clase_especial

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Formalismo de Schrödinger-
Mecánica ondulatoria -1ra parte
Estoy convencido de que quienes, al oír 
hablar por primera vez de física cuántica, 
no se escandalizan, no la han entendido.
Niels Bohr
clase_15_16
Paquetes de ondas - Incerteza
La naturaleza es simétrica: la dualidad onda-partícula de 
la radiación electromagnética propuesta por Einstein se 
extiende a toda la naturaleza física. 
 
Radiación: a veces, ondas y a veces, partículas 
⇒ la materia también tiene ese carácter dual! 
Y las reglas de cuantificación? Condiciones sobre las ondas! 
Onda estacionaria λπ nr =2 
Dualidad onda-partícula para un fotón: 
λ
h
kp == h (
k
πλ 2= ) 
⇒=
p
h
nrπ2 hnLpr == 
Ambas condiciones son equivalentes! 
 
De Broglie:
 
Y el “caracter ondulatorio”?…
La probabilidad! La probabilidad tiene “caracter ondulatorio ”
The picture on the main page is a Selected Area Electron Diffraction pattern of a decagonal
phase of Al70Co11Ni19 . The beautiful bright Bragg peaks, resembling those from
crystallographic diffraction, along with the perfect ten-fold symmetry, which violates
crystallographic symmetry, According the latest definition adopted by International Union
of Crystallography (1992), a crystal is that which displays an essentially discrete diffraction
pattern.
� Ondas – Paquetes de ondas 
• Paquete de ondas ),( txψ 
Fourierdeinversasfns
dxexkg
espectralóndistribuci
dkekgx
espacialadependenci
ikx
ikx
.
)0,(
2
1
)(
:
)(
2
1
)0,(
:









=
⇒
=
⇒
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
ψ
π
π
ψ
 
Fourierdeinversasfns
dtetf
sfrecuenciaenóndistribuci
deft
temporalevolución
ti
ti
.
),0(
2
1
)(
:
)(
2
1
),0(
:









=
⇒
=
⇒
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
ω
ω
ψ
π
ω
ωω
π
ψ
 
Vamos a tener que trabajar con ondas …
Ejemplo. Onda plana: ikxexf =)( 
� Espectro de sk′ es un único 0=∆⇒ kk y ∞→∆x 
∫
∞
∞−
′ ′′== kdekgexf xkiikx )(
2
1
)(
π
 
donde 
( )
∫
∫∫
∞
∞−
′−
∞
∞−
′−∞
∞−
′−
=
==′
dxe
dxeedxexfkg
xkki
xkiikxxki
π
ππ
2
1
2
1
)(
2
1
)(
 
� “Función” )( ax −δ tq.: 
∫∆ 


∆∉
∆∈
=−
asii
asiiay
dxxyax
0
)(
)()(δ 
⇒ ≡− )( axδ delta de Dirac⇒ funcional 
 
⇒ ( )∫
∞
∞−
′−=′−=′ dxekkkg xkki
π
δπ
2
1
)(2)( 
⇒ ( )∫
∞
∞−
′−=′− dxekk xkki
π
δ
2
1
)( 
� Notemos que: 
[ ]21,1)(2
1
xxasiidxax
x
x
∈=−∫ δ 
Por ejemplo: 
20
2
1
)(
εε
εδε



 ≤≤−=
casootroen
xsix 
Teorema del valor medio: 
)0()()0()()( 2
2
fdxxfdxxxf∫ ∫
∞
∞− −
=≅
ε
ε εε δδ
 
Para 0→ε : ∫
∞
∞−
= )0()()( fdxxxf δ 2
ε− 
2
ε
 
ε
1
 
� Cuanto más ancho es el rango espectral (es decir, cuantos más 
sk′ incluyo) más angosto es el paquete (y viceversa). 
• Paquete de ondas: 
( )( )
∫
∞
∞−
−−= dkekgx oo xxkki)()0,(ψ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(kg 
k ok 
k∆ 
� Vamos a estimar el ancho del paquete⇒ nos paramos en un x y 
vemos si el valor de la integral es grande o chico. 
( )( )
∫
∞
∞−
−−= dkekgx oo xxkki)()0,(ψ 
a) x tq 
k
xx o ∆
>− 1 (x alejado del centro del paquete). 
⇒La función ( )( )oo xxkkie −− oscila 
muchas veces en k∆ (exponente 
grande!): 
⇒ la integral, es decir, 0)0,( →xψ 
 
 
 
 
 
k 
b) x tq 
k
xx o ∆
<− 1 (un x cerca del centro del paquete): 
( )( )
∫
∞
∞−
−−= dkekgx oo xxkki)()0,(ψ 
El exponente de ( )( )oo xxkkie −− es 
chico ⇒la función apenas oscila 
en el intervalo k∆ ⇒ la integral, es 
decir, )0,(xψ tiene un valor 
considerable. 
 
 
� Entonces: 
k
xx o ∆
≥− 1 ⇒ 1≥∆∆ kx (orden de magnitud!) 
 
 
 
 k 
� Paquete de de Broglie: 
hh
p
k
p
k
∆=∆⇒= 
 
� Paquete de de Broglie: 
hh
p
k
p
k
∆=∆⇒= 
⇒ h≥∆∆ px 1ra relación de incerteza de Heisenberg 
 
� Paquete de de Broglie: 
hh
p
k
p
k
∆=∆⇒= 
⇒ h≥∆∆ px 1ra relación de incerteza de Heisenberg 
No se puede medir la posición y el impulso de una partícula 
con una precisión mayor que esta. 
 
⇒no es un “problema” de nuestro aparato de medida 
⇒no se puede hablar de trayectorias! 
⇒ nos habla del carácter ondulatorio de las partículas. 
� Igualmente: 1≥∆∆ ωt 
hh
EE ∆=∆⇒= ωω 
⇒ h≥∆∆ Et 2da relación de incerteza de Heisenberg 
 
 
0E 
1E 
ν 
0E 
EE ∆+1
ν∆ 
>>∆t 
<<∆t 
En 1925, un físico austríaco, Erwin Schrödinger, 
desarrolla un formalismo matemático, basado 
fundamentalmente en la hipótesis de de Broglie, 
para formalizar todas este cuerpo de ideas cuánticas. 
 
Formalismo de Schrödinger 
Erwin Schrödinger (1925): 
� Hipótesis de de Broglie ⇔ dualidad onda partícula 
� Relaciones de incerteza de Heisenberg ⇒ consecuencia de la 
dualidad onda-partícula 
� Interpretación probabilística de las características ondulatorias 
⇒Max Born, escuela de Copenhague: 
Todo el curso de los acontecimientos está determinado por las leyes 
de la probabilidad, esto es, a un estado del espacio le corresponde 
una determinada probabilidad que está relacionada con la onda de de 
Broglie asociada con el estado. 
Carácter estadístico! 
� Recordemos: 
2
)(x
N
dN φ∝ (doble rendija) 
 
1) Toda información sobre nuestro sistema se describe a través de una 
función de onda ),( tx
rψ tal que la densidad de probabilidad de encontrar al 
sistema en una cierta región del espacio a un cierto tiempo t, está dada por: 
 
 dxdydztzyxtzyx
N
dN 2
),,,(),,,( ψ= 
� ),( tx
rψ ⇒puede ser compleja! (lo “físico” es la densidad de prob.) 
 
