S15 s1 - Repaso de Geometria y Derivadas-Solucionario

Vista previa del material en texto

Empezamos en breve....
¿Con qué tipo emoji nos identificamos?
Datos/Observaciones
¿Qué era el momento de una fuerza?
Menciona una formula de dinámica de rotación.
 ¿Alguna duda sobre la sesión pasada?
Repaso de la sesión pasada…
CALCULO APLICADO A LA 
FÍSICA 1
Semana 15 - sesión 1
Repaso Geometría
Repaso de Derivadas
SABERES PREVIOS
¿Qué es el límite? 
¿Qué es la derivada? 
Datos/Observaciones
Al finalizar la sesión el estudiante aplica
propiedades de los triángulos para
resolver ejercicios concretos, y los
estudiantes resuelven ejercicios y
problemas de contexto real aplicando
las propiedades del cálculo diferencial.
LOGRO DE LA SESIÓN
¿Qué es la geometría y sus aplicaciones?
UTILIDAD
La geometría contribuye a resolver problemas
prácticos como la medición de longitudes, áreas
y volúmenes, o el trazo de linderos en la tierra.
Además, justicia la teoría de muchos
instrumentos: compas, teodolitos, pantógrafos,
sistema de posicionamiento global.
Datos/Observaciones
Punto, Recta y Plano
Un plano tiene longitud y anchura. Si nos movemos en un plano, 
podemos observar puntos, rectas, polígonos, círcunferencias y 
círculos.
El punto no tiene dimensiones. Es el elemento más simple en 
geometría.
La línea es una longitud sin anchura. La línea posee una sola 
dimensión. Podría considerarse como una sucesión infinita de puntos 
alineados.
Datos/Observaciones
Ángulo y su clasificación 
Un ángulo es una porción del 
plano comprendida entre dos 
semirectas que parten de un 
mismo punto (vértice).
A
Ángulo convexo
𝛼
B
Lado
Ángulo cóncavo
𝛽
Datos/Observaciones
Ángulo y su clasificación 
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
27° + 63° = 90° 54° + 126° = 180°
Adyacente
Tienen el vértice y un 
lado en común y suman 
180⁰
Opuesto por el vértice
Tienen solo el vértice en común
Consecutivos
Tienen el vértice y un lado 
comunes
Datos/Observaciones
Rectas paralelas cortadas por una 
secante
a) Ángulos correspondientes:
 ∡ 1 ≡ ∡ 5 ; ∡ 2 ≡ ∡ 6 ; 
∡ 3 ≡ ∡ 7 ; ∡ 4 ≡ ∡ 8 .
b) Ángulos alternos:
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
c) Ángulos conjugados: La suma de sus medidas es 
igual a 180⁰
Ángulos conjugados internos
𝑚∠4 + 𝑚∠5 = 180°
𝑚∠3 + 𝑚∠6 = 180°
Ángulos conjugados externos
𝑚∠1 + 𝑚∠8 = 180°
𝑚∠2 + 𝑚∠7 = 180°
∡ 3 ≡ ∡ 5 y ∡ 4 ≡ ∡ 6 .
∡ 1 ≡ ∡ 7 y ∡ 2 ≡ ∡ 8 .
Datos/Observaciones
Propiedades de los ángulos
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
𝛼 = 𝛼1
𝛽 = 𝛽1
Datos/Observaciones
Relación de correspondencia
Teorema de la existencia de los triángulos
Propiedades auxiliares
Propiedades de los ángulos
Datos/Observaciones
Ejemplo 1
35,0 ° 2 5,0°
Halle el ángulo
20,0 °
𝜃°
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
𝜃 = 35 + 20 + 25
Por propiedad:
𝜃 = 80𝑜
Datos/Observaciones
Ejemplo 2
En la figura se muestra un árbol que se encuentra en la parte superior de una colina que forma 
un ángulo de 20,0 º con la horizontal. Un observador situado en un punto sobre la colina mide el 
ángulo formado entre la colina y la punta del árbol en 24º. Calcule la medida del ángulo
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Por propiedad:
𝜃 + 24 = 70
𝜃 = 46𝑜
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 1: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
siempre y cuando este límite exista.
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
➢ Las notaciones para la primera derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥 son:
o 𝑓′(𝑥): se lee “𝑓 prima de 𝑥”.
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ∶ se lee “derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥”,
➢ Las notaciones para la segunda derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥, son:
𝒇′ 𝒙 ; 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
; 𝒚′; 
𝒅 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
 ; 𝑫𝒙(𝒚) 
𝒇′′ 𝒙 ; 
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
; 𝒚′′; 
𝒅𝟐 𝒇(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
 ; 𝑫𝒙𝒙(𝒚) 
Datos/Observaciones
La Derivada
Definición 2: La derivada de una función 𝒇 en 𝒙𝟎, ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇, es el límite:
si este límite existe<∩ 𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
INTERPRETACIONES DE 𝑓´ 𝑥0
GEOMÉTRICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 representa la pendiente de la 
recta tangente a la gráfica de la 
función 𝒚 = 𝒇 𝒙 , en el punto 
𝒙𝟎; 𝒇(𝒙𝟎) .
FÍSICA:
𝒇´ 𝒙𝟎 es la razón de 
cambio instantánea de
𝒚 = 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 = 𝒙𝟎.
1. Para una función constante
Si 𝑓 𝑥 = 𝑘 , donde k es constante 
entonces:
𝑓´ 𝑥 = 0
2. Para la función identidad
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥, entonces:
𝑓´ 𝑥 = 1
3. Para la potencia
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, donde n es entero positivo 
entonces:
𝑓´ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
4. Para el múltiplo constante
es constanteSi 𝑘𝑓 𝑥 , donde k
entonces:
𝑘𝑓 𝑥 ´ = 𝑘𝑓´ 𝑥
Reglas Básicas
5. Para la suma y resta
Si tenemos dos funciones f y g derivable 
Entonces:
𝑓 ± g ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± g´ 𝑥
6. Para el producto
Si tenemos dos funciones f y g derivable
Entonces:
𝑓. g ´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 g´ 𝑥 + g 𝑥 𝑓´(𝑥)
7. Para el cociente
Si tenemos dos funciones f y g derivable 
Entonces:
𝑓 g (𝑥) 𝑓´(𝑥)−𝑓( 𝑥) g´(𝑥)
( )´ 𝑥 =
g g2(𝑥)
8. Para las funciones trigonométricas
Si 𝑓 𝑥 = sen𝑥 entonces 𝑓´ 𝑥 = cos𝑥
Si g 𝑥 = cos𝑥 entonces g´ 𝑥 = −sen𝑥
Reglas Básicas
Datos/Observaciones
Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐, halle 𝒇′(𝒙)
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Derivamos la función:
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
Ejemplo 3
Datos/Observaciones
Si 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔, halle 𝒇′ 𝒙𝟎 , si 𝒙𝟎 = 𝟒 
Ejemplo 4
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Derivamos la función:
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟔
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥5
Evaluamos para 𝑓′ 𝑥0 , cuando 𝑥0 = 4
𝑓′ 𝑥0 = 6 4
5
𝑓′ 𝑥0 = 6 144
Datos/Observaciones
Si y =
1
2
𝑥3 + 5 𝑥 − 3, determine 𝑦′.
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Derivamos la función:
y =
1
2
𝑥3 + 5 𝑥 − 3
𝑦 =
1
2
𝑥3 + 𝑥
1
5 − 3
Ejemplo 5
𝑦′ =
3
2
𝑥2+(
1
5
)𝑥
1
5−1
y′ =
3𝑥2
2
+
1
5
𝑥
−4
5
y′ =
3𝑥2
2
+
1
5
5
𝑥4
Datos/Observaciones
Si y = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 (𝒙𝟓 + 𝟒), determine 𝑦′.
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Derivamos la función:
y = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 (𝒙𝟓 + 𝟒)
𝑦 = 𝑥8 + 4𝑥3 − 12𝑥6 − 48𝑥 − 5𝑥5 − 20
𝑦′ = 8𝑥7 +12𝑥2 −72𝑥5 −48 −25𝑥4
y′ = 8𝑥7 − 72𝑥5 − 25𝑥4 + 12𝑥2 − 48
Ejemplo 6
Datos/Observaciones
Derivar 𝑓 𝑥 =
(𝑥−2)(𝑥+3) 
𝑥+5
Ejemplo 7
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Derivamos la función:
𝑓 𝑥 =
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 
𝑥 + 5
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 − 2𝑥 − 6
𝑥 + 5
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 + 5
𝑓′ 𝑥 =
(𝑥 + 5) (2𝑥 + 1) −(𝑥2 + 𝑥 − 6 ) (1)
𝑥 + 5 2
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥2 + 𝑥 + 10𝑥 + 5 −𝑥2 − 𝑥 + 6
𝑥2 + 10𝑥 + 25
𝑓′ 𝑥 =
𝑥2 + 10𝑥 + 5 
𝑥2 + 10𝑥 + 25 
Practicando
Si L // M. Calcule el valor de α. Alternativas
a) 40𝑜
b) 30𝑜
c) 70𝑜
Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado, de modo que su
posición x satisface x(t) = 20 t2 – 10 t + 1, donde x se mide en centímetros
y t en segundos. Determine la velocidad y la aceleración del objeto cuando
t = 2 s.
𝐱 𝐭 = 𝟐𝟎𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝒕 + 𝟏
𝒅𝐱 𝐭
𝒅𝒕
= 𝑽 𝒕 = 𝟒𝟎𝒕 − 𝟏𝟎
𝑽 𝒙 = 𝟒𝟎(𝟐) − 𝟏𝟎
𝑽 𝒙 = 𝟕𝟎 Ƹ𝒊𝒎/𝒔
𝒅𝑽 𝐭
𝒅𝒕
= 𝑨 𝒕 = 𝟒𝟎
A 𝒙 = 𝟒𝟎 Ƹ𝒊𝒎/𝒔𝟐
Practicando
Alternativas
𝒂) 𝟓𝟎 Ƹ𝒊𝒎/𝒔𝟐
𝒃) 𝟒𝟎 Ƹ𝒊𝒎/𝒔𝟐
𝒄) 𝟔𝟎 Ƹ𝒊𝒎/𝒔𝟐
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
¿Cuál es su importancia?
Propiedades de ángulos y triángulos
Aplicado en la medición de 
longitudes áreas y volúmenes.
derivadas
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ Dos rectas cortadas por una transversal son
paralelas si y sólo si un par de ángulos
alternos internos son iguales.
✓ Un triángulo no puede tener más de un
ángulo recto.
✓ Los ángulos iguales de un triángulo
isósceles son agudos.
✓ La derivada nos describe el cambio
instantáneo de una función
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ El momento de inercia depende de la forma del 
solido.
✓ La aceleración del sistema es única en todo el 
sistema.
✓ El torque se genera a partir la fuerza y la 
distancia y estos tiene que ser perpendiculares.
✓ En la dinámica rotación ya no es una polea ideal.
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19: Reglas Básicas
	Diapositiva 20: Reglas Básicas
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25
	Diapositiva 26
	Diapositiva 27
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29: NO OLVIDAR!
	Diapositiva 30: NO OLVIDAR!
	Diapositiva 31
	Diapositiva 32
	Diapositiva 33