% tengo evidencia suficiente para rechazar la 
hipótesis nula ( 0D  ), por lo tanto la media poblacional de las diferencias entre la concentración de 
hemoglobina en sangre (mg%) de pacientes con anemia perniciosa al inicio del tratamiento y la 
concentración de hemoglobina en sangre (mg%) de pacientes con anemia perniciosa después de tres 
meses de iniciado el tratamiento con vitamina B12 es menor que cero, en la población de pacientes con 
anemia perniciosa. Por lo cual la hemoglobina aumenta significativamente luego del tratamiento con 
vitamina B12. 
 A continuación se da la salida del programa InfoStat para este problema 
 
Prueba T para un parámetro Valor del parámetro probado: 0 
Variable n Media DE T p(Unilateral I) 
D 10 -1,79 0,84 -6,72 <0,0001 
 
Nota: con un p-valor tan pequeño puede decirse que esta es una decisión “fuerte“. 
 
 
Para el caso de que la región crítica sea unilateral 
izquierda, el cálculo del p valor es: 
P-valor= P (t  V.Calc.) 
 
Nota: Al comienzo del ejercicio se definió la variable 
diferencia como: di = ii - fi, Se recomienda realizar de nuevo la prueba, pero definiendo de la otra forma 
a la variable y observar qué se modifica y qué permanece igual. 
 
5) Se desea estudiar si una nueva dieta logra un incremento significativo en el peso con respecto a una 
dieta normal en conejos de raza Nueva Zelandia. Se seleccionan 10 pariciones, de cada una de ellas 
se extraen dos conejos machos de 120 días de vida, asignando de manera aleatoria, la forma de ali-
mentación. Los resultados fueron los siguientes: 
 
Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Peso dieta normal (kg) (X1) 3,9 3,8 4,2 4,8 4 3,5 3,5 4,3 4,1 4,2 
Peso dieta nueva (kg) (X2) 3,7 4,5 3,8 4,1 4,2 4,3 3,4 4 4,8 4,6 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 15 
Utilizando un nivel de significación del 5% pruebe la hipótesis planteada por los investigadores. 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p(Unilateral D) 
peso dietnor 10 4,03 0,39 0,94 0,7055 
peso diet nuev 10 4,14 0,43 0,97 0,9377 
D(Nor-nuev) 10 0,25 0,47 0,83 0,0554 
 
Datos del problema: 
 Variables en estudio: 
Para poder decidir cual es la variable necesitamos analizar si hay independencia o no entre el peso 
de un conejo con la nueva dieta y el peso de un conejo con la dieta normal. Como los animales 
que se pesaron son de la misma camada entonces comparten las mismas características 
genéticas, por lo tanto hay dependencia entre dichas variables. En consecuencia, elegimos la 
variable diferencia porque tenemos una muestra apareada. 
D (X1-X2)= diferencia entre el peso de un conejo alimentado con una dieta normal y el peso de su 
gemelo alimentado con una dieta nueva. 
 Tamaño de muestras: 10=n1= n2 
 Nivel de significación: =0,05 
 
Solución: 
 
Se pide una prueba que compare las medias poblacionales y para empezar deberíamos testear si 
cumple el supuesto teórico de normalidad de la variable en estudio. Para lo cual se aplica la prueba de 
Shapiro Wilks: 
 
 
 
2
0
2
1
: ;
: ;
D D
D D
H D se distribuye normal
H D no se distribuye normal
 
 




 
 
Como p-valor=0,05540,10 se rechaza H0. Por lo tanto, con un nivel de significación del 10%, se puede 
decir que la diferencia entre el peso de los conejos alimentados con una dieta normal y el peso de los 
conejos alimentados con una dieta nueva, no se distribuye normalmente en esta población de conejos 
machos Nueva Zelandia de 120 días en estudio. 
 
Como el tamaño de muestra es menor a 30, se descarta la utilización del teorema central del límite, por 
lo que no podemos usar como variable pivotal a Z o a t. Lo que sí se puede decir, es que la variable 
con la que estamos trabajando es por lo menos ordinal al tratarse de una variable numérica, si 
suponemos que posee una distribución simétrica (no realizaremos un test para este supuesto 
aunque sí podría verse una idea intuitiva en un box-plot), y cada par es independiente de los demás, 
podemos usar el test no paramétrico de Wilcoxon para muestras apareadas, ya que cumple con sus 
supuestos teóricos. 
 
Desarrollemos el test pedido: 
 
Hipótesis de trabajo: Los conejos sometidos a una dieta nueva muestran un incremento significativo en 
el peso con respecto a una dieta normal 
 
Hipótesis estadísticas: 
 
0
1
: 0
: 0
D
D
H
H





 
 
Como n≤20, hay que usar la distribución exacta de Wilcoxon que se encuentra en su correspondiente 
tabla. 
 