1),,,(),,,(*
),,,(),(
3
32
=≡
=
∫
∫∫
∀
∀∀
x
xx
xdtzyxtzyx
xdtzyxtx
N
dN
r
rr
r
ψψ
ψ
 
⇒ ),( tx
rψ de cuadrado integrable y normalizada. 
⇒”vive” en el espacio de coordenadas. 
• Probabilidades y valores medios. En una dimensión: 
∫ ∫∀
∞
∞−
≡=
x
dxxxxdxxxx )()(*)(
2 ψψψ 
( ) 22222222 22 xxxxxxxxxxxxx −=+−=+−=−=σ 
 
• Función de onda φ que vive en el espacio pr (≡ espectro de sk' ): 
pdtppptppp
N
dN
zyxzyx
32),,,(),,,( φ= 
1),,,(),,,(*),,,( 33
2
== ∫∫ ∀∀ pdtppptppppdtppp p zyxzyxp zyx rr φφφ 
� ),,,( tzyxψ y ),,,( tppp zyxφ ⇒ funciones inversas de Fourier. 
⇒principios de incerteza de Heisenberg 
Relación entre ),,,( tzyxψ y ),,,( tppp zyxφ 
� En una dimensión: 
∫
∞
∞−
= x
xik
x dkekgx
x)(
2
1
)(
π
ψ 
)( xkg no es la función de onda: 
→ no depende explícitamente del impulso. 
→ no está normalizada. 
 
� Relación de de Broglie ( kkx ≡ ): 
h
h
dp
dkkp =⇒= 
Cambiamos variables: 
∫
∞
∞−
= dpepgx
px
i
h
h
)(
2
1
)(
π
ψ 
Función inversa de Fourier )( pg : 
∫
∞
∞−
−
= dxexpg
px
i
h)(
2
1
)( ψ
π
 ⇒ no esta normalizada 
� Calculamos: 
1)()(* 2 ≠=∫
∞
∞−
αdppgpg ⇒ 
α
φ )()( pgp = 
 
44 344 2144 344 21
hh
)(2
'
)(*2
')'()(*
2
1
)()(*
pg
ipx
pg
ipx
xdexdxexdpdppgpg
ππ
ψψ
π ∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
= 
 
------------------------ 
 
44 344 2144 344 21
hh
)(2
'
)(*2
')'()(*
2
1
)()(*
pg
ipx
pg
ipx
xdexdxexdpdppgpg
ππ
ψψ
π ∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
= 
4434421
h
)(
)()(*
2
1
)()(*
xx
p
i
edpxdxdxxdppgpg
′−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞− ∫∫∫∫ ′′= ψψπ 
--------------------- 
 
 
44 344 2144 344 21
hh
)(2
'
)(*2
')'()(*
2
1
)()(*
pg
ipx
pg
ipx
xdexdxexdpdppgpg
ππ
ψψ
π ∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
= 
4434421
h
h
)(2
)(
)()(*
2
1
)()(*
xx
xx
p
i
edpxdxdxxdppgpg
′−
′−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞− ∫∫∫∫ ′′=
δπ
ψψ
π
 
--------------------- 
∫
∞
∞−
′−=′− dkexx xxik )(
2
1
)(
π
δ 
Haciendo dkdp
p
k h
h
== ; , la última integral: 
)(2)(
)(
xxdkedpe xxik
xx
p
i
′−== ∫∫
∞
∞−
′−∞
∞−
′−
δπhhh 
------------------------ 
 
h
44 344 21
h
h
==
′′−′=
=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∫
∫∫∫
1
)()(*
)()()(*
2
2
)()(*
dxxx
xdxxxdxxdppgpg
ψψ
δψψ
π
π
 
⇒ ⇒= h2α 
h
)(
)(
pg
p =φ 
� Relación entre las funciones de onda (en una dim.): 
∫
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
=
==
dxex
h
p
dpep
h
dpepx
ipx
ipxipx
h
hh
h
)(
1
)(
)(
1
)(
2
1
)(
ψφ
φφ
π
ψ
 
� En 3 dimensiones: 
∫
∫
∞
∞−
⋅−
∞
∞−
⋅
=
=
xdezyx
h
ppp
pdeppp
h
zyx
xp
i
zyx
xp
i
zyx
3
2
33
2
3
),,(
1
),,(
),,(
1
),,(
h
rr
h
rr
ψφ
φψ
 (integrales triples) 
 
