polinomios

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Guía de Ejercicios para clases de apoyo PLAN FINES 
EJE 1: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. 
 
1 
Prof : Cañamero José C. 
1 
Expresiones algebraicas 
Definición: se llama expresión algebraica a una combinación cualquiera de números representados por letras , o por 
letras y cifras , ligados entre si por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y la 
radicación 
Ejemplo : 4a + 2a2b + 3a2c , –19m3n - 6m2n3 o 2x3 + x2y + 7xy2 + 3y3 
 
Partes de una expresión algebraica 
En una expresión algebraica a los números se los denomina coeficientes y a las letras variables o indeterminadas 
 
Polinomios 
Si los exponentes de las indeterminadas son números naturales, entonces las expresiones algebraicas se llaman 
polinomios, esto es no habrá ninguna letra elevada a una fracción o a un número decimal como por ejemplo 
568.02
1
3
2
.8.2.3 bax ++ 
 
Monomio: Una expresión algebraica donde sólo aparecen productos y potencias se llama monomio o término 
ej. 5xy4 , a3 b c2 , -x3 , 3 m2 
 
En un monomio se pueden diferenciar dos partes, una numérica llamada coeficiente y otra que incluye todas las letras 
(o variables) que se llama parte literal. 
Se puede decir también que un monomio es un polinomio de 1 solo término 
 
Binomio: es cuando un polinomio tiene 2 términos, ejemplo: 
  oTeroTer
xx
min
2
min
7 34 − 
Trinomio: es cuando un polinomio tiene 3 términos, ejemplo: 
  oTer
oTer
oTer
xbxy
min
min
3
min
5 1
3
1
3 −−

 
Cuatrinomio: es cuando un polinomio tiene 4 términos, ejemplo: 
    oTer
oTer
oTeroTer
aaa
min
min
3
min
6
min
5 1
3
1
83 −−+ 
Polinomios en una variable 
De aquí en adelante trabajaremos con polinomios de una sola variable, un polinomio de este tipo se expresa: 
( ) 0
1
1
2
2
2
2
1
1 ......... axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
nx ++++++=
−
−
−
− 
Grado de un polinomio 
Sea el polinomio ( ) xxxP x −+=
25 32 ; el “grado n” de un polinomio es el numero que representa el mayor 
exponente en el que aparece la variable en los términos, para este caso el mayor exponente es 5 ósea n = 5 por lo 
tanto el grado seria cinco y se expresa: ( )  5=xPGr 
El coeficiente principal na : es el numero que multiplica la variable mayo exponente para este caso: Cppal: 2 
Polinomio completo un polinomio esta ordenado cuando sus términos están ordenados en forma decreciente o 
creciente respecto de los exponentes de las variables 
3223 563635 xxodesordenadxxordenado +−−−− 
Polinomio completo: Un polinomio de grado n está completo si en él figuran todos los términos de grado menor que n. 
Ej. Polinomio completo: 2635 23 +−− xxx 
 Polinomio incompleto: 523 35 −− xx 
Para completar un polinomio se agregan todos los monomios que faltan con coeficientes cero. 
 Polinomio completo y ordenado: 500203 2345 −++−+ xxxxx 
 
 
 
 
Actividades 
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EJE 1: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. 
 
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Prof : Cañamero José C. 
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 1- Indique el grado , nombre y coeficiente principal de ( ) 762
2 +−+= xxxP x 
a) Grado : b) Nombre: c) Coeficiente principal 
 
 
 
2-Unir con flechas cada uno de los siguientes polinomios con los datos que corresponden 
 
