S14 s1 - Cinemática de Rotación-Solucionario

Vista previa del material en texto

Empezamos en breve....
¿Con qué tipo emoji nos identificamos?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
https://www.youtube.com/watch?v=2IlcvV30Vfs 
¿Cómo actúa el momento de inercia?
https://www.youtube.com/watch?v=2IlcvV30Vfs
¿DE QUÉ DEPENDE?
¿Por qué la esfera SÓLIDA CAE más rápidamente?
SABERES PREVIOS
El momento de inercia se relaciona con las tensiones y
deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en
un elemento estructural, por lo cual este valor determina la
resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con
las propiedades de dicho material.
El volante que poseen los motores y las máquinas. es un forma de
almacenar el momento angular en forma de inercia. El volante es
una pieza totalmente pasiva que solo tiene la finalidad de
almacenar energía cinética. El volante es un almacén de energía
cinética. Se logra estabilizar la marcha en revoluciones evitando
oscilaciones bruscas.
Utilidad
CALCULO APLICADO A LA 
FÍSICA 1
Semana 14 - sesión 1
Rotación de un sólido Rígido
Cinemática y Energía
Datos/Observaciones
LOGROS DE LA SESIÓN
Al termino de la sesión el estudiante evalúa la
cinemática de rotación considerando la inercia
rotacional del sólido. 
Datos/Observaciones
AGENDA
✓Definición de un cuerpo rígido
✓Rotación de un cuerpo rígido
✓Momento de inercia de un 
sistema discreto
✓Momento de inercia de un 
sistema continuo
✓Energía cinética de rotación
✓Ejercicios
✓Cierre
Cuerpo Rígido o Sólido Rígido
Un cuerpo rígido es un cuerpo que puede girar con todas sus partes unidas 
y sin ningún cambio en su forma. Un objeto rígido no es deformable; es
decir, las ubicaciones relativas de todas las partículas, de las que se
compone el objeto, permanecen constantes.
Un eje fijo significa que la rotación se produce en torno a un eje que no 
se mueve.
Rotación de Sólido Rígido
Traslación Pura
El cuerpo rígido puede tener un movimiento de traslación pura; en este tipo de 
movimiento, las velocidades de cada una de las partículas que componen al 
sólido, en cada instante de tiempo, son iguales (tener presente que la velocidad 
es un vector; esto implica que el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad 
son iguales para todas las partículas en un instante dado).
Si el único movimiento del cuerpo rígido es de rotación alrededor de un eje, 
decimos que el movimiento es de rotación pura; en este caso, las trayectorias 
de todas las partículas del sólido son circunferencias concéntricas; la velocidad
de cada partícula tendrá la dirección y sentido del versor tangente a la
circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las
distintas partículas que integran el sólido no serán las mismas; la única
velocidad común será la velocidad angular del cuerpo.
Rotación Pura
Datos/Observaciones
Cuerpo Rígido o Sólido Rígido
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo 
se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro
Una partícula de un cuerpo rígido en rotación se mueve en
un círculo de radio r alrededor del eje z
El módulo de la velocidad tangencial de la partícula es
igual a la distancia de la partícula al eje de giro
multiplicada por la velocidad angular de la partícula
No todos los puntos tienen la misma velocidad tangencial,
puesto que r cambia de punto a punto.
La velocidad tangencial de un punto en un objeto que rota 
aumenta según nos separamos del eje de giro
𝑣 = 𝑟𝜔
Relaciones entre las magnitudes de rotación y traslación
Podemos establecer una relación entre la aceleración angular de la partícula y su aceleración
tangencial 𝑎 𝑡 , c u y a c o m p o n e n t e e s t a n g e n t e a l a t r a y e c t o r i a d e l m o v i m i e n t o
𝑎𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑟𝜔
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝑎𝑡 = 𝑟𝛼
La componente tangencial de la aceleración de traslación de una
partícula que experimenta un movimiento circular es igual a la
distancia de la partícula al eje de giro multiplicada por la
aceleración angular.
Pero la aceleración de traslación también tiene una componente
centrípeta
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
= 𝑟𝜔2
Módulo de la aceleración de traslación total
𝑎 = 𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑐
2
Energía cinética de rotación y momento de inercia
Un cuerpo rígido (no deformable) rota con
velocidad angular ω alrededor del eje fijo en
z. Si consideramos que el cuerpo es un
conjunto de partículas, la energía cinética 𝐸 𝑐 𝑖
de una de estas
• El término entre paréntesis es el momento de
inercia I del cuerpo:
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
𝑚𝑖 𝑟𝑖𝜔
2
𝐸𝑐 = Σ𝐸𝑐𝑖 =
1
2
Σ𝑚𝑖𝑟𝑖
2 𝜔2 
𝐼 = Σ𝑚𝑖𝑟𝑖
2
• El momento de inercia es la resistencia que
presenta un cuerpo a cambiar su estado de
giro.