� Calculemos xp . 
Es necesario hacerlo en el espacio de impulsos..? 
dpdxexp
h
dppppp
px
i






== ∫∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
h)(*
1
)()(* ψφφφ 
Por partes [ ]: 
)(xu ψ= dxedv
px
i
h
−
= dx
x
x
du
∂
∂= )(ψ hh
px
i
e
ip
v
−
−= 
dxe
x
x
ip
xe
ip
dxex
px
i
px
i
px
i
hhh
h
44 344 21
h −∞
∞−
=
∞
∞−
−∞
∞−
−
∫∫ ∂
∂+−=




 )(
)()(
0
ψψψ 
( 0)( →±∞→xψ ) 
 
 
dpdxexp
h
dppppp
px
i






== ∫∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
h)(*
1
)()(* ψφφφ 
dxe
x
x
ip
dxex
px
i
px
i
hh
h −∞
∞−
∞
∞−
−
∫∫ ∂
∂=




 )(
)(
ψψ
 
 
dx
x
x
dpep
h
i
dpdxe
x
x
ip
pp
h
p
x
px
i
px
i
∂
∂






−=






∂
∂=
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
)(
)(*
1
)(
)(*
1
)(*
ψφ
ψφ
ψ
444 3444 21
h
h
h
h
 
 
 
dx
x
x
dpep
h
i
dpdxe
x
x
ip
pp
h
p
x
px
i
px
i
∂
∂






−=






∂
∂=
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
)(
)(*
1
)(
)(*
1
)(*
ψφ
ψφ
ψ
444 3444 21
h
h
h
h
 
� Reordenando: 
∫
∞
∞−






∂
∂−= dxx
x
ixp )()(* ψψ h 
 
 
dx
x
x
dpep
h
i
dpdxe
x
x
ip
pp
h
p
x
px
i
px
i
∂
∂






−=






∂
∂=
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−
)(
)(*
1
)(
)(*
1
)(*
ψφ
ψφ
ψ
444 3444 21
h
h
h
h
 
� Reordenando: 
∫
∞
∞−






∂
∂−= dxx
x
ixp )()(* ψψ h 
 
Moraleja: hacer p en el espacio de coordenadas equivale a 
calcularlo introduciendo el operador diferencial 





∂
∂−
x
ih : 
⇒ representación en coordenadas de xp . 
 
 
Consecuencia: dentro del formalismo de Schrödinger, cualquier 
magnitud física tiene asociado un operador, cuyo valor de 
expectación es lo que uno puede medir. 
� Igualmente: zyxxcon
x
ip s
s
s ,,=∂
∂−= h 
∇−≡





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−= hhr iz
z
y
y
x
x
ip ˆˆˆ 
( ) ( ) 222 ∇−=∇−⋅∇−= hhh iip 
Operador impulso angular, en cartesianas: 















∂
∂−
∂
∂−→−=






∂
∂−
∂
∂−→−=






∂
∂−
∂
∂−→−=
⇒×=
x
y
y
xiypxpL
z
x
x
zixpzpL
y
z
z
yizpypL
prL
xyz
zxy
yzx
h
h
h
rrr
 
 
Observables físicos: operadores hermíticos 
operadorF ≡ˆ 
No cualquier operador es una magnitud física medible 
 ⇒ valores medios reales ⇒ observable físico 
� Condición⇒ hermítico o autoadjunto: 
tFF ˆ*ˆ = con ≡tF̂ operador F transpuesto: 
∫∫
→←
= xdFxdF t 312
3
21
ˆˆ ψψψψ 
• Si conjugamos la condición: 
+≡= FFF t ˆˆˆ * +F̂ (transpuesto conjugado) 
⇒conjugado hermítico o hermitiano, o adjunto. 
⇒ ≡F̂ autoadjunto o hermítico 
 
• Condición suficiente (aunque no necesaria): 
*ˆˆ FF = 
[ ]
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
==
xdxFx
xdxFxxdxFxF
t 3
3
*
3*
)(*ˆ)(
)(**ˆ)()(ˆ)(*ˆ
rr
rrrr
ψψ
ψψψψ
 