25 2 −x 
22 −x 
12 4 +x 
953 2 −+ xx 
xxx ++ 23 
2+x 
 
Binomio de segundo grado con Cppal = 5 
Binomio de primer grado cuyos coeficientes son 1 y 2 
Trinomio con todos los coeficientes = 1 
Binomio de segundo grado cuyo coeficiente 1 y 2 
Binomio de cuarto grado 
Trinomio de segundo grado 
3-Completar y ordenar los siguientes polinomios 
a. xx 543 +− 
b. 13 42 −−− xx 
c. 
45 24 xxx −+ 
d. 16 4 +x 
e. xxx 547 25 ++− 
f. xx −+− 423 
Términos semejantes: son todos los términos que tienen la misma variable y exponente 
Ejemplo: 4 x y2 z4 es semejante a -27 x y2 z4 
4 x y2 z4 no es semejante a 4 x2 y z4. 
Operaciones entre Monomios: 
Suma y Resta de Monomios 
 Para suma o restar monomios, se suman o se restan los coeficientes de términos semejantes. “Si no son términos semejantes no se pueden 
restar o sumar entre si” 
Realizar las operaciones que se indican 
1. T(x) + S(x) ; sean 
2323 43)(22)( xxxxSxxxT +−=+−= 
2. P(x) – Q(x) ; sean xxxxQxxxxP 725)(243)( 2343 +−=+−= 
Multiplicación de polinomios 
a) Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes numéricos y para la parte de las letras (parte literal) : 
el producto de ellos es la misma letra con un exponente igual a la suma de los exponentes. 
ejemplo 
3122211 20.20)4).(5)(210.5.2)5).(2)(1 xxxxxxxx ==−−== ++ ”los exponentes de las letras se suman “ 
RESOLVER =−=−=−− )
5
4
).(
2
1
)(3)).(6)(2)4).(3)(1 34322 xxxxxx 
 b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada 
uno de los términos del polinomio, luego se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos 
del polinomio. 
Ejemplo : a) 3x. (5 – x) = 3x . (5) – 3x . (x) = 15x – 3x² “Propiedad Distributiva + los exponentes se suman “ 
 
RESOLVER =−=−−=+ )3.(
2
1
)3)2.(6)2)25.(2)1 225233 xxxxxxxxx 
 
RESOLVER 
1) Calcular )()( xQxP + xxxxQxxxxP .2.3.15)(2.5.3.2)(
4355 −−=+−−= 
2) Resolver =− 24 ).2.3( xx 
3) Escriban el Polinomio reducido xxxxx 10)4(.3.3:).3( 432 −−•+− 
 
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EJE 1: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. 
 
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Prof : Cañamero José C. 
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)()()()( xRxQxCxP +•=
DIVISION 
Regla de Ruffini 
Realizamos la división 31.3.2 24 −++− xxxx 
1) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 
2) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 
3) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 
4) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 
5 ) Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 
6) Sumamos los dos coeficientes. 
7) Repetimos el proceso anterior. Volvemos a repetir el proceso. 
8) El último número obtenido, 73 , es el resto. 
9) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. 
 
 1.3.2 24 ++− xxx ORDENO Y COMPLETO 
 
 
RESTO = 73 C(x) = 2473 23 +++ xxx 
 
RESOLVER: 323)1 24 −+− xxx Rta: R(x) = 56 C(x) = 1863 23 +++ xxx 
 2)(55.2)()2 23 +=−−+= xxQxxxxP Rta: R(x) = 1 C(x) = 32 2 −− xx 
 1)(13.
3
1
)()3 24 +=+−= xxQxxxP 
 
Teorema del Resto 
Ejercicio de ejemplo si 31.3.2 24 −++− xxxx 
 =++− 1)3.(3)3.(2)3( 24 
 =++− 13.39.281 
 73191881 =++− R(x) = 73 
Utilizar el Teorema del resto para confirmar R(x) en todos los ejercicios 
 
DIVISION 
Realizar la división = )()( xQxP 
24 2)(.23.2)() xxxQxxxPa +−=+−= 1)(3.2)()
32345 +−=+−+ xxxQxxxxxPb 
 
Tarea 
Para todos los ejercicios de división de polinomio aplica la formula para volver a 
encontrar el polinomio P(x) 
 
Usar la propiedad correspondiente para resolver: 
 
a) ( 3x -4) . ( 3x + 4)=………………………………… 
b) ( 2x + 5)2 =………………………………………….. 
 c) ( x - 2 )3=………………………………………………. 
)()()()( xRxQxCxP +•=