Preliminares Sobre numeros complejos, vectores complejos y notacion fasorial

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Preliminares. Sobre números complejos, vectores complejos y notación fasorial 
rteutle 
i
Números complejos 
El conjunto de números complejos es denotado y constituido por { }2, , 1a ib a b i= + ∈ = −ℂ ℝ . En este conjunto se 
definen dos operaciones básicas y una relación de igualdad entre números complejos. 
 
Suma de números complejos 
Si 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )z a ib z a ib z z a a i b b= + = + ∈ + ≡ + + + ∈ℂ ℂ 
 
Multiplicación de números complejos 
Si 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )z a ib z a ib z z a a b b i a b b a= + = + ∈ ⋅ ≡ − + + ∈ℂ ℂ 
 
Igualdad entre números complejos 
 
1 1 2 2 1 2 1 2 y a ib a ib si y solo si a a b b+ = + = = 
 
Con la suma y producto antes definidos, ℂ es un campo. Los neutros aditivo y multiplicativo son respectivamente 
0 0 y 1 0i i+ ++ ++ ++ + , mientras que los inversos aditivo y multiplicativo de 1 1, con , ,a b= + ∈1 1 1z ℝa i b son 
respectivamente .−1 11 1 2 2 2 2
1 1 1 1
y 
a b
a b i i
a b a b
− −− −− −− −
+ ++ ++ ++ +
 
⋮ 
Dado el número complejo 1 1 1 1 1 (con , ),z a ib a b= + ∈ℝ se definen las operaciones unarias parte real y parte 
imaginaria como ( ) ( )1 1 1 1Re y Imz a z b≡ ≡ (se dice que 1a es la parte real de 1z y que 1b es la parte 
imaginaria de 1z ). De lo anterior se sigue que ( ) ( ).1 1 1z Re z Im zi= += += += + 
Otra operación unaria de importancia es la conjugación compleja, 1 1 1 .z a b i≡ − El número complejo 1z , 
también denotado por *1z , se denomina el complejo conjugado de1.z 
 
Algunas propiedades de las operaciones unarias son 
 
• ( ) ( )1 1 1Si y z , Re z Re zα α α∈ ∈ =ℝ ℂ 
 
• ( ) ( )1 1 1Si y z , Im z Im zα α α∈ ∈ =ℝ ℂ 
 
• 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2Si y z , , z z , z +z z z , z z z zzα α α∈ ∈ = = + ⋅ = ⋅ℝ ℂ 
 
• ( ) ( )1 1 1 11 1 1
z z z z
Si z , Re z , Im z
2 2i
+ −∈ = =ℂ 
⋮ 
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ii
Al representar gráficamente el número 1 1 1 1 10 0 , con ,z a ib i a b= + ≠ + ∈ℝ , en el plano complejo. Es claro que dicho 
número queda únivocamente determinado por la magnitud de su vector de posición y por el ángulo entre el eje real 
positivo y dicho vector. A la primera cantidad se le denomina la magnitud de 1z y a la segunda se le denomina el 
argumento principal o fase de 1z (la fase es positiva cuando se mide en sentido anti-horario y negativa en caso 
contrario). 
 
La magnitud, módulo o valor absoluto 
 
( ) ( )2 2*1 1 1 1 1z z z a b≡ ⋅ = + 
 
El argumento principal o fase 1
1
tan
b
a
θ
 
= 
 
 
 
� ( )
1 1 1
1
1 1
1
1 1 1
0º , si z se ubica en el 1 cuadrante ó =0 y >0.
Arctan 180º , si z se ubica en el 2º o 3 cuadrante.
360º , si z se ubica en el 4º cuadrante ó =0 y <0.
er
er
a b
b
Arg z
a
a b
θ

 
≡ = +  
  

 
 
� ( )
1 1
1
1 1
1
1
0º , si z se ubica en el 1 ó 4º cuadrante ó =0.
Arctan 180º , si z se ubica en el 2º cuadrante.
180º , si z se ubica en el 3 cuadrante.
er
er
a
b
Arg z
a
θ

  ≡ = +  
  −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota. Se ha considerado el hecho que ( ) ( )1 12 2Arctan , Arctanπ π∞ = −∞ = − 
 