 
FxdxFxF ˆ)(ˆ)(*ˆ 3
*
== ∫
∞
∞−
rr ψψ 
 
 
• Ejemplo: xxp no es hermítico (no es un observable): 
dx
xi
xdxxpxp xx ∂
∂== ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ψψψψ h** 
xu *ψ= dx
x
dv
∂
∂= ψ dx
x
x
du
∂
∂= )*(ψ ψ=v 
( )
*
*
1
0
*
*
*
*
*
)*(
*
x
x
xp
i
dx
x
ix
i
dx
x
x
i
dx
i
dx
x
x
i
dx
x
x
i
xxp
+−=











∂
∂−+−=
∂
∂−−=






∂
∂+−=
∂
∂−=
∫
∫∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
∞
∞−
h
h
h
h
4434421
h
h
h
43421
ψψ
ψψψψ
ψψψψ
ψψψψ
 
*
xx xpi
xp +−= h
 
 
• 2
xpxp xx +
 es hermítico 
⇒ en gral: 
2
ˆˆ
ˆ
++= FFO
 
es hermítico 
 
Autofunciones y autovalores 
Cuándo un sistema va a tener una determinada variable dinámica 
F̂ bien definida?⇒ 02 =Fσ 
( ) ( )( )∫∞∞− −−=−= xdFFFFFFF 3
22 ˆˆ*ˆ
43421
ϕ
ψψσ 
( )
( ) ( )∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
−=
xdFFxdFF
xdFF
t
F
3*3*
32
*ˆˆ*
ˆ*
ψϕϕψ
ϕψσ
 
 
Autofunciones y autovalores 
Cuándo un sistema va a tener una determinada variable dinámica 
F̂ bien definida?⇒ 02 =Fσ 
( ) ( )( )∫∞∞− −−=−= xdFFFFFFF 3
22 ˆˆ*ˆ
43421
ϕ
ψψσ 
( )
( ) ( )∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
−=
xdFFxdFF
xdFF
t
F
3*3*
32
*ˆˆ*
ˆ*
ψϕϕψ
ϕψσ
 
( )[ ]( )∫∞∞− −−= xdFFFFF 3
*2 *ˆˆ ψψσ 
 
Autofunciones y autovalores 
Cuándo un sistema va a tener una determinada variable dinámica 
F̂ bien definida?⇒ 02 =Fσ 
( ) ( )( )∫∞∞− −−=−= xdFFFFFFF 3
22 ˆˆ*ˆ
43421
ϕ
ψψσ 
( )
( ) ( )∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
−=
xdFFxdFF
xdFF
t
F
3*3*
32
*ˆˆ*
ˆ*
ψϕϕψ
ϕψσ
 
( )[ ]( )∫∞∞− −−= xdFFFFF 3
*2 *ˆˆ ψψσ 
( )[ ]( )[ ] ( ) 0ˆˆˆ 323*2 ≥−=−−= ∫∫ ∞∞−
∞
∞−
xdFFxdFFFFF ψψψσ 
• Integral definida positiva: 
( ) ⇒=− 0ˆ 2ψFF ( ) 0ˆ =− ψFF 
⇒ ψψ FF =ˆ ecuación de autovalores 
 
• { }F ⇒ espectro de F̂⇒ únicos valores posibles! 
• { }⇒nψ autofunciones de F̂⇒ { }ortonormal y completo⇒ base: 
mmm
nnn
fF
fF
ψψ
ψψ
=
=
ˆ
ˆ
 
{ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
= xdfxdF nmn
f
nm
nn
3*3* ˆ ψψψψ
ψ
 
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
+ == xdfxdFxdF mnm
f
mnnm
mm
3*3**3*
*
ˆˆ ψψψψψψ
ψ
321
 
Restamos una de otra: 
( )
( )
( )



=≠−⇒≠
==−⇒=
=
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n
nncψχ