Primero, debemos calcular los valores correspondientes a la “diferencia entre el peso de un conejo 
alimentado con una dieta normal y el peso de su gemelo alimentado con una dieta nueva”, en la 
muestra analizada. 
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 16 
A cada valor, deberá restarse el correspondiente a ΘD bajo H0 (en nuestro caso es de 0). 
Luego, debemos obtener el valor absoluto de esta diferencia (AbsD), y asignar un rango a estos 
valores, diferenciando los rangos provenientes de diferencias negativas y diferencias positivas. 
Recordemos que, en caso de que dos valores de la variable posean valores absolutos iguales, los 
rangos correspondientes a cada una se promedian y se coloca el promedio de los rangos empatados a 
cada valor. 
 
Dieta norm Dieta nueva D=Nor-nuev D - θ Abs( D) Rango (+) Rango (-) 
3,9 3,7 0,2 0,2 0,2 2,5 
3,8 4,5 -0,7 -0,7 0,7 8 
4,2 3,8 0,4 0,4 0,4 5,5 
4,8 4,1 0,7 0,7 0,7 8 
4 4,2 -0,2 -0,2 0,2 2,5 
3,5 4,3 -0,8 -0,8 0,8 10 
3,5 3,4 0,1 0,1 0,1 1 
4,3 4 0,3 0,3 0,3 4 
4,1 4,8 -0,7 -0,7 0,7 8 
4,2 4,6 -0,4 -0,4 0,4 5,5 
 
Luego debemos calcular el valor de la variable pivotal bajo H0 
 
Llamemos T
-
 a la suma de rangos provenientes de valores de la variable (D – θ) negativos, y T
+
 a la 
correspondiente a valores positivos. 
En este caso: T
- 
= 8 + 2,5 + 10 + 8 + 5,5 = 34 
 T
+ 
= 2,5 + 5,5 + 8 + 1 + 4 = 21 
 
Observemos que los valores de T
+
 y T
-
 no son aleatorios, ya que, al sumarlos, se obtiene el estadístico 
suma total de rangos (T), que es un número que depende de n. Esta suma total se puede calcular 
como T=1+2+3+...+n (sumando todos los rangos), o se puede abreviar con la fórmula: 
 1
2
n n
T T T 

   
Por lo tanto: 
 1
2
n n
T T 

  
Verifiquemos esta nueva herramienta en nuestro ejercicio: 
 10 10 1
34 21
2
T 

   
 
Se debe seleccionar una de las sumas de rangos, ya sea T
+
 o T
-
, y tomarla como estadístico. Éste 
tendrá una distribución exacta Tn cuyos valores críticos se encuentra en la tabla de “Prueba de rangos 
con signos de Wilcoxon”. 
 
Por ejemplo: 
 
VP: T
+ 
~ T10 
 
Valores Críticos: la tabla sólo ofrece los valores críticos inferiores para cuando se trabaja a una cola o 
a dos colas con ciertos niveles de significación. Si se necesita algún valor crítico adicional, se deberá 
hallar mediante la fórmula: 
 
; 1 ; 
1
2
n n
n n
T T 

  . 
En nuestro caso, según la hipótesis alternativa planteada, se define la región crítica unilateral 
izquierda, así queT10; 0,05 = 11, por lo que, definimos a la región crítica, así: T10 ≤ 11 
 
Regla de decisión: Rechazo H0 si Tobs ≤ 11 
 No rechazo H0 si Tobs > 11 
 
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 17 
Como debe elegirse como valor Tobs aquel que resulte de menor magnitud, 
 
Decisión: como T
+
obs
 
= 21 y 21 > 11, entonces no rechazo H0. 
 
Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, no tengo evidencias suficientes para rechazar H0 
( 0D  ). Por lo tanto, se puede decir que la mediana poblacional de la diferencia entre el peso de los 
conejos alimentados con una dieta normal y el peso de sus pares alimentados con una dieta nueva es 
mayor o igual a cero en esta población de conejos machos de raza Nueva Zelandia en estudio. 
Al mismo nivel se puede suponer que la nueva dieta no logra un incremento de peso significativo en los 
conejos de la raza Nueva Zelanda en estudio. 
 
NOTA: en caso de necesitar el valor crítico superior, puede emplearse esta fórmula: 
 1
. sup.= . inf .
2
n n
V crítico V crítico

 
 
6) Se sospecha que en un galpón de pollos parrilleros la balanza que se utiliza para preparar la ración 
diaria de los animales no está funcionando correctamente. Para probar esto, se toman 26 muestras de 
raciones preparadas para suministrar a los pollos y se las pesa con una nueva balanza, a la que desig-
namos como A, y que sabemos que está bien calibrada; y con la balanza problemática, B, que es la 
que se está utilizando y de la que sospechamos que está descalibrada. Los datos obtenidos se mues-
tran en la siguiente tabla. 
 