 
 
1
1
Arctan
b
a
====θθθθ 
 
 
 
1
1
180º Arctan
b
a
+ =+ =+ =+ = θθθθ 
1
1
Arctan
b
a
 
 
 
 
 
 
 
1
1
180º Arctan
b
a
+ =+ =+ =+ = θθθθ 
1
1
Arctan
b
a
 
 
 
 
 
 
 
1
1
180º Arctan
b
a
− + =− + =− + =− + = θθθθ 
360
 
 
 
1
1
º Arctan
b
a
= += += += +θθθθ 
1
1
Arctan
b
a
θ
 
=  
 
 
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Puesto que ( ) ( )( )1 1 1 1cos ( ) ( )z z Arg z i sen Arg z= + , al hacer uso de la identidad de Euler cosi i seneα α α= + , se 
obtiene que 1
( )
1 1
i Arg z
z z e= 
 
 
Vectores complejos de base real 
A
��
 es un vector complejo con base real de dimensión 3 si y sólo si ɵ ɵ �u v wu v w,A A A A= + +
��
 donde 
ɵ ɵ �{ }u v w , , , y v, w uA A A ∈ℂ es un conjunto de vectores reales linealmente independientes. 
 
Bajo la multiplicación de un número complejo por un vector y la suma de vectores, el conjunto 
ɵ ɵ � ɵ ɵ � ɵ ɵ �{ }3 3u v w u v wu v w , , ; u, v,w ; u v w 0 0A A A A A A a b c a b c= + + ∈ ∈ + + = ⇔ = = =�ℂ ℂ ℝ es un espacio 
vectorial de dimensión 3. 
 
Producto de un número complejo por un vector 
 
ɵ ɵ � ɵ ɵ �3 3
1 u v w 1 1 u 1 v 1 wSi y u v w , u v wz A A A A z A z A z A z A∈ = + + ∈ ≡ + + ∈
�� ��
ℂ ℂ ℂ 
 
Suma de vectores 
 
( ) ɵ ( ) ɵ ( )�3 3u u v v w wSi , , u v wA B A B A B A B A B∈ + ≡ + + + + + ∈
�� �� �� ��
ℂ ℂ 
 
Con las definiciones anteriores se puede probar que 31 2si , y , , entoncesz z A B C∈ ∈
�� �� ��
ℂ ℂ 
 
• 31 2 1 2 1 2Si , y , ( ) ( )z z A z z A z z A∈ ∈ =
�� �� ��
ℂ ℂ 
 
• 31 2 1 2 1 2Si , y , ( )z z A z z A z A z A∈ ∈ + = +
�� �� �� ��
ℂ ℂ 
 
• 31 1 1 1Si y , , ( )z A B z A B z A z B∈ ∈ + = +
�� �� �� �� �� ��
ℂ ℂ 
 
• 31 1 1 1Si y , , ( )z A B z A B z A z B∈ ∈ + = +
�� �� �� �� �� ��
ℂ ℂ 
 
• 3Si , ,A B A B B A∈ + = +
�� �� �� �� �� ��
ℂ 
 
• ( ) ( )3Si , , ,A B C A B C A B C∈ + + = + +�� �� �� �� �� �� �� �� ��ℂ 
 
Las partes real e imaginaria y la conjugación compleja de un vector, ɵ ɵ �u v wu v w,A A A A= + +
��
 se definen 
respectivamente por 
 
• ( ) ( ) ɵ ( ) ɵ ( ) �u v wRe Re u Re v Re w ,A A A A≡ + +
��
 
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iv
 
• ( ) ( ) ɵ ( ) ɵ ( ) �u v wIm Im u Im v Im wA A A A≡ + +
��
 
 
• ɵ ɵ �u v wu v wA A A A≡ + +
��
 
 
De las operaciones unarias antes definidas se obtiene 
 
• ɵ( ) ɵ ɵ( ) ɵ �( ) �u u v v w wRe u Re( )u , Re v Re( )v , Re w Re( )wA A A A A A= = = 
 
