Resumen propagacion

Electromagnetismo

•
IPN

Amigon Ramirez Kevin Ariel
9/8/2023
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Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
1
1. Propagación de ondas electromagnéticas en medios ihl sin fronteras y sin fuentes 
Como vimos anteriormente, de las ecuaciones de Maxwell sin fuentes y sin fronteras en medios ihl: 
 
• 0,
→
∇ =iE • 0
→
∇ =i(H , • 
t
µ
→
→ ∂∇× = −
∂
H
E , • 
t
σ ε
→
→ → ∂∇× = +
∂
E
H E ; (9a,b,c,d) 
 
se obtiene la ecuación de onda del campo electromagnético: 
 
2
2
2t t
µε µσ
→ → →
→ → →
     ∂ ∂     ∇ = +
     ∂ ∂
     
E E E
H H H
; (9e,f) 
 
La solución de la ecuación anterior, que es la superposición de ondas de distinta frecuencia y distintas direcciones de 
propagación, se expresa como 
 
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
( t ) ( t )0 0
, ,0 0
( , ) ( , )
Re Re
( , ) ( , )
i K r k r i k r
k k
E k E k
H k H k
e e e
ω α ω β
ω ω
ω ω
ω ω
→ → ∧ → ∧ →
∧ ∧
→ →→
− • − • − •
→ →→
       
        = =
           
        
∑ ∑
E
H
 (9g,h) 
 
donde 
• ɵ0( , )E k ω
→
 y ɵ0( , )H k ω
→
 son amplitudes vectoriales complejas de base real (i.e., 0 0 0 , ...x y zE E x E y E z
→ ∧ ∧ ∧
= + + ), 
 
• K
→
 se denomina vector de onda o de propagación (nótese que es un vector complejo), su expresión es 
 
• ( ) | | , ArctaniK i k i k cone
α
β
β α β α
→ ∧ ∧− Ω  = − = − Ω =  
 
 (9i, j) 
 
Nota. Pueden ser de utilidad los siguientes resultados: 
 
� 
1/42 2 1/2 2( ) 1 ( )FPα β ω µε  + = +  
� 2 2( )i iβ α ω µε ωµσ− = − � 21tan 1 ( ) 1FP
FP
 Ω = + −
 
 
 
• β y α , denominadas respectivamente constante de fase y constante de atenuación, son cantidades reales 
positivas dadas por: 
 
� 
1/2
21 ( ) 1
2
FP
µεβ ω  = + +
 
 [ ]mrad / � 
1/2
21 ( ) 1
2
FP
µεα ω  = + −
 
 [ ]mneper/ (9k, l) 
 
FP
σ
ωε
= es el factor de pérdidas del medio (también llamada tangente de pérdidas y denotada por tanδ ) (9m) 
 
• 
∧
k es un vector real e indica la dirección de propagación de la onda plana uniforme en régimen sinusoidal 
permanente representada por 
 
� ɵ ɵ ( t )
0( , ; , ) Re ( , )
i K r
E r t k E k e
ωω ω
→ →→ → → − • =  
 
, � ɵ ɵ ( t )
0( , ; , ) Re ( , )
i K r
H r t k H k e
ωω ω
→ →→ → → − • =  
 
 (9n,o) 
 
 Se denomina onda plana pues a un tiempo fijo la fase permanece constante para todos los puntos del plano 
.r k cte
→ ∧
• = , siendo dicho plano perpendicular a .k
∧
 Se dice uniforme debido a que los campos son constantes 
sobre planos perpendiculares a la dirección de propagación. 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
2
La velocidad de propagación, el periodo espacial y el periodo temporal de la onda plana uniforme sinusoidal 
son respectivamente 
 
� v /f ω β= , � βπλ /2= , � ωπτ /2= ; (9p,q,r) 
 
 
Al sustituir (9g,h) en las ecuaciones (9a,b,c,d), se obtienen las condiciones 
 
 
donde 
 
Z, denotada también por η , recibe el nombre de impedancia intrínseca del medio; y es dada por 
 
1
| | 1 ( / )
i
i i ie
ω µ ω µ µ
β α β α ε σ ωε
Ω Ζ ≡ = =  − − − 
, (9w) 
 
Es frecuente hablar de una permitividad eléctrica compleja, se define de la manera siguiente: 
 
c i
σε ε
ω
= − (9x) 
 
En términos de la cantidad anterior, la impedancia del medio se expresa por 
 
c
µ
ε
Ζ = (9y) 
 
Al utilizar las ecuaciones (9s,t,u,v) se puede probar que la onda electromagnética plana uniforme en régimen 
sinusoidal (que se propaga en un medio sin fronteras y sin fuentes) es transversal, es decir los vectores ɵ( , ; , )E r t k ω
→ →
 
y ɵ( , ; , )H r t k ω
→ →
 oscilan en dirección perpendicular a la dirección de propagación, más aún, estos tres vectores son 
mutuamente perpendiculares si 
 
ɵ ɵ
0 0Im ( , ) Re ( , ) 0k E k E k senω ω
∧ → →   × Ω =   
   
i . (9z) 
 
 
 Dem. ec. (9s,t,u,v) 
Al sustituir (9g,h) en las ecuaciones (9a,b,c,d) y emplear las identidades )()()(
→→→
•∇+∇•=•∇ AuuAAu , 
)()()(
→→→
×∇+×∇=×∇ AuAuAu , así como la independencia lineal de las funciones exponenciales con distinto 
argumento; se obtiene 
 
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ
( t ) ( t ) ( t )
0 0 0
, , ,
( t )
0 0
,
Re ( , ) Re ( , ) Re ( , )
Re ( , ) ( ) 0 ( , ) 0 ,
i K r i K r i K r
k k k
i K r
k
E k E k i E k K
i E k i k E k k k
e e e
e
ω ω ω
ω ω ω
ω
ω
ω ω ω
ω β α ω ω
→ → → → → →
∧ ∧ ∧
→ →
∧
→ → → → →− • − • − •
→ ∧ → ∧ ∧− •
     ∇ = ∇ = ∇ = − =     
     
 = − − = ∴ = ∀ 
 
∑ ∑ ∑
∑
i i i i
i i
E
 
 
 
� ɵ0( , ) 0k E k ω
∧ →
=i , � ɵ0( , ) 0k H k ω
∧ →
=i , � ɵ ɵ0 0
1
( , ) ( , )H k k E k
Z
ω ω
→ ∧ →
= × , � ɵ ɵ0 0( , ) ( , )E k Z H k kω ω
→ → ∧
= × ; 
 (9s,t,u,v) 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
3
 
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ
( t ) ( t ) ( t )
0 0 0
, , ,
( t )
0 0
,
Re ( , ) Re ( , ) Re ( , )
Re ( , ) ( ) 0 ( , ) 0 ,
i K r i K r i K r
k k k
i K r
k
H k H k i H k K
i H k i k H k k k
e e e
e
ω ω ω
ω ω ω
ω
ω
ω ω ω
ω β α ω ω
→ → → → → →
∧ ∧ ∧
→ →
∧
→ → → → →− • − • − •
→ ∧ → ∧ ∧− •
     ∇ = ∇ = ∇ = − =     
     
