2022 INGRESO - Cartilla Practica UE

Vista previa del material en texto

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNJU. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
A
R
T
I
L
L
A
 
D
E
 
T
R
A
B
A
JO
S
 
P
R
Á
C
T
I
C
O
S
 
C
U
R
S
O
 
D
E
 
N
I
V
E
L
A
C
I
Ó
N
 
2
0
2
2
 
EL BAMBÚ JAPONÉS 
Hay algo muy interesante que sucede con el bambú japonés. Cuando un 
cultivador planta una semilla de este árbol, no crece inmediatamente por más 
que se riegue y se abone regularmente. De hecho, el bambú japonés no sale 
a la superficie durante los primeros siete años. Alguien inexperto pensaría que 
la semilla es infértil, pero sorprendentemente, luego de transcurrido este 
tiempo el bambú crece más de treinta metros en solamente seis semanas. 
¿Cuánto podríamos decir que tardó realmente en crecer el bambú? ¿Seis 
semanas? ¿Siete años? Sería más correcto decir que tardó siete años y seis 
semanas. ¿Por qué? Porque durante los primeros siete años el bambú se 
dedica a desarrollar y fortalecer las raíces, las cuales van a ser las que luego 
de estos siete años pueda crecer tanto en solamente seis semanas. Además, 
si en algún punto en esos primeros siete años dejamos de regarlo o cuidarlo, 
el bambú muere. 
Recuerda; no debemos desistir fácilmente de nuestros proyectos o metas. Si 
no consigues lo que aspiras, no desesperes… quizá sólo estés echando 
raíces. 
En esta nueva etapa te acompañaremos 
con todo nuestro asesoramiento y clases de 
apoyo para que puedas superar este 
INGRESO 2022. Les deseamos el mayor de 
los exitos en este comienzo de CARRERA!!!
 
Unidad Estudiantil FI
CLASES DE 
APOYO, 
CONSULTAS Y MÁS
Usuario
Rectángulo
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.2  
CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 
¿En donde se lleva a cabo el Curso de Nivelación (CN)? 
El C N se desarrolla en la Facultad de Ingeniería cita en Ítalo Palanca N° 10, para la sede San 
Salvador, y en las respectivas extensiones áulicas. 
¿Cuál es el periodo de tiempo en el que se dicta el Curso de Nivelación (CN)? 
Cuatro semanas. Las clases inician el lunes 07de Febrero y se desarrollan hasta el viernes 04 de 
Marzo del 2022. 
¿Es obligatorio realizar el C N? 
Sí, todo aspirante a cursar cualquier carrera de pregrado o grado que se dicta en la Facultad de 
Ingeniería debe realizar el C N, debiendo cumplir –para ser considerado alumno de la Facultad– 
como mínimo con el 70% de asistencia al mismo. Esto equivale a decir que el aspirante no podrá 
tener más de 5 inasistencias. 
¿A qué comisión pertenezco? 
La distribución por la letra inicial del apellido del aspirante para la sede San Salvador, se encuentra 
en la página web de la facultad de ingeniería: https://www.fi.unju.edu.ar 
¿Qué hago si no terminé de entender un tema o hay algún ejercicio de la guía que no entiendo? 
Se puede asistir a las clases de consultas (virtuales) que dictarán los profesores del CN. Se debe 
buscar en el aula virtual (https://virtual.unju.edu.ar/) los horarios de estas clases y elegir a la que, 
según la disponibilidad horaria, resulte más conveniente. 
¿Qué es el módulo Autogestión? 
Este módulo pretende capacitar a los aspirantes en los trámites de autogestión desde el momento 
que decidió ser parte de la comunidad educativa de la Facultad de Ingeniería. Esta propuesta 
pretende ser una instancia superadora a las dificultades que aparecen a diario al momento de realizar 
la inscripción a la carrera, a las asignaturas de primer año, entre otras tantas gestiones. 
¿Cómo se evalúa el C N? 
En dos instancias para el Módulo de Matemática. La primera fecha de evaluación será el día Sábado 
5 de marzo, mientras que la segunda fecha será el día Viernes 11 de marzo. Son requisitos 
imprescindibles tener Documento Nacional de Identidad y haber cumplido con el 70% de asistencia 
para poder rendir en cualquiera de las dos fechas. La evaluación del Módulo Autogestión, se realizará 
durante el dictado del CN. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.3  
¿Con cuánto se aprueba el C N? 
El módulo Matemática emplea una escala de 1 a 100 puntos, considerándose aprobadas las 
evaluaciones que obtengan 50 (cincuenta) puntos o más. La evaluación del Módulo Autogestión 
emplea la escala: aprobado y desaprobado. 
¿Se aprueba el curso en cualquiera de las oportunidades que brindan los respectivos módulos? 
Si, en cualquiera de las oportunidades brindadas. Se debe tener en cuenta que, en primer lugar, la 
inasistencia a la primera oportunidad no implica la pérdida de la segunda para poder realizar la 
evaluación. En segundo lugar hay que considerar que el CN queda aprobado al aprobar ambos 
módulos. 
¿Qué se debe hacer luego de aprobar el C N? 
Luego de aprobar el curso, el aspirante está en condiciones –si cumple con todos los requisitos 
exigidos por la Facultad– para ser ingresante. Esto significa que puede cursar las materias del primer 
año de la carrera elegida. 
¿Qué se debe hacer si no se aprueba el C N? 
El aspirante que no apruebe el C N pero que cumpla con el requisito de asistencia para el módulo de 
matemática, también está en condiciones de ser ingresante pero en este caso la Facultad le brinda la 
oportunidad de cursar en un cuatrimestre el Trayecto de Formación Complementaria y luego de 
aprobado este, cursar las materias del primer año de la carrera elegida. 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.4  
Contenidos: 
Unidad 1: Conjuntos: Operaciones entre conjuntos. Conjunto de números. Representación en la 
recta real. Operaciones con números reales y sus propiedades. Intervalos de números reales: 
representación en la recta real y operaciones. Inecuaciones. Notación científica. 
Unidad 2: Funciones: Función Lineal, pendiente, ordenada al origen. Distintas formas de 
expresarla, dominio e imagen. Paralelismo, perpendicularidad y representación gráfica. Función 
cuadrática: distintas formas de expresarla, dominio, imagen y representación gráfica: vértice, eje de 
simetría, concavidad, puntos simétricos y raíces. 
Unidad 3: Expresiones algebraicas: grado, valor numérico, raíces reales, orden. Operaciones con 
expresiones algebraicas enteras: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación. Teorema 
del Resto. Regla de Ruffini. Factoreo de expresiones algebraicas: factor común, factor común en grupos 
de igual número de términos, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, suma o diferencia 
de dos potencias de igual grado. Simplificación. 
Unidad 4: Ecuaciones algebraicas: Planteo, resolución y verificación. Sistema de dos ecuaciones 
lineales con dos incógnitas: clasificación, resolución y representación gráfica. Métodos de resolución: 
gráfico, determinantes, igualación, sustitución. 
Unidad N° 5: Trigonometría: Ángulos, sistema de medición sexagesimal y radial. Funciones 
trigonométricas: definición, cálculo y resolución de triángulos rectángulos. Relaciones entre las funciones 
trigonométricas de un mismo ángulo. Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. 
Unidad 6: Vectores: definición y representación gráfica. Módulo de un vector. Operaciones: 
multiplicación por un escalar. Suma: método analítico y gráfico. Paralelismo y perpendicularidad de 
vectores. Producto escalar de vectores. 
Trabajos Prácticos: 
1.- “Conjunto de Números Reales – Operaciones – Propiedades” 
2.- “Intervalo – Inecuaciones – Notación científica” 
3.- “Funciones – Funciones elementales” 
4.- “Expresiones Algebraicas – Valor numérico – Operaciones” 
5.- “Factoreo de Expresiones Algebraicas – Expresiones Algebraicas Racionales” 
6.- “Sistemas de Ecuaciones Lineales” 
7.- “Medición de ángulos” 
8.- “Funciones Trigonométricas. – Triángulos rectángulos” 
9.- “Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo” 
10.- “Ecuaciones trigonométricas” 
11.- “Vectores – Operaciones” 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.5  
TRABAJO PRÁCTICONº 1: “CONJUNTO DE NOS REALES. OPERACIONES. PROPIEDADES” 
1º.- Realizar el diagrama de Venn de los campos numéricos y ubicar las siguientes expresiones en el 
campo correspondiente. 
 −
12
4
, 1, 5̂, 0, 13̂, (−3)3, (−
2
3
)
−2
, √32
5
, −√23, −√−16
4
, √36, 𝜋, 𝑒. 
2º.- Calificar como Verdadero o Falso. Justificar la respuesta. 
a) 
6
2
− es un nº entero b) 5 2− + es un nº racional c) 
81
9
− es un nº entero 
d) 0, 007− es un nº irracional e) 3 27− es un nº irracional f) 1− es un nº real 
3º.- Dadas las siguientes expresiones 
4
5
, −
6
7
, 1, 5̂, −0,14̂, −√2, √2 
a) Ordenarlas de mayor a menor. 
b) Representarlas en la recta numérica. 
4º.- Sean los números reales no nulos 𝑎 𝑦 𝑏 . Indicar si lo que se afirma es Verdadero o Falso. Justificar 
con la propiedad correspondiente. 
a) 
3 3
2 2
+ = +a a b) 2 3 4 20+  = c) ( ) ( )7 5 2 =  + a a a 
d) ( ) ( )2 3 5 2 3 2 5  =  +  e) 
5 3 5
2 3 2
+
=
+
 f) ( ) ( )2 5 5 2 5− − = − +b b 
g) 2 3 4 14+  = h) ( )
1 1
3 2 5
5 5
b b+ + −  + = + 
i) 
7 5 7 5
2 2 2
+
= + j) 
2 2 2
7 5 7 5
= +
+
 
5°.- Calificar como Verdadero o Falso. Justificar la respuesta. 
 𝑎) 2 + 3.4 = 20 𝑏) 2.3.5 = 2.3 + 2.5 𝑐) 14 + 2.3 = 20 
 𝑑) 
5+3
2+3
=
5
2
 𝑒) 
7+5
2
=
7
2
+
5
2
 𝑓)
2
7+5
=
2
7
+
2
5
 
