Solucion de la ecuacion de onda

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SOLUCIÓN RECTANGULAR DE LA ECUACIÓN DE ONDA TRIDIMENSIONAL SIN FUENTES 
rteutle 
i
Solución de la ecuación de onda vectorial homogénea tridimensional en medios sin pérdidas 
La ecuación de onda vectorial homogénea en tres dimensiones es dada por 
 
2
2
2 2
1
v
U
U
t
→
→ ∂∇ =
∂
 
 
En coordenadas rectangulares, cualquier solución es de la forma 
 
( v )f k r t
→ ∧ →
−i , 
 
donde f
→
es una función vectorial cualquiera, tal solución representa una onda vectorial plana uniforme que se propaga 
a la velocidad v, en la dirección del vector real unitariok
∧
 (se denomina onda plana pues a un tiempo fijo el argumento 
permanece constante para todos los puntos del plano .k r cte
∧ →
=i , siendo dicho plano perpendicular al vector k
∧
; es 
uniforme porque en dichos puntos f
→
 tiene el mismo valor). 
 
 
Dem. 
Al expresar f
→
 en la base rectangular canónica (es decir j j
j
f f x
→ ∧
=∑ ), sustituir en la ecuación de onda y considerar el 
hecho que el conjunto de vectores es linealmente independiente, se obtiene que las componentes de dicho vector deben 
satisfacer la ecuación de onda escalar homogénea 3D. 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
0 0 0
v v vj j j j j j j j jj j j
t t tf x f x f f x f f
∧ ∧ → ∧ → ∇ − ∂ = ⇒ ∇ − ∂ = ∴ ∇ − ∂ = 
 
∑ ∑ ∑ . 
 
A continuación se probará que ( ) , donde v ,jf k r tψ ψ
∧ →
= −i es solución de la ecuación de onda. 
Puesto que ,un n n n
n n
k k x r x x
∧ ∧ → ∧
= =∑ ∑ y v vun n
n
k r t k x tψ
∧ →
= − = −∑i , entonces 
 
( ) ( ) [ ] ( )2 2( ) '( ) '( ) ''( )i i i i i i iui ui uix x x x x x xf f f k f k f k fψ ψψ ψ ψ ψ ψ ψ   ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ = ∂ ∂ =    , 
 
( )2 2 2 ''( )ij j ui
i i
xf f k f ψ∇ = ∂ =∑ ∑ 
y 
( ) ( ) [ ] ( )2 2( ) v '( ) v '( ) v ''( )t t t t t t tf f f f f fψ ψψ ψ ψ ψ ψ ψ   ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ − = − ∂ ∂ =    ; 
 
al sustituir en la ecuación de onda se obtiene 
 
 2 1ui
i
k =∑ . 
Condición completamente válida ya que k
∧
 es un vector real unitario. Por lo tanto ( ) y ( )jf fψ ψ
→
 satisfacen las 
ecuaciones de onda escalar y vectorial respectivamente. 
 
 
 
Por la linealidad de la ecuación de onda y el hecho que k
∧
 es una dirección cualquiera del espacio, una solución más 
general (no necesariamente la general ¿por qué?) debe incluir una suma sobre todas las direcciones, es decir 
SOLUCIÓN RECTANGULAR DE LA ECUACIÓN DE ONDA TRIDIMENSIONAL SIN FUENTES 
rteutle 
ii
 
2
cos cos
0 0
( v ) ( v )k sen x sen sen y z
r x x y y z zk k
k
F a f k r t b f k r t sen d d
π π
θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ
∧ ∧ ∧ ∧
→ ∧ ∧ ∧∧ ∧
∧
→ → ∧ → → ∧ →
= + +
= + +
= − → −∑ ∫ ∫i i 
 
Interesa estudiar las características de una onda electromagnética (OEM) al propagarse en una región fuera de las 
fuentes, para esto se tomará en cuenta que si las fuentes varían armónicamente en el tiempo, los campos eléctrico y 
magnético producidos también varían de la misma forma. Por tal razón se asumirá que 
 
2 2
( )
0 0 0 0
Re ( v ) Re
i k r t
k kF d Exp i k r t sen d d d sen d de
π π π π
ωβ θ θ ϕ θ θ ϕ
→ →
∧ ∧
→ → ∧ → → − −   = − − =        ∫ ∫ ∫ ∫
i
i , 
 
donde β se denomina número de propagación, número de onda o constante de fase (sus unidades son /rad m), 
k kβ
→ ∧
= es el vector de onda o de propagación y vω β= la frecuencia angular. 
 
 
 
La función 
( v )
( , ) Re
i k r t
kr t d e
β
∧ →
∧
→ → → − − Λ =  
 
i
 es periódica espacial y temporalmente, si λ y τ son los periodos 
respectivos, entonces ( , ) ( , )r k t r tλ
→ → ∧ → →
Λ + = Λ y ( , ) ( , )r t r tτ
→ → → →
Λ + = Λ . Como el periodo de la función exponencial 
con argumento imaginario es ,2π se sigue de las expresiones anteriores que πβλ 2= y πτβ 2v = . Por lo tanto 
 
β
πλ 2= [ ]m , 
 
vv
2 λ
β
πτ == [ ]s 
 
Al definir las frecuencias lineal y angular respectivamente por 
 
1f τ −= [ ]Hz y 
 
2 fω π= [ ]segrad / , 
 
Se obtiene la relación la relación vω β= . 
Definiendo el vector de propagación o de onda por k kβ
→ ∧
= , 
→
Λ se reescribe como ( )( , ) Re i k r tkr t d e
ω
→ →
∧
→ → → − − Λ =  
 
i
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN RECTANGULAR DE LA ECUACIÓN DE ONDA TRIDIMENSIONAL SIN FUENTES 
rteutle 
iii
Solución de la ecuación de onda vectorial tridimensional en medios con pérdidas 
La ecuación que satisfacen los campos eléctrico y magnético en medios sin fuentes, sin fronteras y de conductividad no 
nula, es 
 
2
2
2
U U
U
t t
µσ µε
→ →
→ ∂ ∂∇ = +
∂ ∂
 
 
Asumiendo variación armónica en el tiempo, una solución de la ecuación anterior es de la forma ( t )
0Re
i K r
f f e
ω
→ →→ → − • =  
 
, 
donde 0f
→
 un vector constante y K
→
 es un vector tal que 2K K iω µε ωµσ
→ →
= −i . Ésta última ecuación, llamada 
relación de dispersión, implica que el vector de propagación es complejo, es decir, R IK K i K
→ → →
= + , con RK
→
 y IK
→
 
vectores reales. Cuando éstos dos últimos vectores son linealmente independientes, la solución representa una onda 
plana no uniforme; en caso contrario la solución corresponde a la de una onda plana uniforme. Por el momento nos 
limitaremos al estudio del segundo tipo de soluciones. 
 
 
Dem. 
En coordenadas rectangulares, la ecuación de onda vectorial equivale a tres ecuaciones de onda escalares idénticas. 
Si j j
j
f f x
→ ∧
=∑ , 
2
2
2
0
f f
f
t t
µσ µε
→ →
→ →∂ ∂∇ − − =
∂ ∂
 ( ) ( ) ( )2 2 0j j j j j j
j j j
t tf x f x f xµε µσ
∧ ∧ ∧ →
⇔ ∇ − ∂ − ∂ = ⇔∑ ∑ ∑ 
 
2 2 0, 1,2,3.j j jt tf f f iµε µσ⇔ ∇ − ∂ − ∂ = = 
 
Si la variación temporal y espacial es armónica, la i-ésima componente del vector f
→
 tiene la forma 
 
( t)
( , ) Re ( )
i
i if r t f r e
ω→ → =   
, donde 0( )
i K r
i if r f e
→ →→ − •= . 
 
• 
2 2 2
( t ) ( t ) ( t [ ])2 2
0 0 0 2 2 2
Re Re Re x y z
i K r i K r i K x K y K z
i i if f f x y ze e e
ω ω ω
→ → → →
− • − • − + +  ∂ ∂ ∂   ∇ = ∇ = + + =      ∂ ∂ ∂      
 
( t ) 2 2 2
0Re ( ) ( ) ( )
i K r
i x y zf iK iK iKe
ω
→ →
− • 
 = − + − + −  
 
 
 
• 
2 2
( t ) ( t )
0 02 2
Re Re
i K r i K r
i if ft t t te e
ω ωµσ µε µσ µε
→ → → →
− • − •    ∂ ∂ ∂ ∂ + = + =     ∂ ∂ ∂ ∂     
 
( )( t ) 20Re ( )i K rif i ie ω ωµσ ω µε
→ →
− • = + 
 
 
 
Al sustituir los dos resultados anteriores en la ecuación de onda, se obtiene 
 
2 2 2 2 20x y zK K K i K K iω µε ωµσ ω µε ωµσ
→ →
+ + − + = ∴ = −i 
 
Supongamos que RK K kβ
→ ∧
= y IK K kα
→ ∧
= , al sustituir en la relación de dispersión se obtiene 
SOLUCIÓN RECTANGULAR DE LA ECUACIÓN DE ONDA TRIDIMENSIONAL SIN FUENTES 
rteutle 
iv
 
2 2 2 2( ) 2K iK k k K iK K K iβ α β β α α ω µε ωµσ
∧ ∧
+ = + − = −i , 
 
Al igualar partes real e imaginaria se obtienen las ecuaciones 
 
2 2 2K Kβ α ω µε− = (*) 
 
2K Kβ α ωµσ= − (**) 
 
De la ecuación (**),Kα y Kβ deben tener signo contrario. Si Kβ β= ± y Kα α= ∓ ( , 0)β α > , entonces: 
 
2 2 2β α ω µε− = (***) 
 
2βα ωµσ= − (****) 
 
Al despejarα de la ecuación (****) 
2
ωµσα
β
 = 
 
 y sustituir en la ecuación (***), se tiene 
2
2 2
2
ωµσβ ω µε
β
 − = 
 
 
( )
2
4 2 2 0
2
ωµσβ ω µε β  ∴ − − = 
 
 
 
La solución de la ecuación anterior es inmediata, 
 
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2
ω µε ω µ ε ω µ σ ω µε σ ω µε σβ
ω ε ω ε
   ± +
= = ± + = ++   
      
; 
 
al sustituir en (***), 
2 2
2 2 2
2 2
1 1
2
ω µε σα β ω µε
ω ε
 
= − = − + + 
  
. 
 
De lo anterior tenemos: 
 
� ( ) ,K i kβ α
→ ∧
= ± − 
� 
1
221
2 1 1FPβ ω µε  = + +  , 
� 
1
221
2 1 1FPα ω µε  = + −  , 
� FP
σ
ωε
= es denominado factor de pérdidas (en algunos libros recibe el nombre de tangente de pérdidas y se 
denota portanδ ). 
 
Por la linealidad de la ecuación de onda, una solución más general es 
 
2
( t )
0 0
Re
k r i k r
kF f sen d de e
π π
α ω β θ θ ϕ
∧ → ∧ →
∧
→ → • • =  
 
∫ ∫
∓ ∓