 = − − = ∴ = ∀ 
 
∑ ∑ ∑
∑
i i i i
i i
H
 
 
 
 
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ
( t ) ( t ) ( t )
0 0 0
, , ,
( t ) ( t )
0 0
,
Re ( , ) Re ( , ) Re ( , )
Re ( ) ( , ) Re ( , )
i K r i K r i K r
k k k
i K r i K r
k
E k E k i K E k
i i k E k H k
t t
e e e
e e
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω ω ω
β α ω µ µ ω
→ → → → → →
∧ ∧ ∧
→ → → →
∧
→ → → → →− • − • − •
→
∧ → →− • − •
     ∇× = ∇× = ∇ × = − × =     
     
∂ ∂  = − − × = − = −  ∂ ∂  
∑ ∑ ∑
∑
E
H
ɵ
ɵ ɵ ɵ ɵ
,
( t )
0
,
0 0 0 0
Re ( , )
( )
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
k
i K r
k
i H k
i
i k E k H k k E k H k k
e
ω
ω
ω
ωµ ω
β αβ α ω ωµ ω ω ω ω
ωµ
∧
→ →
∧
→ − •
∧ → → ∧ → → ∧
 =

 = − 
 
−
⇒ − × = ∴ × = ∀
∑
∑
 
 
 
 
ɵ ɵ
ɵ ɵ
( t ) ( t )
0 0
, ,
0 0
2 2 2
0
Re ( ) ( , ) Re ( ) ( , )
( ) ( , ) ( ) ( , ).
Como ( ) , entonces ( ) ( )
i K r i K r
k k
i i k H k i E k
t
i i k H k i E k
i i i i i y H
i
e e
ω ω
ω ω
β α ω σ ε σ ωε ω
β α ω σ ωε ω
ωµβ α ω µε ωµσ β α ωµ ωε σ
β α
→ → → →
∧ ∧
→
→ ∧ → → →− • − •
∧ → →
→
∂   ∇× = − − × = + = + =   ∂   
⇒ − − × = +
− = − − = +
−
∑ ∑
E
H E
ɵ ɵ
0( , ) ( , ) ,k k E k kω ω ω
∧ → ∧
× = ∀
 
 
 
La condición de perpendicularidad entre los vectores , y k
→ → ∧
E H se sigue de los dos primeros resultados y del hecho 
que 
 
ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ ɵ
( t ) ( t )
0 0
2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t* *
0 0 0 0
1
Re ( , ) Re ( , )
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
4 | |
k r i k r k r i k r
k r i k r i k r i k r i
E k k E k
Z
E k E k k E k k E k
Z
e e e e
e e e e
α ω β α ω β
α ω β ω β ω β ω β
ω ω
ω ω ω ω
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →
→ → → ∧ →− • − • − • − •
→ →→ ∧ → ∧− • − • − − • − • −Ω − −
   = × =   
   
 = + × + × 
 
i i
i
E H
ɵ ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ ɵ
ɵ
1
2
1
2
)
2 ( t ) *
2 0 0 0 0
2 ( t )* * *
0 0 0 0
2
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )1
4 | |
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1
Re ( , )
2 | |
k r
i k r i
k r
i i k r
k r
E k k E k E k k E k
Z
E k k E k E k k E k
E k
Z
e
e e
e
e e
e
ω β
α
ω β
α
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω
∧ →
∧ →
∧ →
∧ →
∧ →
• −Ω
→→ ∧ → → ∧− • − Ω Ω
− •
→ → →∧ → ∧− Ω − − • − Ω
→− •
  = 
 
 × + × + = = 
 + × + × 
=
i i
i i
i ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ ɵ
2* *
0 0 0
2 20 0 0 0
*
0 0
1
( , ) Re ( , ) ( , )
2 | |
1 1
Re Im ( , ) Re ( , ) Im ( , ) Re ( , )
| | | |
(
i k r i
k r i k r
k E k k E k E k
Z
k i E k E k k E k E k sen
Z Z
E E a i
e e e
e e e
α
α α
ω ω ω
ω ω ω ω
∧ →
∧ → ∧ →
→ →∧ ∧ →Ω − • Ω
∧ → → ∧ → →− • Ω − •
→ → →
   × = × =   
   
        = − × = × Ω        
        
× = −
i
i i
0 0) ( ) ( ) ( ) 2 Im( ) Re( )b a i b i a b i b a i E E
→ → → → → → → → → × + = × − × = − × 
 
 
 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
4
Para determinar las características de propagación de una OEM, será suficiente estudiar el comportamiento de una 
onda plana uniforme con un valor particular de 
∧
k , es decir, supondremos que los campos están dados por+: 
 
( t ) ( t )
0 0
k r i k r k r i k r
c cE E y H He e e e
α ω β α ω β
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →→ → → →− • − • − • − •= = (10a,b) 
 
con ɵ0 0, y tales queE H k
→ →
 
 
 
1.1 Ondas electromagnéticas en el vacío 
Si el medio es el vacío 0 0( , y 0)ε ε µ µ σ= = = , entonces: 
 
,0=FP ,0=α 00εµωβ = 00
0
120 Z
µ π
ε
= ≈ Ω 
 
( t )
0
i k r
cE E e
ω β
∧ →→ → − •= , 
0
1
c cH k EZ
→ ∧ →
= × 
0
1
Re( ) Re( ) y oscilan en fasec cH k E H EZ
→ ∧ → → → 
⇒ = × ∴ ⊥ 
 
 
 
En este caso los campos eléctrico y magnético no se atenúan, son ortogonales y oscilan en fase. Ambos viajan a la 
velocidad ( )
0 0
1
v , la velocidad de la luz en el vacíoc
ω
β µ ε
= = = y su longitud de onda tiene el valor c
ω
π
β
πλ 22 == . 
 
 
1.2 Ondas electromagnéticas en medios sin pérdidas (medios no conductores, dieléctricos perfectos o sin pérdidas) 
Si el medio es no conductor, de parámetros ε y µ reales; entonces ,0=FP ,0=α β ω µε= , 
0
r
r
Z Z
µ
ε
= . 
Los campos, la velocidad de propagación y la longitud de onda estarán dados por: 
 
( t )
0
i k r
cE E e
ω β
∧ →→ → − •= , 1c cH k EZ
→ ∧ →
= × 1Re( ) Re( ) y oscilan en fasec cH k E H EZ
→ ∧ → → → 
⇒ = × ∴ ⊥  
 
 
0 0
1 1 1
v
r r
c
n
ω
β µε µ ε µ ε
= = = = 
 
n
c
ω
π
ω
π
β
πλ 2v22 === 
 
donde rrn εµ= es el índice de refracción del medio. 
 
De éstas expresiones se tiene que 
 
• los campos eléctrico e inducción magnética no se atenúan, son ortogonales y oscilan en fase. 
• la velocidad y longitud de onda son menores que los respectivos valores en el vacío cuando 1>rr εµ ; sucede 
lo contrario si 1r rµ ε < . 
 