• Si I tiene un valor alto, más difícil será ponerlo
a girar si está en reposo o más difícil será
detenerlo si ya está girando.
• Unidad SI del momento de inercia: kg·m2.
• La energía cinética rotacional de un cuerpo es:
𝐸𝑐 =
1
2
𝐼𝜔2
Cálculo del momento de inercia (sistema discreto)
𝑟1
𝑟2
𝑚2
𝑚1
𝑟3
𝑚3
𝜔
𝐼 = Σ𝑚𝑖𝑟𝑖
2
Tiene por dimensiones ML2, siendo sus unidades en el SI (kg.m2)
Para partículas consideradas puntuales
Cálculo del momento de inercia (SISTEMA DISCRETO)
El momento de inercia de un objeto extendido se evalúa al considerar el objeto dividido en 
muchos elementos pequeños, cada uno de los cuales tiene masa Δ𝑚𝑖 Se usa la definición 
𝐼=Σ𝑖𝑟𝑖
2Δ𝑚𝑖 y se toma el limite de esta suma a medida que Δ𝑚𝑖→0.En este límite, la suma se 
convierte en una integral sobre el volumen del objeto:
𝐼 = lim
Δ𝑚𝑖→0
Σ𝑖𝑟𝑖
2∆𝑚𝑖 = න 𝑟
2𝑑𝑚
Datos/Observaciones
Momento de inercia para diferentes
cuerpos
Datos/Observaciones
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Si Icm es el momento de inercia de un cuerpo de masa M con respecto a un eje que pasa por 
su centro de masa (cm) entonces el momento de inercia I respecto a otro eje paralelo al 
primero y separado una distancia d es:
2I = ICM + Md
Cuatro partículas de 2,00 kg están situadas en los vértices de un rectángulo de lados
3,00 m y 2,00 m. Calcula el momento de inercia de este sistema alrededor de los ejes
X, Y e Z.
𝐼 = ෍
i=1
𝑛
𝑚i 𝑟i
2
Con respecto al eje X
𝐼𝑥 = 2 0
2 + 2 0 2 + 2 2 2 + 2 2 2
𝐼𝑥 = 16 𝑘𝑔𝑚
2
Con respecto al eje Y
𝐼𝑦 = 2 0
2 + 2 3 2 + 2 3 2 + 2 0 2
𝐼𝑦 = 36 𝑘𝑔𝑚
2
Con respecto al eje Z
𝐼𝑧 = 2 0
2 + 2 3 2 + 2 13
2
+ 2 2 2
𝐼𝑧 = 52 𝑘𝑔𝑚
2
𝐼 = 𝑚1𝑟1
2 + 𝑚2𝑟2
2 + 𝑚3𝑟3
2 + 𝑚4𝑟4
2
x
Ejemplo 1:
En la figura las partículas se una mediante una varilla muy ligera cuyo momento de inercia puede
despreciarse. Giran alrededor del eje y con una velocidad angular ω = 2rad/s. Halle la velocidad de
cada partícula y utilizarla para calcular la energía cinética de este sistema directamente a partir de
Σ
1
2
𝑚𝑖𝑣𝑖
2
b) Determine el momento de inercia alrededor del eje y calcule la energía cinética a partir de
𝐸𝑐=
1
2
𝐼ω2
𝒗 = 𝝎𝒓a) 
𝒗𝟏 = 𝟐 𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟖 Τ𝒎 𝒔
𝒗𝟐 = 𝟐 𝟎, 𝟐 = 𝟎, 𝟒 Τ𝒎 𝒔
𝒗𝟑 = 𝟐 𝟎, 𝟐 = 𝟎, 𝟒 Τ𝒎 𝒔
𝒗𝟒 = 𝟐 𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟖 Τ𝒎 𝒔
𝑬𝑪 = ෍
𝟏
𝟐
𝒎𝒊𝒗𝒊
𝟐
𝑬𝑪 = 𝟏, 𝟏𝟐𝑱
Ejemplo 2:
Datos/Observaciones
Ejemplo 3:
𝑰𝟏 =
𝑴𝑳𝟐
𝟑
𝑰𝟐 = 𝑴𝑹
𝟐
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝑰 = 𝟖𝑰𝟏 + 𝑰𝟐
𝑰 = 𝟖
𝑴𝟏𝑳
𝟐
𝟑
+ 𝑴𝟐𝑹
𝟐
𝑰 = 𝟖
𝟎, 𝟐𝟖 ∗ 𝟎, 𝟑𝟐
𝟑
+ 𝟏, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟑𝟐
𝑰 = 0,126 kg.𝒎𝟐
Una rueda de carreta tiene un radio de 0,300 m y la masa de su borde es de 1,40 kg. Cada rayo tiene 0,300 m 
de longitud y una masa de 0,280 kg. Calcule el momento de inercia de toda la rueda alrededor de un eje que 
pasa por su centro y es perpendicular a su plano
Datos/Observaciones
La esfera de la figura gira por el suelo con una velocidad angular 𝞈=6 s-1 ¿Qué trabajo tendrá 
que realizar un tipo para frenarla? 