• ( ) ( )Re ImA A i A= +�� �� �� 
 
• ( ) ( ) ( )Re Re ReA B A B+ = +�� �� �� �� 
 
• ( ) ( )3Si y , Re ReA A Aα α α∈ ∈ =�� �� ��ℝ ℂ 
 
• ( ) ( )3Si y , Im ImA A Aα α α∈ ∈ =�� �� ��ℝ ℂ 
 
• 3Si y , , y +A B A A A B A Bα α α∈ ∈ = = +
�� �� �� �� �� �� �� ��
ℝ ℂ 
 
• ( ) ( )3Si , Re y Im
2 2
A A A A
A A A
i
+ −∈ = =
�� �� �� ��
�� �� ��
ℂ 
 
A menos que se diga lo contrario, escribiremos todo vector de 3ℂ en función de las coordenadas rectangulares y como 
combinación lineal de la base canónica de 3ℝ , es decir, si 3,A B∈
�� ��
ℂ supondremos que ɵ ɵ x y zA A x A y A z= + +
��
ɵ y 
ɵ ɵ ɵ ɵ, con ( , , ), ( , , ), , ( , , ) , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).x y z x y zB B x B y B z A x y z A x y z B x y z x y z= + + ∈ = = =
��
ɵ ɵ… ℂ
Bajo este supuesto definimos las siguientes operaciones 
 
 
Producto escalar de vectores complejos 
 
x x y y z zA B A B A B A B≡ + +
�� ��
i 
 
Observación. ɵ ɵ ɵ ɵ, , x y z x y zA A x A y A z A A x A A y A A z
→ → → →
= + + ⇔ = = =ɵ ɵi i i 
 
El vector A
��
, también denotado por *A
���
, se denomina el complejo conjugado deA
��
. 
 
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v
Producto vectorial de vectores complejos 
 
( ) ɵ ( ) ɵ ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B x A B A B y A B A B z× ≡ − − − + −
�� ��
ɵ 
 
 
Magnitud de un vector complejo 
 
*A A A≡ ⋅
����� ��
 
 
 
Derivada parcial de un vector complejo 
 
ɵ ɵ( ) yx zdAdA dAd A x y z
d d d d
σ
σ σ σ σ
= + +
��
ɵ 
 
 
Divergencia de un campo vectorial complejo 
 
yx z
AA A
A
x y z
∂∂ ∂∇ ⋅ ≡ + +
∂ ∂ ∂
��
 
 
Rotacional de un campo vectorial complejo 
 
ɵ ɵy yx xz zA AA AA AA x y z
y z z x x y
∂ ∂   ∂ ∂∂ ∂ ∇× ≡ − + − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
��
ɵ 
 
Gradiente de un campo escalar complejo 
 
ɵ ɵg g gg x y z
x y z
∂ ∂ ∂∇ ≡ + +
∂ ∂ ∂
ɵ
 
 
 
Algunas propiedades que pueden ser de utilidad 
 
 
3 3 3
1 2 3Si , , , , , g: y : ,n z z z B∈ Λ ∈ ∈ → →
�� ��
ℕ ℝ ℂ ℝ ℂ ℝ ℂ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) () ( )Re Re , Re Re , Re Ren nt tB B B B B BΛ ⋅ = Λ ⋅ Λ × = Λ× ∂ = ∂
�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2Re Re , Re Re , Re ReB B B B B B∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇× = ∇× ∇ = ∇�� �� �� �� �� �� 
 
( ) ( ) 22 2 1 21 2
3 3
Re Re , ,x y z
z zz z
g g B B B B B B
z z
∇ = ∇ = + + =
�� �� ��
 