+Nótese que las expresiones (10a) y (10b) representan campos complejos, pero como los campos eléctricos y magnéticos son 
cantidades físicas reales, utilizaremos la convención de que la parte real de (10a) y (10b) es la que tiene significado físico. 
� 0 0k E
∧ →
=i , � 0 0k H
∧ →
=i , � 0 0
1
H k E
Z
→ ∧ →
= × , � 0 0E Z H k
→ → ∧
= × ; 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
5
1.3 Ondas electromagnéticas en medios con pérdidas (medios conductores imperfectos o dieléctricos con pérdidas) 
Si el medio tiene una conductividad 0σ ≠ , y parámetros ε y µ reales, tenemos lo siguiente: 
 
1) 0,FP
σ
ωε
≠= 
1/2
21 ( ) 1 0,
2
FP
µεα ω  = + −

≠

 
1/2
21 ( ) 1
2
FP
µεβ ω  = + +
 
 
 
 
2) � 
( t )
0
k r i k r
cE E e e
α ω β
∧ → ∧ →→ → − • − •= � 
1 1
| |
i
c c cH k E k EZ Z e
→ ∧ → ∧ → − Ω= × = × 
 
3) La OEM se atenúa conforme se propaga en el medio. Su amplitud disminuye por un factor 1e− después de recorrer 
la distancia 1 .δ
α
= Ésta distancia es denominada profundidad de penetración o distancia de atenuación (
1
0e E
→
− 
representa el 36.79 % de la amplitud inicial de la onda). 
 
4) Los campos eléctrico y magnético no son ortogonales (excepto si Re( ) Im( ) 0)c cE E
→ →
× =
�
 y además no oscilan en fase. 
 
( )1 1 Re( ), Re( ) Re Re cos Re( ) Im( ) 
| | | |
1
cos Re( ) Im( )
| |
i
c c c c c
c c
E E H H k E k isen E i E
Z Z
H
k E sen E
Z
e
→ → → → ∧ → ∧ → →− Ω
→
∧ → → ⊥
    = = = × = × Ω − Ω + =    
    
 = × Ω + Ω ∴ 
 
 
 y no o
( excepto si Re( ) Im( ) 0 ) 
scilan en fase Si Re( ) 0 )
 
(
 
m
 
 I 0c
c
c
cE
E
E
E
E
H E
→
→ → → →
→ →
 
 
 
 
 
    = ⇒ ≠  
 
×
 
=
�
�
�
 
 
5) La onda viaja a menor velocidad que la que tendría en un medio no conductor -con el mismo valor de ε y µ - 
 
µεµεβ
ω 1
1)(1
21
v
2/1
2
<








++
==
FP
, 
 
6) Como la velocidad de la onda es una función de la frecuencia (ver expresión anterior), una superposición de ondas 
armónicas de diferente frecuencia no mantiene su forma porque la velocidad de éstas es función de ω (un medio 
que causa distorsión se denomina dispersivo). 
 
7) En igualdad de propiedades dieléctrica y magnética, el periodo espacial de una onda es menor en un medio con 
pérdidas que en un medio sin pérdidas 
 
µεω
π
µεω
π
ω
π
β
πλ 2
1)(1
22v22
2/1
2
<








++
===
FP
 
 
 
 )cos( zβ 
 z 
 
 
)cos( ze
z βα− 
 
 Z 
 
 
 
Figura 1. Atenuación o amortiguamiento en un dieléctrico con pérdidas. 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
6
2. Polarización 
La polarización de una onda electromagnética se define en términos del comportamiento temporal del campo eléctrico. 
Se dice que es la figura geométrica determinada por el extremo del vector campo eléctrico en función del tiempo, en 
una posición dada. Para ondas armónicas, dependiendo de la relación entre las componentes ortogonales del campo 
eléctrico, la polarización puede ser lineal, circular o elíptica. La polarización es lineal cuando la diferencia de fase entre 
las componentes ortogonales del campo eléctrico es múltiplo entero de π , es circular cuando es múltiplo semientero de 
π y las amplitudes son iguales, y es elíptica en cualquier otro caso. 
En la polarización circular o elíptica, el sentido de giro del campo eléctrico determina la helicidad. Para una onda que 
se aleja del observador, la polarización es a derechas si el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj; la 
polarización es a izquierdas si el sentido de giro es opuesto al de las agujas del reloj. 
La relación axial de una onda con polarización elíptica es la razón entre los ejes mayor y menor de la elipse. 
 
 vE 
 
 
 
 uE 
 
 
 
 
 vE 
 
 
 
 uE 
 
 vE 
 
 
 
 uE 
 
Figura 2. Tipos de polarización de una OEM plana uniforme. 
 
Dado el campo eléctrico de una OEM, por ejemplo 
( t )
0 0 0Re ( ) ,
k r i k r
x y zE E x E y E ze e
α ω β
∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ − • − • = + + 
 
 la 
polarización del mismo se puede obtener de la siguiente manera: 
 
I. Expresar el vector 0 0 0 0x y zE E x E y E z
→ ∧ ∧ ∧
= + + como combinación lineal de dos vectores unitarios reales y 
ortogonales que a su vez lo sean con la dirección de propagación, es decir, 0 ov v;ouE E u E
→ ∧ ∧
= + con 
∧∧∧∧∧∧∧∧∧
=×⊥⊥⊥ kukkuu vyv,,v . 
 
II. Reescribir cada componente de 0E
→
 en su forma polar. 
 
0 1 2
1 2 v;
i i
E E u Ee e
θ θ→ ∧ ∧= + 1 2 1 2, , ,E E θ θ ∈ℝ . 
 
III. Aplicar el siguiente criterio. 
La polarización será 
 
� lineal si 2 1 ,0,θ θ π π− = − ó 01 =E ó 02 =E . 
 
� circular si 1 12 1 2 2,θ θ π π− = − y 21 EE = . 
 
� elíptica si 1 12 1 1 22 2, y E Eθ θ π π− = − ≠ ó 12 1 1 220, , y , 0E Eθ θ π π− ≠ ± ± ≠ . 
 
Si la polarización es circular o elíptica y 
 
� πθθ <−< 120 , la helicidad es a izquierdas. 
 
� 012 <−<− θθπ , la helicidad es a derechas. 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
7
El criterio anterior se sigue del hecho que 
 
1 1cos( t )
k r
uE E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= − • + y v 2 2cos( t )
k r
E E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= − • + 
 
satisfacen la ecuación 
 
 
2 2
2 2v v
2 1 2 1
1 2 1 2
2 cos( ) ( )
k ru uE E E E sen
E E E E e
αθ θ θ θ
∧ →
− •      + − − = −            
 (11) 
 
 
Dem. ecuación (11) 
 
De las componentes ortogonales de los campos: 
 
