S05 s1-Material-solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
Prof. Ulices Fernandez Apolinario
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
Responda a la siguiente pregunta:
La componente horizontal (eje x) 
de un vector ( Ԧ𝐴) es dado por:
a) 𝐴 cos(𝜃𝑥)
b) 𝐴 sen(𝜃𝑥)
https://www.youtube.com/watch?v=rO9ObZrPewM
¿Por qué la cometa se mueve en sentido contrario al de la persona?
Utilidad
Los vectores son segmentos de
recta que se caracteriza por tener
magnitud, dirección y sentido.
En la vida cotidiana permiten
ubicar direcciones, distancias,
determinadas recorridos. Con el
uso de vectores se puede
determinar la distancia que se
recorre de la casa al trabajo.
Además de conseguir direcciones
con el GPS.
Cálculo aplicado a la física 1
Suma de vectores
(Semana 05 – Sesión 1)
✓Al finalizar la sesión el estudiante
determina la magnitud y dirección de la
resultante de un conjunto de vectores
mediante el método analítico.
Logros
✓Vector en el espacio.
✓Suma de vectores.
✓ Cierre.
Agenda
¿Qué tiene que aplicar la persona sobre el bloque para que se mueva? 
Característica de un vector en el espacio
Ԧ𝐴
x
y
z
Una manera de describir la dirección de
un vector en tres dimensiones es
especificar los ángulos entre el vector y
los ejes coordenados positivos
𝑨𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙 Ԧ𝒊
𝑨𝒚 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 Ԧ𝒋
𝑨𝒛 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛 𝒌
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒙 + 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜽𝒚+𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜽𝒛 = 𝟏
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Ejemplo: Vector Posición
𝑥
𝑦
𝑧
B
𝑟𝐴𝐵
A
(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵)
𝑥
𝑦
𝑧
B
𝑟𝐴𝐵
A
(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴)
𝐵 𝐵 𝐵(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )
EJERCICIO 1
𝑥
𝑦
𝑧
Las coordenadas del punto C de la
armadura que se muestra en la figura son
C C cx = 4,0 m, y = 0, z = 0, y las
coordenadas del punto D son x D = 2,0 m,
y D = 3,0 m, z D= 1,0 m.
a) Determine el vector posición 𝑟𝐶𝐷
b) Calcule la magnitud de 𝑟𝐶𝐷
del vector de posición 𝑟𝐶𝐷
c) ¿Cuáles son los cosenos directores
desde el
punto C hasta el punto D?
A
B
C
D
EJERCICIO 1
= (𝟐; 𝟑; 𝟏)
= (𝟒; 𝟎; 𝟎)
𝒂) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒓𝑪𝑫
𝑟𝐶𝐷 = 𝐷 − Ԧ𝐶
𝑟𝐶𝐷 = 𝟒; 𝟎; 𝟎 − (𝟐; 𝟑; 𝟏 )
𝑟𝐶𝐷 = 𝟒 − 𝟐 ; 𝟎 − 𝟑 ; 𝟎 − 𝟏
𝒃) 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒓𝑪𝑫
𝑟𝐶𝐷 = (−2)
2+(3)2+(1)2
𝒓𝑪𝑫 = 𝟏𝟒
𝒄) ¿𝑪𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒓𝑪𝑫
𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑪 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑫
−𝟐 = 𝟏𝟒𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙 𝟑 = 𝟏𝟒𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 𝟏 = 𝟏𝟒𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛
𝐜𝐨𝐬𝜽𝒙 =
−𝟐
𝟏𝟒
𝐜𝐨𝐬𝜽𝒚 =
𝟑
𝟏𝟒
𝐜𝐨𝐬𝜽𝒛 =
𝟏
𝟏𝟒
𝑟𝐶𝐷 = −𝟐; 𝟑; 𝟏
𝑟𝐶𝐷 = −2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 + 1𝑘
𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂
𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍
𝟐; 𝟑; 𝟏
𝟐 − 𝟒 𝟑 − 𝟎 𝟏 − 𝟎
𝟒; 𝟎; 𝟎
Suma de vectores
𝑥
𝑦
𝐵
𝐶𝑥
𝑦
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐶𝑥= 𝐴𝑥 +𝐵𝑥
𝑦 𝑦 𝑦𝐶 = 𝐴 +𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝑦
𝐴𝑦
𝐴𝑥
Ԧ𝐴 Ԧ𝐶
Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐶𝑦 Ƹ𝑗
𝐶
Módulo y dirección del vector resultante
𝑥
𝑦
𝐶𝑥
𝐶𝑦
𝐶 = 𝐶2 + 𝐶2
𝑥 𝑦
 = Arc𝑡𝑎𝑛
𝐶𝑦
𝐶𝑥
𝜃
Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐶𝑦 Ƹ𝑗
Ԧ𝐶
Ejemplo 2
muestra tres vectores.La figura 
Determine:
a) Los vectores fuerza, en términos
de los vectores unitarios
cartesianos.
b) La resultante del sistema de
vectores fuerzas mostrado.
c) La magnitud de la resultante del
sistema de vectores mostrado.
d) La dirección de la fuerza
resultante.
Ejemplo 2
𝒂) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
𝒆𝒏 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒓𝒔𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔
𝟔𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝟓𝟎)
𝟔𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟓𝟎)
𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟎𝟎
𝟓𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟎𝟎)
𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟎𝟎)
𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎𝟎)
𝒃) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐
𝑹𝒙 =෍ → −෍ ←
𝑹𝒙 =෍ ↑ −෍ ↓
𝑹𝒙 =
𝑹𝒚 =
c) 𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐
𝑹 = (𝑹𝑿)
𝟐 + (𝑹𝒀)
𝟐
𝑹 = 𝟓𝟓, 𝟐𝟑 𝑵
𝒅) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆
𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒄) 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐
𝑹𝒙 = 𝟑𝟖, 𝟒
𝟔𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟓𝟎 + 𝟒𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟎𝟎
𝟔𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟔𝟓𝟎) − 𝟓𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟎𝟎) − 𝟒𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎𝟎)
𝑹𝒚 = −𝟑𝟗, 𝟕
𝑹𝒕 = 𝟑𝟖, 𝟒 Ԧ𝒊 − 𝟑𝟗, 𝟕 Ԧ𝒋
Solución:
d) La dirección 
𝜶 = 𝑨𝒓𝒄𝑻𝒂𝒏
𝑹𝒚
𝑹𝒙
= 𝑨𝒓𝒄𝑻𝒂𝒏
−𝟑𝟗, 𝟕
𝟑𝟖, 𝟒
𝜶 = −𝟒𝟓. 𝟗𝟓°
Practicando
Alternativas
a) (104,8 Ƹ𝑖 + 139,5 Ƹ𝑗) 𝑁
𝑐) (104,8 Ƹ𝑖 − 139,5 Ƹ𝑗) 𝑁
Determine el vector resultante.
b) (420 Ƹ𝑖 + 210 Ƹ𝑗) 𝑁
La suma varios vectores da como resultado otro_____________ .
Cierre
✓ Un vector puede ser 
representado en el espacio.
✓ La resultante de varios vectores es 
otro vector.
No olvidar!
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed.
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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