Balanza A Balanza B D A-B D- Abs (D) Rango + Rango - 
100 99 1 1 1 1,5 
125 110 15 15 15 10 
150 151 -1 -1 1 1,5 
122 101 21 21 21 12 
123 100 23 23 23 13 
126 128 -2 -2 2 3 
142 123 19 19 19 11 
155 145 10 10 10 8,5 
143 97 46 46 46 19 
85 89 -4 -4 4 5,5 
129 102 27 27 27 15 
127 103 24 24 24 14 
158 111 47 47 47 20 
121 89 32 32 32 17 
151 75 76 76 76 25 
122 132 -10 -10 10 8,5 
135 105 30 30 30 16 
168 104 64 64 64 22,5 
137 102 35 35 35 18 
148 84 64 64 64 22,5 
144 85 59 59 59 21 
97 102 -5 -5 5 7 
162 96 66 66 66 24 
89 93 -4 -4 4 5,5 
163 62 101 101 101 26 
75 78 -3 -3 3 4 
Suma 316 26,5 
 
Datos del problema: 
 Variable en estudio: 
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Para poder decidir cuál es la variable que se va a utilizar, necesitamos analizar si hay independencia o 
no entre la ración pesada con la balanza A y la ración pesada con la balanza B. Dado que a cada 
ración seleccionada se la pesa con ambas balanzas, y que se registran ambas mediciones, hay 
dependencia entre dichas variables. En consecuencia, elegimos la variable diferencia porque 
tenemos una muestra apareada de mediciones. 
 
D (A-B)= diferencia entre el peso (g) de una ración pesada con labalanza A y el peso (g) de la misma 
ración pesada con la balanza B. 
 Tamaño de muestras: 26=n1= n2 
 Nivel de significación: =0,05 
 
Solución: 
Se pide una prueba que compare las medias poblacionales y para empezar deberíamos testear si 
cumple el supuesto teórico de normalidad de la variable en estudio. Para lo cual se aplica la prueba de 
Shapiro Wilks: 
 
 
2
0
2
1
: ;
: ;
D D
D D
H D se distribuye normal
H D no se distribuye normal
 
 




 
 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Variable n Media D.E. W* p(Unilateral D) 
Balanza A 26 130,65 25,09 0,92 0,1518 
Balanza B 26 102,54 20,43 0,95 0,4395 
Dif (A-B) 26 28,12 29,71 0,91 0,0725 
 
Como p-valor=0,0725 0,10, se rechaza H0. Por lo tanto, con un nivel de significación del 10%, se 
puede decir que la diferencia entre el peso (g) de la ración pesada con la balanza A y el peso (g) de la 
ración pesada con la balanza B, no se distribuye normalmente en esta población de raciones 
preparadas para consumir por los pollos parrilleros. 
 
Nota: Como n = 26, se debe aplicar la opción de la aproximación a la normal de T
+
 
 
   
 
 
  2 1 1 2 1; ; ; 
4 24T T
n n n n n
T N E T V T  
  
  
   
 
Hipótesis estadísticas: 
0
1
: 0
: 0
D
D
H
H





 
 
El cálculo de los valores de T
+
 y T
-
 se realizan de la misma forma que en el caso anterior. 
 
Llamemos T
-
 a la suma de rangos provenientes de valores de la variable (D – θ) negativos y T
+
 a la 
correspondiente a valores positivos. 
 
Cálculo de T
+ 
= 316 y de T
- 
= 26,5 
 
Variable pivotal: 
 
 
 
 
 
  1 1 2 1
 ; ; 
4 24
T E T n n n n n
Z E T V T
V T
 
 

   
   
 
 
Región Crítica: Z ≤ -1,96 y Z ≥ 1,96 
 
Regla de decisión: Rechazo H0 si Z ≤ -1,96 o si Z ≥ 1,96 
 No Rechazo H0 si -1,96 < Z < 1,96 
 
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 19 
Cálculo de ZHo: 
 
 
 
  
1 26*27
= =175,5 
4 4
1 2 1 26*27*53
1550,25
24 24
n n
E T
n n n
V T




 
  
 
 
 
 
0
316 175,5
= =3,5687 
1550,25
H
T E T
Z
V T
 

 
 
 
Decisión: como ZHo=3,5687 > 1,96 se Rechaza H0. 
 
Conclusión: Con un nivel de significación del 5%, existen evidencias suficientes para rechazar H0 (H0: 
D =0), por lo tanto se puede concluir que la mediana poblacional de la diferencia del peso de las racio-
nes para consumo de los pollos, pesado con la balanza A menos el pesado con la balanza B, es distin-
ta de 0 para la población de raciones de pollo. 
Al mismo nivel, podemos decir que se sostiene la sospecha de que la balanza B está descalibrada. 
 
 
También se puede realizar la prueba de Wilcoxon para muestras apareadas a través de Infostat. A 
continuación se expone la tabla en la que figuran T
+
 [Suma (R+)], la esperanza de T
+
 (E (R+)) y la 
varianza de T
+ 
(Var (R+)) 
 
Prueba de Wilcoxon (muestras apareadas) 
 
P-valor estimado por Bootstrap 
 
 Obs(1) Obs(2) N Suma(R+) E(R+) Var(R+) 
Balanza A Balanza B 26 316,00 175,50 1549,75 
 
NOTA: Hay una muy leve diferencia en el valor de la varianza aportada por la salida, que puede considerarse 
insignificante. 
 
7) En las poblaciones de adultos y adolescentes que veían un programa de televisión los sábados a la 
noche se tomaron sendas muestras al azar de 400 y 600 individuos, respectivamente. A la pregunta “si 
realmente les gustaba el programa”, 100 adultos y 300 adolescentes, de estas muestras, contestaron 
que sí. 
a) Estimar puntualmente y con una confianza del 95% la diferencia entre las proporciones de adultos y 
adolescentes que ven el programa y les gusta. 
b) Probar, al 5%, si ambas proporciones son iguales. 
Datos del problema 
 Variable en estudio: 
X1: Cantidad de adultos que ven el programa los sábados a la noche y les gusta, en una muestra de 400. 
X2: Cantidad de adolescentes que ven el programa los sábados a la noche y les gusta, en una muestra de 
600. 
 Tamaños de muestras: n1 = 400; n2 = 600 
 Nivel de confianza: 1 –  = 0,95. 
Solución: 
a) Antes de comenzar a construir el intervalo hay que verificar los supuestos teóricos. 
 Supuestos teóricos: En este caso, a diferencia de los ejercicios anteriores, el supuesto teórico es 
distribución binomial de ambas variables. La verificación de este supuesto es más sencilla que la verifi-
cación de la normalidad de las variables, ya que solamente hay que verificar que las variables cumplan 
con las condiciones de una variable binomial, es decir: 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 20 
 Que cada repetición del experimento tenga dos resultados posibles (éxito y fracaso). Si lo aplica-
mos al ejemplo veremos que las dos posibles respuestas que podemos obtener, al encuestar a una 
persona, son: “que le guste el programa del sábado a la noche” y “que no le guste el programa del 
sábado a la noche”. 
 Que los resultados (éxito y fracaso) sean mutuamente excluyentes en una misma repetición. Con-
textualizando, que sean mutuamente excluyentes quiere decir que tanto un adulto como un adolescen-
te pueden elegir sólo una de las dos respuestas posibles: “que le guste el programa del sábado a la 
noche” o “que no le guste el programa del sábado a la noche” 
 Que los resultados (éxito y fracaso) sean independientes de repetición en repetición. En el contex-
to del problema, quiere decir que la respuesta de un adulto o de un joven no modifica la posible res-
puesta de otro adulto o joven respectivamente, en otra repetición del experimento al azar. 
 Que el número de repeticiones esté prefijado de antemano, en este caso 400 adultos y 600 ado-
lescentes encuestados, y que la probabilidad de éxito sea constante a lo largo de todas las repeticio-
nes del experimento aleatorio, ¼ en el caso de los adultos y ½ en el caso de los adolescentes (estima-
ciones puntuales especificadas en el siguiente inciso). 
En este caso ambas variables cumplen con estas condiciones. 
 Estimación puntual: Lo que se quiere estimar es:”la diferencia entre las proporciones 
poblacionales de adultos y adolescentes que ven el programa y les gusta”, simbólicamente: p1-p2. Por 
lo tanto la estimación puntual de esta diferencia es la diferencia entre las proporciones estimadas, 
1 2
ˆ ˆp p . 
1
 100
ˆ 0,25
 400
cantidad de adultos que ven el programa los sábados a la noche y les gusta
p
cantidad total de adultos
  
 
1
 300
ˆ 0,5
 600
cantidad de adolescentes que ven el programa los sábados a la noche y les gusta
p
cantidad total de adolescentes
  
 
Por lo tanto la estimación puntual es: 1 2ˆ ˆ 0,25 0,5 0,25p p     
 Intervalo de confianza: La fórmula del intervalo de confianza para la diferencia de proporciones se 
deduce de la única variable pivotal posible, cuya fórmula es: 
   
   
 1 2 1 2 1 21 2
1 21 1 2 2
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ0;1 
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1
d
p p p p x x
Z N donde p y p
n np p p p
n n
  
   
 

 
Por lo tanto la fórmula del intervalo es: 
 
   
 
   1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 21 1 
2 2
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ;
p p p p p p p p
p p z p p z
n n n n
  
    
      
  
 