1 1 1 1 1cos( t- ) cos( t- ) cos ( t- )
k r k r
uE E k r E k r sen k r sene e
α αω β θ ω β θ ω β θ
∧ → ∧ →∧ → ∧ → ∧ →− • − •  = • + = • − •  
, 
 
v 2 2 2 2 2cos( t- ) cos( t- )cos ( t- )
k r k r
E E k r E k r sen k r sene e
α αω β θ ω β θ ω β θ
∧ → ∧ →∧ → ∧ → ∧ →− • − •  = • + = • − •  
, 
 
se tiene: 
 
v
2 1 1 2 2 1
1 2
2 1
cos cos ( t- ) cos ( t- ) cos
( t- ) ( )
k ru
k r
E E
sen k r sen sen k r sen
E E
sen k r sen
e
e
α
α
θ θ ω β θ θ ω β θ θ
ω β θ θ
∧ →
∧ →
∧ → ∧ →− •
∧ →− •
 − = − • + • =  
 = • −  
 
 
v
2 1 1 2 2 1
1 2
2 1
cos( t- )cos cos( t- )cos
cos( t- ) ( )
k ru
k r
E E
sen sen k r sen k r sen
E E
k r sen
e
e
α
α
θ θ ω β θ θ ω β θ θ
ω β θ θ
∧ →
∧ →
∧ → ∧ →− •
∧ →− •
 − = • − • =  
 = • −  
 
 
Al sumar el cuadrado de 2 1
1 2
cos cos
vu E EE E
θ θ− y el cuadrado de 2 1
1 2v
sen sen
u E EE E
θ θ− , se obtiene: 
 
2 2
2 2 2 2v v
2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
cos cos ( ) ( t- ) cos ( t- )
k ru uE E E Esen sen sen sen k r k r
E E E E e
αθ θ θ θ θ θ ω β ω β
∧ → ∧ → ∧ →− •     − + − = − • + •     
    
 
 
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2v v
2 2 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2
2 2
2 1
cos cos 2 cos cos
( )
u u
k r
E E E E
sen sen sen sen
E E E E
sene
α
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
∧ →
− •
      
+ + + − + =      
      
= −
 
 
y finalmente la ecuación (11). 
 
 
Demostración del criterio para determinar la polarización de la OPU 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
8
• Si 1 0,E = la ecuación (11) degenera en la ecuación de la línea recta 0uE = . 
 
 Se multiplica (11) por 21E y se toma el límite cuando 1 0E → . 
 
( ) ( ) ( )
2
2 222 2 2v v
1 2 1 1 2 1 1
2 2
0
0 0
2 cos( ) ( ) 0 0
k r
u u u u
E E
E E E E sen E E E
E E e
αθ θ θ θ
∧ →
− •   + − − = − ⇒ = ∴ =   
    ���������������� �����������
 
 
 
Como 1 1cos( t- ) 0
k r
uE E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + = y v 2 2 2 2cos( t- ) ,
k r k r k r
E E k r E Ee e e
α α αω β θ
∧ → ∧ → ∧ →∧ →− • − • − • = • + ∈ − 
 
, es 
claro que el campo eléctrico describe el segmento de recta de la figura 3a. 
 
 
• Si 2 0,E = la ecuación (11) degenera en la ecuación de la línea recta v 0E = . 
 
 Se multiplica (11) por 22E y se toma el límite cuando 2 0E → . 
 
( ) ( ) ( )
2
2 222 2 2
2 v v 2 1 2 2 1 2 v v
1 1
0
0 0
2 cos( ) ( ) 0 0
k ru uE EE E E E sen E E E
E E e
αθ θ θ θ
∧ →
− •   + − − = − ⇒ = ∴ =   
    ���������������� �����������
 
 
 
Como 1 1 1 1cos( t- ) ,
k r k r k r
uE E k r E Ee e e
α α αω β θ
∧ → ∧ → ∧ →∧ →− • − • − • = • + ∈ − 
 
 y v 2 2cos( t- ) 0
k r
E E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + = , el 
campo eléctrico describe el segmento de recta de la figura 3b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(f) 
Figura 3. 
vE
1
k r
E e
α
∧ →
− • 


 
2
k r
E e
α
∧ →
− •−
	�
��
uE 
vE
1
k r
E e
α
∧ →
− •−

2
k r
E e
α
∧ →
− •−
�����
uE
vE
1
k r
E e
α
∧ →
− •


 
2
k r
E e
α
∧ →
− •−
	�
��
 
uE
uE
vE
2
k r
E e
α
∧ →
− •
	�
��
2
k r
E e
α
∧ →
− •−
	�
��
vE
1
k r
E e
α
∧ →
− • − 

1
k r
E e
α
∧ →
− • 


 
uE
vE
1
k r
E e
α
∧ →
− • 


2
k r
E e
α
∧ →
− •−
	�
��
 
uE
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
9
• Si 2 1 0,θ θ− = la ecuación (11) degenera en la ecuación de una línea recta con pendiente positiva: 1 v
2
u
E
E E
E
= . 
 
 2 2
v v
1 2 1 2
2 cos0u u
E E E E
E E E E
      
+ −      
      
1 2 20
k r
sene
α
∧ →
− •=
2
0
v 1
v
1 2 2
0u u
E E E
E E
E E E
 
⇒ − = ⇒ = 
 
 
 
 
Como 1 1cos( t- )
k r
uE E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + y v 2 2cos( t- )
k r
E E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + , el campo eléctrico describe 
el segmento de recta de la figura 3c. 
 
 
• Si 2 1θ θ π− = ± , la ecuación (11) degenera en la ecuación de una recta con pendiente negativa: 1 v
2
u
E
E E
E
= − . 
 
 2 2
v v
1 2 1 2
2 cosu u
E E E E
E E E E
π
      
+ − ±      
      
1 2 2k r sene
α π
∧ →
− − •= ±
2
0
v 1
v
1 2 2
0u u
E E E
E E
E E E
 
⇒ + = ⇒ = − 
 
 
 
 
Como 1 1cos( t- )
k r
uE E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + y v 2 2cos( t- )
k r
E E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + , el campo eléctrico describe 
el segmento de recta de la figura 3d. 
 
 
• Si 11 2 2 1 2 y E E θ θ π= − = ± , la ecuación (11) degenera en la ecuación de una circunferencia con centro en el 
origen: ( ) ( )
2
2 2
v 1
k r
uE E Ee
α
∧ →
− • + =  
 
. En este caso el campo eléctrico describe la circunferencia de la figura 3e. 
 
 
( )
2 2
v v 1
2
1 1 1 1
2 cosu u
E E E E
E E E E
π
      
+ − ±      
      
( )0 2 2 12k r sene
α π
∧ →
− •= ± ( ) ( )
2
1 2 2
v 1
k r
uE E Ee
α
∧ →
− • 
⇒ + =  
 
 
 
 
 
• Si 11 2 2 1 20 0 y E E θ θ π≠ ≠ ≠ − = ± , la ecuación (11) se reduce a la de una elipse con su eje mayor sobre el eje 
horizontal o el vertical ( ver figura 3f ): 
2 2
v
1 21, con , 
k r k ruE E A E B E
A B e e
α α
∧ → ∧ →
− • − •   + = = =   
   
. 
 
 
( )
2 2
v v 1
2
1 2 1 2
2 cosu u
E E E E
E E E E
π      + − ±      
      
( )0 2 2 12k r sene
α π
∧ →
− •= ±
2 2
1
v
1 2
1u
k r k r
E E
E Ee e
α α
∧ → ∧ →
− • − •
   
   ⇒ + =
      
   
 
 
 
 
• Si 1 11 2 2 1 1 2 2 12 20 y 0, , ó y 0, ,E E E Eθ θ π π θ θ π π= ≠ − ≠ ± ± ≠ − ≠ ± ± , la ecuación (11) representa una 
elipse cuyo eje mayor forma un ángulo ( )120,θ π≠ con el eje vE . 
Demuestre que la ecuación 
2 2
2 2v v
2 1 2 1
1 2 1 2
2 cos( ) ( )
k ru uE E E E sen
E E E E e
αθ θ θ θ
∧ →
− •      + − − = −      
      
 representa una elipse 
cuyo eje mayor forma un ángulo 1 2 2 11
2 2 2
1 2
2 cos( )E E
ArcTan
E E
θ θθ
 −=  − 
 con el eje uE . 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
12
Demostración de las condiciones de helicidad 
Sabemos que 
 
v 2 2cos( t- )
k r
E E k re
α ω β θ
∧ → ∧ →− •= • + 
 
1 1 1 2
1 2 2
cos( t- ) cos( t- )
cos( t- )cos ( t- )
k r k r
u
k r
E E k r E k r
E k r sen k r sen
e e
e
α α
α
ω β θ ω β θ θ
ω β θ θ ω β θ θ
∧ → ∧ →
∧ →
∧ → ∧ →− • − •
∧ → ∧ →− •
= • + = • + − ∆ =
 = • + ∆ + • + ∆  
 
 
donde 2 1;θ θ θ∆ = − 
 
( )
v
2
v
2 2
2
Si es el ángulo entre el eje y (ver figura 4), entonces
tan cos tan( t- )
tan tan
sec sec ( t- ) sgn sgn sgn
Por lo tant
u
E E
E
k r sen
E
d d d d
k r sen sen
dt dt dt dt
θ ω β θ θ
ω ω β θ θ θ
∧ →
∧ →
Λ
Λ = = ∆ + • + ∆
Λ Λ Λ Λ   
⇒ = Λ = • + ∆ ∴ = = ∆   
   
��
o,
 Si 0 0 0 Helicidad a izquierdas
 Si 0 0 0 Helicidad a derechas
d
sen
dt
d
sen
dt
θ π θ
π θ θ
Λ< ∆ < ⇒ ∆ > ∴ > ⇔
Λ− < ∆ < ⇒ ∆ < ∴ < ⇔
i
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
d
HIzq
dt
Λ⇔ > 0
d
HDer
dt
Λ⇔ < 
Λ 
uE 
vE 
Λ 
uE 
vE 
0
d
HIzq
dt
Λ⇔ > 0
d
HDer
dt
Λ⇔ < 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
13
Ejercicio. Verificar la polarización de los siguientes campos. 
 
 
( t )
0Re ( )
i z
E x i y E e
ω β→ ∧ ∧ − = +  
 
Pol. circular a izquierdas 
 
( t )
0Re ( )
i z
E x i y E e
ω β→ ∧ ∧ − = −  
 
Pol. circular a derechas 
 
( t )
0Re (3 )
i z
E x i y E e
ω β→ ∧ ∧ − = −  
 
Pol. elíptica a derechas 
 
( t )
0Re (3 )
i z
E x y Ee
ω β→ ∧ ∧ − = −  
 
Polarización lineal 
 
 
Tarea. Elaborar un resumen de la sección 24-8 (¿Son constantes los parámetros electromagnéticos de la materia?) del 
Wangsness y de la sección 3.4.1 (Permitividad y permeabilidadcomplejas) del Dios Otín. 
 
 
 
Ejemplos. 
1. Una onda plana uniforme de MHz300 viaja en el vacío, tiene un campo eléctrico dado por 
( t )
Re 90 V/m.
i z
E xe
ω β→ ∧ − =  
 
 Determine (a) fv , (b) ω , (c) 
→
k , (d) λ y (e) B
→
. 
( 270 /104 AN
−×= πµ , 22120 /1085.8 mNC −
−×=ε ) 
Sol. 
(a) fv c= 
 
(b) sradf /1062 8×== ππω 
 
(c) 
8
f 8
f
6 10
v 2 / 2 /
v 3 10
rad
s
m
s
rad m k k z rad m
πωω β β π β π
→ ∧ ∧×
= ⇒ = = = ∴ = =
×
 
 
(d) m
m
rad
1
2
22 ===
π
π
β
πλ 
 
(e) ( t ) 7 8
0 0 0 08
f
1 90
90 Re 3 10 cos(6 10 t 2 )
v 3 10
i z
m
s
B H k E z x y B B z y Te
ω ββµ π π
ω
→ → ∧ → ∧ ∧ ∧ → → ∧− −   = = × = × = ∴ = = × × −   ×   
 
 
 
2. Una onda plana uniforme de GHz9 se propaga en un medio no conductor de permitividad 04εε = y 
permeabilidad relativa 1=rµ , en la dirección de z . Si la magnitud máxima del campo eléctrico es de 
mV /1050 3−× , determine: 
(a) El índice de refracción del medio. 
(b) La velocidad de propagación de la onda. 
(c) El vector de onda. 
(d) La longitud de onda. 
(e) La impedancia intrínseca del medio. 
(f) La magnitud máxima de la inducción magnética y de la intensidad magnética. 
Sol. 
(a) 2)4()1( === rrn εµ 
 
(b) 8fv 0.5 1.5 10 /
c
c m s
n
= = ≈ × 
 
(c) 
9
f 8
f
18 10
v 120 / 120 /
v 1.5 10
rad
s
m
s
rad m k k z rad m
πωω β β π β π
→ ∧ ∧×
= ⇒ = = = ∴ = =
×
 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
14
(d) m
m
rad 60
1
120
22 ===
π
π
β
πλ 
 
(e) 0 0
0 0
1
188.5
4 2
µ µµ ω µ
β ε ε ε
Ζ = = = = = Ω 
 
(f) 
3
11max
max max max 8
f f f
50 101 1
33.33 10
v v v 1.5 10
N
C
m
s
E
B H k E k E B k E B T
βµ
ω
−→ → ∧ → ∧ → → ∧ →
−×= = × = × ⇒ = × ∴ = = = ×
×
 
 
(g) 
3
6max
max max max
50 101 1
265.25 10 /
188.5
V
mEH k E H k E H A m
Z
−→ ∧ → → ∧ →
−×= × ⇒ = × ∴ = = = ×
Ζ Ζ Ω
 
 
 
3. Una onda electromagnética plana cuya frecuencia es de MHz2 viaja en un medio de permitividad 010εε = , 
permeabilidad 0µµ = y conductividad 
35 10 mho/mσ −= × . Determine: 
(a) La frecuencia angular, 
(b) el factor de pérdidas, 
(c) la constante de fase, 
(d) la constante de atenuación, 
(e) la velocidad de la onda, 
(f) la longitud de onda, 
(g) la diferencia de fase entre el campo eléctrico y la inducción magnética, 
(h) la distancia de atenuación. 
Sol. ( 270 /104 AN
−×= πµ , 22120 /1085.8 mNC −
−×=ε ) 
(a) sradf /1042 6×== ππω 
 
(b) 
3
6 11
5 10
4.5
4 10 (8.85 10 )
FP
σ
ωε π
−
−
×= = =
× ×
 
 
(c) 
7 111/2 1/2
2 6 34 10 (8.85 10 )1 ( ) 1 4 10 1 20.25 1 221.94 10
2 2
rad
FP
m
µε πβ ω π
− −
−× ×   = + + = × + + = ×   
 