 
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vi
 
 
3 3
1 2 3Si , , , , , , : y , , :z z z f g u v A B C∈ → →
�� �� ��
ℂ ℝ ℂ ℝ ℂ 
 
1 1 1 1
1 1 1 1
, , , + , + +
0 , , , ,
+
( ) = ( )= ( )= ( ) =
= ( ) = ( )=
(
A B B A A B A B A z B z A B A B C A B A C A B C A C B C
A A A B B A A B A B A B A B
A B
z z
z z z z
=
× = × − × × × × ×
×
+
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
i i i i i i i i i i i i
�� �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� ��
, + + , ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )
, , ,
( )
)= ( ) =C A B A C A B C A C B C A B C B A C C A B
d u A du d A d A B d A d B d A B d A d B
A u B A B A
d d d d d d d d d
A B A
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
→ →
×× × × × × × = −
×= + = + = × + ×
∇ + = ∇
+
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
i i
�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
�� �� ��i
i i
�� ��
i i
2
2
, ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ,
( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ,
( ) 0 , , 0 , ( ) , ( )
B u A A u u A A B B A A B
A B A B u A u A u A A A A
A u u u u v u v uv u v v
+ ∇ ∇ = ∇ + ∇ ∇ × = ∇× − ∇×
∇× + = ∇× + ∇× ∇× = ∇ × + ∇× ∇× ∇× = ∇ ∇ − ∇
∇ ∇× = ∇ ∇ = ∇ ∇×∇ = ∇ + = ∇ + ∇ ∇ = ∇ +
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
i i i i i i i
�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
i
��
i i u∇
 
 
 
 
 
Notación fasorial 
Cuando se manejan funciones reales de la forma 
 
( , ) ( ) cos( ( ))r t g r t rϕ ω θ= +
� � �
 (0a) 
 
ɵ ɵ( , ) ( ) cos( ( ) ) ( ) cos( ( ) ) ( ) cos( ( ) )f x x y y z zJ r t g r t r x g r t r y g r t r zω θ ω θ ω θ= + + + + +
��� � � � � � � �
ɵ , (0b) 
 
es frecuente y conveniente expresarlas como 
 
 ( , ) Re ( )
i t
sr t r e
ωϕ ϕ =  
� �
 (0c) 
 
( , ) Re ( )
i t
sJ r t J r e
ω =  
�� � ��� �
 (0d) 
 
donde las cantidades ( )s rϕ
�
 y ( )sJ r
��� �
 reciben el nombre de fasores. 
 
 
Es evidente que 
 
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vii
( ) ( ) ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( , ) ( ) cos( ( )) ( ) Re Re ( ) Re ( )i t r i t r i r i tr t g r t r g r g r g re e e eω θ ω θ θ ωϕ ω θ + +• = + = = =
� � �� � � � � �
 (0e) 
 
ɵ ɵ
( ) ɵ ( ) ɵ ( )( ( )) ( ( )) ( ( ))
(
 ( , ) ( ) cos( ( ) ) ( ) cos( ( ) ) ( ) cos( ( ) )
 ( ) Re ( ) Re ( ) Re
 Re ( )
x y z
f x x y y z z
i t r i t r i t r
x y z
i
x
J r t g r t r x g r t r y g r t r z
g r x g r y g r z
g r
e e e
ω θ ω θ ω θ
ω
ω θ ω θ ω θ
+ + +
• = + + + + + =
= + + =
=
� � �
��� � � � � � � �
ɵ
� � �
ɵ
�( ) ɵ ( ) ɵ ( )
ɵ ɵ( )
ɵ ɵ
( )) ( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
Re ( ) Re ( )
 Re ( ) ( ) ( )
 Re ( ) ( ) (
x y z
x y z
x y
t r i t r i t r
y z
i t r i t r i t r
x y z
i r i r
x y z
x g r y g r z
g r x g r y g r z
g r x g r y g r
e e e
e e e
e e
θ ω θ ω θ
ω θ ω θ ω θ
θ θ
+ + +
+ + +
+ + =
= + + =
= + +
� � �
� � �
� �
� �
ɵ
� � �
ɵ
� � �( )( )( )) (0f)zi r i tze eθ ω� ɵ
 
 
Al comparar las ecuaciones (0e, 0f) con las ecuaciones (0c, 0d) es claro que 
 
( )
( ) ( )
i r
s r g r e
θϕ =
�� �
 
 
y 
 
ɵ ɵ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x y z
i r i r i r
s x y zJ r g r x g r y g r ze e e
θ θ θ= + +
� � ���� � � � �
ɵ 
 
Nótese que ( ) 3, .s sRango Rango Jϕ
→ ⊂ ⊂ 
 
ℂ ℂ 
 
Nota importante. La notación para denotar fasores no es única, de las más usadas son , ( ), ( ), ( ) y ( ).s s sJ J r J r r r
�� �� � �� � �� � �� �
� � 
Algunos libros optan por manejar campos instantáneos complejos, bajo el entendido que la parte real representa los 
verdaderos campos. Por ejemplo, si el campo eléctrico complejo es ( , ) ( )
i t
E r t r e
ω=
�� � ��� �
� , entonces el campo eléctrico 
real es ( ) ( )( , ) Re ( , ) Re ( ) i tRE r t E r t r eω= =��� � �� � ��� �� 
 