 
 Reemplazando: 
 
   
 
   
 
0,25 1 0,25 0,5 1 0,5 0,25 1 0,25 0,5 1 0,5
0,25 0,5 1,96 ; 0,25 0,5 1,96
400 600 400 600
0,1875 0,25 0,1875 0,25
0,25 1,96 ; 0,25 1,96
400 600 400 600
0,25 1,96*0,03; 0,25 1,96*0,03 0,25 0,0588; 0, 25
    
       
  
 
        
 
           0,0588 0,31; 0,19   
 
 Conclusión: Con un nivel de confianza del 95% se espera que el intervalo [-0,31;-0,19] cubra o 
contenga a la diferencia entre la proporción poblacional de adultos que ven el programa los sábados a 
la noche y les gusta y la proporción poblacional de adolescentes que ven el programa los sábados a laEstadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 21 
noche y les gusta en estas poblaciones de adultos y adolescentes que ven el programa los sábados a 
la noche. 
b) Las hipótesis estadísticas son: H0: p1-p2=0 versus H1: p1-p20 
 
El nivel de significación es 5%, siendo el estadístico de contraste: 
   
 
 1 2 1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ0;1 ; 
1 1
ˆ ˆ1
d
p p p p x x x x
Z N donde p p y p
n n n n
p p
n n
   
    
 
  
 
 
 
Nota: como p1-p2=0  p1=p2 bajo el supuesto de la hipótesis nula, entonces se calcula p̂ como un 
promedio ponderado entre 1p̂ y 2p̂ . 
Como p1-p20 por la hipótesis alternativa, se puede suponer que debería ser 1p̂ - 2p̂ 0, lo que no ase-
gura el signo del numerador de la variable pivotal pudiendo ser este tanto positivo como negativo y el 
denominador es siempre positivo por ser la estimación de un desvío estándar poblacional, por lo tanto, 
el resultado del cálculo de la variable pivotal para una cierta muestra podrá ser tanto negativo como 
positivo. Por ello, la región crítica es bilateral, y está formada por los valores de Z mayores o iguales a 
1,96, y los menores o iguales a -1,96. 
 
La regla de decisión es: RECHAZO H0 si Zobs  1,96 o Zobs ≤ -1,96 
 NO RECHAZO H0 si -1,96 < Zobs < 1,96 
 
1 2
1 2
100 300
ˆ 0,4
400 600
x x
p
n n
 
  
 
 
 
 
 
0,25 0,5 0 0,25 0,25
7,81
0,03211 1
0,24*0,4 1 0,4
240400 600
Obsz
   
    
 
  
 
 
 
Como zobs = -7,81 la decisión es rechazar H0 
 
En esta situación (región crítica bilateral) el p valor se grafica y se calcula de la siguiente forma: 
 
p valor= 2*(min { P(Z  -7,81) P(Z  -7,81) } ) = 2* P(Z  -7,81) 
 
 Con un nivel de significación del 5%, hay evidencias suficientes para rechazar H0, por lo tanto la 
diferencia entre la proporción poblacional de adultos que ven el programa los sábados a la noche y les 
gusta, y la proporción poblacional de adolescentes que ven el programa los sábados a la noche y les gus-
ta, es distinta de cero en estas poblaciones de adultos y adolescentes que ven el programa los sábados a 
la noche. 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 22 
8) Basándose en el mismo texto y los mismos datos del problema 3 con excepción de la igualdad de las 
varianzas poblaciones, responda los siguientes ítems: 
a.- Estimar el cociente entre las varianzas, puntualmente y con un nivel de confianza del 95%. 
b.- Los nutricionistas que desarrollaron la nueva ración (B) sostienen que además esta genera mayor 
uniformidad en el crecimiento. Probar la hipótesis sugerida con un nivel de significación del 5%. 
 
(Nota: “Mayor uniformidad” hace referencia a la obtención de ganancias de peso parecidas dentro del 
lote, con baja dispersión, siendo esta una característica deseada por los productores. También podría 
haberse dicho que el crecimiento generado por la ración B es más homogéneo que el crecimiento 
generado por la ración A) 
 
Solución: Los datos son los mismos que los del problema 3 y los supuestos teóricos también 
a) 
 Estimación puntual: se pide estimar puntualmente el cociente entre las varianzas, por ejemplo, 
simbólicamente
2
2
A
B


, cuyo estimador puntual es el cociente de las varianzas muestrales, es decir 
2
2
A
B
s
s
 
 Utilizando la fórmula de la varianza muestral se obtiene: 
   
 
2 2
12 2
1
1 1
2631 1 1 44,1
6961 6961 6916,9 4,9
1 9 10 9 9
i
A i
x
s x
n n
   
         
      

 
   
 
2 2
22 2
2
2 2
3071 1 1 36,91
8605 8605 8568,09 3,69
1 10 11 10 10
i
B i
x
s x
n n
   
         
      

 
 
Por lo tanto el estimador puntual del cociente entre A
2
 y B
2
 es: 
2
2
4,9
1,3279
3,69
A
B
s
s
  
(Nota: En este caso se estima el cociente entre la varianza poblacional de A y la varianza poblacional 
de B, pero también podríamos resolver este ejercicio haciendo el cociente inverso, dado que en el 
enunciado no hay ninguna orientación en especial para realizarlo.) 
 Intervalo de confianza: La fórmula del intervalo de confianza para el cociente de varianzas se de-
duce de la variable pivotal que se utiliza para estudiar el cociente de varianzas, cuya fórmula es: 
2 2
2 2
( 1),( 1) ( 1),( 1)2 2
2 2
~ o ~
A B A B
A A
A B
n n n n
B A
B B
s s
s
F F F F
s


 
     
La distribución se grafica de la siguiente manera: 
 
 
 
 
Donde: 
   
1
1 , 1 ;
2
A Bn n
F F 
 
 y 
   
2
1 , 1 ;1
2
A Bn n
F F 
  
 
 
 
 
 
Como en la tabla de F de Snedecor que se usa en el presente curso el valor de F1 no está tabulado, 
para conocerlo es necesario hacer uso de la siguiente igualdad: 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 23 
   
   
1 , 1 ;
2
1 , 1 ;1
2
1
A B
B A
n n
n n
F
F


 
  
 
Por ejemplo, en el problema que estamos resolviendo: 
9,10;0,975 9,10;0,025
10,9;0,975
1 1
3,78; 0,25
3,96
F F
F
    
El intervalo se construye basándose en las siguientes igualdades: 
 
2
2
2
( 1),( 1); ( 1),( 1);1
2 2
2
1
A B A B
A
B
n n n n
A
B
s
s
P F F  


    
 
 
    
 
 
 
 
 
2
2
2
( 1),( 1); ( 1),( 1);1
22 2
1 1
1
A B A B
A
B
A
n n n n
B
P
sF F
s
 



    
 
 
    
 
 
 
 
 
2
2
2
( 1),( 1);1 ( 1),( 1);
22 2
1 1
1
A B A B
A
B
A
n n n n
B
P
sF F
s
 



    
 
 
    
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2 2
2
( 1),( 1);1 ( 1),( 1);
2 2
1
A B A B
A A
B A B
B
n n n n
s s
s s
P
F F 



    
 
 
    
 
 
 
 
Entonces, en nuestro problema: 
2
2
1,3279 1,3279
3,78 0,25
A
B


 
  
 
 
2
2
0,3513 5,3116A
B


 
  
 
 
 Conclusión: Con una confianza del 95% se espera que el intervalo [0,35136; 5,3116] cubra, o 
contenga, al cociente entre la varianza poblacional de la ganancia de peso de los cerdos alimentados con 
la ración A durante 30 días, y la varianza poblacional de la ganancia de peso de los cerdos alimentados 
con la ración B durante 30 días en esta población de cerdos Yorkshire de 3 meses de edad del norte de la 
provincia de Buenos Aires en estudio. 
 
b) 
 Hipótesis de trabajo: “la nueva ración genera mayor uniformidad en el crecimiento”. 
 Supuestos teóricos: Ya fueron verificados en el ejercicio 3 los supuestos de independencia y 
normalidad de las variables “ganancia de peso de los cerdos alimentados con la ración A durante 
30 días” y “ganancia de peso de los cerdos alimentados con la ración B durante 30 días”. 
 Hipótesis estadísticas: Si se quiere probar que la nueva formulación es más uniforme, se quiere 
probar que la nueva formulación es menos variable que la ración A, simbólicamente:
2 2
A B  , esta 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 24 
expresión no contiene el signo igual por lo que corresponde a la hipótesis alternativa. Entonces las 
hipótesis quedan: 
2 2
0
2 2
1
:
:
A B
A B
H
H
 
 
 


 o equivalentemente 
2
0 2
2
1 2
: 1
: 1
A
B
A
B
H
H








 


 
al igual que en las demás pruebas se debe plantear solo un par de hipótesis y mantenerlas a lo largo de 
toda la prueba, en esta caso vamos a trabajar con
2
0 2
2
1 2
: 1
: 1
A
B
A
B
H
H








 


 
 Nivel de significación: =0,05 
 Variable pivotal: Existe una única opción al elegir la variable pivotal en esta prueba, la F de Snedecor, 
cuya fórmula es: 
2 2
2 2
( 1),( 1) ( 1),( 1)2 2
2 2
~ o ~
A B A B
A A
A B
n n n n
B A
B B
s s
s
F F F F
s


 
    
