S14 s2 - Dinámica de Rotación-Solucionario

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Empezamos en breve....
¿Con qué tipo emoji nos identificamos?
Datos/Observaciones
¿Qué es un cuerpo rígido?
Menciona la formula del momento de inercia.
 ¿Alguna duda sobre la sesión pasada?
Repaso de la sesión pasada…
¿Qué se le tiene que aplicar a las poleas para que giren?
El análisis dinámico de mecanismos tiene por objeto
determinar el movimiento de un mecanismo, las
fuerzas y los esfuerzos internos que aparecen sobre
cada uno de sus elementos en cada posición de
funcionamiento.
Utilidad
CALCULO APLICADO A LA 
FÍSICA 1
Semana 14 - sesión 2
Rotación de un sólido Rígido
Dinámica
SABERES PREVIOS
¿Qué es el rodamiento?
¿Qué hace rodar a una esfera sobre una superficie?
Datos/Observaciones
Al término de la sesión de aprendizaje el
estudiante resuelve problemas de
dinámica de un sólido rígido en rotación,
utilizando fórmulas y relaciones, con
orden y precisión mostrando una buena
presentación.
LOGRO DE LA SESIÓN
Datos/Observaciones
IMPORTANTE
La mecánica del sólido rígido no puede ser analizada
únicamente con la segunda ley de Newton puesto
que se debe incluir un análisis de la rotación del
mismo, es por eso que es importante saber plantear
la ecuación de la dinámica del cuerpo rígido en el
que están relacionados la aceleración angular y el
torque total aplicado al sistema.
Agenda
✓Torque o momento de una fuerza
✓Dinámica de movimiento
rotacional
✓Ejercicios
✓Cierre
Datos/Observaciones
Torque o momento de una fuerza
Es una medida de la tendencia de un
cuerpo a girar. El torque producido por la
fuerza F con respecto al punto de giro
Su dirección se determina por la regla de la 
mano derecha :
Hacia fuera de la 
página
x
z
y
O
F

El cuerpo gira
alrededor de O
r


Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹
Datos/Observaciones
Torque o momento de una fuerza
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛(𝜙)
El cual se puede calcular 
como:
El módulo del torque es
Eje 
de 
giro
r
F

Fsen
Fcos
r
F


𝜏 = 𝑟 𝐹𝑠𝑒𝑛 𝜙
𝜏 = 𝑟𝐹⊥
𝜏 = (𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜙 )𝐹
𝜏 = 𝑟⊥𝐹𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙
Unidad SI del torque: N.m
Si se aplican varios torques sobre un
cuerpo, el torque neto es
Ԧ𝜏𝑁𝑒𝑡𝑜 = ෍ Ԧ𝜏
Calcule el módulo y la dirección del torque neto sobre la varilla alrededor del punto O debido a
las tres fuerzas aplicadas.
𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 = ෍ Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹
+ -
𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°
𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎°
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝝉𝑭𝟏 − 𝝉𝑭𝟐
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝒓𝟏 × 𝑭𝟏 − 𝒓𝟐 × 𝑭𝟐
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝒓𝟏 × 𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 − 𝒓𝟐 × 𝟖
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟐 × 𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 − 𝟓 × 𝟖
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟐 × 𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 − 𝟓 × 𝟖
𝝉𝒏𝒆𝒕𝒐 = −𝟐𝟖 𝑵.m
Ԧ𝑟
Ԧ𝐹
Ԧ𝑟
Ԧ𝐹
-
La dirección apunta hacia dentro 
del plano de la figura
Ejemplo 1:
Datos/Observaciones
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Analizaremos el movimiento circular de una partícula de masa m1 que forma 
parte de un sólido que gira alrededor de un eje fijo bajo la acción de una
fuerza tangencial 𝑭tan y una fuerza radial 𝑭rad.
α