 𝑔) (23)2 = 23
2
 ℎ) √323 = (√32)
3
 
6º.- Calcular llevando a su mínima expresión. 
 𝑎) 
(
1
2
)
3
2 2−1
2
−
2
3 (
1
2
)
−
2
3
= 𝑏) 
√𝑏[(𝑎+𝑏)
1
2 (𝑎+𝑏)
3
2]
1
2
𝑎
−
3
2 𝑎
−
1
2 𝑏
−
1
2 𝑏 
= 𝑐) [
𝑥
−
1
3 (
𝑥
2
)
−
1
2
𝑥
2
3 (2𝑥)
−
3
2
]
−
1
2
= 
 𝑑) 
1
1−√3
−
1
√3+1
= 𝑒)√
√2−1
√2+1
= 𝑓) (√5 − 1)
2
− (
1−√5
4−1
) + √5(2 + √5) = 
 𝑔) √34
5
 𝑎−
1
 3 √3
5
+
8
√𝑎
3 − 6(𝑎
−2)
1
3 √𝑎
3
= ℎ) √𝑥3√
𝑥2
𝑦
= 
7º.- Expresar los siguientes enunciados de manera simbólica. 
a) La suma de un número más el doble de su cuadrado es cero. 
b) El producto de la suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. 
c) La diferencia del cubo de un número menos su cuádruplo es igual a 1. 
d) “La suma de dos números pares consecutivos es igual a 10”. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.6  
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 1 
1.- Responder Verdadero o Falso, NO justificar la respuesta. 
a) 𝜋 + 8 es un número racional 
b) Todo número entero es real 
c) Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑛 son números reales no nulos, (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 
d) Si 𝑎 es un número real no nulo, 𝑎
1
2 . 𝑎
1
2 = 𝑎 
e) 
2
5
>
2
3
 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Un ejemplo de número racional comprendido entre 0 𝑦
1
2
 es………………………………………………... 
b) Un ejemplo de número irracional mayor que 𝑒, es…………………………………………………………… 
c) La siguiente expresión tiene por resultado 
√𝑥 . √𝑥2
3
𝑥
1
6
=…………………………………………………………. 
d) El resultado de la expresión (−2𝑎)(−4𝑎2𝑏2)2 es.……………………………………………………………. 
e) El resultado de la expresión 
√𝑎
2
√𝑎3
 expresado como potencia es……………………………………………... 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La mitad de (
1
2
)
70
escrita como potencia, es 
 𝐴) (
1
4
)
70
 𝐵) (
1
2
)
35
 𝐶) (
1
4
)
35
 𝐷) (
1
2
)
71
 
b) El resultado de (𝑎 + 2)2 − (𝑎 − 2)2 es 
 𝐴) 8 𝐵) − 8𝑎 𝐶) 8𝑎 𝐷) 2𝑎2 + 4 
c) El producto (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) tiene por resultado 
 𝐴) 𝑎2 + 𝑏2 𝐵) 𝑎2 − 𝑏2 𝐶) (𝑎 − 𝑏)2 𝐷) (𝑎 + 𝑏)2 
d) La expresión (√√𝑎
3
)
−6
 escrita como potencia, es 
 𝐴) 𝑎−1 𝐵) 𝑎−
1
6 𝐶) 𝑎−6 𝐷) 𝑎
1
6 
e) Cuando 𝑎 = −2, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = 4 el valor de la expresión 
𝑎2−𝑏
𝑐2−𝑏2
 es 
 𝐴)
1
3
 𝐵) 1 𝐶)
1
13
 𝐷)
1
7
 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
 Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, no nulos se cumple que y 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏)2 ≠ 𝑎2 + 𝑏2 C 
 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 D 
 
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) A 
𝑎2 − 𝑏2 ≠ (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) B 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.7  
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: “INTERVALO – INECUACIONES – NOTACIÓN CIENTÍFICA” 
1º.- Realizar las operaciones indicadas entre los conjuntos numéricos. 
a) ℕ  ℝ b)
 
ℕ  ℚ c) ℤ  𝕀 d) 𝕀  ℝ 
e) ℕ  ℝ f) ℤ  ℚ g) ℚ  𝕀 h) 𝕀  ℝ 
2º.- Dados los siguientes conjuntos, cuando sea posible, expresarlos como intervalos. 
a)  10 1A x x R x=   −   − b)  5 12B x x Z x=   −   
c)  3, 2, 1, 0, 1, 2, 3C = − − − d)
1 1 1 1 1
1, , , , , 
2 3 5 6 7
D
 
=  
  
 
e)  1; 2; 3; 4; 5E = − − − − − f) 
5 7
2 3
F x x R x
 
=   −   
 
 
g)  5 2G x x R x=   −   h) 
5 7
2 3
H x x R x
 
=   −   
 
 
3º.- Dados los siguientes conjuntos, resolver gráficamente las operaciones indicadas; expresar el 
resultado en notación de intervalo y notación conjuntista. 
𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ −3 ≤ 𝑥 < 1} 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥 ≤ 4} 𝐶 = [−3, 7) 𝑦 𝐷 = (0,∞) 
𝑎) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑏) 𝐴 ∩ 𝐶 𝑐) 𝐴 ∩ 𝐷 
 𝑑) 𝐴 ∪ 𝐵 𝑒) 𝐴 ∪ 𝐶 𝑓) 𝐴 ∪ (𝐶 ∩ 𝐵) 
 𝑔) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ℎ)( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐷) 𝑖) (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) 
4º.- Expresar como intervalo el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: 
 𝑎) 𝑥 + 4 <
1
2
(2𝑥 + 8) 𝑏) 𝑥 + 4 ≥
1
2
(2𝑥 + 8) 𝑐)
1
2
(2𝑥 − 4) < 2𝑥 − 4 
 𝑑) 2𝑥2 − 18 > 0 𝑒) 3𝑥2 + 5𝑥 ≥ 0 𝑓) 𝑥2 + 𝑥 − 2 > 0 
 𝑔) |𝑥 − 6| ≤ 4 ℎ) |3 + 𝑥| > 2 𝑖) |– 𝑥 + 5| < 10 
 𝑗) |1 − 𝑥| > 2 𝑘) |
4𝑥+5
3
| <
1
6
 𝑙) |
3𝑥+1
4
| ≥ 1 
5°.- Expresar en notación científica y operar. 
 𝑎) 
26.000.000.000∶ 2.400.000.000
205.000 . 120.000.000
 𝑏) 
0,000009∶ 27.000.000
2410 . 3.600.000.000
 𝑐) 
2,8 ∶ 18.800
0,00001∶ 0,000000002
 
6°.- El número 45.270.000 escrito en notación científica es…………………………………………………… 
7°.- Si 𝑚 = 5 . 10−2 , el valor de la expresión 
52𝑚−3− 5 𝑚−2
2 .103
 es…………………………………………………. 
8º.- Plantear y resolver los siguientes problemas: 
a) La tercera parte de la raíz cuadrada de un número, disminuido en una unidad da por resultado -
1/6.¿Cuál es el número? 
b) Una jarra cilíndrica tiene n cm.de diámetro de la base (con n  3) y 25 cm. de altura ¿Cuál es el 
intervalo en el que está comprendido el volumen? 
c) Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en 
una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una? 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.8  
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 2 
1.- Responder Verdadero o Falso, NO justificar la respuesta. 
a) Si 𝐴 = [3, 5) 𝑦 𝐵 = (−2, 4] entonces 𝐴 ∪ 𝐵 = [−2, 4] 
b) Si 𝐴 = [3, 5) 𝑦 𝐵 = (−2, 4] entonces 𝐴 ∩ 𝐵 = [3, 4) 
c) Los números 4 𝑦 
11
2
 comprueban la desigualdad 2𝑥 − 5 > 3 
d) El intervalo solución de | 2𝑥 − 5| < 3 es (1, 4) 
e) 1.000.000 escrito en notación científica es 1 . 106 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) El resultado, escrito en notación científica, de 
1.200.000 . 0,0000004
2 .10−2
 es……………………………………… 
b) El intervalo solución de |
1
2
𝑥 + 5| > 6 es………………………………………………………………………. 
c) Un número irracional que comprueba la desigualdad 2𝑥 − 6 < 2 es………………………………………. 
d) Si 𝐴 = [−2, 1) 𝑦 𝐵 = (−1, 3] entonces 𝐴 − 𝐵 =………………………………………………………………. 
e) 𝐴 = [−2, 1) 𝑦 𝐵 = (−1, 3] entonces 𝐵 − 𝐴 =………………………………………………………………….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) El resultado, expresado en notación científica, de la operación 1, 2 107: 5 109 es: 
 𝐴) 24 10−2 𝐵) 24 10−3 𝐶) 2,4 103 𝐷) 2,4 10−3 
b)Cincuenta y dos milésimos, expresados en notación cietífica, es 
 𝐴) 52 10−2 𝐵) 5,2 102 𝐶) 5,2 10−2 𝐷) 5,2 10−3 
c) La notación conjuntista del intervalo [−2, 3) es 
 𝐴) {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅 ∧ −2 ≤ 𝑥 ≤ 3} 𝐵) {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅 ∧ −2 < 𝑥 < 3} 
 𝐶) {𝑥/𝑥 ∈ 𝑁 ∧ −2 ≤ 𝑥 < 3} 𝐷) {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅 ∧ −2 ≤ 𝑥 < 3} 
d) La expresión | 𝑥 | < 2 indica todos los números reales que se encuentran en la recta numérica, a: 
 A) Menos de 2 unidades del cero B) Más de 2 unidades del cero 
 C) 2 unidades del cero D) Por lo menos 2 unidades del cero. 
e) Si al septuplo de un número se lo disminuye en 5 unidades, resulta un número menor que 47, 
entonces el número debe ser menor que: 
 𝐴) 42 𝐵) 49 𝐶)
52
7
 𝐷)
82
7
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: “FUNCIONES – FUNCIONES ELEMENTALES” 
1º.- Indicar cuáles de los siguientes gráficos, diagramas, tablas y/o fórmulas corresponden a una función. 
En caso afirmativo indicar dominio e imagen. 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.9  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) t (hs) T(°C) g) T P($) 
h) 𝑓(𝑡) = −6𝑡 + 8 
 0 15 XS 100 
 2 19 X 100 
 i) 𝑓(𝑝) = −2𝑝2 + 3𝑝 − 2 
 4 23 M 100 
 6 25 L 200 
 j) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 2𝑥 − 5 
 8 23 XL 200 
 
2°.- Dado el gráfico, que muestra la distancia al punto de partida de un móvil a través del tiempo, 
responder si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta. 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.10  
 
a) En las 3 primeras horas la distancia recorrida es de 30 km. 
b) Si 5 ≤ t ≤ 7 el móvil está detenido. 
c) El punto ( 6, 60 ) pertenece a la gráfica de la función. 
d) El punto ( 6, 50 ) pertenece a la gráfica de la función. 
e) El punto ( 4, 30 ) que pertenece a la gráfica, indica que a 4 hs de haber partido, la distancia 
recorrida es de 30 km. 
f) A las 14 hs de haber partido, recorrió 70 km. 
g) La distancia total recorrida es de 100 km. 
h) De las 15 hs que tardó en recorrer los 100 km, solo estuvo en movimiento 9 hs. 
3º.- Dadas las siguientes funciones por sus fórmulas, determinar el dominio. 
2) ( ) 2 2 5a f x x x= − + − 
2
2
1
) f (t) =
6 8
t
b
t t
+
− − −
 
1
) f (x) = 7
3
c
x
−
− − 
 
3
) f (h) = 9
5
d h − 
3 2e) f (x) = 3 1x x− − 4
1
) p(v)= 3 2
( 2)( 5)
f v
v v
− −
+ −
 
4º- Dadas las funciones cuyas fórmulas se indican. 
a) f (t)= –3t2 + 5t – 10 determinar de ser posible f(0), f(2), ( 2), f(1+ 2)f , f(–t), f(t+5). 
b) 
2
3
1 si x 0
1
 f(x) si 0<x<1 
4
1 si x>1 
x
x
x
 + 



+
 −
 Calcular de ser posible f(– 9), f(0,75), f(1), f(4), f(|h|+2). 
5°.- Indicar cuál de las siguientes expresiones corresponden a una función lineal, en caso afirmativo 
indicar pendiente, ordenada al origen y representarlas gráficamente. 
 𝑎) 𝑦 + 2 = 3𝑥 𝑏) − 3𝑥 + 𝑦 = 0 𝑐) 
1
𝑥
+ 3 = 𝑦 𝑑) 𝑥2 + 2 = 𝑦 
6º.- Dada la recta 6y – x + 12 = 0. Buscar la ecuación de la recta que cumple con la condición indicada 
en cada caso. Graficar. 
a) Es paralela a la dada y pasa por el origen. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.11  
b) Es paralela a la dada y NO pasa por el origen. ¿Existe una sola recta que cumple con esta 
condición? Justifique su respuesta. 
c) Es perpendicular a la dada y pasa por el origen. 
d) Es perpendicular a la dada y NO pasa por el origen. 
e) Es perpendicular a la dada y pasa por el punto P (½, 6). 
7°.- Determinar la ecuación de la recta que cumple con la condición indicada en cada caso. Graficar. 
a) Pasa por P(–1, 5) y tiene pendiente –2. 
b) Pasa por el punto (-2,-4) y tiene pendiente 5/4. 
c) Pasa por P (–3, 2) y Q (2, 5). 
d) Pasa por P (1, 1/3) y Q (1/2, -1/3). 
e) Pasa por P (–2, 4) y forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las abscisas. 
8°.- Dadas las siguientes funciones de 2º grado 
𝑎) 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 𝑏) 𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥 + 10 𝑐) 𝑦 =
1
2
𝑥2 − 18 
𝑑) 𝑦 = −2(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 𝑒) 𝑦 = 3(𝑥 − 5)2 − 3 𝑓) 𝑦 = 𝑥2 
i) Determinar las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la concavidad. 
ii) Analizar la naturaleza de las raíces mediante el discriminante de la ecuación de 2º grado 
correspondiente. 
iii) Calcular los ceros de la función si correspondiere. 
iv) Graficar la función. 
9º.- Dadas las siguientes gráficas. 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.12  
 
 
 
 
i) Indicar las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y la concavidad. 
ii) Determinar los ceros de la función, si correspondiere. 
iii) Determinar la fórmula de la función. 
10º.- Determinar los valores de 𝑘 para que la ecuación 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 9 = 0, tenga 
a) Dos soluciones reales y distintas. 
b) Una única raíz. 
c) Carezca de soluciones reales. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.13  
11°.- Encontrar 3 números pares consecutivos tal que la suma de sus cuadrados sea 440. 
12°.- La ecuación 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 12𝑘 = 0 tiene a 4 como raíz. Calcular la otra raíz. 
13°.- Calcular 𝑘 para que en la ecuación 4𝑥2 − 4𝑥 + (𝑘 − 7) = 0, una raíz exceda a la otra en 2 unidades. 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 3 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) El punto 𝑃(0, 2) pertenece a la función 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 
b) La ordenada al origen representa el punto en donde la recta interseca al eje 𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ 
c) La expresión 𝑥 = 5 representa una función lineal 
d) 𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 − 3, 𝑦 = −(𝑥 − 2)(𝑥 + 1), 𝑦2 = 𝑥 − 2 son todas funciones cuadráticas 
e) La ecuación (𝑥 − 3)2 + 5 = 1 tiene dos raíces reales y distintas 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Dada la función 𝑦 = −2(𝑥 − 3)2 + 5, su imagen es………………….………………………………………. 
b) Escriba la función que define el costo de las papas en función de los kg comprados, sabiendo que 
el kg de papas cuesta $ 25. ………………..¿Cuál es su dominio? ………………….¿Cuánto costarán 3,5 
kg? ……………………..¿Qué cantidad podremos comprar si sólo disponemos de $ 65? ……………….. 
c) El ángulo 𝜑 que forman las rectas 𝑦 = −2𝑥 + 4 𝑒 𝑦 =
1
2
𝑥 − 5, es 𝜑 =…………………………………… 
d) La fórmula de la función cuadrática con vértice en 𝑉(−1, 2) y que pasa por el punto (1, −10) es……... 
d) La ecuación 𝑥2 +𝑚𝑥 + 12𝑚 = 0 tiene como raíz −3, entonces la otra raíz es…………………………... 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La función que tiene como dominio el conjunto de números reales, es 
 𝐴) 𝑦 =
5
𝑥+2
 𝐵) 𝑦 = √𝑥 − 5
4
 𝐶) 𝑦 = 2𝑥2 − 5 𝐷) 𝑦 = √𝑥 − 1 
b) Sea la función 𝑓(𝑥) = 5(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) entonces el grafico de 𝑓 interseca al eje 𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ 
 A) Una vez B) 2 veces C) 3 veces D) 4 veces 
c) La recta que pasa por los puntos (1, −3)𝑦 (0, 5) tiene por ecuación 
 𝐴) 𝑦 =
1
8
𝑥 + 5 𝐵) 𝑦 = 8𝑥 𝐶) 𝑦 = −8𝑥 + 5 𝐷) 𝑦 = 5𝑥 − 8 
d) El cuadrante del plano que no atraviesa la recta de ecuación 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2 es el 
 A) Primero B) Segundo C) Tercero D) Cuarto 
e) El valor de 𝑘 para que la ecuación 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 4 = 0 tenga las soluciones reales e iguales es: 
 𝐴) 𝑆𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝐵) 𝑆𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 − 4 𝐶) 4 𝑦 − 4 𝐷) 4 𝑦 1 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
La función 𝑦 = (𝑥 − 3)2 − 25 tiene su vértice en es y una de sus raíces es 
(−3,25)) A 
(3, - 25) B 
 
𝑥 = 8 C 
X = 2 D 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.14  
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: “EXPRESIONES ALGEBRAICAS: VALOR NUMÉRICO - OPERACIONES” 
“ TEOREMA DEL RESTO - REGLA DE RUFFINI “ 
1º.- i) Indicar cuáles de las siguientes expresionesson polinómicas, justificando en caso negativo. 
𝑎) 𝐴(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑏) 𝐵(𝑠) = −5𝑥2 + 4𝑠2 −
1
2
𝑠5 𝑐) 𝐶(𝑎) = 𝑎3/2 − 5𝑎 + 12 
𝑑) 𝐷(𝑥) =
3
2
𝑥 + 12𝑥 − 2−1 𝑒) 𝐸(𝑥) = 73/2 − 5𝑥 + 3𝑥2 𝑓) 𝐹(𝑡) = 𝑡−3 + 2𝑡−2 − 5 
𝑔) 𝐺(𝑥) = 5−3 + 5−2𝑥 − 𝑥3 ℎ) 𝐻(𝑎) = 3𝑎2 − 𝑏 + 𝑐2 
ii) Para los polinomios, identificar la variable de la cual depende e indicar el grado del mismo. 
iii) De ser necesario, completarlos y ordenarlos en forma decreciente. 
2º.- Sabiendo que 3 2 3 2( ) ( ) 5 7 3 2a b x ax c a x d c x x x+ + + + + − = + + − , calcular a, b, c y d. 
3º.- Dado el siguiente 
i) Cuadrado: 
 
a) Determinar una expresión para el área sombreada. 
b) ¿Cuál es el área si 𝑥 = 12 ? 
ii) Rectángulo: 
 
a) Encontrar una expresión para el área. 
b) ¿Cuál es el área si 𝑥 = 3 ? ¿y si 𝑥 = 6 ? 
c) Para qué valores de 𝑥 tiene sentido la expresión encontrada en a). 
4º.- Dados 𝑃1(𝑥) = 6𝑥
3 − 2𝑥4 + 𝑥 + 5 ; 𝑃2(𝑥) = −2𝑥
2 + 5𝑥3 − 2 y 𝑃3(𝑥) = 3 − 𝑥, calcular: 
𝑎) 
1
2
𝑃1 − 2𝑃2 + 𝑃3 𝑏) 𝑃1 . 𝑃2 + 𝑃3 𝑐) 
𝑃1−𝑃2
𝑃3
 𝑑) 𝑃1 − 2𝑃3 
𝑒) 𝑃1 . (𝑃2 +
1
3
𝑃3) 𝑓) (𝑃1 + 𝑃2): (𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3) 𝑔) (−2𝑃1 + 𝑃2 −
1
10
𝑃3)
2
 
5°.- Hallar P(x) tal que: 
𝑎) (2 + 3𝑥). 𝑃(𝑥) = 2 − 𝑥 − 6𝑥2 
𝑏) (𝑥3 − 1). 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3 − 𝑥2 + 1 
𝑐) (2𝑥 − 4𝑥2). 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥2 + 4𝑥3 
6º.- Encontrar el resto de las siguientes divisiones, de tres formas distintas.: 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.15  
𝑎) (3𝑥4 + 𝑥2 + 5𝑥): (𝑥 + 1) 𝑏) (𝑥3 + 2𝑥 − 1): (𝑥 − 2) 
𝑐) (4𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 3): (𝑥 + 1) 𝑑) (𝑥4 − 9𝑥2 + 8𝑥 + 15): (𝑥 + 4) 
7º.- Sabiendo que –3 es una raíz de 𝑃(𝑥) = 4𝑥4 + 𝑘𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑘𝑥 − 2; calcular 𝑘 
8º.- Si 24x ax b+ + deja resto 25 y 1 al dividirse por x+1 y por x-1, respectivamente, ¿Qué valores toman 
a y b? 
9°.- Encontrar el valor de “w” para que: 
𝑎)(𝑥2 −𝑤𝑥 + 3): (𝑥 + 2)sea exacta 𝑏) (4𝑥3 − 𝑥2 + 𝑤𝑥 − 2) ∶ (𝑥 − 2)tenga por resto 26 
10°.- Encontrar las raíces ℝ de los siguientes polinomios 
𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 𝑏) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 10 
𝑐) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑑) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 4 
11°.- Hallar el número que hay que sumar a 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 para que sea divisible por (𝑥 − 3) 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 4 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) El polinomio 7𝑥 − 2𝑥5 + 𝑥3 − 5 tiene a 1 como raíz 
b) Las dos raíces reales del polinomio 2𝑥2(𝑥 − 5) son 𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = 5 
c) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 1 es divisible por (𝑥 − 1) 
d) Si en la división de polinomios es posible aplicar la regla de Ruffini, entonces el grado del 
cociente siempre será de un grado menor al grado del dividendo. 
e) Si 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 6𝑥 − 𝑘 𝑦 𝑃(1) = 7 entonces 𝑘 = −11 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) El resto 𝑅 de la división (7𝑥 − 2𝑥5 + 𝑥3 − 5): (2𝑥 + 1) es…………………………………………………… 
b) Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = 2(𝑥 − 3) + 𝑥 − 6(1 −
1
3
𝑥) entonces 𝑃(−3) =…………………………………….. 
c) El polinomio 𝑃(𝑥) que satisface 𝑃(𝑥)(𝑥 − 2) = −10 + 𝑥 − 2𝑥2 + 2𝑥3 es 𝑃(𝑥) =………………….……… 
d) Para que al dividir 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑘𝑥 + 2 en (𝑥 + 1) se obtenga un resto −24, el valor de 𝑘 debe 
ser 𝑘 =………………………………………………………………………………..……………………………… 
e) Para que la siguiente división sea exacta 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑘𝑥 + 2): (𝑥 + 1), el valor de 𝑘 debe ser, 𝑘 =….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) Si 𝑃(𝑥) = 5𝑥2 − 3 entonces [𝑃(𝑥)]2 es igual a: 
 𝐴) 25𝑥4 − 30𝑥2 + 9 𝐵) 25𝑥4 − 15𝑥2 + 9 𝐵) 25𝑥4 − 9 𝐷) 25𝑥4 + 9 
b) Si 𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 2)
2 𝑦 𝑃2(𝑥) = 4𝑥 + 4 entonces 𝑃1(𝑥) − 𝑃2(𝑥) = 
 𝐴) 𝑥2 − 4 𝐵) 𝑥2 + 8 𝐶) 𝑥2 𝐷) 𝑥2 − 8 
c) Si 𝑃1(𝑥) = (𝑥 − 3) 𝑦 𝑃2(𝑥) = (𝑥 + 3) entonces 𝑃1(𝑥). 𝑃2(𝑥) = 
 𝐴) 𝑥2 + 9 𝐵) 𝑥2 − 9 𝐶) 𝑥2 − 3 𝐷) 9 − 𝑥2 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.16  
d) El polinomio de coeficiente principal 3 y raices 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = −2 es 
 𝐴) − 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝐵)3(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝐶) 3𝑥2 + 3𝑥 − 6 𝐷) 3𝑥2 − 3𝑥 + 6 
e) El polinomio 3 − 5𝑥 + 𝑥4 es multiplo de 
 𝐴) (𝑥 + 1) 𝐵) (𝑥 − 1) 𝐶) (𝑥 − 2) 𝐷) (𝑥 + 2) 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: “FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS “ 
“EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES” 
1°.- Dadas las siguientes expresiones 
𝑎) − 12𝑎4𝑦3𝑧4 + 36𝑎3𝑦5𝑧 + 24𝑎3𝑦2 𝑏)
3
5
𝑥5𝑦3𝑧2 −
12
55
𝑥3𝑦4𝑧5 +
9
10
𝑥4𝑦2𝑧2 
𝑐) − 16𝑦2 + 12𝑦3 − 18𝑦5 𝑑)
1
2
(𝑥 − 1)2 +
3
2
(𝑥 − 1)3 
i) Extraer factor común. 
ii) Extraer el factor común indicado para cada caso. 
𝑎) − 4𝑎2𝑦 𝑏) 25𝑥2𝑦2𝑧 𝑐) − 6𝑦2 𝑑) (𝑥 − 1)2 
2°.- Dados los siguientes polinomios 
𝑎) 2𝑡2𝑥 + 2𝑏3𝑥 + 5𝑡2 − 𝑡2𝑦 − 𝑏3𝑦 + 5𝑏3 𝑏) 𝑎2𝑑 + 𝑎𝑚3 − 𝑎𝑥2𝑑 − 𝑚3𝑥2 
𝑐) 35 − 7𝑥2 + 5𝑏 − 𝑏𝑥2 𝑑) 
2
3
𝑎𝑛3 +
1
3
𝑎𝑦 + 2𝑛3𝑚2 + 𝑦𝑚2 
𝑒) 𝑎6 − 𝑎4 − 𝑎2 + 1 𝑓) 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 
i) Extraer factor común por grupos 
ii) Para el casos e) indicar las raíces ℝ de dicho polinomio. 
3°.- Determinar 𝑚 para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos. 
𝑎) 4𝑥2 +𝑚𝑥 + 4 𝑏) 𝑥2 − 2𝑚𝑥 + 25 𝑐) 𝑥2 + 4𝑥2𝑦2 +𝑚 
𝑑) 16𝑥4 + 25 +𝑚 𝑒) 49𝑥6 − 70𝑥3 +𝑚 𝑓) 49𝑥2 − 30𝑥 +𝑚 
4°.- Factorear, de ser posible, los siguientes trinomios. 
𝑎) 3𝑥2 − 6𝑥 − 9 𝑏) 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑐) 3𝑥2 − 6𝑥 − 24 
𝑑) − 𝑥2 + 6𝑥 − 9 𝑒) 
𝑏5
25
− 2𝑥 + 25 𝑓) 𝑥2 − 𝑥 +
1
4
 
5°.- Factorear, de ser posible, los siguientes cuatrinomios. 
𝑎) 27𝑏3 + 108𝑎𝑏3 + 144𝑎2𝑏3 − 64𝑎3𝑏3 𝑏) 𝑥3 − 9𝑥2𝑦 + 27𝑥𝑦2 − 27𝑦3 
𝑐) 𝑥3 − 12𝑏3𝑥2 + 48𝑏5𝑥 − 64𝑏9 𝑑) 𝑏6 − 6𝑏4 + 12𝑏2 − 8 
6°.- Expresar, de ser posible, los siguientes binomios como producto de dos o más factores. 
𝑎) 𝑎4𝑥8 − 81 𝑏) − 𝑥8 + 100 𝑐) 32𝑥5 − 1 𝑑) 𝑥6 + 729 
𝑒) 
4
125
𝑥4 −
9
16
𝑦2𝑧2 𝑓) (𝑥 + 1)2 − (𝑥 − 1)2 𝑔) 𝑥4 + 16 ℎ) 𝑥3 − 64 
7° Factorear las siguientes expresiones. 
𝑎)
1
4
𝑎2𝑥4 + 𝑎2𝑏𝑥2 + 𝑎2𝑏2 +
1
4
𝑏𝑥4 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3 
𝑏) 𝑥7 + 2𝑥6𝑦 + 𝑥5𝑦2 − 𝑥3𝑦4 − 2𝑥2𝑦5 − 𝑥𝑦6 
𝑐)
1
2
𝑎6 −
1
2
𝑎5𝑐 −
1
2
𝑎5𝑏 +
1
2
𝑎4𝑏𝑐 −
1
2
𝑎2 +
1
2
𝑎𝑐 +
1
2
𝑎𝑏 −
1
2
𝑏𝑐 
𝑑) 45𝑥3 − 60𝑥2𝑦 + 20𝑥𝑦2 + 18𝑥2𝑧 − 24 𝑥𝑦𝑧 + 8𝑦2𝑧 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.17  
8°.- Calcular el Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de los siguientes polinomios 
 𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑦 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑏) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 2 𝑦 𝑄(𝑥) = 4𝑥 − 4 
 𝑐) 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 1, 𝑄(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑦 𝑅(𝑥) = 3𝑥2 − 3 𝑑) 𝑃(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 2) 𝑦 𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥2 − 4) 
9º.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas. 
𝑎) 
𝑛𝑥−1−𝑛+𝑥
𝑛𝑥−2−𝑛+2𝑥
= 𝑏) 
9𝑎2+12𝑎𝑏+4𝑏2
27𝑎3+54𝑎2𝑏+36𝑎𝑏2+8𝑏3
= 𝑐) 
𝑥2+4𝑥+3
𝑥2+𝑥−6
= 
𝑑) 
𝑎𝑏−2𝑏−𝑎+2
𝑎2−4
= 𝑒) 
𝑎3−8
𝑎2−4
= 𝑓) 
𝑥2−3𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
= 
10º.- Resolver las siguientes sumas. 
𝑎) 
2𝑎+3𝑏
6𝑎
+
𝑏
3𝑎2
−
3𝑎
9𝑎3
= 𝑏) 
3
4𝑥−16
−
1
𝑥+4
−
𝑥+10
−16+ 𝑥2
= 
𝑐) 
2
2𝑎−3
+
2
2𝑎+3
−
18𝑎+15
4𝑎2−9
= 𝑑) 
2𝑥
6
− 4 −
𝑥
3
+ 
2
1+𝑥
= 
11º.- Resolver las siguientes multiplicaciones y/o divisiones 
𝑎)
3𝑥2+6
2𝑥3
 
𝑥2+8𝑥+16
𝑥4−16
 
2𝑥3−4𝑥2
3𝑥+12
= 𝑏) 
10𝑎𝑏−6𝑎
𝑥+𝑦
 
𝑥2−𝑦2
𝑎𝑚−𝑎
 
𝑚−1
2𝑎𝑏−12
= 
𝑐) 
2𝑥3−16
𝑥
∶ 
𝑥2−4
𝑥2+2𝑥
= 𝑑) 
1−𝑎
1−𝑎3
∶ 
1+𝑎
1−𝑎2
= 
12º.-Resolver las siguientes operaciones combinadas. 
𝑎) (1 −
6
𝑥
+
9
𝑥2
) . (2 −
6
𝑥+3
) ∶ 
9−𝑥2
𝑥
= 
𝑏) [(
2𝑥
3𝑎−6𝑥
−
2𝑎
𝑎−2𝑥
+
1
3
) ∶ (
𝑎
𝑎−2𝑥
+
𝑎
𝑎+2𝑎
)] = 
𝑐) 
(
1+𝑥
2𝑥−𝑥2
−
1−𝑥
2𝑥+𝑥2
+
1
4−𝑥2
) 
5
𝑥+2
− 
4
2−𝑥
+ 
9
4−𝑥2
= 
𝑑) 
𝑥3 − 8
𝑥2−4
2𝑥4+ 4𝑥3+8𝑥2
2𝑥3+ 4𝑥2
− 3 = 𝑒) 
𝑏+𝑏+1
𝑏+2
3+ 
1
𝑏2−4
= 𝑓)
1
1−
1
1+
1
𝑥
= 
13º.- Hallar 𝑃(𝑥) que verifica la identidad dada 
𝑎) 
𝑥3+1
𝑃(𝑥)
 .
𝑥2−2𝑥+1
𝑥3−𝑥2+𝑥
=
𝑥−1
𝑥
 𝑏) 
𝑃(𝑥)
𝑥+3
− 
2𝑥+6
𝑥2+6𝑥+9
=
𝑥2−2
𝑥+3
 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 5 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) El factoreo de 𝑥2 − 2𝑥 + 1, es (1 − 𝑥)2 
b) Uno de los factores de 𝑥3 − 27 es 𝑥2 + 3𝑥 + 9 
c) 𝑥 (2𝑥 −
1
9
) (2𝑥 −
1
9
) = 4𝑥3 −
1
81
𝑥 
d) El mínimo común múltiplo de 𝑥2 + 6𝑥 + 9 𝑦 𝑥2 − 9 es (𝑥 − 3)2 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.18  
e) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 1 es primo 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Los factores primos de 𝑃(𝑥) = 6𝑥4 − 3𝑥3 − 24𝑥2 + 12𝑥 son, 𝑃(𝑥) =……………………………………… 
b) Las raíces reales de 2𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0 son 𝑥1 =……………, 𝑥2 =……………. y 𝑥3 =…………… 
c) Si 𝑥 = 2 es raíz de 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2, la expresión factorizada de 𝑃(𝑥) es, 𝑃(𝑥) =……………. 
d) La solución de la ecuación 
2(𝑥+3)
4𝑥2−25
=
2
2𝑥+5
−
4
2𝑥−5
 es, 𝑥 =………………………………………………… 
e) La expresión 
𝑥3−27
𝑥2
. (𝑥 + 3 +
9
𝑥−3
) se puede simplificar cuando 𝑥 no toma los valores:……………….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La ecuación 2(𝑥 + 2)(2𝑥 − 7)(𝑥 − 7) = 0 tiene por conjunto solución 
 𝐴) {2, 7, −7} 𝐵) {−2, 7, −
7
2
} 𝐶) {−2,
7
2
, 7} 𝐷) {−2, 7, −7} 
b) La factorización de 𝑥2 − 13𝑥 + 30 es: 
 𝐴) (𝑥 − 7)(𝑥 − 12) 𝐵) (𝑥 − 10)(𝑥 − 3) 𝐶) (𝑥 − 5)(𝑥 − 6) 𝐷) (𝑥 − 15)(𝑥 − 2) 
c) Si se simplifica 
2𝑥2+6𝑥
𝑥2+𝑥−6 
 se obtiene 
 𝐴) 
2𝑥+1
𝑥+1
 𝐵) 
2𝑥
𝑥−2
 𝐶) 
2𝑥+6
𝑥−5
 𝐴) 
2𝑥+1
𝑥−1
 
d) 
2𝑥
𝑥−1
−
𝑥−𝑥2
𝑥2−2𝑥+1
= es equivalente a: 
 𝐴)
3𝑥
𝑥+1
 𝐵)
3𝑥
𝑥−1
 𝐶)
𝑥
𝑥−1
 𝐷)
3𝑥
(𝑥−1)2
 
e) La suma 
2
𝑥−1
+
3
2𝑥+2
−
4
𝑥2−1
= tiene por resultado: 
 𝐴) 
7
2(𝑥+1)
 𝐵) 
7
2(𝑥−1)
 𝐶) 
9
2(𝑥+1)
 𝐷) 
7
(𝑥+1)
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: “SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES” 
1°.- Dados los siguientes sistemas: 
𝑎) {
2𝑥 − 5𝑦 = 16
4𝑥 + 𝑦 = 10
 𝑏) {
𝑦 = 3𝑥 − 4
−3𝑥 + 𝑦 = −4
 𝑐) {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
2𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0
 
𝑑) {
2𝑥 + 5𝑦 = 24
8𝑥 − 3𝑦 = 19
 𝑒) {
𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0
6𝑦 = 18 − 2𝑥
 𝑓) {
𝑦 = 2 (𝑥 −
3
2
) + 9 (
𝑥
3
+
1
9
)
4𝑥 − 3𝑦 = 9𝑥 − 𝑦 − 2
 
Resolverlos por el método gráfico y un método analítico. Clasificarlos. 
2°.- Dado el sistema 
𝑎) {
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 13
𝑥 − 𝑦 = −1
 Determinar 𝑚 para que el sistema: i) tenga como solución (2,3), ii) tenga infinitas 
soluciones, ii) no tenga solución 
𝑏) {
𝑥 + 2𝑚𝑦 = 3
−3𝑥 + 6𝑦 = −9
 Determinar 𝑚 para que el sistema sea compatible: i) indeterminado, ii) determinado. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.19  
3°.- Calcular el valor 𝑚 para que la solución del sistema {
3𝑥 − 𝑚𝑦 = 5
−2𝑚𝑥 − 3𝑦 = 4
 sea (1, −2) 
4°.- Plantear y resolver los siguientes problemas: 
a) Dos niños que se encuentran a 224 metros entre sí, empiezan a caminar uno hacia el otro al 
mismo instante y con velocidades uniformes de 1,5 m/s y 2 m/s respectivamente. Cuando se encuentran 
¿Cuánto habrá caminado cada uno? 
b) La resta de dos lados consecutivos de un rectángulo tiene por medida 7m. Encuentra cuánto mide 
cada lado sabiendo que el perímetro es 26m. 
c) Un gaucho tiene vacas y gallinas en su campo. La diferencia entre el número de gallinas y vacas 
es 30 y entre todos los animales suman 180 patas. ¿Cuántas vacas y cuantas gallinas tiene el gaucho? 
d) Si se incrementa el ancho de un rectángulo en 2 m y su largo en 12 m, el área aumenta 480m2. Si 
se aumenta el ancho en 12 m y el largo en 2 m, el área aumentará en 660 m2. Encontrar las medidas del 
rectángulo original. 
5° ¿Cuáles de los siguientes enunciados podría corresponder al sistema {
𝑥 + 𝑦 = 10
2𝑥 + 4𝑦 = 32
 ? 
a) Un examen consta de un total de 10 preguntas y se puntúan con 4 puntos las acertadas y con menos 
2 puntos las erróneas. Al final se ha obtenido un 32 de puntuación en el examen. ¿Cuántas preguntas se 
han acertado y cuantas se han fallado? 
b) Tenemos 32 bolas de colores y las repartimos en bolsas de 2 y de 4 bolas cada una. Al final nos 
quedan 10 bolas sueltas. ¿Cuántas bolsas de cada tipo tenemos? 
c) En un aparcamiento hay 10 vehículos entre motos y coches. En total hay 32 ruedas, sin contar las de 
repuesto. ¿Cuántas motos y coches hay en el garaje? 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 6 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) Las rectas 𝑥 + 𝑦 = 3, 2𝑥 − 𝑦 = 0 se intersecan en el punto (1, 2) 
b) La solución del sistema {
2𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑥 − 𝑦 = −5
 es (−3, 2) 
 
c) Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no tiene solución 
d) El sistema formado por las ecuaciones de dos rectas paralelas, es incompatible 
e) La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una; depende 
del método con el que se lo resuelva. 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) El valor de 𝑘 para que (3, 1) sea solución de {
7𝑥 − 2𝑦 = 19
5𝑥 − 𝑘𝑦 = 20
 es 𝑘 =……………………………………… 
b) Compro 4 alfajores y 7 chocolates por $666, más tarde compro 8 alfajores y 9 chocolates por $1022. 
El precio de cada alfajor es de $................y de cada chocolate $.................... 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.20  
c) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una, puede tener una solución 
ó…………………….…………………….soluciones ó …………………………………………………solución. 
d) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado si………………………………………. 
e) Al menos 5 soluciones que tiene el sistema {
𝑥 + 𝑦 = 2
2𝑦 = 4 − 2𝑥
 son……………………………………………... 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) Se tienen $ 10,20 en 84 monedas de 25 y 10 centavos. La cantidad (𝑥) de monedas de 25 centavos 
y la cantidad (𝑦) de monedas de 10 centavos, se puede calcular mediante el sistema de ecuaciones: 
 𝐴) {
𝑥 + 𝑦 = 10,2
0,25𝑥 + 0,1𝑦 = 84
 𝐵) {
𝑥 + 𝑦 = 10,2
25𝑥 + 10𝑦 = 84
 𝐶) {
𝑥 + 𝑦 = 84
0,25𝑥 + 0,1𝑦 = 10,2
 𝐷) {
𝑥 + 𝑦 = 84
25𝑥 + 10𝑦 = 10,2
 
b) Los puntos en común que tienen las rectas 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 𝑐𝑜𝑛 4𝑦 = −2𝑥 − 6 son 
 A) Sólo uno B) Ninguno C) Infinitos D) Varios 
c) La solución del sistema de ecuaciones lineas {
𝑥 + 2𝑦 = 5
4𝑥 − 𝑦 = 2
 es: 
 𝐴) 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 3 𝐵) 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 6 𝐶) 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2 𝐷) 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = −3 
d) Graficamente el sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 3
 son dos rectas 
 A) Que se intersecan en un punto B) Perpendiculares 
 C) Paralelas D) Coincidentes 
e) El sistema {
2𝑥 − 4𝑦 = 6
−3𝑥 + 6𝑦 = −9
 es: 
 A) Compatible determinado B) Compatible indeterminado 
C) Incompatible D) No se puede afirmar nada de este sistema 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
Las rectas representadas por x + 2y = 1 ; 2x + 4y = 2 son 
 
 y forman un sistema 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: “MEDICIÓN DE ÁNGULOS – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS” 
1°.- Los sistemas de medición de ángulos (sexagesimal y radial) sirven para un mismo propósito, existe 
entre ellos una equivalencia. Completar la siguiente tabla y ubicar cada uno de los ángulos dados en una 
circunferencia. 
Sistema 
Sexagesimal 1º 30º 90° 210º 270° 2𝜋 
Radial 𝜋/4 𝜋/3 𝜋 11𝜋/12 
𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 C 
sin 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 D 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 A 
𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 B 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.21 
2°.- Dados los siguientes ángulos 162.000"; 
5
3
𝜋; 125°, 2,098; 1,0559; 330,01° 
a) Ordenarlos de menor a mayor en el sistema sexagesimal notación decimal y notación en grados, 
minutos y segundos. 
b) Ordenarlos de mayor a menor en el sistema radial. 
3°.- En la siguiente figura se sabe que 𝑟1 ∥ 𝑟2 
 
a) Calcular la amplitud de los ángulos señalados con números. 
b) Expresar la amplitud de dichos ángulos en el sistema sexagesimal. 
c) Expresar la amplitud de dichos ángulos en el sistema radial. 
4°.- Suponer que la Tierra demora 24 horas en dar un giro completo en torno de su propio eje. Calcular 
cuántos radianes gira en: 5 segundos, 17 minutos y en 3 horas. 
5°.- Determinar la longitud de un arco de circunferencia con radio 5 cm, sabiendo que está subtendido 
por un ángulo de: 
𝑎) 2,4 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑏) 
𝜋
6
 𝑐) 75° 𝑑) 1200° 45′ 
6°.- Las ruedas de una bicicleta tienen 100 cm de radio. Si un punto sobre una de ellas toca 50 veces el 
suelo durante un avance en línea recta. ¿Qué distancia recorrió ese punto de la rueda? 
7°.- Indicar cuáles de los siguientes pares de ángulos son congruentes. 
𝑎) − 40° 𝑦 680° 𝑏) 88° 𝑦 800° 𝑐) 45° 𝑦 1485° 𝑑)
𝜋
3
 𝑦
2
3
𝜋 
𝑒)
𝜋
6
 𝑦 
13
6
𝜋 𝑓) −
𝜋
4
 𝑦 
7
4
𝜋 
8º.- Escribir la expresión general de todos los pares de ángulos congruentes con:
 
a) 
7
3
𝜋 b) 160° c) –180° d) 
2
3
𝜋 
Dado el siguiente círculo trigonométrico (radio = 1) 
 
Sabemos que: 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.22  
𝑠𝑒𝑛�̂� =
𝑃𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑃̅̅ ̅̅
= 𝑟 = 1 unidad de medida, entonces 𝑠𝑒𝑛�̂� = 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ 
𝑐𝑜𝑠�̂� =
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑃̅̅ ̅̅
= 𝑟 = 1 unidad de medida, entonces 𝑐𝑜𝑠�̂� = 𝑂𝑀̅̅ ̅̅̅ 
Los triángulos 𝑂𝑀𝑃⏞ 
Δ
 y 𝑂𝑇𝑆⏞
Δ
 son semejantes, por ser rectángulos y compartir el ángulo 𝛼 ̂, en 
consecuencia sus lados homólogos son proporcionales, es decir: 
𝑃𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
=
𝑆𝑇̅̅̅̅
𝑂𝑇̅̅ ̅̅
 pero 
𝑃𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅
= 𝑡𝑔�̂� entonces 
𝑡𝑔�̂� =
𝑆𝑇̅̅̅̅
𝑂𝑇̅̅ ̅̅
 como 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ = 𝑟 = 1 unidad de medida, se deduce que 𝑡𝑔𝛼 ̂ = 𝑆𝑇̅̅̅̅ 
9 °.- Las funciones trigonométricas serán positivas o negativas, según el cuadrante al cual pertenezca el 
ángulo considerado. 
La funciones seno y cosecante serán positivas si el valor de la ordenada del punto P es positiva, y 
son negativas, si la ordenada es negativa. 
a) ¿Qué ocurre con el signo de la función coseno y su reciproca? 
b) ¿Qué ocurre con el signo de la función tangente y su reciproca? 
c) Completar la tabla que resume lo enunciado anteriormente. Sugerencia: puede aplicar el siguiente 
modelo. 
 I Cuad. II Cuad. III Cuad. IV Cuad. 
̂sen 
̂cos 
tg  
cosec 𝛼 
sec 𝛼 
cotg 𝛼 
10º.- Calcular las funciones trigonométricas para los siguientes ángulos: 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 7 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F) NO justificar la respuesta. 
a) 270° ≡ 1,5 𝜋 
b) −60° es congruente con 
5
3
𝜋 
c) Dos ángulos son congruentes cuando solamente difieren en un número exacto de giros. 
d) 2° 3′2′′ equivalen a 7382′′ 
e) La longitud de la circunferencia son 360° 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.23  
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) El valor de 𝑃 =
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
180°
 es, 𝑃 =…………………………………………………………………………………….. 
b) Si en un triángulo dos de sus ángulos miden 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 𝑦 
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑, la medida en grados sexagesimales del 
tercer ángulo es…………………………………………………………………………………….. 
c) El valor de 𝑥 en la igualdad 
𝜋
9
 𝑟𝑎𝑑 + (36𝑥)° = 38° es 𝑥 =…………………………………………………… 
d) Un ángulo positivo, mayor a dos giros y congruente con –50°, es………………………………………… 
e) La longitud del arco 𝐴�̂� subtendido por un ángulo de 70° en una circunferencia de 18 cm de radio es, 
𝑙𝑜𝑛𝑔𝐴�̂� =…………………………………………………………………………………………………………….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) La suma de dos ángulos es 0,22 𝑟𝑎𝑑 y su diferencia 0,16 𝑟𝑎𝑑. La medida del ángulo mayor es: 
 𝐴) 9° 42′ 𝐵) 8° 12′ 𝐶) 9° 15′ 𝐷) 10° 42′ 
b) En 𝐴𝐵𝐶⏞
Δ
 se sabe que 𝐴 ̂ + �̂� = 81° y 𝐵 ̂ + 𝐶 ̂ = 0,75𝜋 𝑟𝑎𝑑, entonces 𝐴 ̂ − �̂� es: 
 A) 36° B) 99° C) 54° D) 63° 
c) Al simplificar 
2° 2′
2′
 se obtiene: 
 A) 61 B) 72 C) 52 D) 41 
d) Un quinto del ángulo de un giro en cada sistema equivale a: 
 𝐴) 30° 𝑦 
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 𝐵) 60° 𝑦 
3 𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 𝐶) 72° 𝑦 
2 𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 𝐷) 64° 𝑦 
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 
e) En 𝐴𝐵𝐶⏞
Δ
, 𝐴 ̂ = (3𝑥)°, 𝐵 ̂ = (9𝑥)° 𝑦 𝐶 ̂ = (6𝑥)°, entonces el valor de 𝐶 ̂ es: 
 𝐴)
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 𝐵)
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 𝐶)
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 𝐷)
𝜋
7
 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (APLICACIONES) - TRIÁNGULOS” 
1°.- Dada la gráfica de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
a) Ubicar aproximadamente sobre el eje de las abscisas: 
𝜋
2
, 𝜋,
3
2
𝜋, 2𝜋 y sus respectivos opuestos. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.24  
b) Determinar el dominio y la imagen de la función. 
c) ¿Qué significa que la función seno tenga periodo 2𝜋? 
d) Confeccionar un cuadro que resuma el crecimiento o decrecimiento de la función. 
e) Determinar la intersección con el eje de las ordenadas. 
f) Determinar todos los valores en donde la función intercepte al eje de las abscisas. 
g) ¿Cuál es el máximo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
h) ¿Cuál es el mínimo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
i) Nombrar dos intervalos donde la función sea positiva y dos donde sea negativa. 
j) Determinar aproximadamente 𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
 𝑦 𝑠𝑒𝑛
5
6
𝜋 ¿Cómo resultó el seno de estos dos ángulos? 
k) ¿Se puede establecer alguna relación entre estos dos ángulos? 
l) Determinar 𝑥 sabiendo que: 𝑖) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,5 𝑦 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑖) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −0,5 𝑦 𝑥 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 
Sugerencia para reforzar el aprendizaje: realice el mismo tipo de análisis sobre las gráficas de las 
otras funciones trigonométricas. 
2º.- Resolver usando la calculadora: 
𝑎) 𝑠𝑒𝑛 80°25′ = 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 188° = 𝑐) 𝑠𝑒𝑐 (
2𝜋
3
) = 𝑑) 𝑡𝑔
𝜋
3
 = 
𝑒)𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 
7
4
𝜋 = 𝑓)𝑐𝑜𝑡𝑔 5,78 = 𝑔) cos 220,8° = ℎ) 𝑠𝑒𝑐 356° = 
3°.- Resolver usando la calculadora: 
𝑎) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0,5 = 𝑏) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 18 = 𝑐) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
2
3
) = 𝑑) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2,53 = 
𝑒)𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0,99 = 𝑓)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (−2,3) = 𝑔) 𝑎𝑟𝑐cos 0,8 = ℎ) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛0,356 = 
4°.- Encontrar el valor de los siguientes ángulos: 
𝑎) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,39 𝑏) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 1,48 𝑐) 𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 5,6 𝑑) 𝑡𝑔 𝜎 = 5,6 
 
5º.- Calcular x en cada una de las siguientes figuras: 
 
6°.- Calcular el perímetro y el área de los siguientes triángulos: 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.25  
7°.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre la horizontal es de 30º una torre proyecta una sombra 
de 75m. ¿Qué altura tiene la torre? 
b) Cuando se apoya una escalera de 3 metros de largo en una de las paredes de un pasillo llega a 
una altura de 2,80 meros. Si se la inclina sobre la otra pared, sin mover su punto de apoyo en el piso, 
llega a 2,90 metros de altura. Calcular el ancho del pasillo. 
c) Sobre un peñasco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el 
extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º40’ 
y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º20’. Encontrar el ancho del 
río y la altura del peñasco. 
d) La longitud de la sombra de una persona de 1,80m de altura producida por un focode alumbrado 
es, inicialmente 3,60m. Después la persona se para justo en el lugar donde terminaba su sombra y 
comprueba que ahora aquella mide 4m ¿A qué altura del piso está el foco? 
e) Dado el triángulo rectángulo de la figura cuya hipotenusa es 𝑐 = 2√𝑎𝑏 (donde a y b son los 
catetos). Calcular el resultado de la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos de 
dicho triángulo. 
 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 8 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o R), NO justificar la respuesta. 
a) Si 𝛼 ̂ ∈ 𝐼𝐼𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 entonces 𝑠𝑒𝑛𝛼 ̂ > 0 𝑦 cos 𝛼 ̂ < 0 
b) El seno es negativo en el segundo y cuarto cuadrante 
c) Si 𝑡𝑔 𝛼 ̂ < 0 , entonces 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ < 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ̂ < 0 
d) La tangente de 90° no existe 
e) La tangente y cotangente de un ángulo siempre tienen el mismo signo 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) A 8 m de la base del tronco de un árbol se observa la parte superior de su copa con un ángulo de 
36,87°. La altura ℎ del árbol es, ℎ =……………………………………………………………………………… 
b) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm y el ángulo agudo de la base es 𝛼 ̂, 
entonces 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ =……………………………….. y cos 𝛼 ̂ =……………………………………………………… 
c) Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio con un ángulo 
de elevación de 45°. La distancia entre ambos en línea recta es de 210 m. La altura del otro edifico es 
de…..… m. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.26  
d) Si 𝑡𝑔 𝛼 ̂ > 0 𝑦 cos 𝛼 ̂ < 0, entonces el cuadrante al que pertenece 𝛼 ̂es el ………………………………. 
e) Si la cosecante de un ángulo es negativa, significa que el seno del mismo ángulo es………………….. 
3.- Colocar en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) Se quiere sujetar un poste de 20 m de alto desde la parte superior del mismo al piso de tal manera 
que forme un ángulo de 30°. Si el metro de cable cuesta $120, el precio total del cable a usar es de: 
 A) $ 48 B) $ 480 C) $ 4800 A) $ 240 
b) La fórmula para calcular la longitud de la mediana, 𝑙𝑚, de un triángulo equilatero de lado 𝑑, es: 
 𝐴) 𝑙𝑚 = 𝑑 . 𝑠𝑒𝑛 30° 𝐵) 𝑙𝑚 = 𝑑 . 𝑐𝑜𝑠 60° 𝐶) 𝑙𝑚 = 𝑑 . 𝑠𝑒𝑛 60° 𝐷) 𝑙𝑚 =
𝑑
𝑠𝑒𝑛 60°
 
c) Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 30° y su cateto opuesto 4 cm, entonces la 
hipotenusa, 𝑥, y el otro cateto ,𝑦, miden: 
 𝐴) 𝑥 = 8 𝑐𝑚, 𝑦 = 6,9 𝑐𝑚 𝐵) 𝑥 = 6,9 𝑐𝑚, 𝑦 = 8 𝑐𝑚 𝐶) 𝑥 = 8 𝑐𝑚, 𝑦 = 7,9 𝑐𝑚 𝐷) 𝑥 = 4 𝑐𝑚, 𝑦 = 6,9 𝑐𝑚 
d) Las medidas de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 cm, entponces se trata de un triángulo: 
 A) Obtusángulo B) Acutángulo C) Isosceles D) Rectángulo 
e) Un tronco de 6,2 m esta apoyado sobre una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°. La 
distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared es de 
 A) 5,08 m B) 3,53 m C) 8,85 m D) 35,3 m 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
Sea la función 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 en el intervalo (90º, 180º), f(x) es y el menor valor que 
toma es 
 
 
 
 
Autoevaluación Graficas de funciones trigonométricas 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) Las funciones seno y coseno de un ángulo tienen el mismo dominio y la misma imagen 
b) El periodo de la función cotangente de un ángulo es 2𝜋 
c) La imagen de la función cosecante de un ángulo es (−∞,−1] ∪ [1,∞) 
d) En el primer y segundo cuadrante, la función seno de un ángulo es creciente 
e) La función secante de un ángulo no interseca al eje de las abscisas 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Sea la función 𝑓(𝑥) = sec �̂�, entonces 𝐷𝑜𝑚(𝑓) =………………………. 𝐼𝑚𝑔 (𝑓) =……………………… 
b) Sea la función 𝑓(𝑥) = sen �̂�, dos intervalos en donde 𝑓 es positiva son…………………………..……… 
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 A 
negativa B 
 0 C 
-1 D 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.27  
c) La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 �̂� recibe el nombre……………………………………………..………. 
d) Sea la función 𝑓(𝑥) = cos �̂�, el máximo valor de 𝑓 es……………..y el mínimo valor es………..…...…. 
e) La función 𝑓(𝑥) = sec �̂� interseca al eje 𝑜𝑦⃗⃗⃗⃗ en el punto……………………………………………………... 
3.- Colocar en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) En un triángulo rectángulo la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo, recibe el 
nombre de: 
 A) Seno B) Coseno C) Secante D) Cosecante 
b) Para obtener con la calculadora sec 75° se puede hacer: 
 𝐴) (sen 75°)−1 𝐵) (cos 75°)−1 𝐶) (cos 105°)−1 𝐷) (sen 105°)−1 
c) Los puntos en donde la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 interseca a 𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ son: 
 𝐴) 2𝑘 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝒁 𝐵) 𝑘
𝜋
2
 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝒁 𝐶) 𝑘 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑵 𝐷) 𝑘 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝒁 
d) La función 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 inteca al eje de las ordenadas en 
 𝐴) (1, 0) 𝐵) (0, 1) 𝐶) (0, 0) 𝐷) 𝑘 𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝒁 
e) La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 es negativas en los cuadrantes: 
 𝐴) 𝐼 𝑦 𝐼𝐼𝐼 𝐵) 𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝐼𝐼 𝐶) 𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝑉 𝐴) 𝐼𝐼𝐼 𝑦 𝐼𝑉 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 “RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN MISMO ÁNGULO” 
1°.- La identidad fundamental trigonométrica establece que “el cuadrado del seno de un ángulo más el 
cuadrado del coseno de dicho ángulo es igual a uno”. Es decir que si al ángulo es cuestión lo 
denominamos 𝛼 ̂, tenemos 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂ + cos2 𝛼 ̂ = 1 
Completar con las expresiones que se obtienen a partir de la identidad fundamental trigonométrica. 
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂ + cos2 𝛼 ̂ = 1 ⟹ {
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂ =
𝑠𝑒𝑛 �̂� =
cos2 𝛼 ̂ =
cos �̂� =
 
Sugerencia para reforzar el aprendizaje: trate de encontrar las relaciones entre las otras funciones 
trigonométricas (puede usar lo visto en el trabajo práctico 7 para guiarse). 
 
2°.- Obtener las restantes funciones trigonométricas sabiendo que: 
a) 
1
 IIIC
2
sen = −   e) 
2
cos IC
2
 =   
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.28  
b) 
3
cos IIC
2
 = −   f) 𝑡𝑔 𝛼 = −√3
3
 ∧ 𝛼 ∈ II C 
c) 
3
cotg IIIC
3
 =   g) 
2
cosec IIIC
2
 = −   
d) 
3
sec IVC
2
 =   h) 
3
cosec IC
5
 =   
3°.- Verificar las siguientes identidades 
𝑎) 
𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂
1−cos𝛼 ̂
= 1 + cos𝛼 ̂ 𝑏) 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
=
cos 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛 𝑥
 𝑐) (sec �̂� − 1) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼 ̂ = sec2 𝛼 ̂ 
𝑑) 
1+2 𝑡𝑔 𝛼 ̂
sec2 𝛼 ̂
+
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼 ̂
= (cos𝛼 ̂ + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂)2 𝑒)(𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) 𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
𝑓) 
1+𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂
cos 𝛼 ̂
=
cos𝛼 ̂
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂
 𝑔)(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛽)(1 + 𝑡𝑔2𝛽)𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 = 𝑡𝑔𝛽 
ℎ) 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂+𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 ̂
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂+𝑡𝑔 𝛼 ̂
= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ̂ 𝑖) √
1−𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂
sec 𝛼 ̂
3
+ √
1−cos2 𝛼 ̂
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂
3
= cos𝛼 ̂ + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 9 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) Si 𝛼 ̂ ∈ 𝐼𝐼𝐼 cuadrante, entonces 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ = √1 − cos2 𝛼 ̂ 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 �̂� = 1 
c) Si cos 𝛼 ̂ = −0,5 𝑦 𝛼 ̂ ∈ 𝐼 cuadrante, entonces 𝛼 ̂ = −30° 
d) Si 𝑡𝑔 𝛼 ̂ = 2 entonces 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ̂ = 0,5 
e) El único ángulo cuyo seno vale 0,5 es 30° 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) La relación que existe entre seno, coseno y tangente de un mismo ángulo 𝛼 ̂es que 𝑡𝑔 𝛼 ̂ =…………. 
b) Si 𝑠𝑒𝑐 �̂� = −2 𝑦 𝛼 ̂ ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 entonces 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ̂ =……………………… y 𝑐𝑜𝑡𝑔 �̂� =………………..………. 
c) Sea 𝛼 ̂ ∈ 𝐼𝐼𝐼 cuadrante, si 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ̂ = −0,25, entonces 𝛼 ̂ =…………………y 𝑡𝑔 𝛼 ̂ =…………………….. 
d) Si 𝑡𝑔 𝛼 ̂ =
4
3
 𝑦 𝛼 ̂ ∈ 𝐼 𝐶, entonces 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ =……………………………. y cos𝛼 ̂ =………………………. 
e) 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂
+
cos𝛼 ̂
sec𝛼 ̂
= …………………………………………………………………………………………………... 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) De las siguientes expresiones, la que no es una identidad, es: 
 𝐴) 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂+ cos2𝛼 ̂ = 1 𝐵) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ = 𝑡𝑔 𝛼 ̂. cos𝛼 ̂ 𝐶) 1+ cotg2 𝛼 ̂ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 ̂ 𝐷) 1− sec2 𝛼 ̂ = 𝑡𝑔2 𝛼 ̂ 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ +
cos2 𝛼 ̂
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂
= 
 𝐴) 𝑆𝑒𝑛 𝛼 ̂ 𝐵) Cos 𝛼 ̂ 𝐶) 𝑆𝑒𝑐 𝛼 ̂ 𝐷) 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂ 
c) De las siguientes expresiones, la que es una identidad es: 
 𝐴) 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂ = 1 + cos2 𝛼 ̂ 𝐵) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ̂ = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ̂ 𝐶) 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ̂ =
1
sec2 𝛼 ̂
 𝐷) sec 𝛼 ̂ =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂
 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.29  
d) sec𝛼 ̂(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂) = 
 𝐴) cos𝛼 ̂ 𝐵) sen𝛼 ̂ 𝐶) sec𝛼 ̂ 𝐷) 1 
e) Al simplificar 𝑡𝑔 𝛼 ̂(1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝛼 ̂) + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ̂(1 − 𝑡𝑔2𝛼 ̂), se obtiene 
 𝐴) 𝑐𝑜𝑠 180° 𝐵) 𝑠𝑒𝑛 90° 𝐶) 𝑠𝑒𝑛 30° 𝐷) 𝑐𝑜𝑠 60° 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: “ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS” 
1º.- Dadas las siguientes ecuaciones trigonométricas: 
𝑎) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ = 0,32 𝑏) 𝑡𝑔 𝛼 ̂ = −1 𝑐) cos 𝛼 ̂ = 0,5 
𝑑) sec 𝛼 ̂ =
2
√3
 𝑒) sen 𝛽 ̂ = √3/2 cosec 𝛽 ̂ 𝑓)2 cos 𝛼 ̂ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ + cos 𝛼 ̂ = 0 
𝑔) 2 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂ − 5 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ − 3 = 0 ℎ) 5 − 4 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼 ̂ 𝑖) 𝑡𝑔 𝛽 ̂ = 3 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 ̂ 
𝑗) cos2 𝛼 ̂ − 3 cos 𝛼 ̂ + 2 = 0 𝑘) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ + 2 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 ̂ 𝑙) 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ̂ − 𝑠𝑒𝑛𝛼 ̂ = cos2 𝛼 ̂ 
𝑚) 𝑡𝑔 𝛼 ̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 ̂ = 2 𝑛) 𝑡𝑔2𝛼 ̂ + 3 sec 𝛼 ̂ = −3 ñ) cos 𝛼 ̂ − √3𝑠𝑒𝑛 𝛼 ̂ = 1 
𝑜) 3 𝑡𝑔2𝛼 ̂ + 5 =
7
cos 𝛼 ̂
 𝑝) ( 2 𝑐𝑜𝑠 �̂�+ 1)(cosec �̂�+ 2) = 0 
i) Hallar, cuando sea posible, los valores de 𝛼 ̂ ∈ [0, 2𝜋) que las verifiquen. 
ii) Verificar los valores encontrados. 
iii) Encontrar las expresiones para todas las soluciones reales (𝑐𝑜𝑛 𝛼,̂ 𝛽,̂ �̂� ∈ ℝ) 
2º.- Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥)2 = 1 + cos 𝑥 con 𝑥 ∈ [0°, 360°) e 
indicar el resultado de la suma de las 2 y 3 soluciones positivas. 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 10 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) El ángulo positivo 𝑥 ∈ [0°, 360°) que cumple sec 𝑥 = 1 es 0° 
b) El único ángulo 𝑥 ∈ 𝐼𝑉 𝐶que cumple 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −0,5 es 330° 
c) El mayor ángulo 𝑥 ∈ [0°, 360°) que verifica 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 es 0° 
d) El único valor de 𝑥 que verifica cos 7𝑥 = cos 210°es 𝑥 = 30° 
e) Todos los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 que verifican 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1 son 180° + 360° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Si cos 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 ∈ [0°, 360°), entonces 𝑥1 =……………………….. y 𝑥2 =……….……………………… 
b) Los infinitos valores de 𝑥 que verifican la ecuación 𝑡𝑔 𝑥 = 0 son, 𝑥 =…………………………………….. 
c) Los valores de 𝑥 que verifican la ecuación 2 𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 − 3 = 0 son: …………………………………… 
d) Los dos valores de 𝑥 que satisfacen la ecuación 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 60°) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 30°) son:………………….... 
e) Los infinitos valores de 𝑥 que satisfacen la ecuación 𝑡𝑔 (
𝑥+45°
2
) = √3 son, 𝑥 =………………………….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.30  
a) Si 𝑡𝑔 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 ∈ [0°, 360°), entonces el valor de x es: 
 𝐴) 45° 𝐵) 225° 𝐶) 270° 𝐷) 315° 
b) Si cos 𝑥 = −1 los infinitos valores den 𝑥 que verfican la ecuación son: 
 𝐴) 180° + 360° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 𝐵) 0° + 360° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 
 𝐶) 180° + 90° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 𝐷) 180° + 360° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑁 
c) Los infinitos valores de 𝑥 que verfican la ecuación 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 son: 
 𝐴) 90° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 𝐵) 180° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑁 𝐶) 180° 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍 𝐷) 180° 
d) Si 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 0,5 los dos valores de x que satisfacen la ecuación son: 
 𝐴) 15° 𝑦 90° 𝐵) 25° 𝑦 75° 𝐶) 15° 𝑦 75° 𝐷) 25° 𝑦 90° 
e) El valor de 𝑥 ∈ [0°, 360°), que satisface la ecuación 2 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 + 15°) = 1 es 
 𝐴) 90° 𝐵) 30° 𝐶) 60° 𝐷) 7° 15′ 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 11: “VECTORES – OPERACIONES” 
1º.- Convertir cada una de las siguientes cantidades a la unidad indicada y expresar el resultado en 
notación científica. 
a) 125 kgf a N b) 350 dam a km c) 800.000 cg a kg 
d) 450 cm/s2 a m/s2 e) 200.000 mm a m f) 22 N a kgf 
g) 0,3 tn a kg h) 2.250 cm/s a m/s i) 82 g/scm3 a lb/hpie3 
2º.- Representar los siguientes vectores en un sistema de ejes cartesianos ortogonales 
a) Con origen en (0; 0) y extremo en (2; 3) 
b) Con origen en (0; 0) y extremo en (-3; -2) 
c) Expresar, los vectores anteriores, en notación de vectores unitarios y calcular sus módulos. 
3º.- Dados los puntos A (–2,3); B (–1, 4) y C (–1, –2): 
a) Hallar cau

= ; bcv

= ; cbw

= ; vu

+ ; uw

− ; wv

+2 y wv

−
2
1
 
b) Representar los vectores + −; ; ; ; u v w u w w v en un mismo sistema de coordenadas 
cartesiana: 
c) Calcular los módulos de: + −; ; ; ; u v w u w w v 
4º.- Representar gráficamente los siguientes vectores y expresar su valor como la descomposición en los 
ejes coordenados (par ordenado de coordenadas). 
a) p⃗ = (13; 65º) b) f = (8; 145º) c) k⃗ = (5; 260º) d) g⃗ = (3; 330º) 
5º.- Determinar el punto Q para que el vector AB sea equivalente al vector PQ si: 
a) A (–2, –1), B (0,3), P (–3, 1) 
b) A (–1, 2), B (2, –2), P (3, –5) 
6º.- Dados los vectores: )4 ,2( );1 ,2( );4 ,2( );2 ,1( =−=−−== edca

 
 
a) Representarlos en un mismo sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 
b) Indicar que par de vectores son paralelos y cuales perpendiculares. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.31  
c) Verificar analíticamente el ítem anterior. 
d) ¿Qué vectores son paralelos y con el mismo sentido? Justificar. 
e) ¿Qué vectores son paralelos y con distinto sentido? Justificar. 
7º.- Tomando como referencia la figura, en términos de los vectores 𝐴 ⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝐵 ⃗⃗ ⃗ , expresar los vectores: 
a) 𝑃 ⃗⃗ ⃗; 𝑏) 𝑅 ⃗⃗ ⃗ ; 𝑐) 𝑆 ⃗⃗⃗ 𝑦 𝑑) 𝑄 ⃗⃗ ⃗ . 
8º.- Dado los vectores 𝐴 ⃗⃗ ⃗ = (−1, 3) ; 𝐵 ⃗⃗ ⃗ = (6, 2) 𝑦 𝐶 ⃗⃗ ⃗ = (4, −2): 
a) Calcular los siguientes productos escalares: 𝐴 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ ; 𝐴 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶 ⃗⃗ ⃗ ; 𝐶 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝐶 ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴 ⃗⃗ ⃗ . 
b) Determinar los ángulos entre los vectores 𝐴 ⃗⃗ ⃗𝑦 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ; 𝐴 ⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝐶 ⃗⃗ ⃗ y 𝐶 ⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
 
 
9º.- Un repartidor de un supermercado transporta la mercadería desde el 
negocio hasta la casa de un cliente. El empleado conduce la combi por la 
ruta que se indica en la figura. a) Determinar el desplazamiento desde el 
supermercado hasta la casa del cliente. b) Calcular el módulo y la dirección 
del vector desplazamiento. 
 
 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 11 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o F), NO justificar la respuesta. 
a) Con los puntos 𝑃(0,2) 𝑦 𝑄(−3, 5) se puede obtener el vector 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, −3) 
b) El módulo del vector 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (−3, 4) es 5 [ ul ]. 
c) Los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (35, −21) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (−10, 6) tienen la misma dirección 
d) Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo y dirección 
e) Los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 − 1𝑗 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = −2𝑖 − 6𝑗 son perpendiculares 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) Sean los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (3, −1) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (−2,−2) entonces: −2𝑢 ⃗⃗ ⃗ +
1
2
𝑣 ⃗⃗⃗ =………………………………….. 
FACULTAD DE INGENIERÍA – CURSO DE NIVELACIÓN 2022 
 Pág.32  
b) Sean los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (2, 𝑘) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (3, −2), el valor de 𝑘 para que 𝑢 ⃗⃗ ⃗ ∥ 𝑣 ⃗⃗⃗ , es 𝑘 =…………….……..… 
c) Sabiendoque | 𝑎 | = 3 𝑦 𝑎 ⃗⃗⃗ = (2, 𝑘) el valor de 𝑘 es, 𝑘 =……………………………………………………. 
d) El radio de la circunferencia de centro 𝐶(8, −2) y que pasa por el punto (1, 4), es……………………… 
e) El ángulo, �̂�, que forman los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (3, −1) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (−3, 1) es, �̂� =……………………………….. 
3.- Colocar en el recuadro la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar N. 
a) Sea el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5, −2) y el extremo 𝐵(12,−3), entonces las coordenadas del punto 𝐴 son: 
 𝐴) 𝐴(−7,−1) 𝐵) 𝐴(7, 1) 𝐶) 𝐴(7, −1) 𝐷) 𝐴(5, −1) 
b) Un vector 𝑢 ⃗⃗ ⃗ perpendicular a 𝑣 ⃗⃗⃗ = (−3, 6) y cuya primera componenete es 2, es: 
 𝐴) 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (2, −1) 𝐵) 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (−2, 1) 𝐶) 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (2, 1) 𝐷) 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (−2,−1) 
c) Si se sabe que 𝑘. 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (−6, 12) 𝑦 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = (3, −6) entonces el valor de 𝑘 es: 
 𝐴) 𝑘 = 2 𝐵) 𝑘 = −2 𝐶) 𝑘 = −
1
2
 𝐷) 𝑘 =
1
2
 
d) Sean los vectores 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 9𝑖 + 3𝑗 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = −5𝑖 + 4𝑗 entonces las coordenadas de 2𝑢 ⃗⃗ ⃗ + 3𝑣 ⃗⃗⃗ son: 
 𝐴) 3𝑖 + 18𝑗 𝐵) − 3𝑖 + 18𝑗 𝐶) 3𝑖 − 18𝑗 𝐷) − 3𝑖 − 18𝑗 
e) Sabiendo que 𝑢 ⃗⃗ ⃗ = 𝑘𝑖 − 3𝑗 𝑦 | 𝑢 ⃗⃗ ⃗ | = 5 los valores de 𝑘 son 
 𝐴) 𝑆𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝐵) 𝑆𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 − 4 𝐶) ± 34 𝐷) ± 4 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
Sean los puntos A(1,5) y B(5,8). El vector 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es y su módulo es 
 
(4,3) A 
(-4, -3) B 
 
 5 [𝑢𝑙] C 
− 5 [𝑢𝑙] D