Ejemplo 4:
𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
𝜔𝑖 = 6 𝑠
−1
𝑅 = 0,5 𝑚
m = 10 𝑘𝑔
𝐸𝑐 =
1
2
𝐼𝜔2
𝑊 = −
1
2
(
2
5
𝑚𝑅2)𝜔𝑖
2
𝑊 = Δ𝐸𝐶
𝑊 = 𝐸𝐶𝑓 − 𝐸𝑐𝑖
𝜔𝑓 = 0 𝑠
−1
0
𝑊= −
1
2
𝐼𝜔𝑖
2
𝑊 = −
10 0,5 2 6 2
5
𝑊 = −
𝑚𝑅2𝜔𝑖
2
5
𝑊 = −18 𝐽
Datos/Observaciones
Un cilindro de radio 30cm y de masa 12 kg rueda por un plano horizontal y al pasar por el punto A, inicio 
del ascenso a un plano inclinado rugoso, lleva una velocidad angular 12 1/s. Encuentre la altura a la que 
llega el cilindro. 
Ejemplo 5:
ℎ
𝜔𝑖 = 12 𝑠
−1
𝜔𝑓 = 0
ℎ =
3𝜔𝑖
2𝑅2
4𝑔
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑀𝑖 = 𝐸𝑀𝑓
𝐸𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑖 + 𝐸𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑖 = 𝑈𝑔𝑓
ℎ =
3 12 2 0,3 2
4(9,81
ℎ = 0,99 𝑚
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝐼𝜔2 = 𝑚𝑔ℎ
1
2
𝑚(𝜔𝑖𝑅)
2+
1
2
(
1
2
𝑚𝑅2)𝜔𝑖
2 = 𝑚𝑔ℎ
Practicando
Alternativas
B) 55 𝑘𝑔. 𝑚2
C) 58 𝑘𝑔. 𝑚2
A) 52 𝑘𝑔. 𝑚2
Cuatro partículas están en los vértices de un cuadrado
unidas por varillas sin masa, de modo que m1=m4=3 kg y
m2=m3=4 kg. La longitud del lado del cuadrado es L=2 m.
Hallar el momento de inercia respecto al eje z.
Datos/Observaciones
Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0.200 kg cada una, están dispuestas en 
un cuadrado de 0.400 m de lado, conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el momento de inercia del sistema 
alrededor de un eje
a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); 
b) que biseca el cuadrado (pasa por la línea AB en la figura);
c) que pasa por los centros de las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O. 
Practica al alumno
Datos/Observaciones
Un cilindro de 10 kg de masa rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. En el instante 
en que su centro de masa tiene una velocidad de 10 m/s, determine:
a) La energía cinética traslacional de su centro de masa. 
b) La energía rotacional alrededor de su centro de masa. 
c) Su energía total. 
Practica al alumno
Cierre
Un cuerpo rigido tiene un movimiento _________ y _________ 
El momento de inercia depende de la ____________ y es una 
oposición que presente un cuerpo a ______________
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre
NO 
OLVIDAR!
✓ Un cuerpo rígido consta de un movimiento
 rotacional y un movimiento traslacional.
✓ El momento de inercia depende de la 
distribución de masa
✓ El teorema de Steiner sólo se puede aplicar si
uno de los dos ejes paralelos pasa a través del
centro de masa.
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. 
Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria
Volumen I Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed.
Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental.
BIBLIOGRAFÍA
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26
	Diapositiva 27
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29
	Diapositiva 30
	Diapositiva 31
	Diapositiva 32
	Diapositiva 33