FtanFrad
r1
ατ

11 I=
El torque neto sobre el sólido es
( )ατττ



++=++= 2121 II
Ԧ𝜏 = 𝐼 Ԧ𝛼
El torque neto sobre un sólido es igual al
momento de inercia alrededor de su eje de
rotación por su aceleración angular. Es similar
a la segunda ley de Newton.
El torque 𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 × 𝑭𝒓𝒂𝒅 + 𝒓𝟏 × 𝑭𝒕𝒂𝒏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝒎𝒂𝟏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝒎𝒓𝟏𝜶
𝝉𝟏 = 𝒎𝒓𝟏
𝟐𝜶
𝝉𝟏 = 𝑰𝟏𝜶
𝒂𝒕 = 𝒓𝜶
Ejemplo 2
En la figura, un deslizador de masa m1 = 1,50 kg se mueve sin fricción sobre el riel de aire horizontal, sujeto a un 
bloque de masa m2 = 3,50 kg con un hilo sin masa. La polea es un cilindro hueco delgado (con rayos sin masa) de 
masa M = 1,00 kg y radio R =15,0 cm, y el hilo la hace girar sin resbalar ni estirarse.
(a) Dibuje el DCL del deslizador, la polea y el bloque cilíndrico.
(b) Escriba las ecuaciones dinámicas para cada uno de los tres cuerpos.
(c) Calcule el valor de la aceleración del sistema.
(d) Calcule el valor de la aceleración angular de la polea, y
(e) Los módulos de las tensiones T1 y T2.
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔
𝒎𝟏 = 𝟏, 𝟓 𝑲𝒈
𝒎𝟐 = 𝟑, 𝟓 𝑲𝒈
𝑴 = 𝟏 𝑲𝒈
𝑹 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎
(b) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏to
𝑫𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐𝒓
𝑩𝒍𝒐𝒒𝒖𝒆
𝑷𝒐𝒍𝒆𝒂
𝐹 = 𝑚𝑎
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏𝒂𝟏𝒙
𝐹 = 𝑚𝑎
𝒎𝟐𝒈 − 𝑻𝟐 = 𝒎𝟐𝒂𝟐𝒚
෍ 𝝉𝒛 = 𝑻𝟐𝑹 + −𝑻𝟏𝑹
𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 = Ԧ𝑟 × Ԧ𝐹
= 𝑰𝜶𝒛 = 𝑴𝑹
𝟐 𝜶𝒛
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝑴𝑹𝜶𝒛
(c) 𝒂𝟏𝒙 = 𝒂𝟐𝒚 = 𝑹𝜶𝒛 = 𝒂
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏𝒂
𝒎𝟐𝒈 − 𝑻𝟐 = 𝒎𝟐𝒂
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝑴𝒂
𝒎𝟐𝒈 = 𝒂 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝑴)
𝒂 =
𝒎𝟐𝒈
𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝑴 
𝒂 =
(𝟑, 𝟓)(𝟗, 𝟖𝟏)
(𝟏, 𝟓) + (𝟑, 𝟓) + (𝟏)
𝒂 = 𝟓, 𝟕𝟐 𝒎/𝒔𝟐
d) Como: 
𝜶 =
𝒂
𝑹
=
𝟓, 𝟖
𝟎, 𝟏𝟓
𝑻𝟏 = 𝟖, 𝟓𝟖 𝐍
𝑻𝟐 = 𝟏𝟒, 𝟑𝟐 𝐍
e)
𝑵𝟏
𝒎𝟏𝒈
𝑻𝟏
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝒎𝟐𝒈
𝑻𝟐
(a) 
𝒂𝒕 = 𝒓𝜶
𝜶 = 𝟑𝟖, 𝟏𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵
Dos bloques, como se muestra en la figura, están conectados mediante una
cuerda de masa despreciable que pasa sobre una polea de 0,250 m de radio y
momento de inercia I. El bloque sobre el plano inclinado sin fricción se mueve
hacia arriba con una aceleración constante de 2,00 𝑚/𝑠2.
Determine:
a) las tensiones T1 y T2 en las dos partes de la cuerda,
b) el momento de inercia de la polea.
𝑻𝟏 − 𝑭𝟏𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟏𝒂
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏𝒂 + 𝑭𝟏𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑻𝟏 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽
Para 𝒎𝟏:
a) Tensiones T1 y T2 
𝑻𝟏
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑻𝟐
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝜽 = 𝟐𝟐°
𝑻𝟏 = 𝟖𝟔 𝐍
𝑭𝟐 − 𝑻𝟐 = 𝒎𝟐𝒂
Para 𝒎𝟐:
𝑻𝟐 = 𝑭𝟐 − 𝒎𝟐𝒂
𝑻𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟒𝟎
𝑻𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 𝑵
b) Momento de inercia de la polea
෍ 𝝉 = 𝑰𝜶 
𝑻𝟐𝑹 − 𝑻𝟏𝑹 = 𝑰𝜶
𝑻𝟐𝑹 − 𝑻𝟏𝑹 = 𝑰
𝒂
𝑹
𝑰 =
൯𝑹𝟐(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝒂
𝑰 =
൯𝟎, 𝟐𝟓 𝟐(𝟏𝟔𝟎 − 𝟖𝟔
𝟐
𝑰 = 𝟐, 𝟑𝟏 𝒌𝒈. 𝒎𝟐
EJEMPLO 3
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝒎𝑹𝟐
Practicando
Alternativas
𝑐) 15 𝑁. 𝑚
b) 13 𝑁. 𝑚
a) 10 𝑁. 𝑚
El volante de un motor tiene momento de inercia de
2,50 kg.m2 alrededor de su eje de rotación. ¿Qué
torque constante se requiere para que alcance una
rapidez angular de 400 rev/min en 8,00 s, partiendo del
reposo?
Cierre
Un cuerpo rigido consta de un movimiento _____________ y 
____________
Se requiere una________ para que un objeto comience a rotar.
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ El momento de inercia depende de la forma del 
solido.
✓ La aceleración del sistema es única en todo el 
sistema.
✓ El torque se genera a partir la fuerza y la 
distancia y estos tiene que ser perpendiculares.
✓ En la dinámica rotación ya no es una polea ideal.
CIERRE
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México.
Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria 
Volumen I Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. 
Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental.
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	Diapositiva 20: NO OLVIDAR!
	Diapositiva 21: BIBLIOGRAFÍA
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