Ecuaciones de Maxwell

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Ecuaciones de Maxwell y algunas de sus implicaciones 
rteutle 
1
1. Ecuaciones de Maxwell 
La teoría para los campos eléctricos y magnéticos puede resumirse en las cuatro ecuaciones diferenciales siguientes: 
 
fD ρ=•∇
→
, (1a) 
 
0=•∇
→
B , (1b) 
 
t
B
E
∂
∂−=×∇
→
→
, (1c) 
 
f
D
H
t
→
→ → ∂∇× = +
∂
J (1d) 
 
donde 
→
E y 
→
B son los vectores campo eléctrico e inducción magnética respectivamente. 
→→→
+= PED oε y 
→
→
→
−= MBH
0µ
 son los vectores desplazamiento eléctrico e intensidad magnética. 
→
P el vector polarización eléctrica (momento dipolar eléctrico por unidad de volumen) y 
→
M el vector magnetización (momento dipolar magnético por unidad de volumen). 
f f cJ J
→ → →
= +J es la densidad de corriente eléctrica libre y cJ
→
 la densidad de corriente de conducción. 
 
Estas ecuaciones expresan la relación entre los campos y las fuentes que los generan (entendiendo como fuentes a las 
causas que los producen). Se denominan ecuaciones de Maxwell en honor a James Clerk Maxwell, quién realizó la 
unificación de los fenómenos eléctrico y magnético dependientes del tiempo, predijo la existencia de ondas 
electromagnéticas e identificó la luz como un fenómeno electromagnético. 
Para emplear las ecuaciones de Maxwell se deben conocer las relaciones )(
→→→
= EDD , )(
→→→
= BHH y ( )c cJ J E
→ → →
= , ya 
sea teórica o experimentalmente, para el tipo de medio material en el que se están estudiando los campos. 
 
De las ecuaciones (1a,b,c,d) y de los teoremas de la divergencia y de Stokes se obtienen las ecuaciones de Maxwell en 
forma integral: 
 
∫∫ =•
→→
V
f
S
dvadD ρ (1e) 
 
0=•∫
→→
S
adB , (1f) 
 
∫∫
→
→
→→
•
∂
∂−=•
SC
ad
t
B
ldE , (1g) 
 
f
C S S
D
H d l d a d a
t
→
→ → → → →∂• = • + •
∂∫ ∫ ∫�
J (1h) 
 
Nota. La fuerza que el campo electromagnético ejerce sobre una carga puntual, que se mueve a la velocidad 
→
v , es dada 
por la fuerza de Lorentz: )( v
→→→→
×+= BEqF . 
Ecuaciones de Maxwell y algunas de sus implicaciones 
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2
2. Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad 
Las condiciones de frontera son expresiones que nos dicen como cambian los campos al pasar por una zona interfacial 
entre dos medios. 
Haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell en forma integral, se puede mostrar que las condiciones de frontera de los 
campos son: 
 
fnDD σ=•−
∧→→
)( 12 , (2a) 
 
2 1( ) 0n E E
∧ → → →
× − = , (2b) 
 
0)( 12 =•−
∧→→
nBB , (2c) 
 
→→→∧
=−× fKHHn )( 12 (2d) 
 
donde 
∧
n es el vector unitario normal a la interface; fσ y 
→
fK las densidades de carga y de corriente libres sobre ésta. 
 
 
Dem. ecuaciones (2a,b,c,d) 
Supongamos que existen densidades de carga y de corriente libre sobre la superficie que separa 2 medios. 
 
