Cartilla 2022 1C TFC

Vista previa del material en texto

Coordinador: Lic. Héctor Tarifa 
Trayecto de Formación 
Complementaria 
Módulo 
Matemática 
Sistema de Ingreso de la Facultad de 
Ingeniería 
 
1º Cuatrimestre - 2022 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 2� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las matemáticas son esenciales para 
hacer frente a desafíos que se plantean en 
ámbitos como la inteligencia artificial, el 
cambio climático, la energía y el desarrollo 
sostenible, y para mejorar la calidad de 
vida en el mundo desarrollado y en 
desarrollo. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 3� 
 
Contenidos. 
Unidad 1: Conjuntos: Relación de inclusión y pertenencia. Igualdad de conjuntos. 
Operaciones entre conjuntos, propiedades. Conjunto de números. Representación en la recta real. 
Operaciones con números reales y sus propiedades. Intervalos de números reales: representación en la 
recta real y operaciones. Desigualdades: resolución, representación del conjunto solución y problemas 
de aplicación. Notación científica. 
Unidad 2: Función: definición, distintas formas de expresarla, dominio, imagen. Valor 
numérico y gráfica. Función Lineal: forma general, pendiente, ordenada al origen. Recta: ecuación, 
paralelismo, perpendicularidad y representación gráfica. Función cuadrática: definición, distintas formas 
de expresarla, dominio, imagen y representación gráfica. Parábola: vértice, eje de simetría, concavidad, 
puntos simétricos y raíces. La ecuación de segundo grado. Problemas de aplicación. 
Unidad 3: Expresiones algebraicas: definición y clasificación. Expresiones algebraicas 
enteras: clasificación según el número de términos, grado, valor numérico, raíces reales, orden. 
Operaciones con expresiones algebraicas enteras. Teorema del Resto. Regla de Ruffini. Factoreo de 
expresiones algebraicas: factor común, factor común en grupos de igual número de términos, trinomio 
cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, suma o diferencia de dos potencias de igual grado. 
Expresiones algebraicas racionales: definición, suma, resta, producto, cociente y simplificación. 
Unidad 4: Ecuaciones algebraicas. Planteo, resolución y verificación. Sistema de dos 
ecuaciones lineales con dos incógnitas: clasificación, resolución y representación gráfica. Métodos de 
resolución: gráfico, determinantes, igualación, sustitución. Sistemas de tres ecuaciones con tres 
incógnitas: Planteo y resolución por el método de determinantes. Aplicaciones. 
Unidad N° 5: Trigonometría. Ángulos: sistema de medición sexagesimal y radial. Razones 
trigonométricas: definición, cálculo y resolución de triángulos rectángulos. Funciones trigonométricas: 
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, definición, dominio, imagen, representación 
gráfica, periodicidad, ceros, crecimiento, decrecimiento. Teorema del seno. Teorema del coseno. 
Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo: fundamental y otras relaciones. 
Relaciones entre las funciones trigonométricas de dos ángulos: complementarios, suplementarios, 
opuestos, que difieren en π/2 y π. Funciones trigonométricas de la suma algebraica de dos ángulos. 
Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. 
Unidad 6: Vectores: definición y representación gráfica. Módulo de un vector. Operaciones: 
multiplicación por un escalar. Suma: método analítico y gráfico. Paralelismo y perpendicularidad de 
vectores. Producto escalar de vectores. Problemas de aplicación. 
 
 
 
 
 
 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 4� 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: CONJUNTOS. NÚMEROS REALES: OPERACIONES. PROPIEDADES. 
1º. Escriba en notación conjuntista: 
a) 10 es un elemento de A. 
b) y no es un elemento de B. 
c) B está incluido en ℝ. 
d) A es un subconjunto de ℕ. 
e) Conjunto vacío. 
2º. Indicar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos sabiendo que: D = {2,3,4,5} 
a) 2 ∈ D b) 10 ∈ D c) {3}⊂ D d) {4,5}⊂ D e) 5 ∉∉∉∉ D f) {7} ⊄⊄⊄⊄ D 
3º. Ubique, siempre que sea posible, las siguientes situaciones en el diagrama de Venn dado a 
continuación: 
 A B U a) 7 ∈ A y 7 ∉ B b) -3 ∈ A y -3 ∈ B 
 c) -2 ∈ A ∩ B d) 5 ∈ U 
4º. Realizar el diagrama de Venn de los campos numéricos y ubicar las siguientes expresiones en el 
campo correspondiente: 3, -3, π, 6/2, e, -3/5, √9, 0, √-3, (-2)3,15+i y por último	0, 5�. 
5º. Dados los conjuntos A = {-1,4,5}, B = {4,5,7} y C = {-1,0, 2,3,4,5,7,9} determine: 
a) A ∪B b) A ∩ B c) A – B d) B – A e) C – (A ∩ B) f) C ∪A g) {-2,1} ∩C 
6º. Ordene en forma creciente los siguientes números: -4; 1, 5�; 20; 1/5; -5/2; 0; 1,44; √2; -12, π, -√3. 
Representarlos en la recta numérica. 
7º. Escriba los siguientes enunciados utilizando símbolos ( ≤, ≥, <, =, ≠ , > ) 
a) x es un número mayor o igual que 0. 
b) y es un número positivo. 
c) a es un número entre -1 y 3. 
d) z es un número comprendido entre -1 y 3, incluido -1. 
e) u es número negativo. 
f) w es distinto de v. 
8º. Obtenga el valor de las siguientes expresiones (sin usar calculadora) 
a) (25)1/2 
b) (8) -1/3 
c) (-2) 2 (-2) 3 
d) 2 2 . 3 2 
e) 42 / (-2)2 
f) 25 / 24 
g) (2 3) 2 
h) √4√9. 
i) √8	� 	/				√64� 
j) ⅔.(2+5) 
k) (-1) 205 
l) (-1) 24 
m) 0 n 
n) 1 n 
o) m 1 
p) √0 
q) 0.n 
r) 0/n. 
9°. Para qué valores de a ∈ RRRR son ciertas las siguientes igualdades. 
a) 
5 5
2 2
a
a
⋅
=
⋅
 b) 2a a= c) 3 3 =a a 
d) 
2 5 2 5
2 2
+ −
=
− −a a
 e) ( )
6
23 a a= f) ( )
4
2a a= 
10°. Calcular llevando a su mínima expresión. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 5� 
�)		
3
2 1
2
2
3
3
1
2
2
1
2
2
−
−
−
 
⋅ 
 
=
 
⋅  
 
= �)	����� �� . 5 �� . ����� � :	5� �� = ")#√�$�√�%� = 
	&)	√3() 		�$	*� √3			) + ,√-� − 6	/�$�)*� √�					� 0)	/1/2)�		√144 + � −#2( 	− �1:	 3���
*4 = 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: INTERVALOS – INECUACIONES – NOTACIÓN CIENTÍFICA 
1º.- Dados los siguientes conjuntos, cuando sea posible, expresarlos como intervalos. Represente cada 
conjunto en la recta real. �)	5 = 67/7	 ∈ ℝ	 ∧ −1 ≤ 7 < 2	; �)	< = 67/7	 ∈ 	ℝ	 ∧ 7 ≤ 5	; 
")	= = 67/7	 ∈ 	ℕ	 ∧ 	7 ≤ 5	; &)	> = ?�� , � , �( , �� , �3@ 																0)	A = ?7/7	 ∈ ℝ	 ∧ − ( < 7 < �@ 
B)	C = 67/7	 ∈ ℝ	 ∧ −4 ≤ 7 ≤ 2	; D)	E = 67/7	 ∈ ℝ; 
2º.- a) Si a ∈ [1,2] ¿Podría Ud. afirmar que a	∈ [-3,4)? 
b) Si a ∈ (-2,6) ¿Podría Ud. afirmar que a	∈ (-1,3)? 
Justifique sus respuestas. 
3º.- Dados los siguientes conjuntos, resolver gráficamente las operaciones indicadas; expresar el 
resultado en notación de intervalo y notación conjuntista. 5 = 67/7	 ∈ ℝ	 ∧ −5 ≤ 7 < 1	;							< = 67/7	 ∈ ℝ	 ∧ 1 < 7 ≤ 6	;											= = F−3, 5)							y									> = F2, ∞) �)	5 ∩ < �)	5 ∪ = ")	5 ∩ > &)	H − = 0)	> − 5 B)	/5 ∪ =) ∩ = 
4°.- i) a y b ∈ℝ y a>b, establezca qué relación existe entre (a+b) y 2 siendo 2 (a-b) >a2 – b2 
 ii) ¿Y cómo sería si a<b? 
5°.- Describa con palabras cada uno de los siguientes enunciados. 
a) m > n b) p ≤ q c) –11 < 5 < 8 d) –2 ≤ k ≤ 2 
e) x < 0 f) y ≥ 0 g) x ≠ y 
6°.-Para cada una de las siguientes inecuaciones: 
�)		7 − 6 ≥ 4																																														�)	7� + 7 − 2 < 0																																	")	7 + 4	 ≥ �� /47 + 4) 
&)	|7 − 1	| > 4 0)	|– 7 + 2	| < 5																																										B)	 M N%�( M ≥ 1	 
i) Resolverlas y representar el conjunto solución. 
ii) Comprobarlas para algún valor adecuado de la incógnita. 
 
7°.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Joaquín quiere reparar unos autitos que encontró sinruedas. Él consigue una docena y media de 
ruedas. Pide ayuda a sus tres amigos y éstos le consiguen 22; media docena y 19 ruedas 
respectivamente. ¿Cuántas ruedas consiguieron en total? ¿Cuál es la cantidad máxima de autos que 
podrá reparar? 
b) Javier y Sofía salen de su casa con $1000. Compran alfajores y una botella de gaseosa por $250; 
necesitan $280 para viajes y tiene que comprar 2 cuadernos. ¿Entre qué precios están los cuadernos 
que pueden comprar? 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 6� 
 
8°.- Escribir en notación científica los siguientes números: 
a) 241,5 = b) 0,0000308 = c) 721023 = d) 0,0034 = 
9°.- Expresar las siguientes operaciones en notación científica y resolverlas:	 
�)	0,0001200	.360000				 � 																													�) � 6980000,07 � 																		") 20000	.0,0000045.10 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: FUNCIONES 
1º.-En un sistema de ejes coordenados cartesianos represente los siguientes puntos: (-1,2); (3,3); (-3,-2); 
(0,2); (-1,0); (-½, ½), (-¾,1); (0,0). 
2º.- Indicar las coordenadas de cada uno de los puntos designados con una letra en el siguiente gráfico: 
 
3º.- Indicar en qué lugar del plano (cuadrante/s) se encuentra un punto si: 
a) Su abscisa es positiva. 
b) Su ordenada es negativa. 
c) Su abscisa y su ordenada son negativas. 
d) Su abscisa es positiva y su ordenada es negativa. 
4º.- Indicar cuáles de los siguientes gráficos, diagramas, tablas y/o fórmulas corresponden a una función. 
En caso afirmativo indicar dominio e imagen. 
 
 
 
f) y = x2 + x– 3 
A = ( , ) 
B = ( , ) 
C = ( , ) 
D= ( , ) 
E = ( , ) 
F = ( , ) 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 7� 
 
 
5º.- Defina una función que represente: 
a) El cuadrado de un número aumentado en 2. 
b) El producto del cubo de un número por el triplo de su recíproco. 
c) La diferencia existente entre un número y la mitad de su cuadrado. 
6º.- El siguiente gráfico representa la temperatura de un cuerpo, en función del tiempo transcurrido, 
sometido a diferentes ciclos de enfriamiento y calentamiento. 
 
En base al gráfico responder: 
a) La temperatura inicial. 
b) Máxima temperatura alcanzada y el momento en el que se produce. 
c) Mínima temperatura alcanzada y el momento en el que se produce. 
d) Intervalos de tiempo donde la temperatura aumenta. 
e) Intervalos de tiempo donde la temperatura decrece. 
f) Momentos en donde la temperatura es 0 °C. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 8� 
7º.- Dadas las siguientes funciones por sus fórmulas, determinar el dominio. 
�)	B/7) � 7( + 37 �)	ℎ/7) = NN$� − 7 	 1)5()( c) 2 −⋅+= xxxh 
2
36
)( d)
+
+=
u
u
u
u
ul 0)	
)4)(5(
6
)( e)
3 3
−+
−
=
rr
rr
rj B)Q/R) = R� + 5 
9º.- Dadas las siguientes funciones: �)	B/S) = S + 5													Determinar de ser posible B/1), B/−2), B/0	), B/S + 1) 
�)	D/7) = T 7
� + 1				UV			7 ≤ 0�N%( 			UV					0 < 7 < 1√7 − 1� 				UV	7 > 1 Determinar de ser posible D/−7), D �
 (� , D/1)		W			D/2) 
10º.- Un motociclista conduce durante 35 minutos a 85 km/h. Se detiene a descansar 15 minutos y 
reanuda la marcha recorriendo 130 km en 2 hs. 
a) ¿Qué distancia recorrió? 
b) ¿Cuál es su velocidad promedio? 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: FUNCIÓN LINEAL 
1°.- Sea y = ax + b 
a) ¿Cuál será la representación gráfica si a>0? 
b) ¿Cuál será la representación gráfica si a<0? 
c) ¿Cuál será la representación gráfica si a=0? ¿Es función? 
d) ¿Cómo son entre sí las rectas y1 = ax + b y y2 = ax +c? 
e) ¿Cómo son entre sí las rectas y1 = ax + b y y3 = (-1/a) x + d? 
 
2º.- Dadas las siguientes expresiones: �)	27 + 3W = 6 �)	7� + W = 47 ")	W� + 57 − 6 = 0 &)	7. W = 3	 
i) Indicar cuáles de ellas representan funciones lineales. 
ii) Para las que sean funciones lineales, indicar pendiente, ordenada al origen y graficarlas. 
3º.- Determinar la ecuación de la recta que cumple con la condición indicada en cada caso. Graficar. 
a) Pasa por P (2, 10) y tiene pendiente –2 
b) Pasa por Q (–4, 7) y P (2, 10). 
c) Pasa por T (3, –4) y R (-2, 6). 
d) Tiene pendiente 0,4 y corta al eje de las ordenadas en 3. 
e) Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente tal que forma un ángulo de 60°con el eje de 
las abscisas. 
4°.- Dada la ecuación de la recta W = � 7 − 5, escribir la ecuación de una recta: 
a) Perpendicular a ella y que pasa por el punto (-2, 5). 
b) Paralela a ella y pasa por el punto (3,-6). 
c) Perpendicular a ella y de ordenada al origen -1. 
5º.- Escribir la ecuación de la recta representada en cada uno de los siguientes gráficos. 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 9� 
 
 
 
6°.- Una empresa de gas, cobra el servicio del siguiente modo: tiene una facturación mínima de $600, 
más el consumo en el bimestre a razón de $130 el m3. 
a) ¿Cuál es la fórmula de la función que refleje el pago total del bimestre para un número x de m3 
consumidos? 
b) ¿Cuánto pagará una familia que registró un consumo de 5 m3 en el bimestre? 
c) ¿Qué representa la ordenada al origen? 
d) Representar gráficamente la función. 
7º.- Un ingeniero químico realiza en un laboratorio una serie de medidas para una muestra gas 
obteniendo los siguientes resultados: 
Temperatura (t) [ºC] Volumen (V) [l] 
-30 12,148 
0 13,651 
55 16,399 
365 31,911 
Realice una gráfica con los datos proporcionados. ¿Cuánto vale la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada 
al origen? 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: FUNCIÓN CUADRÁTICA I 
1°.- Indicar cuáles de las siguiente expresiones representan funciones de segundo grado. 
�)	W� = /7 − 2)� + 1 �)	7. W = 7� + 7 ")	XN = 7 + 2	 &)	7� + 7 − 2 = 0 0)	W = 7 + 2 
2°.- Dada la expresión W = 27� − 37 + 1 encuentre sus raíces y su vértice. Escríbala expresión en forma 
canónica y en forma factorial. 
3º.- Dadas las siguientes funciones de 2º grado �)	W = 37� − 57	 �)W = −2/7 − 4)� + 5 ")	W = −0,57� − 7 − 0,5 &)	W = 3/7 − 4)/7 + 2) 
Para cada una de ellas determinar: 
i) Las coordenadas del vértice. 
ii)La ecuación del eje de simetría. 
iii) La concavidad. 
iv) La naturaleza de las raíces mediante el discriminante de la ecuación de 2º grado correspondiente. 
v) Los ceros de la función si correspondiere. 
vi) Graficar la función. 
4°.- Dadas las siguientes gráficas. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 10� 
 
 
 
Para cada una de ellas: 
i) Indicar las coordenadas del vértice. 
ii) Indicar la ecuación del eje de simetría. 
iii) Indicar la concavidad. 
iv) Indicar los ceros de la función, si correspondiere. 
v) Determinar la fórmula de la función. 
5°.- El gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c, con a > 0, tiene su vértice en el punto (1; –2) y pasa por el 
punto (2, 4). Indicar si los siguientes puntos pertenecen al gráfico de f(x) o no. 
a) (2; –4) b) (0, 0) c) (–2,3) d) (0, –4) 
6°.- Calcular el valor de m para que la función W = Y7 + Y + 7�contenga en su gráfica al punto (1,9). 
7º.- Determinar los valores de k para que la ecuación 7� + Z7 + 9 � 0, tenga: 
a) Dos soluciones reales. 
b) Una única solución. 
c) Carezca de soluciones reales. 
8º.- Determinar el valor de m en la ecuación 67� −Y7 + 15 � 0, sabiendo que una de sus raíces es 3. 
9º.- ¿Cuál es el número que cumple la condición que el doble de su cuadrado menos 2, es igual al 
cuádruplo del número? 
10°.- Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45. 
11°.- Los físicos dicen que, si un cuerpo se deja caer libremente desde un punto por encima del suelo, el 
número de pies (d) recorrido será 16 veces el cuadrado del número (t) de segundos durante los cuales 
cae. Halle una fórmula que vincule d con t. Usando esa fórmula conteste:a) Si un joven deja caer una piedra desde un puente, y ésta tarda 2 segundos en llegar al agua. 
b) ¿A qué distancia sobre la superficie del agua está el joven? 
c) Si un objeto se deja caer desde un globo aerostático que está a una altura de 400 metros 
¿Cuánto tardará el objeto en tocar el suelo? 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 11� 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS 
TEOREMA DEL RESTO – REGLA DE RUFFINI 
1º.- Dadas las siguientes expresiones 
�)	5/7) � 47� − "[U	7 �)	</U) � 	 � U + 4U� + 3 U, ")	=/S) � S*4 + 5S − 2 &)	>/7) � −37 + 27 + 4�4 0)	A/ℎ) = ℎ$ + ℎ� − 3ℎ$� B)	C/Q) = Q − Q3 − � 
Para cada una de ellas: 
Identificar las que sean polinómicas. Las que no sean, justificar por qué no lo son. 
Para los polinomios. 
i) Identificar la variable de la cual depende. 
ii) Indicar el grado. 
iii) De ser necesario, completarlos y ordenarlos en forma decreciente. 
2º.- Para cada uno de los siguientes enunciados 
a) El área de un prisma recto, cuya base es cuadrada de longitud “c”, y de altura “h”. 
b) La altura que alcanza un objeto lanzado verticalmente hacia arriba en un tiempo “t”, con una 
velocidad inicial v0 y una aceleración “a". 
c) La fuerza con la que dos cuerpos se atraen, siendo m1 y m2 las masas respectivas y “d” la distancia 
a la que se encuentran. 
d) El perímetro y el área de un rectángulo de base “b” y altura “h”. 
i) Escribir la expresión algebraica correspondiente y decidir cuáles son polinomios y cuáles no. 
ii) Para los que no sean polinomios, decir por qué no lo son. 
3º.- Escribir un 
a) Monomio de grado 5 y coeficiente –6. 
b) Binomio de grado 3 y coeficiente principal 3. 
c) Un trinomio de grado 2. 
d) Un cuatrinomio de grado 5 ordenado crecientemente. 
e) Un polinomio de 5 términos y grado 8 ordenado decrecientemente. 
4°.- Sea el polinomio 	\/7) = 57 − 47� + 67 − 11. 
a) Escribir este polinomio de tal manera que sus tres últimos términos queden dentro de un 
paréntesis precedido del signo (-). 
b) Escribir el polinomio dado de tal manera que sus dos términos centrales queden dentro de un 
paréntesis precedido del signo (+). 
c) Evaluar el polinomio dado y los obtenidos en los puntos a) y b) en x= -2. 
d) ¿Cómo son los resultados obtenidos en el punto c)? 
5°.- Encontrar a, b, y c de modo que/7� − 27 + 3)/�7� + �7 + ") = 27( + 7 − 37� + 137 + 3		 
6º.- Dados los polinomios 
 \�/7) = 67( + 27 + 27� + 5, 																				\�/7) = 37( − 127 + 7 − 10,												\ /7) = 57� + 1 											Calcular 
�)	\� − \� + \ �)	\�. \� + \ ") ]*$]4]� &)	\�: \ 0)	\� . /\� + \ ) B)	/\� + \�): \ D)/3	\� − 2\�): \ ℎ)	/\ − \�)�. \ 
7º.- Hallar el polinomio P(x) tal que: 
a) – 3x2 + 4x5 – 2 [ P(x) – x2] + 6x4 – 2x3 = 0 
b) 2x5 + 9x4 – 22x2 + 12 – P(x) ( x – 4 + 2x2) = 3x. 
c) 6x6 + 8x5 + x3 + 30x2 = (3x2 + 4x) (2x4 + 8) + P(x) 
8°.-Hallar m y n para que \/7) = 7( − 37 +Y7 + ^ sea divisible por7� − 27 − 3 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 12� 
9°.-¿Cuál es el polinomio que dividido por/7 − 2)tiene cociente 27 + 77� + 67 − 2y resto 3? 
10º.- Un campo rectangular cuyo perímetro es \/7) = 67 + 187� − 24 ha sido alambrado con tres 
vueltas de alambre de púas. Hallar la longitud de uno de sus lados si el otro vale 127� − 5. 
11º.- Aplicar el teorema del resto para decidir si Q(x) es divisor de P(x). 
a)\/7) = 7 − 8 _/7) = 7 + 2 
b)\/7) = 7 − 27� + 7 − 2 _/7) = 7 − 2 
c)\/7) = 27� + 167 − 73 + 10 _/7) = 7 − 3 
d)\/7) = 6 − 57 + 7� _/7) = 7 + 3 
12º.- Utilizando la regla de Ruffini, encuentre el cociente y el resto de cada una de las siguientes 
divisiones: 
�) `Na$�N�% N$3b/N$�), �)	/57� − 27 − 37 + 2)//7 + 1) 													")	\/7) = /7 + 37� − 87 − 4)//−2 + 7) 
13º.- Encontrar “k” para que al dividir 7( − 57 + Z													por 7 + 3 dé como resto –3. 
14°.- Hallar “m” para que las siguientes divisiones sean exactas �)	/57� −Y7 + 3): /7 − 5) �)	/9 + 7� −Y7): /7 + 4) 
15º.- Hallar “k” para que se cumpla que: �)	/7 + Z7� + Z7 + 4): �7 − ���											sea un cociente exacto �)	/Z7( − 7 + Z7� − 7 + 3): /7 − 1)													tenga como resto 5. 
16º.- Dado el polinomio\/7) = 7 − 37� − 7 + 3. Determinar si 1, 2, −1, � , W		3 son raíces de P(x). 
17°.- Determinar un polinomio que sea de: 
a) 3º grado, tenga como raíces a –2, 1, 5 y coeficiente principal 3. 
b) 4º grado, tenga como raíces los números –1, –2, 2, 5y P(0)= 6. 
c) 2º grado, tenga como raíces los números –3, 4 y coeficiente principal –3. 
18°.- Sabiendo que –3 es una raíz de \/7) = 47( + �7 + 37� − 2�7 − 2; calcular a. 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
1°.- Extraer factor común en las siguientes expresiones. 
�/	m	– 	p	)3	–	/	m	– 	p	)2	 +	 /	m	– 	p	)	 �)	�2 ��" &� − �e � "(&� 
") − 16W�Q + 12W Q� − 18W�Q( &) mmpmnm
2
1
2
5
2
7
2
3 2
−+− 
2º.- Extraer el factor común indicado para cada caso. 
a) 232
3
2
3
10
2
3
zzz +− factor común: z
3
2
 
b) 5346
3
2
32
3
1
hhhh −+− factor común: 2
3
1
h− 
c) 345
4
27
3
8
5
12
xxx +− factor común: 
3
5
− 
d) 10a10 – 12a8 + 2a6 factor común: – a4 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 13� 
3°.- Dados los siguientes polinomios. �)	7 − 27� − 7 + 2	 �)	37 + 67� − 57 − 10	 ")	47 	+ 	87� 	+ 	87	 + 	16	 &)	��& + �Y − �7�& −Y 7� 
0)	373	– 	127� 	+ 	97(	– 	37� 	+ 	127	– 	9		 B)	– 	27, 	+ 	127f	– 	1873 	+ 	27�	– 	127	 + 	18	 
i) Extraer factor común por grupos. 
ii) Para los casos a), b) y c) indicar las raíces R de dichos polinomios. 
4º.- Completar P(x) para que sea trinomio cuadrado perfecto y factorearlo. �)	\/7) = 473 	+	……… .+	7 		 	 �)	\/7) = 47(	– 	87 	+ 	………..		
")	\/7) = ⋯…… . – 	2 3 7� 	+ 3			 	 &)	\/7) = −67�W + W� +………..			
5°.- Determinar m para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos. �)	7( +Y −	7� �)	7� −Y + 25	 ")	167� − 8�7 + Y &)	Y + 7� + 0,25 
6°.- Factorear, de ser posible, los siguientes trinomios. 
�)	�( + �� + 2� �) �(2 7� − 27 + 49	 ") �(+ 7� + 7	 &)	i( + 9 − 6i� 0)	7� − 27 − 15 B)	7� + 67 + 9 
7°.- Factorear, de ser posible, los siguientes cuatrinomios. a)	8x3	–	60x2	+	150x	–	125		 	 	 c)	27	–	27x	+	9x2	–	x3		
b)	x3	–	9x2y	+	27xy	–	27y3		 	 	 d)	x3	–	64b9	–	12b3x2	+	48bx6		
8º.- Completar los siguientes cuatrinomios para que sean cubos perfectos: 
�) − 125 − 607� +………….. +………….. 
�)	4i� − i −……….. + ………… 
")	2167 − 27i +…………..–………….. 
&)	2407fW − 12572W +………… –…………. 
9º.- Factorear, de ser posible, las siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado. 
�)	7 − 64	 �)	7( − 16	 
")	7( + 81 &)	7� + 1	 
0)	27 + W B)	32i� + ��e�( 
10°.-Factorear las siguientes diferencias de cuadrados. 
�)	497� − 100	 �)	7� − 2	 
")	47� − ��2 &)	(7 + 1)� − 1 
0)	7, − 1 B)	�(7, − 81	 
11°.- Factorear de ser posible, los siguientes polinomios. 
�)	87 − 607� + 1507 − 125	 �)	73 − 7� + 7( − 7 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 14� 
")	67 − 247� + 247	 &)	27 − 127� + 247 − 16	 
0)	7 − 7� + 47 − 4	 B)	97� − 7 + 257� − ��2 
D) � 7f + � 7� − ��� 7� ℎ)	16�( − 81	 
V)	7( + 127� + 36	 p) − 27� + 162	 
12°.- Plantear y resolver los siguientes problemas: 
a) Si el largo de un rectángulo es el doble del ancho, exprese su perímetro y su área. 
b) Sea un terreno rectangular cuyo largo es 10 metros mayor que su ancho. Si el área del terreno 
es de 600m2, ¿Cuánto mide el largo de este terreno? 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
1º.- Calcular el Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de los siguientes polinomios: 
�)	\(7) = 2	7(			, _(7) = 7 + 2		, H(7) = 27� − 8	 �)	\(7) = 7�� − � 			W		_(7) = 7 − � 
 ")	\(7) = 7 − 1, _(7) = 27 + 2		W		H(7) = 37� − 3 &)	\(7) = 7�(7 − 2)	W_(7) = 7(7� − 4) 
2°.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas. 
=
+
−
zyxzyx
zyxzy
a
3332
2523
105
4010x
 ) =
+++
−
32
4
248
16
 )
aaa
a
c 
=
−
+−
qp
qpqp
b
4
1
8
1
4
1
 )
22
 ( ) ( ) =−−+ 2424 44p ) pd 
3º.- Resolver las siguientes sumas algebraicas. 
�)	 �N%�+ N − 4 = �)	-$qq + �--$q− -�%-4q-4q$q� = 
")	 ��-$ + ��-$ − �,-%��(-4$2 = &)	 �Na − �N%� − N%�e�N4$, = 
4º.- Resolver las siguientes multiplicaciones y/o divisiones. 
=
++
÷








−
−
⋅
−
−
t
tt
yx
tt
t
xy
a
42
2
82
3
510
 )
23
2
 
=
+
+
+
−
x-y
yx
x-y
yx
 b
1
1
 )
=





−÷
−
+−
qp
qp
qpqp
c
2
1
4
1
8
1
4
1
 )
22
 ( ) =
−+
−
⋅+⋅
+−
−
352
6
27
93
2
1
 )
2
3
2
xx
x
x
xx
x
d 
5º.-Resolver las siguientes operaciones combinadas. 
=
+
+
−
−
+
1
11
1
3
1
 )
2
yy
yy
y
 a �)	(67 + 12)	. r� NN$� − (NN4$( + �N$�� ∶ 2 − ,N%�t =	 
")	�*u	$	 *4u�	.		�u4$	�u4 �uv4u4vauwa	∙	auvy4u =	 &)	
�$zw{zv{�%zw{zv{ = 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 15� 
6º.- ¿Cuáles de las siguientes expresiones son iguales? 
�)	 -4$-	zzv* = �)	
-$�	
z4vzz
= ")	 zw*zz4v*zv* = 
&)	 zw*z`z4v*bv*zv* = 0)	
(-%�)-v*
z4v*zv*
= B)	 zw*zz4v*(zv*)v* = 
 
 
Ejercicios de práctica y autoevaluación para el 1° parcial 
1.- Responder Verdadero o Falso, NO justificar la respuesta. 
a) Si en una división de polinomios, el dividendo es de grado 6 y el divisor de grado 2, 
entonces el grado el cociente es de grado 4 
b) Todo número entero es real 
c) 1.000.000 escrito en notación científica es 1	. 103 
c) El dominio de la función 5 = {(1, �), (2, �), (3, ")} es {�, �, "} 
d) El punto (1, 3) pertenece a la recta de ecuación W = 27 + 1 
e) La expresión 7� + 37 − U0^	7 es polinómica 
 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Un ejemplo de número racional comprendido entre 0	W �� es……………………………………... 
b) Si 5 = F−2, 1)	W		< = (−1, 3] entonces 5 − < =………………………………………………. 
c) El ángulo } que forman las rectas W = −27 + 4		0		W = �� 7 − 5, es } =…………………………… 
d) Sea la función W = ~7� − 37		UV	7 < 0√7 + 2		UV	7 ≥ 0 entonces B(−3) =…….., B(0) =………….., B(7) =…………. 
e) La parábola de ecuación W = −9(7 − 8)� + �� tiene su vértice, �, en el punto: �(……, ………) 
f) Para que al dividir \(7) = 37 − 57� + Z7 + 2 en (7 + 1) se obtenga un resto −24, el valor de	Z es 
 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La mitad de ����feescrita como potencia, es 
5)	��(�fe <)	���� � =)	��(� � >)	����f� 
b) Si al septuplo de un número se lo disminuye en 5 unidades, resulta un número menor que 47, 
entonces el número debe ser menor que: 
 5)	42 <)	49 =) ��f >) ,�f 	 	
c)	Sea la función B(7) = 5(7 − 2)(7 + 3)(7 − 4) entonces el grafico de	B interseca al eje [7����� 
 A) Una vez B) 2 veces C) 3 veces D) 4 veces 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 16� 
d) La ecuación de la recta paralela a W = −37 + 5 y que pasa por el punto (3, 2) es 
 5)	W = 1 + � 7 <)	W = −7 + 37 =)	W = 11 − 37 >)	W = � 7 − 1 
e) La función que tiene como gráfico una parábola, es 
 5)	W = 27�(7 + 4) <)	W = 67(7 + 9) =)	W = 8 + √7 >)	W = 57 − 2 
f) El polinomio de coeficiente principal 3 y raices 7� = 1		W		7� = −2 es 
 5) − 3(7 − 1)(7 + 2) <)3(7 + 1)(7 + 2) =)	37� + 37 − 6 >)	37� − 37 + 6 
g) Si se simplifica 
�N4%3N
N4%N$3	 se obtiene 
 5)	�N%�N%� <)	 �NN$� =)	�N%3N$� 5)	�N%�N$� 
 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
a) Sean 		�, �	 ∈ H, no nulos se cumple que y 
 
 
b) La función W = (7 − 3)� − 25	tiene su vértice en es y una de sus raíces es 
 
c) Sea la función W = 1 − 7 su pendiente es y es una función 
 
 
5.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su 
diagonal mide 130 cm. 
b) Una cuerda de 16 metros de longitud se corta en dos trozos, siendo uno de ellos la 
 
� parte del 
otro. ¿Cuánto mide cada trozo? 
c) Escribir el número 20 como dos sumandos de manera que uno sea la cuarta parte del otro. 
d) Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la 
carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿Cuánto 
puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa camioneta? 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9: ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES 
1°.-Traducir del lenguaje común al algebraico las siguientes expresiones: 
a) Un número aumentado en cinco. 
b) El cuadrado de un número, disminuido en dos. 
c) El triplo de un número disminuido en cuatro. 
d) Dos números pares consecutivos. 
(� + �)� ≠ �� + ��		 C 
 (� + �)� = �� + �� D 
�� − �� = (� − �). (� + �) A 
�� − �� ≠ (� − �). (� + �) B 
 
(−3,25) A 
(3, - 25) B 
 
7 = 8 C 
X = 2 D 
−7 A 
- 1 B 
 
=�0"V0^S0 C 
decreciente D 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 17� 
e) El cuadrado de un número menos ese número. 
f) Un joven tiene actualmente 15 años. Represente su edad hace x años. 
g) Pedro tiene ahora 45 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de x años? 
2°.- Resolver y verificar las siguientes ecuaciones en R. 
�)	�$*w
*vu44( = 1 �)	�$NN − �NN$� = �%NN 
")	√7 + 2 − √27 + 2 + 1 = 0 &)	√57 + 12� = 12 − √57 + 12� 
0)	7( − 57� − 36 = 0 B)	7( − 297� + 100 = 0 
3º.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Juan y Pedro son mellizos. Julio tiene dos años más que ellos y la suma de las tres edades es 23 
¿Qué edad tiene Julio? 
b) La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números. 
c) Encontrar cinco números impares cuya suma igual a 5. 
d) A cierta velocidad se puede realizar un tramo de camino en tres horas ¿Cuántos kilómetros se 
recorrerán en total si para retornar en dos horas se debió incrementar la velocidad en 20km/h? 
4°.- Dados los siguientes sistemas: 



−=−
=+
35
53
 )
yx
yx
a 



=+
=+
633
2
 )
yx
yx
b 



=+−
−=−
624
12
 )
yx
xy
c 



=++−
=−
0622
3
 )
xy
xy
d 



=+
+=
xy
xy
e
6
2
 ) 






=
=−
yx
yx
f
3
5
1
9
4
 ) 
i) Resolverlos por el método gráfico. 
ii) Clasificarlos. 
iii) Resolverlos por algún método analítico. 
5°.-Dado el sistema~ 7 − 2W = Y−27 + 4W = 3 
a) Determinar “m” para que el sistema tenga infinitas soluciones. 
b) Determinar “m” para que el sistema no tenga solución. 
6°.-Dados los siguientes sistemas, resolverlos analíticamente: 
�)	�7 + 2W + 3i = 927 − W + i = 837 − i = −3 �)	�
−7 + 2W − i = 137 − 2W + 4i = 57 + 2W + 3i = 2 ")	�
7 + 2W + 3i = 0−7 + 3W + 2i = 027 + W − 2i = 0 
7°.-Dados los siguientes sistemas: 
�)	~W − 7 = 7� + 67W + 7 = −3 �)	~W = 27
� − 37 + 5W = 7� + 37 − 4 
i) Resolverlos analíticamente. 
ii) Verificar gráficamente las soluciones. 
6°.-Plantear y resolver los siguientes problemas: 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 18� 
a) Hallar la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que la altura es la mitad de la base y su 
superficie es 32 cm2. 
b) Un padre, para estimular a su hijo a que estudie matemática, promete darle $30 por cada ejercicio 
bien resuelto, pero, por cada uno que esté mal, el hijo le dará $20. Ya van por el ejercicio 26 y el 
muchacho recibe de su padre $380. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto bien y cuántosmal? 
c) Dos niños contaban animales en un corral donde había gallinas y conejos, uno de ellos contaba las 
cabezas y el otro las patas. El primero contó 21 y el segundo 54 ¿Cuántas gallinas y conejos habían? 
d) Si la suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es 1 y su producto –0,75 ¿Cuáles 
son las soluciones? 
e) El largo de una cancha es de 26 m y este valor excede en 2m el doble de su ancho. ¿Cuál es el 
ancho? ¿Qué superficie tiene esta cancha? 
f) La base mayor de un trapecio es el doble de la otra base y la altura del mismo es de 12,5cm 
¿Cuántos cm. tiene cada una de las bases si el área del trapecio es de 75 cm2? 
g) Un carpintero fabrica sillas, mesas y placares. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para 
pintarla y 12 para barnizarla. Se requieren 12 minutos para lijar una mesa, 8 para pintarla y 12 para 
barnizarla. Son necesarios 15 minutos para lijar un placar, 12 para pintarlo y 18 para barnizarlo. El 
centro de lijado está disponible 16 hs a la semana, el de pintura 11 hs a la semana y el de barnizado 
18 hs semanales ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que los 
centros de trabajo se utilicen a toda su capacidad? 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: MEDICIÓN DE ÁNGULOS 
1º.- Uso de la calculadora. 
a) Colocar la calculadora en modo DEG y calcular coseno de 45º. 
Colocar la calculadora en modo RAD y calcular coseno de 45. 
¿Por qué se han obtenido distintos valores? 
b) Colocar la calculadora en modo DEG y calcular arco seno de 0,5. 
Colocar la calculadora en modo RAD y calcular arco seno de 0,5. 
¿Por qué se han obtenido distintos valores? 
c) Colocar la calculadora en modo DEG y calcular tangente de 45º. 
Colocar la calculadora en modo RAD y calcular tangente de
�
( 
¿Por qué se ha obtenido el mismo resultado? 
2°.- Completar la siguiente tabla que establece la relación que existe entre los dos sistemas de medición 
de ángulos: sexagesimal y radial. 
Sistema 
Sexagesimal 1º 30º 90° º 210 270° 
Radial �/4 �/3 11�/12 � 2� 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 19� 
3°.- Dados los siguientes ángulos 108.000",				 � �,			120°,			2,098,				1,0559			W		300,01° 
a) Ordenarlos de menor a mayor en el sistema sexagesimal notación decimal y notación en grados, 
minutos y segundos. 
b) Ordenarlos de mayor a menor en el sistema radial. 
4º.- La suma de dos ángulos es 81º y su diferencia es 40º. ¿Cuál es el valor de cada uno de estos 
ángulos? 
5°.-¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º33’ a la quinta parte de 39º40’? 
6°.- Determinar la longitud de un arco de circunferencia con radio 3cm, sabiendo que está subtendido por 
un ángulo de :																�)	2,5	��&V�^0U,													�) �3 ,															")	65°										W																&)	60°	45� 
7°.- Si el minutero de un reloj mide 7cm: 
a) Calcular la distancia recorrida por el extremo del mismo desde las 12:10 hasta las 12:30. 
b) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que el minutero recorra 30cm? 
8°.- Indicar cuáles de los siguientes pares de ángulos son congruentes. 
�)	660°		W	 − 60°	 �)	70°		W		880° ")	85°		W		2485° 
&) � 			W		 �� �	 0) �3 			W		 �23 �	 B) f(�			W	 − �( 
9°.- Escribir la expresión general de todos los ángulos congruentes con: 
�)	60°	 �) − 18° ") �� &) − � �	 
10°.- En un triángulo el ángulo más grande es 60º mayor que el ángulo más pequeño y el ángulo 
restante 10º mayor que tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo. 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 11: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Dado el siguiente círculo trigonométrico (radio = 1) 
 
Sabemos que: 
U0^	�� = ��������]���� ,													como�\���� = � = 1	�^V&�&	&0	Y0&V&�,	 entonces U0^	�� = \������ 
"[U	�� = ]�������]���� ,														como�\���� = � = 1	�^V&�&	&0	Y0&V&�,	 entonces "[U	�� = ������� 
Los triángulos ��\���⊿ 		W		 ����⊿ son semejantes (por ser rectángulos y tener el mismo ángulo α) en 
consecuencia sus lados homólogos son proporcionales, es decir: ]������������� �	 ������������											pero					]������������� � SD	� entonces, SD	� � ������������ 		W		"[Y[	������ � � � 1	�^V&�&	&0	Y0&V&�,	 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 20� 
 entonces: SD	�� = ��	���� 
Considerando los triángulos �H_�⊿ 		W		 ��\���⊿ se puede determinar que "[SD	�� � H_	����� y "[U0"	�� � �_	����� 
Considerando los triángulos ����⊿ 		W		 ��\���⊿ se puede determinar que U0"	�� � ��	����� 
1°.- Teniendo en cuenta la circunferencia trigonométrica, completar la siguiente tabla con los signos que 
correspondan ( +ó – ). 
 I Cuad. II Cuad. III Cuad. IV Cuad. U0^	�� "[U	�� SD	�� "[SD	�� U0"	�� "[U0"	�� 
2°.- Calcular las razones trigonométricas para para el ángulo α: 
 
3º.- Dada la siguiente figura: 
 
a) En el triángulo rectángulo ABE calcular las seis razones trigonométricas para α̂ . 
b) En el triángulo rectángulo ACD calcular las seis razones trigonométricas para α̂ . 
c) Comparar los resultados obtenidos en a) y b). ¿Qué puede concluir? 
4°.- a) Dibujar un triángulo equilátero de 1cm de lado, trazar una altura y obtener los valores exactos de 
las seis funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º. 
b) Dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1cm y calcular los valores exactos de las seis 
funciones trigonométricas del ángulo de 45º. 
5º.-Dada la gráfica y = cos (x): 
a) Ubicar aproximadamente sobre π π
uur
 90°, , 270°, 2ox y sus respectivos opuestos. 
b) Determinar dominio e imagen de la función. 
c) Determinar la intersección con el eje de las ordenadas. 
d) Determinar todos los valores en donde la función intercepte al eje de las abscisas. 
e) ¿Cuál es el máximo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
f) ¿Cuál es el mínimo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 21� 
g) Nombrar dos intervalos donde la función sea positiva y dos donde sea negativa. 
h) Determinar cuánto valen, aproximadamente, cos 60° y cos 135°. (Haga uso de la gráfica) 
 
 
 
6°.- Dada la gráfica de y = tg(x) 
 
a)Ubicar aproximadamente sobre[7����� :		�� , �, ��,			2�	 y sus respectivos opuestos. 
b) Marcar las asíntotas verticales. 
c) Determinar dominio e imagen de la función. 
d) ¿Cuál es el periodo de la función? 
e) ¿Qué característica respecto al crecimiento o decrecimiento tiene la función? 
f) Determinar la intersección con el eje de las ordenadas. 
g) Determinar todos los valores en donde la función intercepte al eje de las abscisas. 
h) Indicar todos los ángulos para los cuales la función no existe. 
i) Indicar dos intervalos donde la función sea positiva y dos donde sea negativa. 
j) En el gráfico determinar aproximadamenteSD ��(� 		W		SD ���( � ¿Cómo resultó la tangente de estos dos 
ángulos? Verificar que estos dos ángulos difieren en π. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 22� 
k) En el gráfico determinar aproximadamente SD ��� � 		W		SD ��� � ¿Cómo resulta la tangente de estos 
dos ángulos? 
l) Determinar el ángulo �	 sabiendo que: V)	SD	�� = 6			W			� ∈ �	= y VV)	U0^	�� = −2			W			� ∈ ��	= 
7º.- Resolver usando la calculadora: 
�)	U0^		187°25� = �)	"[U		88° = ")	U0"	 ��� � = 
&)	SD �� 	= 0)"[U0"	 �(�	 =		 B)"[SD	0,78	 =	 
8°.- Resolver usando la calculadora: 
�)	��"U0^		0,9 = �)	��""[U		0,856 = ")	��"SD	 �−	� � = &)	��""[U2,53	 = 
9°.- Encontrar el valor de los siguientes ángulos: 
�)	U0^		� = 1,39 �)	"[U		� = 0,48 ")	U0"	� = 2,6 &)	SD	  = 0,65 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 12: PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS 
1°.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Hallar la superficie de un rectángulo cuya base es 17 m y la diagonal forma con ellaun ángulo de 
28º30’15’’. 
b) Un niño ha remontado un barrilete empleando un ovillo de hilo de 100 m. ¿A qué altura desde el 
suelo se encontrará el barrilete cuando el hilo, estando tenso, forme un ángulo de 45º con la 
horizontal del suelo? 
c) Calcular la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una 
altura de 2,85 m al formar con el plano de la base un ángulo de 58º 1’. 
d) Un poste de alumbrado público está sujeto al suelo por medio de un cable que sale de su parte 
superior y está atado a una estaca situada a 5m del pie del poste formado con la horizontal un ángulo 
de 60º. Calcule la longitud del cable y la altura del poste. 
e) Desde la terraza de un edificio situada a 25m de altura se observa un auto: 
i) Calcular la distancia del auto al pie del edificio, siendo el ángulo de depresión 23º15’. 
ii) Calcular el ángulo de depresión, si la distancia del auto al pie del edificio es de 40m. 
f) El palo central de una tienda de campaña de forma de cono circular tiene una elevación de 6m y 
su parte superior está sostenida por cuerdas de 12 m de largo amarradas a estacas clavadas en el 
suelo. ¿A qué distancia están las estacas del pie del mástil central? ¿Cuánto mide el ángulo de 
inclinación de los cables? 
g) El ángulo de elevación con el que un se ve un faro desde un barco, por primera vez, es de 40º. La 
segunda vez que se lo observa desde el barco, el ángulo de elevación es de 75º. Entre las dos vistas 
del faro la distancia recorrida por el barco es de 1.200 m. ¿A qué distancia del faro está el barco la 
segunda vez que lo observa? 
2°.- Se dice que un triángulo está resuelto cuando se conocen todos sus lados y todos sus ángulos. 
Resuelva los siguientes triángulos empleando los teoremas del seno y del coseno. 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 23� 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 13: RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 DE UN MISMO ÁNGULO 
Las siguientes son las relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo: 
	U0^�7 + cos� 7 � 1	 	SD	7 � £¤¥	N¦§¨N "[SD	7 � ©ª£	N¨«¬N 
"[SD	7 � �­®	N 	U0"	7 � �¦§¨N "[U0"	7 � �¨«¬N 
	"[U	7 � �±°­®4 	N%� 	U0^	7 � ­®	N±°­®4	N%� 
1°.- Completar con las expresiones que se obtienen a partir de la identidad fundamental trigonométrica. 
U0^�7 + cos� 7 � 1	 ⇒ 			 ²U0^�7� �U0^	7� �"[U�7� �cos 7� � 
2°.- Obtener las restantes funciones trigonométricas sabiendo que: 
a) C. 
5
4
ˆ IIIsen ∈−= αα d) . IV 
2
1
- ˆcotg C∈= αα 
b) . 
2
3
ˆcos CIV∈= αα e) . 
3
5
ˆ cosec CII∈= αα 
c) . 25,1ˆ CIVtg ∈−= αα f) . 47,1ˆsec CII∈−= αα 
3°.- Dadas las siguientes expresiones, indicar cuales son identidades tigonométricas y cuales no: 
 �)	U0^�	�	³ � 1 + cos� 	�	³ �)	"[SD		�	³ � U0^		�	³ . "[U	�	³ ")	U0^�	�	³ = �¨«¦4 	�	³ 
 &) sec 	�	³ = �£¤¥		�	³ 0)	U0^	�	³ = SD	�	³ . cos�	³ B)	1 − sec2 �	³ = SD2	�	³ 	 
4° .- Verificar las siguientes identidades trigonométricas: 
�)	tg2x	+1	=	sec2x. �)	 ­®4N	¨«¦N%� = sec 7 − 1 
")	(senx	+	cosx)2	+	(cosx	–	senx)2	=	2 &)	 tgx
x
senx
senx
x
.2
cos
1
1
cos
=
−
−
−
 
0) sec� 7	. cos 7 − SD	7	.		U0^	7 = �¨«¦ N	 B)	 cosecx.2cos1cos1 =+++ xsenxsenx x 
D) sec 7 −	 ¦§¨N	�%£¤¥	N	 = SD	7	 ℎ)	 tgxx −=+ secsenx1 cosx . 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 24� 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 14: RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES T. DE ÁNGULOS ESPECIALES 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA ALGEBRAICA DE DOS ÁNGULOS 
1°.- El siguiente cuadro resume las relaciones entre las funciones trigonométricas seno y coseno, de 
diferentes tipos de ángulos. 
Ángulos Relación 
Opuestos U0^	7 = 	−U0^	(– 7)		W		 cos 7 = cos(−7) 
Complementarios U0^	7 = 	"[U	 ��2 – 7� 		W		 cos 7 = U0^	 ��2 – 7� 
Suplementarios U0^	7 = 	U0^	(�– 7)		W	 cos 7 = −"[U	(�– 7) 
Que difieren en 
�
� U0^	7 = 	−"[U	 ��2 + 7� 		W		 cos 7 = U0^	 ��2 + 7� 
Que difieren en � U0^	7 = 	−U0^	(� + 7)		W	 cos 7 = −"[U	(� + 7) 
Deducir las demás relaciones entre las funciones trigonométricas de los ángulos dados en el cuadro. 
2°.- Sabiendo que el cos 60° = 0,5 . Calcular las funciones trigonométricas para un ángulo de 300°. 
3°.- Sabiendo que cos 45° = √�� . Calcular funciones trigonométricas para un ángulo de 315°. 
4°.- Sabiendo que SD	45° = 1. Calcular las funciones trigonométricas para un ángulo de 135°. 
5°.- Sabiendo que sen	60 ° = √ � . Calcular lasfunciones trigonométricas para un ángulo de 240°. 
6°.- Sabiendo que, cos α = – 0,871, determinar el valor de cos (π + α ), cos (–α ), cos (π – α) 
7°.- Suma algebraica de dos ángulos. 
a)Sabiendo que:cos(� − �) = cos �	. cos � + U0^	�	. U0^	�. Deducir "[U(� + �),teniendo en cuenta que 
(� + �) = F� − (−�)|.	 
b) Deducir U0^(� + �) teniendo en cuenta que el seno de un ángulo es igual al coseno de su 
complemento y la formula obtenida en el punto a). 
c) Deducir U0^(� − �) teniendo en cuenta la fórmula anterior y que (� − �) = F� + (−�)|. 
d) A partir de	"[U(� + �)y considerando � = �, deducir "[U(2�). 
e) A partir deU0^(� + �)y considerando � = �, deducir U0^(2�). 
8º.- Calcular el valor de la siguiente expresión: 
U0^	 ��2 + ��	. U0^	 ��2 − �� − U0^	(� + �). U0^	(� − �) = 
9º.- Demostrar la siguiente identidad. 
¸1 + U0^	(– �).		U0^	(� − �)sec �� + ¸1 − "[U(� − �)	. 		"[U(� + �)"[U0"	�� = U0^	� + "[U α 
 
 
 
 
 
 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 25� 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 15: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
1º.- Dadas las siguientes ecuaciones trigonométricas: 
�)	U0^	7 = �√� �) cos 7 = 23− 
")	"[SD	7 =
2
2
− &) sec 7 = �√ 
0)	1 − cos� 7 = �( B)	2	U0^�7 + "[U	7 = 1 D)	2	"[U�7 − 	"[U	7 + 2 = 0 ℎ)	U0^	7 + 2 = "[U0"	7	 
V)	U0^� − U0^	7 = cos� 7	 p)	(	tg	x	– 	1)	(	sen	x	– 	½	) 	= 	0	 
Z)	2 cos 7	.		U0^	7 + cos 7 = 0 »)	(	2cos	x	 + 	1)	(cosec	x	 + 	2	) 	= 	0 
Y)	4	U0^	7 cos 7 − 2	U0^	7 + 2 cos 7 − 1 = 0 ^)	U0^	7 = "[U 7	 
ñ)	SD�7 + 3 sec 7 = 	−3	 [) cos 7 − √3	U0^	7 = 1 
i)Hallar, cuando sea posible los valores de 7	 ∈ F0, 2�) que las verifiquen. 
ii) Verificar los valores encontrados. 
iii) Encontrar las expresiones para todas las soluciones reales (7	 ∈ 	�	) 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 16: VECTORES 
1°.- Dados los puntos A (–2, –3); B (1, 4) y C (–1, 3): 
a) Hallar					��� = 5=������,			R� = =<������,				½��� = <=������,			Q� = =5������,			¾� = 5<������ 
b) Representar en un mismo sistema de coordenadas cartesiana los vectores encontrados. 
2°.- Representar gráficamente los siguientes vectores y expresar su valor como la descomposición en los 
ejes coordenados (par ordenado de coordenadas). Calcular el módulo de cada uno de ellos. 
a) p��	= (3; 60º) b) f�	= (7; 152º) c) k��	= (9; 190º) d) g��	= (13; 330º) 
3°.- Hallar, si es posible, x e y de modo que se verifiquen las siguientes igualdades entre vectores: �)	(7, 7 − 1) = (2, W) �)	(7 − 2W, 7 + 2W) = (2, 3) 
4° Sean los vectores ���, R�, ½���, Q�		W		¾� del punto 1°, calcular: �)	��� + R� �)		½��� − ��� ")	2	R� + ½��� &) ��R� − ½��� 0) � Q� − 3	¾� + 2	½��� B) � ¾� + 2	Q� − ��� 
5°.- Sean �� = (−4, 2),				��� = 2V − 4p			W			"� = −V − 2p	 .Determinar 
a) Gráficamente: �� + ���,				�� + �� ���,				����� − ��� ,			− �� + ����,				�� + "	���. Verificar analíticamente. 
b) Analíticamente Á�� + ���Á,				|��| + Á���Á,				Á�� − ���Á,				|��| − Á���Á,				 M( �� + �� ���M 
c) Calcular �� ∙ ���,			�� ∙ "�,			��� ∙ "�,			��� ∙ ��,			"� ∙ ��� 
6°.- Dados los vectores �� = (−1, 3),				��� = 2V − 6p,			"� = 3V − p,				&� = −2V + 6p	 
a) Representarlos en un mismo sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 
b) Indicar que par de vectores son paralelos y cuáles perpendiculares. 
c) Verificar analíticamente el ítem anterior. 
d) ¿Qué vectores son paralelos y con el mismo sentido? Justificar. 
e) ¿Quévectores son paralelos y con distinto sentido? Justificar. 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 26� 
7°.- Encontrar un vector perpendicular a							Q� = V + 2p	 de longitud 10 [ ul ]. 
8°.- Encontrar ���					tal que: �)	�� = (1, 0),			} = 60°,				Á���Á = 2. Siendo } el ángulo entre los vectores ��		W		��� �)	�� = (1, −1),			} = 45°,				Á���Á = 2. Siendo } el ángulo entre los vectores ��		W		��� 
9°.- Dado el triángulo con vértices en los puntos A ( 2, 1 ); B (4,1) y C (1,5). Calcular su perímetro y 
área. 
10°.- Un pirata está buscando un tesoro, tiene un mapa con algunos datos para dar con la ubicación del 
cofre que lo contiene. 
Dicho mapa dice que la ubicación del cofre se encuentra dando 20 pasos al norte del viejo roble y luego 
treinta pasos al noroeste y desde allí, se debe caminar 12 pasos más al norte. 
¿Cuál es el vector que apunta de la base del viejo roble hasta el cofre? ¿Cuál es la longitud de este 
vector? 
 
 
Ejercicios de práctica y autoevaluación para el 2° parcial 
1.- Responder Verdadero o Falso, NO justificar la respuesta. 
a) Dos ángulos son congruentes cuando solamente difieren en un n° exacto de giros 
b) Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no tiene solución 
c) El seno es negativo en el segundo y cuarto cuadrante 
h) La tangente y cotangente de un ángulo siempre tienen el mismo signo 
i) En el primer y segundo cuadrante, la función seno es creciente 
j) Los vectores �	���� = 3V	 − 1p		W		R	���� = −2V	 − 6p son perpendiculares 
 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Al menos 5 soluciones que tiene el sistema ~ 7 + W = 22W = 4 − 27 son: ………………………………... 
b) Si en un triángulo dos de sus ángulos miden 
�� ��&		W	 � ��&, la medida en grados sexagesimales 
del tercer ángulo es…………………………………………………………………………………….. 
c) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm y el ángulo agudo de la base es �	³ , 
entonces U0^	�	³ =……………………………….. y cos �	³ =……………………………………………………… 
d) Los infinitos valores de 7 que satisfacen la ecuación SD �N%(�°� � = √3 son, 7 =……………….. 
e) Si U0"	�� = −2		W			�	³ ∈ ���	= entonces 	"[U	�	³ =………..……… y "[SD	�� =………..………. 
f) Si SD	2	�	³ = "[SD	10°, entonces el valor del ángulo 	�³ es, �� =………………………………………… 
g) Sabiendo que |	�	| = 3	W	�	���� = (2, Z) el valor de Z es, Z =…………………………………………. 
 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La solución del sistema de ecuaciones lineas ~7 + 2W = 547 − W = 2 es: 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 27� 
 5)	7 = −1		0		W = 3 <)	7 = 2		0		W = 6 =)	7 = 1		0		W = 2 >)	7 = −1		0		W = −3 
b) La suma de dos ángulos es 0,22	��& y su diferencia 0,16	��&. La medida del ángulo mayor es: 
 5)	9°	42′ <)	8°	12′ =)	9°	15′ >)	10°	42′ 
c) En 5<=�à , 5	Ä = (37)°, <	Ä = (97)°		W		=	Ä = (67)°, entonces el valor de =	Ä es: 
 5) � 	��& <) �( 	��& =) �� 	��& >) �f 	��& 
d) Las medidas de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 cm, entonces se trata de un triángulo: 
 A) Obtusángulo B) Acutángulo C) Isosceles D) Rectángulo 
e) La función B(7) = SD	7 inteca al eje de las ordenadas en 
 5)	(1, 0) <)	(0, 1) =)	(0, 0) >)	Z	�			"[^	Z ∈ Å 
f) Si el seno y coseno de dos ángulos tienen el mismo valor absoluto pero signos contrarios, los 
ángulos: 
 A) Son complementarios B) Son suplementarios 
 C) Son opuestos D) Difieren en 180° 
g) Sean los vectores �	���� = 9V + 3p	W		R	���� = −5V + 4p entonces las coordenadas de 2�	���� + 3R	���� son: 
 5)	3V + 18p <) − 	3V + 18p =)	3V − 18p >) − 3V − 18p 
 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
a) Las rectas representadas por x + 2y = 1 ; 2x + 4y = 2 son 
 
 y forman un sistema 
 
b) Sea la función B(7) = cos 7	en el intervalo (90°, 180°), f(x) es y el menor valor 
que toma es 
 
c) Sean los puntos A(1,5) y B(5,8). El vector 5<	�������	es y su módulo es 
 
5.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) En una clase hay en total 40 alumnos. En un examen de Matemáticas resulta que el triple de 
aprobados es mayor o igual que el doble de desaprobados. ¿Cuál es el menor número de 
aprobados posible? 
b) Un patrullero vigila una ruta yendo a 40 km/h. Luego es relevado por otro que vigila otro tramo de la 
ruta a 55 km/h. Si el tramo de la ruta vigilada es de 210 km y se emplearon en vigilarla cuatro hs y 
media en total ¿cuántas horas anduvo cada patrullero? 
c) ¿Cuántos arcos de alambre de 8 dm de longitud deben unirse para cercar las 
8
5
 partes de una 
rotonda circular de 2.400 m de diámetro?. 
d) Si se sabe que: sen α = 1/3, determinar el valor de sen ( π + α ), sen (– α ), sen ( π – α 
"[^	U[»�"Vó^		 C 
sin U[»�"Vó^ D 
Q���»0»�U A 
"[V^"V&0^S0U B 
 
0 C 
-1 D 
Q[UVSVR� A 
negativa B 
 
(4,3) A 
(-4, -3) B 
 
 5	F�»| C 
−	5	F�»| D 
Facultad de Ingeniería – Trayecto de Formación Complementaria – 2022 – 1° Cuatrimestre 
� Pág. 28� 
e) Con los datos de la figura. ¿Cuál es el área del rectángulo y la amplitud de α̂ ?.