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ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL y FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN rteutle Radiación de OEM Medio ε, µ, σ f fE Jσ → → → = +J v 0 f f D B B E t D H t ρ → → → → → → → ∇ • = ∇ • = ∂∇× = − ∂ ∂∇× = + ∂ J 2 2 1 v 2 2 t t f t f t t f E E E J B B B J µε µσ ε ρ µ µε µσ µ → → → → − → → → → ∇ = ∂ + ∂ + ∇ + ∂ ∇ = ∂ + ∂ − ∇× v 0, 0 f f Jρ → = = Propagación de OEM’s en medios sin fronteras v 0, 0 f f Jρ → ≠ ≠ t A E trAtrB ∂ ∂−Φ−∇= ×∇= → → →→→→ ),(),( 0 0 0 0 0 0, , , , , , i E k B k B k E E B k i i k k k k i β α ω ω β α β α ω ω β α → ∧ → ∧ → ∧ → → → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ → → → ∧ −⊥ ⊥ = × = × − −⊥ ⊥ = × = × − � � � � � � Requerimiento de las Ec. Maxwell ( t ) 0 ( t ) 0 Re Re [ ] [ ] k r i k r k r i k r E E B B e e e e α ω β α ω β ∧ → ∧ → ∧ → ∧ → → → − • − • → → − • − • = = 1/2 1/2 2 2 2 2 1/2 1 ( ) 1 , 1 ( ) 1 , 2 2 2 , v , , | | , | | ( ) , tan i FP FP FP i i ie µε µεβ ω α ω σ ω πλ ωε β β αβ α β α β α α β β − Ω = + + = + − = = = − = − − = + Ω = 1 k Z → ∧ → = ×� � t f fAA ∂ ∂−Φ=Φ ∇+= →→ ' ' Cambio de norma 2 v2 0 0 2 0 2 2 0 0 02 f f t A A J t ρ µ ε ε µ ε µ → → → ∂ Φ∇ Φ − = − ∂ ∂∇ − = − ∂ Simplificación del problema + norma de Lorenz 0 0 0tA µ ε → ∇ • + ∂ Φ = Solución sin v 0 ' 0 ' v v | ' | ', 1 ( , ) ' 4 | ' | | ' | ', ( , ) ' 4 | ' | ( ) ( ) f V f V r r r t r t dv r r r r J r t A r t dv r r ρ πε µ π → → → → → → → → → → → → → → −− Φ = − −− = − ∫ ∫ Variación temporal armónica t' t' v 0 0 ( ', ') Re ( ') ( ', ') Re ( ') v [ ] [ ] i f i f J r t r r t r e e ω ωρ ωβ ω µ ε → → → → → → = = = = � � 0 ' 0 0 0 ' 1 ( , ) Re ( ') ' 4 1 1 ( , ) Re ( ') ( ') ' 4 [ ] [ ] i R i t V i R i t V B r t i R r dv R R E r t i r R i r dv R R e e e e β ω β ω µ β π β ωµ ε πε − → → ∧ → → − → → → ∧ → → = − + × = + − ∫ ∫ � � � Teorema de Poynting ( ) f S V V B D E H d a H E dv E dv t t → → → → → → → → → ∂ ∂ × • + • + • = − • ∂ ∂ ∫ ∫ ∫� J | '| 0 ' | '| 0 ' ( ')1 ( , ) Re ' 4 | ' | ( ') ( , ) Re ' 4 | ' | [ ] [ ] i r r i t V i r r i t V r r t dv r r r A r t dv r r e e e e β ω β ω πε µ π → → → → → − − → → → → → − − → → → → Φ = − = − ∫ ∫ � � 1 ( ') ' ( ')r r iω → → → = − ∇ •� � Ec. de continuidad 2 1 s 2 1 2 1 2 1 ( ) , ( ) 0 ( ) 0, ( ) f f D D n n E E B B n n H H K ρ → → ∧ ∧ → → → → ∧ ∧ → → → − • = × − = − • = × − = Condiciones de frontera i µ ω β α Ζ ≡ − 1→ ( , )B A r t A E t → → → → → = ∇× ∂= −∇Φ − ∂ fronteras Vía su forma Integral. Al sustituir en leyes de Gauss y Ampere en medios sin pérdidas Propagación de OEM’s en medios con fronteras: ec. de Fresnel, fibra óptica, guías de ondas conductoras, … Fuentes