 
 Región crítica: Observando la hipótesis alternativa, se ve que la región crítica es unilateral derecha. 
Se llega a esta conclusión analizando que si 
2
2
1A
B


 , entonces, en la mayoría de los casos deberíaser 
2
2
1A
B
s
s
 , en consecuencia se rechaza cuando la varianza de la variable A es mayor que la varianza de 
la variable B, o sea, cuando el cociente sea grande lo que implica una región critica unilateral derecha. 
El valor crítico que la determina debe buscarse en la tabla de la distribución de F de Snedecor. Éste es: 
         1 , 1 ;1 10 1 , 11 1 ;1 0,05 9,10 ;0,95
3,02
A Bn n
F F F
     
   . Por lo cual, la región crítica es 3,02F 
 Regla de decisión: Rechazo H0 si 0
3,02HF  y no rechazo H0 si 0 3,02HF  
 Cálculo del estadístico de prueba: Todos los valores necesarios ya fueron calculados, por lo tanto, 
reemplazando en la fórmula, se obtiene: 
 
 Observar que el cociente de las varianzas poblacionales fue 
reemplazado por 1, porque el cálculo se hace bajo la hipótesis nula que 
plantea la igualdad de las varianzas. Como 1,3279 es menor que 3,02, 
No se rechaza la hipótesis nula. 
 
 Conclusión: Con un nivel de significación del 5% no hay evidencia suficiente para rechazar H0 
(
2
0 2
: 1A
B
H


 ). Esto significa que el cociente entre la varianza poblacional de la ganancia de peso de los 
cerdos Yorkshire del norte de la provincia de Buenos Aires de 3 meses de edad alimentados con la 
ración A y la varianza poblacional de la ganancia de peso de los cerdos Yorkshire del norte de la 
provincia de Buenos Aires de 3 meses de edad alimentados con la ración B, es menor o igual a 1. Por 
lo tanto, al mismo nivel, no es cierta la hipótesis de los nutricionistas. 
 
Nota: a continuación se da la salida del programa InfoStat para este problema. Observar que los 
resultados son los mismos que se obtuvieron anteriormente. 
 
0
2
2
2
2
4,9
3,69
1,3279
1
A
B
H
A
B
s
s
F


  
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 25 
Prueba F para igualdad de varianzas 
Grupo(1) Grupo(2) n(1) n(2) Var(1) Var(2) F p prueba 
 1 2 10 11 4.900 3.691 1.328 0.3312 Unilat D 
 
9) Con el fin de comparar el rendimiento académico (en una escala de 0 a 10 puntos) entre estable-
cimientos privados y estatales, se seleccionan aleatoriamente 15 personas que han realizado estudios 
secundarios en establecimientos privados, y 15 personas que han realizado estudios secundarios en 
establecimientos estatales. Los datos obtenidos son los siguientes: 
 
PRIVADO 4 6 4 7 5 5 4 9 9 8 4 5 5 7 5 
ESTATAL 9 6 5 6 5 4 4 4 4 4 6 3 3 5 4 
¿Podemos suponer que los rendimientos académicos difieren significativamente? (=0,05) 
Shapiro-Wilks (modificado) 
Secundario Variable n Media D.E. W* p (una cola) 
Estatal Rendim 15 4,80 1,52 0,85 0,0330 
Privado Rendim 15 6,00 1,73 0,85 0,0253 
X1: “rendimiento académico (en una escala de 0 a 10 puntos) de un alumno de escuela estatal” 
X2: “rendimiento académico (en una escala de 0 a 10 puntos) de un alumno de escuela privado” 
 
Como primer paso debemos verificar el supuesto de normalidad, por lo que realizamos el test de Sha-
piro-Wilks: 
 
 
2
0 1 1 1
2
1 1 1 1
: ~N ; 
: no se distribuye normalmente ; 
H X
H X
 
 




 
 
Como el p-valor es de 0,03300,10 se rechaza la hipótesis nula y concluye: Con un nivel de significa-
ción del 10%, tengo evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula (X1N(1;1
2
)) por lo tanto el 
rendimiento académico (en una escala de 0 a 10 puntos) de los alumnos de escuela estatal no se dis-
tribuye normalmente en esta población de alumnos de escuela estatal. 
 
 
 
2
0 2 2 2
2
1 2 2 2
: ~N ; 
: no se distribuye normalmente ; 
H X
H X
 
 




 
 
Como el p-valor es de 0,02530,10 se rechaza la hipótesis nula y concluye: con un nivel de significa-
ción del 10%, tengo evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula (X2N(2;2
2
)) por lo tanto el 
rendimiento académico (en una escala de 0 a 10 puntos) de los alumnos de escuela privada no se dis-
tribuye normalmente en esta población de alumnos de escuela privada. 
 