� Para hallar la ecuación que satisfacen las componentes normales de los vectores desplazamiento eléctrico e 
inducción magnética en un punto arbitrario P de la interfase, consideremos un pequeño cilindro de radio R y 
longitud L centrado en P , siendo las tapas perpendiculares al vector normal del elemento de superficie interfacial 
(Fig. 17). Considerando R muy pequeño y 0→L , se tiene: 
 
(a) de la ley de Gauss en su forma integral: 
 
=•−•=−•+•=•+•+•=• ∫∫∫∫∫∫∫∫
∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→
IIIIIIIIIIIIII SSSSS
III
S
II
S
I
S
danDdanDdanDdanDdanDdanDdanDdanD 1212 )( 
fnn
S
f
S
ff DDnDDdadarQ
II
σσσ =−=•−∴===
∧→→→
∫∫ 1212 )()( 
 
(b) de la ecuación 0=•∫
∧→
S
danB : 
 
0)( 1212 =•−•=−•+•=•+•+•=• ∫∫∫∫∫∫∫∫
∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→
IIIIIIIIIIIIII SSSSS
III
S
II
S
I
S
danBdanBdanBdanBdanBdanBdanBdanB 
 
0)( 1212 =−=•−∴
∧→→
nn BBnBB 
 
 
� Para hallar la relación que satisfacen las componentes tangenciales del campo eléctrico y de la intensidad 
magnética, consideremos ahora una trayectoria cerrada como la que se indica en la figura 18; si 
∧
'n es la normal a 
la superficie limitada por la trayectoria, en el límite en que 0→L y b es muy pequeño, se obtiene: 
 
(c) al utilizar la forma integral de la ley de inducción de Faraday: 
 
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3
0'
)( 2121
=•
∂
∂−=•
∂
∂−=
•+•−=•+−•=•+•+•+•=•
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
→
→
→
→
∧→∧→∧→∧→→→→→→→→→→→
CC
IIIIIIIIIVIIIIII
SS
CCCCCCCCC
dan
t
B
ad
t
B
dltEdltEdltEdltEldEldEldEldEldE
 
 
0)( 1212 =−=•−∴
∧→→
tt EEtEE 
 
Como 
∧∧∧
×= nnt ' y 
→→→→→→
•• ×=× CBACBA )()( , 
∧→∧→→∧∧→→∧∧∧→→
•=•−×=×−•=ו−⇒ '0')(')(')( 121212 nnEEnnEEnnnEE 
 
0)( 12 =−×∴
→→∧
EEn 
 
(d) al utilizar la ley circuital de Ampere en su forma integral: 
 
1 2 1 2
0
( )
lim
' ' '
I II III IV I III I III
C C I I
C C C C C C C C C
f D f f f
S S C CL
H d l H d l H d l H d l H d l H t dl H t dl H t dl H t dl
D
I I n da d a L n dl K n dl
t
→ → → → → → → → → → → ∧ → ∧ → ∧ → ∧
→
→ ∧ → → ∧ → ∧
→
• = • + • + • + • = • − + • = − • + •
∂= + = • + • = • = •
∂
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
�
J J
 
∧→∧∧→→∧→→
•=ו−=•−∴ '')()( 1212 nKnnHHtHH f , utilizando la identidad 
→→→→→→
•• ×=× CBACBA )()( 
 
∧→∧→→∧∧→→∧∧∧→→
•=•−×=×−•=ו− '')(')(')( 121212 nKnHHnnHHnnnHH f 
→→→∧
=−×∴ fKHHn )( 12 
 
 
 
→
2D 
 
 
→
2B 
∧
n 
→
2E 
→
2H 
 
∧∧
= nnI 
∧
t , CIII 
 SI b CII 
 SII L/2 L/2 
 SIII CIV CI 
→
1D 
→
1B 
∧∧
−= nnIII 
→
1E 
→
1H 
 
 Figura 17. Figura 18. 
 
 
3. Potenciales: vectorial magnético y escalar eléctrico 
De la ecuación (1b), y dado que la divergencia de un rotacional siempre es cero, la inducción magnética se puede 
escribir como el rotacional de un campo vectorial: 
 
),(),( trAtrB
→→→→
×∇= .(3a) 
 
Al sustituir ésta expresión en la ecuación (1c), y agrupar los términos no nulos del mismo lado, se obtiene 
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4
→
→
→
=
∂
∂+×∇ 0)(
t
A
E . Al tomar en consideración que el rotacional de un gradiente es cero, entonces ),( tr
t
A
E
→
→
→
Φ−∇=
∂
∂+ ; por 
lo tanto: 
 
t
A
E
∂
∂−Φ−∇=
→
→
, (3b) 
 
Los campos Φ y 
→
A reciben el nombre de potenciales escalar y vectorial respectivamente. Éstos son usados, entre 
otros problemas, para determinar el campo electromagnético de distribuciones de carga y de corriente inmersas en un 
medio sin fronteras y sin pérdidas (particularmente el vacío). 
 