inmersas en el espacio libre + Variación armónica en el tiempo + Requerimiento de Ec. de Maxwell +…= complicado Variación armónica en el tiempo: t t Re , Re[ ] [ ]i iE Be e ω ω→ → → →= =� � v 0, 0f fJρ → = = Solución más simple de las ec. onda ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL y FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN rteutle | '| 0 ' | '| 0 ' ' 0 ' ( ') ( , ) Re ' 4 | ' | ( ') ( , ) Re ' 4 | ' | 1 1 ( , ) Re ( ') ' 4 1 ( , ) Re ' 4 [ ] [ ] [ ] [ i r r i t V i r r i t V i R i t V ri r t dv r r r A r t dv r r H r t i R r dv R R i E r t i R e e e e e e β ω β ω β ω πε ω µ π β π β πε ω → → → → → → − − → → → → → − − → → → → − → → ∧ → → → → → ∇ • Φ = − = − = − + × = + ∇ • ∫ ∫ ∫ � � � � 2 2 ' ( ') ( ') ' v ] i R i t V r R r dv R e e β ωω − → ∧ → → − ∫ � ( ) ' 0 ' ( ) '0 ' ( ) ' ' ( ) ( , ) Re ' ( ') ' 4 ( , ) Re ( ') ' 4 ( , ) Re ( ') ' 4 ( , ) Re ( 4 [ ] [ ] [ ] [ i t r i r r V i t r i r r V i t r i r r r V i t r r i r t r dv r A r t r dv r i H r t H r r dv r i Z E r t E r r r r e e e e e e e ω β β ω β β ω β β ω β πε ω µ π β π β π ∧ → ∧ → ∧ → − → → → • − → → → → • − → → → ∧ → →• − → → → ∧ ∧ → Φ ≈ ∇ • ≈ ≈ ≈ − × ≈ ≈ × × ∫ ∫ ∫ � � � � ' ' ') ' ]i r r V dve β ∧ →→ • ∫ ∧∧ • −− →∧→→ ≈ ≈ •−≈−= →∧ rR rR rrrrrR e ee rri riRi ' '|'| β ββ 0 4 i r N r e βµ π → →−=� ' ' ( ') ' i r r V N r dve β ∧ →→ → → •= ∫ � i r Z ω→ ∧ →= − ×� � ( )i r rω → ∧ ∧ → = × ×� � 1Z r Z r → ∧ → → ∧ → −= − × ⇔ = ×� � � � ( ) ( ) i i Z θ ϕ ϕ θ ω θ ϕ ω θ ϕ → ∧ ∧ → ∧ ∧ = − + = − − + � � � � � � ∧∧∧→ ++= ϕθ ϕθ AArAA r Lejos de las fuentes. .1,' >>>> Rrr β Región de campos radiados lejanos o de Fraunhofer: ∞<≤ rDλ 22 *. Aproximación del potencial vectorial+: '0 ' ( ') ' 4 i r i r r V r dv r e e β βµ π ∧ →−→ → → •= ∫� � . Región de campos radiados próximos o de Fresnel: λλ 23 262.0 DD r ≤≤ *. Aproximación del potencial vectorial+: 2 2' ( ') '0 2 ' ( ') ' 4 i r r r r i r r i r V r dv r e e e β β βµ π ∧ → ∧ →− − •→ → → • −= ∫� � . * D diámetro de la esfera menor que circunscribe la distribución de corriente ( λ>>D ). + })'(''{})'('{'1|'| 32 2 122 2 1 16 )'2'( 8 )'2'( 2 )'2'( 26 32 4 22 2 2 →∧→∧→∧→∧•−•−•− →→ •−•+•−+•−≈ ++−+=−= →→→→→→ rrrrrrrrrrrrrrR rrr rrr r rrr r rrr ⋯ 2 0 ' ' Re ' ( ') ( ') ' , 4 Re ( ') ' 4 [ ] [ ] i R i t r V i R i t r V i E i r R r dv R i H R r dv R e e e e β ω β ω β β πε ω β π − → → → ∧ → → − → ∧ → → = ∇ • − = − × ∫ ∫ � � � Campos lejanos o radiados Campos cercanos o inducidos 2 0 ' 2 ' Re ' ( ') ' , 4 1 Re ( ') ' 4 [ ] [ ] i R i t i V i R i t i V i E r R dv R H R r dv R e e e e β ω β ω πε ω π − → → → ∧ − → ∧ → → = ∇ • = − × ∫ ∫ � �
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