Ejemplos varios 
 
1. Dado el campo eléctrico real o complejo, obtenga su respectivo fasor. 
a) 
( t )
0 0 0( , ) Re ( )
k r i k r
R x y zE r t E x E y E ze e
α ω β
∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ − • − • = + + 
 
�
 0 0 0, , , ,x y zE E E α β∈ ∈ℂ ℝ 
 
b) 
( t )0( , ) cos
4
i r
c
Z I L
E r t i
r e
ω β ϕβ θ θ ϕ
π
→ ∧ ∧− +  = − + 
 
�
 
 
c) 1 1 2 2( , ) cos( t ) cos( t ) v
k r k r
E r t E k r u E k re e
α αω β θ ω β θ
∧ → ∧ →→ ∧ → ∧ ∧ → ∧− • − •= − + + − +
�
i i con ɵ ɵ 31 2 1 2, , , , , ,E E u v kθ θ ∈ ∈ɵℝ ℝ 
Solución 
a) 0 0 0( )
k r i k r
s x y zE E x E y E ze e
α β
∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ − • − •= + + 
 
b) 
( )0 cos
4
i r
s
Z I L
i
r e
β ϕβ θ θ ϕ
π
→ ∧ ∧− +  = − + 
 
� 
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viii
c) 1 1 2 2( , ) cos( t ) cos( t ) v
k r k r
RE r t E k r u E k re e
α αω β θ ω β θ
∧ → ∧ →→ ∧ → ∧ ∧ → ∧− • − •= − + + − + =
�
i i 
1 2
1 2
1
( t ) ( t )
1 2
( t ) ( t )
1 2
( t ) ( t
1 2
Re Re v
Re Re v
Re
k r i k r k r i k r
k r i k r k r i k r
k r i k r k r i k
E u E
E u E
E u E
e e e e
e e e e
e e e
α ω β θ α ω β θ
α ω β θ α ω β θ
α ω β θ α ω β
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →
∧ → ∧ → ∧ → ∧
∧ ∧− • − + − • − +
∧ ∧− • − + − • − +
∧− • − + − • −
   = + =   
   
   = + =   
   
= +
i i
i i
i 2 1 2) ( t )
1 2v Re v
r i i k r i k r
E u Ee e e e e
θ θ θ α ω β
→ ∧ → ∧ →∧ ∧ ∧+ − • −    = +        
i i
 
1 2
1 2( ) v
i i k r i k r
E r E u Ee e e e
θ θ α β
∧ → ∧ →→ ∧ ∧ − • − • ∴ = + 
 
�
 
 
 
2. Obtenga la parte real del campo eléctrico complejo dado por 
a) 
t
( )
i
cE r e
ω→ → →= � . 
 
b) 
0
( t )
0 0 0
E
k r i k r
c x y zE E x E y E z e e
α ω β
→
∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ − − = + + 
 
i i
����
����
 
 
c) ( ) ( )( t )0 2 1 2 1cos cos cos2
i r
c
Z I
E f sen i f f i f sen
r e
ω β ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ
π
→ ∧ ∧−  = − + +  
 
con 2 21 2 2
cos( cos ) cos( )
(1 cos )
L Lsen
f
sen
β βθ ϕ
θ ϕ
 −=  − 
, 2 22 2 2
cos( ) cos( )
(1 )
L Lsen sen
f
sen sen
β βθ ϕ
θ ϕ
 −=  − 
, ,L Z ∈ℝ , 0I ∈ℂ 
Solución 
a) Existen dos formas: 
 
 
� Si las componentes del fasor campo eléctrico se expresan en la forma rectangular de una función compleja. 
 
( )t( ) Re Im cos Re cos Im Re Im cos[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]icE r i t i sen t t sen t i sen t te
ω ω ω ω ω ω ω
→ → → → → → → → →     = = + + = − + +     
     
� � � � � � � 
Re Re cos Im[ ] [ ] [ ]R cE E t sen tω ω
→ → → →
∴ = = −� � 
 
 
� Si las componentes del fasor campo eléctrico se expresan en la forma polar de una función compleja. 
 
t t t ( t ) ( t ) ( t )
( ) y zx x y z
i i i i i i i i i
c x y z x y z x y zE r x y z x y z x y ze e e e e e e e e
ω ω θ θ θ ω ω θ ω θ ω θ→ → → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧+ + +   = = + + = + + = + +   
   
� � � � � � � � � �
Re cos( t ) cos( t ) cos( t )[ ]R c x x y y z zE E x y zω θ ω θ ω θ
→ → ∧ ∧ ∧
∴ = = + + + + +� � � 
 
 
b) Similarmente al inciso anterior. 
 
• Si 0 0 0,x y zE E y E se expresan en la forma rectangular de un número complejo. 
Preliminares. Sobre números complejos, vectores complejos y notación fasorial 
rteutle 
ix
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
cos( t ) ( t )
cos( t ) ( t )
k r
c xR xI yR yI zR zI
xR yR zR xI yI zI
k r
xR yR
E E iE x E iE y E iE z k r i sen k r
E x E y E z k r E x E y E z sen k r
i E x E ye
e
α
α
ω β ω β
ω β ω β
∧ →
∧ →
→ ∧ ∧ ∧ ∧ → ∧ →−
∧ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ ∧ →
−
∧ ∧
  = + + + + + − + − =  
  
   + + − − + + − +   
   =
+ + +
i
i
i i
i i
0 0 0 0( t )+ cos( t )zR xI yI zIE z sen k r i E x E y E z k rω β ω β
∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ ∧ →
 
 
 
    − + + −        
i i
 
0 0Re[ ] Im[ ]
0 0 0 0 0 0Re cos( t ) ( t )[ ]
E E
k r
R c xR yR zR xI yI zIE E E x E y E z k r E x E y E z sen k re
α ω β ω β
→ →
∧ →→ → ∧ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ ∧ →−
 
 
    ∴ = = + + − − + + −       
 
 
i
�����
����� �����
�����
i i 
 
• Si 0 0 0,x y zE E y E se expresan en la forma polar de un número complejo. 
0 0 0 0 0 0( t ) ( t ) ( t ) ( t )
0 0 0 0 0 0
x y z x y zk r i i i i k r k r i k r i k r i k r
c x y z x y zE E x E y E z E x E y E ze e e e e e e e e
α θ θ θ ω β α ω β θ ω β θ ω β θ
∧ → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧− − − − + − + − +  = + + = + +      
i i i i i i 
 
0 0 0 0 0 0Re cos( ) cos( ) cos( )[ ]
k r
R c x x y y z zE E E t k r x E t k r y E t k r ze
α ω β θ ω β θ ω β θ
∧ →→ → ∧ → ∧ ∧ → ∧ ∧ → ∧−  ∴ = = − + + − + + − + 
 
i
i i i 
 
c) De forma similar a los incisos anteriores, 
 
( ) ( )0( t )0 2 1 2 1
| |
cos cos cos
2
i r
c
Z I
E f sen i f f i f sen
r e
ω β θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ
π
→ ∧ ∧− +  = − + +  
 
 
0
2 2 0 1 1 0
| |
Re cos cos cos( t ) cos cos ( t )
2
[ ]R c
Z I
E E f sen f r f f sen sen r
r
ϕ θ θ ϕ ϕ ω β θ ϕ θ θ ϕ ϕ ω β θ
π
→ → ∧ ∧ ∧ ∧    = = + − + − − + − +        
 
 
3. Demuestre que el valor eficaz de la magnitud del campo eléctrico real 
t
Re ( )
i
RE r e
ω→ → → =  
 
� es dado por 
1
2
( )| | | |R rmsE r
→ → →
= � . 
 
Considere el hecho que el valor eficaz de ( )g t es 2rmsg g≡ , donde 
/2
2 2 2
/2 0
1 1
lim
T
g g dt g dt
T
τ
τ
ττ→∞ −
≡ =∫ ∫ 
Solución 
t t t*1Re ( ) ( ) ( )
2
i i i
RE r r re e e
ω ω ω
→→ → → → → → −  = = + ⇒   
   
� � � 
 
t t t t2 * *
2 t 2 t* * *
1
( ) ( ) ( ) ( )
4
1
 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
4
| | i i i iR R R
i i
E E E r r r r
r r r r r r
e e e e
e e
ω ω ω ω
ω ω
→ →→ → → → → → → → →− −
→ → →→ → → → → → → → → −
   = = + + =   
   
 = + + ⇒ 
 
i i
i i i
� � � �
� � � � � �
 
 
2 t 2 t
2 2 * * *
0 0
2 2
* * * * 1
2
1 1
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2
1 11 1
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
| | | |
|
Ti iT
R R
i T i T
E E dt r r r r t r r
T T i i
r r r r T r r r r
T i i
e e
e e
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
−→ → →→ → → → → → → → → → →
−→ → → →→ → → → → → → → → → → →
 
= = + + = 
 − 
 − −
= + + = = 
 − 
∫ i i i
i i i i
� � � � � �
� � � � � � � �
2( ) |r
→ →
�
 
Cuando la función 
es de periodo T 
Preliminares. Sobre números complejos, vectores complejos y notación fasorial 
rteutle 
x
2 21 1
2 2
( ) ( )| | | | | | | |R rms RE E r r
→ → → → → →
⇒ = = =� � 
 
4. Demuestre que la magnitud del campo eléctrico complejo 
t
( )
i
cE r e
ω→ → →= � es proporcional al valor eficaz de la 
magnitud del campo eléctrico real 
t
Re ( )
i
RE r e
ω→ → → =  
 
� . 
Solución 
. 
t t t2 * * * 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | | | | | | |i i ic c c c cE r E E E r r r E re e e
ω ω ω
→ → →→ → → → → → → → → → → → → →−= ⇒ = = = = ∴ =i i i� � � � � � � 
 
Del resultado anterior y del problema 3 se obtiene 1
2
| | | |R rms cE E
→ →
= 
 
 
5. Obtener los promedios temporales del vector de Poynting R RS E H
→ → → = × 
 
 y de la densidad de energía 
2 2R R R R
u E E H H
ε µ→ → → → = + 
 
i i de un campo electromagnético con variación armónica en el tiempo. 
Solución 
Se pueden obtener de dos formas: 
 
� Al expresar los campos como 
 
t t t*1( , ) Re ( ) ( ) ( )
2
i i i
RE r t r r re e e
ω ω ω
→→ → → → → → → −  = = +     
� � � , 
 
t t t*1( , ) Re ( ) ( ) ( )
2
i i i
RH r t r r re e e
ω ω ω
→→ → → → → → → −  = = +     
� � � ; 
se tiene 
 
t t t t* *
2 t 2 t* * * *
1
( ) ( ) ( ) ( )
4
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
i i i i
R R
i i
S E H r r r r
r r r r r r r r
e e e e
e e
ω ω ω ω
ω ω
→ →→ → → → → → → → →− −
→ → → →→ → → → → → → → → → → → −
   = × = + × + =   
   
 = × + × + × + × 
 
� � � �
� � � � � � � �
 
 
t t t t* *
2 t 2 t* * *
( ) ( ) ( ) ( )
2 8
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
8
i i i i
e R R
i i
u E E r r r r
r r r r r r
e e e e
e e
ω ω ω ω
ω ω
ε ε
ε
→ →→ → → → → → → →− −
→ → →→ → → → → → → → → −
   = = + + =   
   
 = + + 
 
i i
i i i
� � � �
� � � � � �
 
 
t t t t* *
2 t 2 t* * *
( ) ( ) ( ) ( )
2 8
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
8
i i i i
m R R
i i
u H H r r r r
r r r r r r
e e e e
e e
ω ω ω ω
ω ω
µ µ
µ
→ →→ → → → → → → →− −
→ → →→ → → → → → → → → −
   = = + + =   
   
 = + + 
 
i i
i i i
� � � �
� � � � � �
 
Preliminares. Sobre números complejos, vectores complejos y notación fasorial 
rteutle 
xi
Tomando en cuenta que 
2 t 2 2 t 2
2 t 2 t
0 0 00 0
1 1
0, 0,
2 2 2 2
T Ti i T i i TT T T
i i
dt dt dt T
i i i i
e e e ee e
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
− −
−− −= = = = = = =
− −∫ ∫ ∫ ; 
se obtiene 
 
*
* * * * *
0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Re ( ) ( )
4 4 2
T
S S dt r r r r r r r r r r
T
→ → → → →→ → → → → → → → → → → → → → → → →      = = × + × = × + × = ×             
< > ∫ � � � � � � � � � �
 
* * 2
0
1
0 2 ( ) ( ) 0
8 4 4
| |
T
e eu u dt r rT
ε ε ε→ →→ → → → → = = + + = = 
 
< > ∫ i i� � � � � 
 
* * 2
0
1
0 2 0
8 4 4
| |
T
m mu u dtT
µ µ µ→ →→ → → = = + + = = 
 
< > ∫ i i� � � � � 
2 21
4
| | | |emu ε µ
→ → ∴ 〈 〉 = + 
 
� � 
 
 
� Al expresar los campos como 
 
t
( , ) Re ( ) Re ( ) cos Im ( ) sen[ ] [ ]iRE r t r r t r te
ω ω ω
→ → → → → → → → = = −  
� � � , 
t
( , ) Re ( ) Re ( ) cos Im ( ) sen[ ] [ ]iRH r t r r t r te
ω ω ω
→ → → → → → → → = = −  
� � � ; 
 
el vector de Poynting y las densidades de energía están dados por 
 
2 2Re ( ) Re ( ) cos Im ( ) Im ( ) sen
(Re ( ) Im ( ) Im ( ) Re ( ) )cos sen
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
R RS E H r r t r r t
r r r r t t
ω ω
ω ω
→ → → → → → → → → → →
→ → → → → → → →
= × = × + × +
− × + ×
� � � �
� � � �
 
 
2 2Re ( ) Re ( ) cos Im ( ) Im ( ) 2Re ( ) Im ( ) cos
2 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]e R Ru E E r r t r r sen t r r tsen t
ε ε ω ω ω ω
→ → → → → → → → → → → → → → = = + − 
 
i i i i� � � � � � 
 
2 2Re ( ) Re ( ) cos Im ( ) Im ( ) 2Re ( ) Im ( ) cos
2 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m R Ru H H r r t r r sen t r r tsen t
µ µ ω ω ω ω
→ → → → → → → → → → → → → → = = + − 
 
i i i i� � � � � � 
 
como 
 
2 2
0 0
1 1 1 1 1
cos cos (1 cos 2 ) ( sen 2 )
2 2 2 2
T T
t t dt t dt T T
T T T
ω ω ω ω
ω
= = + = + =∫ ∫ , 2Tω π= 
 
2 2
0 0
1 1 1 1 1
sen sen (1 cos 2 ) ( sen 2 )
2 2 2 2
T T
t t dt t dt T T
T T T
ω ω ω ω
ω
= = − = − =∫ ∫ 
 
00 0
1 1 1
cos sen cos sen sen 2 ( cos 2 ) 0
2 2 2
TT T
t t T t t dt t dt T
T T
ω ω ω ω ω ω
ω
= = = − =∫ ∫ 
 
Preliminares. Sobre números complejos, vectores complejos y notación fasorial 
rteutle 
xii
los promedios temporales son 
 
* *1 1 1 1Re Re Im Im Re Re
2 2 2 2
[ ] [ ] [ ] [ ]S
→ →→ → → → → → →   
〈 〉 = × + × = × = ×   
   
� � � � � � � � , 
 
* 2Re ( ) Re ( ) Im ( ) Im ( )
4 4 4
[ ] [ ] [ ] [ ] | |eu r r r r
ε ε ε→→ → → → → → → → → → 〈 〉 = + = = 
 
i i i� � � � � � � 
 
* 2Re ( ) Re ( ) Im ( ) Im ( )
4 4 4
[ ] [ ] [ ] [ ] | |mu r r r r
µ µ µ→→ → → → → → → → → → 〈 〉 = + = = 
 
i i i� � � � � � � 
 
2 21
4
| | | |emu ε µ
→ → ∴ 〈 〉 = + 
 
� �