 
Observación. El potencial vectorial esta indeterminado hasta el gradiente de una función escalar f y el potencial 
escalar esta indeterminado hasta la derivada parcial temporal de la función f ; es decir, los potenciales definidos por: 
fAA ∇+=
→→
' y 
t
f
∂
∂−Φ=Φ' , producen el mismo campo electromagnético que 
→
A y Φ . 
 
 
Medios isotrópicos, homogéneos y lineales (ihl) 
Un medio será lineal en cierta propiedad si ésta depende únicamente de las componentes del campo, a la primera 
potencia, que interacciona con él. Será isotrópico, si en cualquiera de sus puntos esta propiedad es independiente 
de la dirección del campo. Y será homogéneo, si dicha propiedad es independiente de la posición. 
 
En un medio isotrópico, homogéneo y lineal -en sus propiedades dieléctrica, magnética y de conducción- los 
vectores desplazamiento eléctrico, intensidad magnética y densidad de corriente de conducción están dados por 
las relaciones: 
 
→→
= ED ε , µ
→
→
= BH , 
 
c cJ Eσ
→ →
= ; (4a,b,c) 
 
donde , y cε µ σ son respectivamente: la permitividad eléctrica, la permeabilidad magnética y la conductividad 
eléctrica del material (en la situación mencionada son cantidades que no dependen de la frecuencia). 
 
 
 
 
 
 
4. Ecuaciones de Maxwell para medios isotrópicos, homogéneos y lineales 
En un medio de parámetros , y cε µ σ ; las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma: 
 
ε
ρ fE =•∇
→
, (5a) 
 
0=•∇
→
B , (5b) 
 
t
B
E
∂
∂−=×∇
→
→
, (5c) 
 
c f
E
B E J
t
µσ µ µε
→
→ → → ∂∇× = + +
∂
, (5d) 
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donde fJ
→
 es la densidad asociada a corrientes libres que no son producidas por la conductividad del medio. 
 
Nótese que las ecuaciones (1b,c) y (5b,c) son respectivamente las mismas. 
 
 
5. Ecuación de onda del campo electromagnético en un medio ihl 
La ecuación de onda para el campo eléctrico se obtiene al tomar el rotacional de (5c), sustituir (5a,d), y emplear la 
identidad 
→→→
∇−•∇∇=×∇×∇ EEE 2)()( : 
 
2
2
2
( ) ( ) fc f c
JB E E E
E E E E J
t t t t t t
µσ µ µε µσ µ µε
→→ → → →
→ → → → →  ∂∂∇× ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× ∇× = ∇ ∇ • − ∇ = − = − + + = − − −
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
2
2
2
1 f
c f
JE E
E
t t t
µε µσ ρ µ
ε
→→ →
→ ∂∂ ∂∴ ∇ = + + ∇ +
∂ ∂ ∂
 (6a) 
 
 
Análogamente, de las ecuaciones (5b, c, d), para el campo magnético se obtiene: 
 
2
2
2
( ) ( ) c f c f
E B B
B B B E J J
t t t
µσ µ µε µσ µε µ
→ → →
→ → → → → →∂∇× ∂ ∂∇× ∇× = ∇ ∇ • − ∇ = ∇× + ∇× + = − − + ∇×
∂ ∂ ∂
 
2
2
2 c f
B B
B J
t t
µε µσ µ
→ →
→ →∂ ∂∴ ∇ = + − ∇×
∂ ∂
 (6b) 
Basado en las ecuaciones (6a) y (6b) Maxwell predijo en 1884 la existencia de ondas electromagnéticas y también 
propuso que la luz es un fenómeno electromagnético, ya que sm/103/1v 800 ×≈= εµ coincide con la velocidad 
de la luz en el vacío. Fue Hertz quien demostró la existencia de OEM’s en 1887. 
 