(d) [ ] mneperFP /1005.17810)9.1)(71.93(1)(1
2
33
2/1
2 −− ×=×=−+= µεωα 
 
(e) 
6
8
f 3
4 10
v 0.57 10 /
221.94 10
rad
s
rad
m
m s
πω
β −
×
= = = ×
×
 
 
(f) m
m
rad
31.28
1094.221
22
3
=
×
== −
π
β
πλ 
 
(g) º74.38
1094.221
1005.178
arctanarctan
3
3
=





×
×=




=Ω −
−
β
α
 
 
(h) m62.51 == −αδ , ∴ la onda tendrá el 36.79% de la amplitud inicial cuando recorra una distancia aprox. de 
5/λ . 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
15
4. Una partícula con carga q y masa m viaja con una velocidad 
∧→
= xvv en el campo de la onda electromagnética 
0 cos[ ( )]E x E t zω εµ
→ ∧
= − donde 0E es una constante. Encuentre la fuerza sobre la partícula. 
Sol. 
La inducción magnética de la OEM es: 
0
1
cos[ ( )]B k E z E E t z yµε µε ω εµ
ω
→ → → ∧ → ∧
= × = × = − , 
entonces la fuerza sobre la carga será: 
 
0( v ) ( v ) cos[ ( )]q qF q E B q x z E t zµε ω εµ
→ → → → ∧ ∧
= + × = + − 
 
 
5. Una onda que se propaga en un medio no conductor tiene un campo 
7(50 10 t 10 )
Re (200 80 ) V/m
i y
E x ze
→ ∧ ∧ × + = + 
 
, 
con una magnitud máxima de 
→
H de A/m6 . Encuentre a) f , b) 
→
k , c) λ , d) fv , e) µ , f) ε y g) B
→
. 
Sol. 
(a) Hzf s
rad
6
7
1058.79
2
1050
2
×=
×
==
ππ
ω
 
 
 
(b) mradyk /10
∧→
−= 
 
(c) m
m
rad
31032.628
10
22 −×=== π
β
πλ 
 
(d) 
7
7
f
50 10
v 5 10 /
10
rad
s
rad
m
m s
ω
β
×
= = = × 
 
(e) 7 2 2 7
max(200 80 )cos (50 10 t 10 ) 200 80 cos(50 10 t 10 ) 40 29E x z y E y E
→ ∧ ∧
= + × + ⇒ = + × + ∴ = 
 
 7 2max
7
f max f
215.411 1
7.18 10 /
v v 6 (5 10 )
N
C
mA
m s
E
H k E k E k E N A
Z H
β µ
ωµ µ
→ ∧ → ∧ → ∧ →
−= × = × = × ⇒ = = = ×
×
 
 
(f) 
2
2
2
10
f 2 7 7 2
f
1 1 1
v 5.5 10
v (7.18 10 )(5 10 )
C
N mN m
sA
ε
µµε
−
−= ⇒ = = = ×× ×
 
 
 
(g) 6
0 0 7 7
f
1 1 1
( ) (200 80 ) ( 80 200 ) ( 1.6 4 ) 10
v 5 10 5 10
N
Cm m
s s
B k E y x z x z x z T
→ ∧ → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
−= × = − × + = − + = − + ×
× ×
 
 
76 (50 10 t 10 ) 7Re ( 1.6 4 ) 10 ( 1.6 4 )cos(50 10 t 10 )i yB x z e x z y z Tµ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
− × + ∴ = − + × = − + × + 
 
 
 
Nota. Si en el problema anterior 
7(50 10 t 10 )
Re (200 80 ) V/m
i y
E x i z e
→ ∧ ∧ × + = + 
 
, se tienen los siguientes cambios 
 
• 
7(50 10 t 10 ) 7Re (200 80 ) =200 cos 80 , con =50 10 t 10
i y
E x i z x z sen ye
→ ∧ ∧ ∧ ∧× + = + Ψ − Ψ Ψ × + 
 
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
max
200 cos 80 200 (1 ) 80 200 (80 200 )
200
E sen sen sen sen
E
⇒ = Ψ + Ψ = − Ψ + Ψ = + − Ψ
∴ =
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
16
• 7 2max
7
max f
200 20
10 /
v 6 (5 10 ) 3
N
C
mA
m s
E
N A
H
µ −= = = ×
×
 
 
• 
2
2
2
10
2 7 7 220
f 3
1 1
6 10
v ( 10 )(5 10 )
C
N mN m
sA
ε
µ
−
−= = = ×× ×
 
 
• 60 0 7
f
1 1
( ) (200 80 ) ( 1.6 4 ) 10
v 5 10 ms
B k E y x i z i x z T
→ ∧ → ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
−= × = − × + = − + ×
×
 
 
76 (50 10 t 10 ) 7 7Re ( 1.6 4 ) 10 1.6 (50 10 t 10 ) 4cos(50 10 t 10 )i yB i x z e sen y x y z Tµ
→ ∧ ∧ ∧ ∧
− × + ∴ = − + × = × + + × + 
 
 
 
 
6. Una onda que se propaga en un medio no conductor está compuesta por los campos 
7(2 10 t )
100 V/m
i
c
z
E xe
β→ ∧× −= 
y 
7(2 10 t )
2.2 A/m.
i
c
z
H ye
β→ ∧× −= Si la onda viaja a una velocidad de c5.0 . Encuentre a) f , b) λ , c) 
→
k , d) µ , 
e) ε , y f) ),,,( tzyxB
→
. 
Sol. 
(a) Hzf s
rad
6
7
1018.3
2
102
2
×=
×
==
ππ
ω
 
 
(b) 
8
f
7 1
1.5 10v
15 47.12
10 /
m
s
s
m m
f
λ π
π
×
= = = = 
(c) mradzzk /1033.133
2 3 ∧−∧→ ×==
λ
π
 (d) 2
8max
8
max f
100
30.3 10
v 2.2 (1.5 10 )
N
C N
AmA
m s
E
H
µ −= = = ×
×
 
 
(e) 
2
2
2
11
2 8 8 2
f
1 1
14.66 10
v (30.3 10 )(1.5 10 )
C
N mN m
sA
ε
µ
−
−= = = ×× ×
 
 
(f) ɵ7 ( ) 7 7
0 0 08
f
1 100
6.67 10 Re 6.67 10 cos(2 10 t 0.133 )
v 1.5 10
i t k rB k E y y T B B e z y Tω β
→ ∧ → ∧ ∧ → → ∧
− − − = × = = × ∴ = = × × − ×  
�
i 
 
 
7. Comprobar que el fasor campo eléctrico 0
( 2 )
2 ( 2 ) ( 2 ) 2 V/m
i x y zE
sE i x i y i z e
π→ ∧ ∧ ∧ − + + = − + + − +  
, con 0E 
real, corresponde a una onda plana. Si es el caso, determine: la dirección de propagación y la longitud de onda. 
Sol. 
Considerando que 
∧∧∧→
++= zkykxkk zyx y 
∧∧∧→
++= zzyyxxr , entonces )2( zyxzkykxkrk zyx ++=++=•
→→
π 
ɵ3 2( 2 )
2
x y z
k x y z kπ
∧ ∧ ∧
→ ∧ ∧ ∧ + +
⇒ = + + ∈ ∴ =ℝ 
 
Este campo corresponde al de una onda plana ya que ɵ 0 0k E
→
• = (equivalentemente 0 0k E
→ →
• = ). 
 