No se cumple el supuesto de normalidad para el rendimiento académico de las personas que provie-
nen de establecimientos secundarios estatales y privados, por lo que no podemos realizar una prueba t 
para muestras independientes, debemos realizar un análisis no paramétrico, la prueba de Mann-
Whitney que posee como supuesto que las variables en estudio sean por lo menos ordinales y posean 
distribuciones similares además de que las muestras sean aleatorias. 
 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 26 
 
 
 
 
 
Como podemos ver en el boxplot, las distribucio-
nes de rendimiento académico de los individuos 
que provienen de establecimientos estatales y 
privados, son similares. 
Ambas son asimétricas positivas, ya que prácti-
camente coinciden el C2 con el C1. 
 
 
 
 
 
 
 
Las hipótesis a testear en este caso son: 
 H0: E  P = 0 
 H1: E  P ≠ 0 
Siendo E: mediana poblacional del rendimiento académico (en una 
escala de 0 a 10 puntos) de los alumnos de escuela estatal. 
P= mediana poblacional del rendimiento académico (en una escala 
de 0 a 10 puntos) de los alumnos de escuela privada. 
 
Se combinan ambas muestras en una única muestra ordenada y 
luego asignamos a cada dato su rango (posición) según su valo, sin 
tener en cuenta de cuál de las muestras proviene. 
 
Luego se registra T = Suma de rangos de una de las muestras 
 
T1 (estatal)= 1,5*2 + 7,5*6 + 16,5*3 + 22,5*3 + 29 = 194 
 o 
T2 (privado)= 7,5*4 + 16,5*5 + 22,5 + 25,5*2 + 27 + 29*2= 271 
 
Si los tamaños de muestra no superan a 20, entonces se debe usar la 
tabla de valores críticos del estadístico U de Mann Whitney. Este es-
tadístico es 
 1 1
1 2 1
1
*
2
n n
U n n T

   , en caso de seleccionar la muestra 1 
 
 2 2'
1 2 2
1
*
2
n n
U n n T

   , en caso de seleccionar la muestra 2 
 
U y U
’
 son valores diferentes y se cumple que 
'
1 2*U U n n  
 
 
Siguiendo con el ejercicio, usamos al estadístico U con la muestra estatal por ejemplo: 
 
Datos Secundario Orden Rango 
3 Estatal 1 1,5 
3 Estatal 2 1,5 
4 Estatal 3 7,5 
4 Estatal 4 7,5 
4 Estatal 5 7,5 
4 Estatal 6 7,5 
4 Estatal 7 7,5 
4 Estatal 8 7,5 
4 
4 
Privado 
Privado 
 9 
 10 
7,5 
7,5 
4 Privado 11 7,5 
4 Privado 12 7,5 
5 Estatal 13 16,5 
5 Estatal 14 16,5 
5 Estatal 15 16,5 
5 Privado 16 16,5 
5 Privado 17 16,5 
5 Privado 18 16,5 
5 Privado 19 16,5 
5 Privado 20 16,5 
6 Estatal 21 22,5 
6 Estatal 22 22,5 
6 Estatal 23 22,5 
6 Privado 24 22,5 
7 Privado 25 25,5 
7 Privado 26 25,5 
8 Privado 27 27 
9 Estatal 28 29 
9 Privado 29 29 
9 Privado 30 29 
 
Estadística Analítica 2015 Fac. Cs. Veterinarias (U.B.A) 
 27 
Variable pivotal: 
 
 1 2
1 1
1 2 1 ;
1
*
2
n n
n n
U n n T U

   
 
Valores críticos: 
La tabla sólo trae los valores críticos superiores traba-
jando a una o dos colas con ciertos niveles de signifi-
cación. Es una tabla de “cola derecha”, por lo que va-
mos a obtener directamente de tabla el valor crítico de 
la derecha. 
Para buscarlo debemos considerar que 1 2 15n n  , 
la prueba es a “dos colas”, y el nivel de significación es 
5%. 
En el cuadro de la derecha tenemos un fragmento de 
la tabla de valores críticos del estadístico U. 
El valor marcado es el crítico de la derecha, o sea: 
U15;15, que corresponde al 5% de significación y a la 
prueba de dos colas. 
UCrítico Derecho = 161 
 
Para hallar el valor crítico inferior en caso de necesitar-
lo, se utiliza la fórmula: 
 1 2*crítico derecho crítico izquierdoU U n n  
 
 
161 15*15
15*15 161 225 161 64
crítico izquierdo
crítico izquierdo
U
U
 
    
 
 
Región crítica: (U 64) (U 161)   
 
Regla de decisión: Rechazo H0 si Uobs ≤ 64 o si Uobs ≥ 161 
 No rechazo H0 si 64 < Uobs < 161 
 
 1 1
1 2 1
1 15*16
* 15*15 194
2 2
225 120 194 151
Obs
n n
U n n T

      
   
 
 
Como