 
6. Teorema de Poynting 
Resulta que la interacción entre campo electromagnético y cargas da lugar a un teorema de conservación de la energía, 
este teorema es útil pues permite determinar la potencia que transporta una onda electromagnética. 
Para obtener el teorema de Poynting consideremos un campo electromagnético y un sistema de cargas libres en 
movimiento. El trabajo realizado por el campo EM al mover la distribución de carga a una distancia 
→
ld es: 
 
∫∫∫
→→→→
→
→→→→→→→→→
•×+=•×+=•×+=•=
V
ff
V
ff
V
ff dtdvBEdtdvdt
ld
BElddvBEldFd vvvvw )()()( ρρρρρρ , 
 
como el campo magnético no realiza trabajo sobre la distribución de carga, de aquí tenemos que la transformación de 
energía eléctrica a mecánica o térmica esta representada por: 
 
 
w
vf f
V V
d
E dv E dv
dt
ρ
→ → → →
= • = •∫ ∫ J 
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6
utilizando la ley de Ampere f
D
H
t
→
→ → ∂= ∇× −
∂
J , la identidad )()()(
→→→→→→
×∇•−×∇•=ו∇ HEEHHE y la ley de 
Faraday 
t
B
E
∂
∂−=×∇
→
→
 se tiene: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f
V V V V
V V
D D D
E dv E H dv E H E dv H E E H E dv
t t t
B D B D
H E H E dv E H H E dv
t t t t
→ → →
→ → → → → → → → → → → →
→ → → →
→ → → → → → → →
∂ ∂ ∂• = • ∇× − = • ∇× − • = • ∇× − ∇ • × − • =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= − • − ∇ • × − • = −∇ • × − • − •
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
J
 
 
Para un medio isotrópico, homogéneo y lineal: µε /,
→→→→
== BHED , por lo tanto 
 
1 1
( ) ( )
2 2
( ) ( )f
V V V V
B E
E dv E H B E dv E H dv B B E E dv
t t t
εε
µ µ
→ →
→ → → → → → → → → → → →∂ ∂ ∂• = −∇ • × − • − • = − ∇ • × − • + •
∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
J 
 
utilizando el teorema de la divergencia finalmente se obtiene: 
 
 
1
( )
2fS V V
E H d a E dv H B D E dv
t
→ → → → → → → → →∂  − × • = • + • + • ∂  ∫ ∫ ∫�
J (7a) 
 
ésta expresión constituye el teorema de Poynting y representa la conservación de la energía en el volumen V. 
 
 
∫ 



 •+•
∂
∂ →→→→
V
dvEDBH
t 2
1 representa la razón de cambio de la energía electromagnética almacenada en el interior de volumen V o 
sea la potencia instantánea que se almacena en el volumen. 
f
V
E dv
→ →
•∫ J es la rapidez o velocidad con que se disipa (pierde) la energía electromagnética en el interior del volumen V o sea la 
potencia total instantánea que se disipa en el interior del volumen V*. 
 
∫
→→→
•×−
S
adHE )( representa rapidez con que fluye la energía, a través de la superficie S, hacia el interior del volumen V o sea la 
potencia total instantánea que fluye hacia el interior del volumen V limitado por la superficie S. 
 
 
Se define el vector de Poynting como 
 
→→→
×= HES [ ]2/ mwatts (7b) 
 
y es la rapidez con que fluye la energía electromagnética por unidad de superficie (flujo de potencia), su dirección 
apunta en la dirección del flujo de energía. 
 
 
 
7. Ecuaciones de Maxwell, ecuación de onda y teorema de Poynting en forma fasorial 
La notación fasorial consiste en suponer que los campos y las densidades varían armónicamente con el tiempo, es 
decir: 
 
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7
t
( , ) Re ( )
i
E r t r e
ω→ → → → =  
 
� , 
t
( , ) Re ( )
i
D r t r e
ω→ → → → =  
 
� , 
t
( , ) Re ( )
i
B r t r eω→ → → → =  
 
� , 
 
t
( , ) Re ( )
i
H r t r e
ω→ → → → =  
 
� , 
 
t
( , ) Re ( )
i
f fr t r e
ω→ → → → =  
 
�J , 
 
t
( , ) Re ( )
i
f fr t r e
ωρ
→ → =  
 
� 
 
donde ( )r
→ →
� , ( )r
→ →
� , ( )r
→ →
� , ( )r
→ →
� , ( )f r
→ →
� y ( )f r
→
� reciben el nombre de fasores. 
 
Al sustituir las expresiones anteriores en las ecuaciones (1a,b,c,d,…, 2a, b,c,d, 6a,b) se obtienen las ecuaciones de 
Maxwell y de frontera en su forma fasorial 
 
f
→
∇ • =� � , (8a) 
 
0
→
∇ • =� , (8b) 
 
iω
→ →
∇× = −� � , (8c) 
 
f iω
→ → →
∇× = +� �� (8d) 
 
 
f
S V
d a dv
→ →
• =∫ ∫�� � (8e) 
 
0
S
d a
→ →
• =∫�� , (8f) 
 
∫∫
→
→
→→
•
∂
∂−=•
SC
ad
t
B
ldE , (8g) 
 
f
C S S
D
H d l d a d a
t
→
→ → → → →∂• = • + •
∂∫ ∫ ∫�
J (8h) 
 
 
2 1( ) sfn
→ → ∧
− • =� � � , (8i) 
 
2 1( ) 0n
∧ → → →
× − =� � , (8j) 
 
2 1( ) 0n
→ → ∧
− • =� � , (8k) 
 
2 1( ) fn
∧ → → →
× − =� � � (8l) 
 
 
 
Los campos eléctricos y magnéticos fasoriales en medios ihl satisfacen, respectivamente, las ecuaciones: 
 
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8
2 2 1
c f fi iµεω µσ ω µ ωε
→ → → →
∇ = − + + ∇ +� � � � � (8m) 
 
2 2
c fiµεω µσ ω µ
→ → → →
∇ = − + − ∇×� � � � (8n) 
 
 
El Teorema de Poynting en su forma fasorial es dado por 
 
* * * *( ) f
S V V
d a i dv dvω
→ → → →→ → → → → × • + • + • = − • 
 
∫ ∫ ∫� � � � � � � � � (8o) 
 
o equivalentemente: 
 
* *
* * * *
Re( ) Re
Im( ) Im
( )
( )
f
S V
f
S V V
d a dv
d a dv dvω
→ →→ → →
→ → → →→ → → → →
× • = − •
 × • + • + • = − • 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
�
�
� � �
� � � � � � �
�
�
 (8p,q) 
 
 
 
Dem. (8g,h,i) 
Al tomar el producto escalar del fasor intensidad magnética con la ecuación (8c) -ley de Faraday- y restarle el producto 
escalar del fasor campo eléctrico con la ecuación (8d) -ley de Ampere-, se obtiene 
 
* * * * *
fi iω ω
→ → → → →→ → → → →
• ∇× − • ∇× = − • − • − •� � � � � � � � � � 
 
de la identidad * * *( ) ( ) ( )
→ → →→ → →
∇ • × = • ∇× − • ∇×� � � � � � y considerando un medio dieléctrico y magnético ihl 
 
* * * *( ) fi iωµ ωε
→ → → →→ → → →
∇ • × = − • − • − •� � � � � � � � 
 
 
al integrar la ecuación anterior sobre un volumen V y aplicar el teorema de la divergencia se obtiene: 
 
* * * *( ) f
S V V
d a i dv dvω
→ → → →→ → → → → × • + • + • = − • 
 
∫ ∫ ∫� � � � � � � � � 
 
 
* *
* * * *
Re( ) Re
Im( ) Im
( )
( )
f
S V
f
S V V
d a dv
d a dv dvω
→ →→ → →
→ → → →→ → → → →

× • = − •

∴ 

  × • + • + • = − •   
∫ ∫
∫ ∫ ∫
�
�
� � �
� � � � � � �
�
�
 
 
 
 
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9
Referencias. 
1. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
2. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley. 
3. Campos Electromagnéticos | Dios Otín et al | Alfaomega. 
4. 
5.