ɵ 0 0 21
0 2 2 4( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2) 0
E Ek E x y z i x i y i z i i i
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧   • = + + • − + + − + = − + + − + =    
 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
17
( 2 ) 2
= ( 2 ) y 2 1
2
x y z
k k x y z k m
πβ π β π λ
β
∧ ∧ ∧
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ + += + + = ⇒ = ∴ = = 
 
 
8. Si la onda electromagnética del ejemplo anterior se propaga en un medio de parámetros 4=rε y 1=rµ , 
determine: (a) el índice de refracción y la impedancia intrínseca del medio, (b) la velocidad y frecuencia de la 
onda, (c) los fasores intensidad e inducción magnética. 
Sol. 
 
(a) 2== rrn εµ , 
 
Ω====Ζ 5.188
4 2
377
0
0
ε
µ
ε
µ
, 
 
(b) smc
n
c
/105.1
1
v 82
1 ×====
µε
, MHzf 150
2
)2(105.1
2
v
2
8
=×===
π
π
π
β
π
ω
 
 
(c) ( ) ( ) 

 ++−+−=
−+−
=×
Ζ
=
∧∧∧
∧∧∧
→∧→
zyixi
iii
zyx
EkH EE 22222222
2)2()2(
211
1
75422
1
5.188
1
00
00 
 
( ) ( )0( 2 ) ( 2 )0 3771 1 2 1 2 2i x y z i x y zEsH k E i x i y ze eπ π
→ ∧ → ∧ ∧ ∧− + + − + + ∴ = × = − + − + + Ζ  
 
 
 
9. Una onda plana de 3GHz se propaga en un medio no magnético con permitividad relativa de 2.5 y factor de 
pérdidas de 0.05. Determine 
(a) la impedancia intrínseca, la longitud de onda y la velocidad de fase de la onda en el medio. 
(b) la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. 
Sol. 
[ ] mradmNCANsrad /42.991)05.0(12
)1085.8)(5.2)(104(
)106(
2/1
2
127
9
2
2
2
=++
××
×=
−−π
πβ 
[ ] mNpmNCANsrad /48.21)05.0(12
)1085.8)(5.2)(104(
)106(
2/1
2
127
9
2
2
2
=−+
××
×=
−−π
πα 
 
(a) Ω=
+
××=
+
=
−
=≡Ζ 



−Ω
eee
iii
ik
43.1
42.99
48.2
arctan
22
97
22
17.238
)42.99()48.2(
)106)(104( ππ
βα
ωµ
αβ
ωµωµ
 
 
m3102.63
2 −×==
β
πλ 
 
sm/109.1v 8×==
β
ω
 
 
(b) 0 0 0
k r i k r k r d
sE E Amplitud E Ee e e e
α β α α
∧ → ∧ → ∧ →→ → → →− • − • − • −= ⇒ = = 
 
Por lo tanto: 30 0
10.5 0.5 ln(0.5) 279.04 10 4.41
d d
E E d me e
α α
α λ
→ → − − −= ⇒ = ∴ = − = × ≈ 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
18
10. Halle la polarización de la OEM cuyas componentes del campo eléctrico son: 
 
1
350 cos( t ) /xE kz V mω π= − − , 
 
1
620 cos( t ) /yE kz V mω π= − − , 
Sol. 
 
mVkzEx /)tcos(50 3
1 πω −−= 
 
mVkzEy /)tcos(20 6
1 πω −−= 
 
 
πθ 3111 ,50 −==E 
 
πθ 6122 ,20 −==E 
 
πππθθ 61316112 =+−=− y 21 EE ≠ 
 
∴ polarización elíptica a izquierdas. 
 
 
 
11. Determine la polarización de la OEM cuyo campo eléctrico es ( )
9
0
6 10 t 3 ( )
2Re V/m
i x yEE i x i y z e
π→ ∧ ∧ ∧ × − +  = − +    
, 
con 0E real. 
Sol. 
Para determinar la polarización es necesario expresar 00 2 ( )
EE i x i y z
→ ∧ ∧ ∧
= − + en términos de dos vectores unitarios 
ortogonales que a su vez lo sean con la dirección de propagación de la onda, es decir: 0 v vuE E u E
→ ∧ ∧
= + ; con 
∧∧∧∧∧∧∧∧∧
=×⊥⊥⊥ kukkuu vyv,,v 
En este caso 
2
)(
∧∧
∧ += yxk y se puede ver fácilmente que este vector es ortogonal a los vectores 
∧
z y 
2
)(
∧∧
− yx , los 
cuales también son perpendiculares. Como 
2
)(
2
)(
∧∧∧∧
∧ +=−× yxyxz , entonces 
∧∧
= zu y 
2
)(
v
∧∧
∧ −= yx . Por lo tanto 
 
0 0 0
0 /2
0 2 2 2
( 2 v) v
i iE E EE u i ue e
π→ ∧ ∧ ∧ ∧= + = + ⇒ 




==
==
2/,
,0,
222
121
0
0
πθ
θ
E
E
E
E
. 
Puesto que 
212
πθθ =− y 21 EE ≠ , la polarización es elíptica a izquierdas. 
 
Nota. Si en el problema anterior 0E ∈ℂ , los cambios serian 
0
0 00 0 0
0
| |
1 1 0(0 ) ( /2 ) 2| | | |
0 2 2 | |2 1
2 2 022
, ,
( 2 v) v
,
E
i iE E E
E
E
E u i u
Ee e
θ π θ θ θ
θ π θ
→ ∧ ∧ ∧ ∧+ +  = == + = + ⇒ 
= = +
. 
 
Pero la polarización sigue siendo elíptica a izquierdas. Esto implica que para hallar la polarización basta 
analizar la cantidad que le da el carácter vectorial a 0E
→
. 
 
 
12. El campo eléctrico de una OEM radiada por dos dipolos elementales de igual longitud, que están situados 
ortogonalmente y se alimentan por corrientes desfasadas 90°, esta dado por: 
 
( )
cos
4
i r
s
Z IL
E i
r
e
β ϕβ θ θ ϕ
π
− +
→ ∧ ∧ = − + 
 
, donde ϕβ y,,, LIZ son constantes reales; 
 
determine la polarización de la onda. 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
19
Sol. 
,
∧∧
⊥ ϕθ 
∧∧∧∧
==× rkϕθ ; ee
ii
EiEE





 +=−= ϕ
πϕ θθθ 2000 |cos|cos
∓
, e
i
EE
ϕ
ϕ 00 = r
ILZ
E
π
β
4
donde 0 = 
Si :)0(2/0 ><< zπθ ϕπθθ +−==
2
|,cos| 101 EE 
 
 ϕθ == 202 ,EE 
 
212
πθθ =− y 21 EE ≠ , 
 
∴ polarización elíptica a izquierdas. 
Si :)0(2/ <<< zπθπ ϕπθθ +==
2
|,cos| 101 EE 
 
ϕθ == 202 ,EE 
 
212
πθθ −=− y 21 EE ≠ , 
 
 ∴ polarización elíptica a derechas. 
Si :)0(2/ == zπθ ϕπθ +==
2
,0 11E 
 
 ϕθ == 202 ,EE 
 
01 =E , ∴ polarización lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Ondas electromagnéticas en un medio buen dieléctrico y en un medio buen conductor 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
20
Como se ha visto, el factor de pérdidas es un parámetro que mide la importancia relativa de la conducción del medio. 
El hecho que esta cantidad sea igual a la razón entre los módulos de las densidades fasoriales de corriente de 
conducción y desplazamiento, es decir 
D
FP σ= �
�
, permite convenir lo siguiente: 
• Un medio es buen dieléctrico si 1<<FP , es decir, si ωεσ << 
 
• Un medio es buen conductor si 1>>FP , es decir, si ωεσ >> 
 
A continuación se da una expresión aproximada de algunas cantidades vistas en la sección 1.3, para un medio buen 
dieléctrico y para un medio buen conductor. 
 
Medio buen dieléctrico ( 1<<FP ) 
Considerando los dos términos de 
menor orden: 
 





 += 2)(
8
1
1 FPµεωβ 
 
ε
µσα
2
= 
 





 += 2)(
4
1
1|| FPk µεω 
 
ωε
σ
β
α
22
1 ===Ω FPtan 
 





 −= 2)(
8
1
1
1
v FP
µε
 
 





 −= 2)(
8
1
1
2
FP
µεω
πλ 
 
Buen conductor ( 1>>FP ) 
Considerando los dos términos de menor orden (respectivamente el primer 
término de menor orden): 
 
111 ( )
2 2
FP
ωµσβ − = + 
 
, 
2
ωµσβ = 
 





 −= −1)(
2
1
1
2
FP
µσωα , 
2
µσωα = 
 
2
| | 1
4
FP
k µσω
− 
= + 
 
, | |k µσω= 
 
1)(1 −−=Ω FPtan , tan 1
4
πΩ = ∴Ω = 
 





 −= −1)(
2
1
1
2
v FP
µσ
ω
, 1
2
v 2( ) vncFP
ω
µσ
−= = 
 





 −= −1)(
2
1
1
2
2 FP
µσω
πλ , 12 v 2( ) ncFP
πλ λ
ω
−= = 
 
 
 
Demostración de fórmulas para un buen dieléctrico ( 1<<FP ) 
Al considerar la aproximación ,1)1( nxx n +≈+ para x<<1, se obtiene: 
 
1/2 1/21/2
2 2 2 21 1 11 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2 2 4 8
FP FP FP FP
µε µεβ ω ω ω µε ω µε      = + + ≈ + = + ≈ +           
 
 
1/21/2
2 211 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )
2 2 2 2 2
FP FP FP
µε µε ω σ µα ω ω µε
ε
  = + − ≈ + − = =    
 
 
1/42 2 1/2 2 21| | ( ) 1 ( ) 1 ( )
4
k FP FPα β ω µε ω µε   = + = + ≈ +  
 
 
 
2 21 1 1tan 1 ( ) 1 1 ( ) 1
2 2 2
FP
FP FP
FP FP
α σ
β ωε
  Ω = = + − ≈ + − = =    
 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
21
1/2 1/2 1/2
2
2 21 12
2 2
1 2 1 2 1 2 1 1
v 1 ( )
1 ( ) 1 2 ( ) 81 ( ) 1
FP
FP FPFP
ω
β µε µε µε µε
        = = ≈ = = −       + + +  + +      
 
 
22 2 v 2 11 ( )
8
FP
π π πλ
β ω ω µε
 = = ≈ − 
 
 
 
Demostración de fórmulas para un buen conductor ( 1>>FP ) 
De manera similar al caso anterior, solo que considerando términos a primer orden, se obtiene: 
 
1/22 1 11/2
2 1 11 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
FP FP FP FP FP FP
FP FP FP
µε µε µε ωµσβ ω ω ω
− − −
− − −      = + + ≈ + + ≈ + = +           
 
 
1/22 1 11/2
2 1 11 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
FP FP FP FP FP FP
FP FP FP
µε µε µε ωµσα ω ω ω
− − −
− − −      = + − ≈ + − ≈ − = −           
 
 
2
1/4 1/42 2 1/2 2 2| | ( ) 1 1 1
4
FP
k FP FP FPα β ω µε ω µε ωµσ
−
−     = + = + = + ≈ +    
 
 
 
2
2 1 1 1tan 1 1 1
2
FP
FP FP FP FP
α
β
−
− − − −Ω = = + − ≈ + − ≈ − 
 
1/2 1/2 1/2
2 112 2 1
2
1 1
1 2 2 1 2 1
v
11 1 1
2 2
1 1
2 2
FP FP FP FPFP FP FP
FP FP
FP
ω
β µε µεµε
ω
µε µσ
− −− −
− −
        = = = ≈     + ++ + + +        
   
≈ − = −   
   
 
 
12 2 v 2
2 1
2
FPπ πλ π
β ω µσω
− 
= = ≈ − 
 
 
 
Ejemplo. 
1. Una onda electromagnética plana cuya frecuencia es de MHz2 viaja en un medio de permitividad 010εε = , 
permeabilidad 0µµ = y conductividad mho/m105
3−×=σ . Suponiendo que el medio es un buen conductor, 
determine: 
(a) La frecuencia angular, 
(b) el factor de pérdidas, 
(c) la constante de fase, 
(d) la constante de atenuación,(e) la velocidad de la onda, 
(f) la longitud de onda 
(g) la diferencia de fase entre el campo eléctrico y la inducción magnética. 
Compare estos valores con los que se obtuvieron en el ejercicio 3. 
Sol. ( 270 /104 AN
−×= πµ , 22120 /1085.8 mNC −
−×=ε ) 
sradf /1042 6×== ππω 
 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
22
5.4
)1085.8(104
105
116
3
=
××
×== −
−
πωε
σ
FP 
 
 
Suponiendo que el medio es un buen conductor se obtienen los siguientes valores: 
 
( ) mradFP /1006.2211.01
2
104)105(104
)(
2
1
1
2
2
637
1 −
−−
− ×=+×××=




 += ππµσωβ 
 
 
( ) 1221 1068.1711.011087.19)(
2
1
1
2
−−−− ×=−×=




 −= mneperFPµσωα 
 
 
smFP /1056.0)11.01(
)105(104
)104(2
)(
2
1
1
2
v 8
37
6
1 ×=−
××
×=




 −= −−
−
π
π
µσ
ω
 
 
 
( ) mFP 14.2811.01
104)105(104
2
2)(
2
1
1
2
2
637
1 =−
×××
=




 −= −−
−
ππ
π
µσω
πλ 
 
 
[ ] º87.37)(1 1 =−=Ω −FParctan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía. 
Propagación de Ondas Electromagnéticas (OEM’s) 
rteutle 
23
1. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
2. Campos Electromagnéticos | Dios Otín et al | Alfaomega. 
3. Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería | Cheng | Addison Wesley. 
4. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley.