S15 s1 - Repaso de Geometria y Derivadas

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CALCULO APLICADO A 
LA FÍSICA 1
Semana 15 - sesión 1
SABERES PREVIOS
¿Qué es el limite? 
¿Qué es la derivada? 
Datos/Observaciones
LOGROS DE LA SESIÓN
✓ Al finalizar la sesión el estudiante aplica
propiedades de los triángulos para resolver
ejercicios concretos, y los estudiantes resuelven
ejercicios y problemas de contexto real aplicando las
propiedades del cálculo diferencial.
Datos/Observaciones
Punto, Recta y Plano
Un plano tiene longitud y anchura. Si nos movemos en un plano,
podemos observar puntos, rectas, polígonos, círcunferencias y
círculos.
El punto no tiene dimensiones. Es el elemento más simple en
geometría.
La línea es una longitud sin anchura. La línea posee una sola
dimensión. Podría considerarse como una sucesión infinita de puntos
alineados.
Datos/Observaciones
Ángulo y su clasificación 
Un ángulo es una porción del
plano comprendida entre dos
semirectas que parten de un
mismo punto (vértice).
A
BO
Ángulo convexo
Ángulo cóncavo
Lado 𝛽
𝛼
Datos/Observaciones
Ángulo y su clasificación
Ángulos complementarios
27 °+63 °= 90 °
Ángulos suplementarios
Opuesto por el vértice
Tienen solo el vértice en común
Adyacente
Tienen el vértice y un 
común y sumanlado 
180⁰
5 4°+126°=180°
Consecutivos
Tienen el vértice y un 
lado comunes
Datos/Observaciones
Rectas paralelas cortadas por una 
secante
a) Ángulos correspondientes:
෠1 ≡ ෠5; ෠2 ≡ ෠6; ෠3 ≡ ෠7; ෠4 ≡ ෠8
b) Ángulos alternos:
Ángulos alternos internos ෠3 ≡ ෠5; ෠4 ≡ ෠6; 
Ángulos alternos externos ෠2 ≡ ෠8; ෠1 ≡ ෠7; 
c) Ángulos conjugados: La suma de sus medidas es 
igual a 180⁰
Ángulos conjugados internos
𝑚∠4 + 𝑚∠5 = 180°
𝑚∠3 + 𝑚∠6 = 180°
Ángulos conjugados externos
𝑚∠1 + 𝑚∠8 = 180°
𝑚∠2 + 𝑚∠7 = 180°
Datos/Observaciones
Propiedades de los ángulos
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝛼 = 𝛼1
𝛽 = 𝛽1
Datos/Observaciones
Propiedades de los triángulos
Relación de correspondencia
Teorema de la existencia de los triángulos
Propiedades auxiliares
Datos/Observaciones
Ejemplo
35,0° 25,0°
Halle el ángulo
20,0°
𝜃°
Datos/Observaciones
Ejemplo
En la figura se muestra un árbol que se encuentra en la parte superior de una colina que forma
un ángulo de 20,0 º con la horizontal. Un observador situado en un punto sobre la colina mide el
ángulo formado entre la colina y la punta del árbol en 24º. Calcule la medida del ángulo
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 1: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
siempre y cuando este límite exista.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
➢ Las notaciones para la primera derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥 son:
o 𝑓′(𝑥): se lee “𝑓 prima de 𝑥”.
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∶ se lee “derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥”,
➢ Las notaciones para la segunda derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥, son:
𝒇′ 𝒙 ;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
; 𝒚′;
𝒅 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
; 𝑫𝒙(𝒚)
𝒇′′ 𝒙 ;
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
; 𝒚′′;
𝒅𝟐 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
; 𝑫𝒙𝒙(𝒚)
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 2: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙𝟎, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
si este límite existe<∩ 𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
INTERPRETACIONES DE 𝑓´ 𝑥0
GEOMÉTRICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 representa la pendiente de la 
recta tangente a la gráfica de la 
función 𝒚 = 𝒇 𝒙 , en el punto 
𝒙𝟎; 𝒇(𝒙𝟎) .
FÍSICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 es la razón de 
cambio instantánea de
𝒚 = 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 = 𝒙𝟎.
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐, halle 𝒇′(𝒙)
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔, halle 𝒇′ 𝒙𝟎 , si 𝒙𝟎 = 𝟒
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Si y =
1
2
𝑥3 + 5 𝑥 − 3, determine 𝑦′.
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Si y = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 (𝒙𝟓 + 𝟒), determine 𝑦′.
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Derivar 𝑓 𝑥 =
(𝑥−2)(𝑥+3)
𝑥+5
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre