TPN8-CN2022

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (APLICACIONES) - TRIÁNGULOS” 
1°.- Dada la gráfica de la función y= sen x 
 
a) Ubicar aproximadamente sobre el eje de las abscisas: 𝜋/2, 𝜋,3/2𝜋,2𝜋 y sus respectivos 
opuestos. 
-2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π
 
b) Determinar el dominio y la imagen de la función. 
Dom=R Img=[-1,1] 
c) ¿Qué significa que la función seno tenga periodo 2𝜋? 
Significa que el valor de la función es el mismo cada 2π unidades 
d) Confeccionar un cuadro que resuma el crecimiento o decrecimiento de la función. 
Cuadrante Intervalo Signo Creciente o decreciente 
I (0,π/2] + Creciente 
II (π/2, π) + Decreciente 
III (π, 3 π/2] - Decreciente 
IV (3π/2, 2π) - Creciente 
e) Determinar la intersección con el eje de las ordenadas. 
Intercepta al eje de las ordenadas en el origen (0,0) 
f) Determinar todos los valores en donde la función intercepte al eje de las abscisas. 
Intercepta al eje de las abscisas en x= n.π, con n ∈ nº Z. 
g) ¿Cuál es el máximo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
El máximo valor es y=1, para x= (2 n-1) π/2, con n ∈ nº Z impares 
h) ¿Cuál es el mínimo valor que alcanza la función? ¿Para qué ángulos alcanza dicho valor? 
El mínimo valor es y=-1, para x= (2 n-1) π/2, con n ∈ nº Z pares 
i) Nombrar dos intervalos donde la función sea positiva y dos donde sea negativa. 
Función positiva en (-2 π,-π) y (0, π). 
Función negativa en (-π, 0) y (π, 2π). 
j) Determinar aproximadamente 𝑠en 𝜋/6 𝑦 𝑠en 5/6𝜋 ¿Cómo resultó el seno de estos dos 
ángulos? 
𝑠en 𝜋/6=0,5 𝑠en 5/6𝜋=0,5 
k) ¿Se puede establecer alguna relación entre estos dos ángulos? 
Son ángulos suplementarios. 
l) Determinar 𝑥 sabiendo que: 
𝑖) sen 𝑥=0,5 𝑦 𝑥 ∈𝐼𝐼 𝑐 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,5 =
5
6
π ∈ 𝐼𝐼 𝐶 
𝑖𝑖) 𝑠en𝑥 =−0,5 𝑦 𝑥∈𝐼𝐼𝐼 𝑐 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 − 0,5 =
7
6
π ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 
2º.- Resolver usando la calculadora: 
a) 𝑠𝑒𝑛 80°25′ = 0,9860 
b) 𝑐𝑜𝑠 188° = −0,9903 
c) 𝑠𝑒𝑐 (
2
3
𝜋) =
1
𝑐𝑜𝑠 (
2
3
𝜋)
=
1
cos 120°
= −2 
d) 𝑡𝑔 
𝜋
3
= 𝑡𝑔 60° = √3 
e) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (
7
4
𝜋) =
1
𝑠𝑒𝑛 (
7
4
𝜋)
=
1
𝑠𝑒𝑛 315°
= −√2 
f) 𝑐𝑜𝑡𝑔 5,78 =
1
𝑡𝑔 5,78 
=
1
𝑡𝑔 331°10′11′′ 
= −1,8167 
g) 𝑐𝑜𝑠 220,8° = −0,7570 
h) 𝑠𝑒𝑐 356° =
1
𝑐𝑜𝑠 356°
= 1,0024 
3°.- Resolver usando la calculadora: 
a) 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,5 = 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,5 = 30° ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,5 = 150° ∈ 𝐼𝐼 𝐶 
 
b) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 18 = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
c) 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
2
3
= 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
2
3
= 33°41′24′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
2
3
= 213°41′24′′ ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 
 
d) 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2,53 = 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2,53 = 68°26′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 2,53 = 248°26′ ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 
 
e) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,99 = 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,99 = 8°6′35′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,99 = 351°53′25′′ ∈ 𝐼𝑉 𝐶 
 
f) 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (−2,3) = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
g) 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,8 = 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,8 = 36°52′12′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,8 = 323°7′48′′ ∈ 𝐼𝑉 𝐶 
 
h) 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,356 = 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,356 = 20°51′17′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,356 = 159°8′43′′ ∈ 𝐼𝐼 𝐶 
 
4°.- Encontrar el valor de los siguientes ángulos: 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,39 
𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,39 = 22°57′16′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 0,39 = 157°2′44′′ ∈ 𝐼𝐼 𝐶 
b) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 1,48 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
c) 𝑠𝑒𝑐 𝛿 = 5,6 
1
𝑐𝑜𝑠𝛿
= 5,6 
𝑐𝑜𝑠𝛿 =
1
5,6
 
𝛿1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
1
5,6
) = 79°42′48′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝛿2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (
1
5,6
) = 280°17′12′′ ∈ 𝐼𝑉 𝐶 
d) 𝑡𝑔 𝜎 = 5,6 
𝜎1 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 5,6 = 79°52′31′′ ∈ 𝐼 𝐶 
𝜎2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 5,6 = 259°52′31′′ ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶 
5º.- Calcular x en cada una de las siguientes figuras: 
 
𝑥 = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ − 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
𝑥 = 102,87 − 3,68 
𝑥 = 99,19 
A
B
D
85° 
85° 
9 
Cálculo de BD 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 85° =
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 85° =
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
9
 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 9 𝑡𝑔 85° 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 102,87 
9A D
C
22°15' 
 
Cálculo de CD 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 22°15′ =
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 22°15 =
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
9
 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 9 𝑡𝑔 22°15′ 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 3,68 
 
 
𝑥 = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ − 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
𝑥 = 12,60 − 9,12 
𝑥 = 3,48 
 
D
A
B
34° 
8,5
 
Cálculo de BD 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 34° =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 34° =
8,5
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 34° ∗ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 8,5 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =
8,5
𝑡𝑔34°
 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 12,60 
C
A
B
43° 
8,5
 
 
Cálculo de BC 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 43° =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 43° =
8,5
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 43° ∗ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 8,5 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ =
8,5
𝑡𝑔43°
 
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 9,12 
6°.- Calcular el perímetro y el área de los siguientes triángulos: 
 
 
 
A
B
M
37° 
3
 
Cálculo de BM 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 37° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛37° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
3
 
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 3 𝑠𝑒𝑛 37° 
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 1,805 
Cálculo de AM 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑜𝑠 37° =
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 
𝑐𝑜𝑠 37° =
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
3
 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 3 𝑐𝑜𝑠 37° 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 2,396 
C
B
M
4,5
1,805
 
Cálculo de MC 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅2 + 𝑀𝐶̅̅̅̅̅2 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅2 = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 − 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅2 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅2 = 4,52 − 1,8052 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅ = √16,99 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅ = 4,12 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ + 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 2,396 + 4,12 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 6,516 
Cálculo de Perímetro 
𝑃 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅̅̅ 
𝑃 = 3 + 4,5 + 6,516 
𝑃 = 14,016 
Cálculo del Área 
𝐴 =
𝐴𝐶̅̅̅̅ ∗ 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
2
 
𝐴 =
6,516 ∗ 1,805
2
 
𝐴 = 5,88 
 
 
Cálculo de Perímetro 
𝑃 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅̅̅ 
𝑃 = 4 + 8 + 6,93 
𝑃 = 18,93 
Cálculo del Área 
𝐴 =
𝐴𝐶̅̅̅̅ ∗ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
2
 
𝐴 =
6,93 ∗ 4
2
 
𝐴 = 13,86 
Cálculo de BC 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
4
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛 30° ∗ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 4 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =
4
𝑠𝑒𝑛 30°
 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 8 
Cálculo de AC 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
𝑡𝑔 30° =
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑡𝑔 30° =
4
𝐴𝐶̅̅̅̅
 
𝑡𝑔 30° ∗ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 4 
𝐴𝐶̅̅̅̅ =
4
𝑡𝑔30°
 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 6,93 
 
 
 
C
B
M
30° 
3
 
Cálculo de BM 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛30° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
3
 
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 3 𝑠𝑒𝑛 30° 
Cálculo de MC 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑜𝑠 30° =
𝑀𝐶̅̅̅̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 
𝑐𝑜𝑠 30° =
𝑀𝐶̅̅̅̅̅
3
 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅ = 3 𝑐𝑜𝑠 30° 
 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 1,5 
𝑀𝐶̅̅̅̅̅ =
√3
2
 
A
B
M
1,5
45° 
 
Cálculo de AB 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 45° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛 45° =
1,5
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
 
𝑠𝑒𝑛 45° ∗ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1,5 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
1,5
𝑠𝑒𝑛 45°
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √2 
Cálculo de AM 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 45° =
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
 
𝑡𝑔 45° =
1,5
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
 
𝑡𝑔 45° ∗ 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 1,5 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ =
1,5
𝑡𝑔45°
 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 1,5 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ + 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 1,5 +
3√3
2
 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 4,098 
Cálculo de Perímetro 
𝑃 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅̅̅ 
𝑃 = √2 + 3 + 4,098 
𝑃 = 8,512 
Cálculo del Área 
𝐴 =
𝐴𝐶̅̅̅̅ ∗ 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
2
 
𝐴 =
4,098 ∗ 1,5
2
 
𝐴 = 3,0735 
 
7°.- Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre la horizontal es de 30º una torre proyecta una 
sombra de 75m. ¿Qué altura tiene la torre? 
75m
30° 
h
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 30° =
ℎ
75 𝑚
 
ℎ = 𝑡𝑔 30° ∗ 75 𝑚 
ℎ = 43,30 𝑚 
b) Cuando se apoya una escalera de 3 metros de largo en una de las paredes de un pasillo 
llega a una altura de 2,80 meros. Si se la inclina sobre la otra pared, sin mover su punto de 
apoyo en el piso, llega a 2,90 metros de altura. Calcular el ancho del pasillo. 
ℎ𝑖𝑝2 = 𝑐𝑎𝑡2 + 𝑐𝑎𝑡2 
(3𝑚)2 = 𝑥2 + (2,8𝑚)2 
𝑥2 = (3𝑚)2 − (2,8𝑚)2 
𝑥2= 9𝑚2 − 7,84𝑚2 
ℎ𝑖𝑝2 = 𝑐𝑎𝑡2 + 𝑐𝑎𝑡2 
(3𝑚)2 = 𝑥2 + (2,9𝑚)2 
𝑥2 = (3𝑚)2 − (2,9𝑚)2 
𝑥2 = 9𝑚2 − 8,41𝑚2 
x y
3m 3m
2,9m2,8m
 
𝑥 = √1,16𝑚2 
𝑥 = 1,077𝑚 
𝑥 = √0,59𝑚2 
𝑥 = 0,768𝑚 
 
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑥 + 𝑦 
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 1,077𝑚 + 0,768𝑚 
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 1,845𝑚 
 
c) Sobre un peñasco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. 
Desde el extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la 
orilla opuesta es de 28º40’ y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo 
punto es de 18º20’. Encontrar el ancho del río y la altura del peñasco. 
125m 28°40'
18°20'
h
x
 
 
18°20'
h
x
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 18°20′ =
ℎ
𝑥
 
ℎ = 𝑡𝑔 18°20′ ∗ 𝑥 (1) 
 
125m+h
28°40'
x 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 28°40′ =
125𝑚 + ℎ
𝑥
 
125𝑚 + ℎ = 𝑡𝑔 28°40′ ∗ 𝑥 (2) 
Reemplazando h de (1) en (2) 
125𝑚 + 𝑡𝑔 18°20′ ∗ 𝑥 = 𝑡𝑔 28°40′ ∗ 𝑥 
125𝑚 + 0,331𝑥 = 0,547𝑥 
125𝑚 = 0,547𝑥 − 0,331𝑥 
0,216𝑥 = 125𝑚 
𝑥 =
125𝑚
0,216
 
𝑥 = 578,70𝑚 
Reemplazando x en (1) 
ℎ = 𝑡𝑔 18°20′ ∗ 578,70𝑚 
ℎ = 191,76𝑚 
 
d) La longitud de la sombra de una persona de 1,80m de altura producida por un foco de 
alumbrado es, inicialmente 3,60m. Después la persona se para justo en el lugar donde 
terminaba su sombra y comprueba que ahora aquella mide 4m ¿A qué altura del piso está 
el foco? 
h
x 3,6m 4m
1,8m
α β 
 
Cálculo de α 
𝑡𝑔 𝛼 =
1,8𝑚
3,6𝑚
 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
1
2
) 
𝛼 = 26,565° 
Cálculo de β 
𝑡𝑔 𝛽 =
1,8𝑚
4 𝑚
 
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (0,45) 
𝛽 = 24,228° 
 
 
x+3,6m
h
α
 
𝑡𝑔 26,565° =
ℎ
𝑥 + 3,6𝑚
 
1
2
∗ (𝑥 + 3,6𝑚) = ℎ 
𝑥 + 3,6𝑚 = 2ℎ 
𝑥 = 2ℎ − 3,6𝑚 (1) 
 
x+7,6m
h
β 
 
𝑡𝑔 24,228° =
ℎ
𝑥 + 7,6𝑚
 
Reemplazando x de ec. 1 
𝑡𝑔 24,228° =
ℎ
2ℎ − 3,6𝑚 + 7,6𝑚
 
0,45 =
ℎ
2ℎ + 4𝑚
 
0,45 ∗ (2ℎ + 4𝑚) = ℎ 
0,9ℎ + 1,8𝑚 = ℎ 
1,8𝑚 = ℎ − 0,9ℎ 
1,8𝑚 = 0,1ℎ 
1,8𝑚
0,1
= ℎ 
ℎ = 18𝑚 
e) Dado el triángulo rectángulo de la figura cuya hipotenusa es 𝑐 = 2√𝑎𝑏 (donde a y b son los 
catetos). Calcular el resultado de la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos 
agudos de dicho triángulo. 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑎
𝑏
 
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑎
 
 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 =
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 =
𝑐2
𝑎𝑏
 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 =
(2√𝑎𝑏)2
𝑎𝑏
 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 =
4𝑎𝑏
𝑎𝑏
 
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽 = 4 
 
 
AUTOEVALUACIÓN TRABAJO PRÁCTICO 8 
1.- Responder Verdadero o Falso (V o R), NO justificar la respuesta. 
a) Si 𝛼 ∈𝐼𝐼 C entonces 𝑠en 𝛼 >0 𝑦 cos 𝛼 <0 V 
b) El seno es negativo en el segundo y cuarto cuadrante F 
c) Si 𝑡g 𝛼 <0, entonces 𝑠en 𝛼<0 𝑦 𝑐os 𝛼 <0 F 
d) La tangente de 90° no existe V 
e) La tangente y cotangente de un ángulo siempre tienen el mismo signo V 
2.- Completar con la respuesta correcta. 
a) A 8 m de la base del tronco de un árbol se observa la parte superior de su copa con un ángulo 
de 36,87°. La altura ℎ del árbol es, ℎ= 6m 
36,87° 
8m
h
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 36,87° =
ℎ
8 𝑚
 
ℎ = 𝑡𝑔 36,87° ∗ 8 𝑚 
ℎ = 6 𝑚 
b) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm y el ángulo agudo de la base es 𝛼, 
entonces 𝑠en 𝛼= 3/5 y cos 𝛼= 4/5 
4
3
α
 
ℎ𝑖𝑝2 = 𝑐𝑎𝑡2 + 𝑐𝑎𝑡2 
ℎ𝑖𝑝2 = 42 + 32 
ℎ𝑖𝑝2 = 16 + 9 
ℎ𝑖𝑝 = √25 
ℎ𝑖𝑝 = 5 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
3
5
 
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
4
5
 
 
c) Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio con un 
ángulo de elevación de 45°. La distancia entre ambos en línea recta es de 210 m. La altura del otro 
edifico es de 360 m. 
150m
210m
x
45° 
 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 45° =
𝑥
210 𝑚
 
𝑥 = 𝑡𝑔 45° ∗ 210𝑚 
𝑥 = 210 𝑚 
ℎ = 𝑥 + 150𝑚 
ℎ = 210𝑚 + 150𝑚 
ℎ = 360𝑚 
d) Si 𝑡g 𝛼 >0 𝑦 cos 𝛼 <0, entonces el cuadrante al que pertenece 𝛼 es el III C 
e) Si la cosecante de un ángulo es negativa, significa que el seno del mismo ángulo es negativo 
3.- Colocar en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, colocar 
N. 
a) Se quiere sujetar un poste de 20 m de alto desde la parte superior del mismo al piso de tal 
manera que forme un ángulo de 30°. Si el metro de cable cuesta $120, el precio total del cable a 
usar es de: C 
A) $ 48 B) $ 480 C) $ 4800 D) $ 240 
30° 
20m
L
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
20𝑚
𝐿
 
𝐿 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30° = 20𝑚 
𝐿 =
20𝑚
𝑠𝑒𝑛 30°
 
𝐿 = 40 𝑚 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 ∗ 𝐿 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $120 ∗ 40 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $4800 
 
b) La fórmula para calcular la longitud de la mediana, 𝑙𝑚, de un triángulo equilátero de lado 𝑑, es: C 
𝐴) 𝑙𝑚=𝑑.𝑠en 30° 𝐵) 𝑙m=𝑑 .𝑐os 60° 𝐶) 𝑙𝑚=𝑑.𝑠en 60° 𝐷) 𝑙𝑚=𝑑/𝑠en 60° 
d
60° 
lm
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 60° =
𝑙𝑚
𝑑
 
𝑙𝑚 = 𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° 
c) Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 30° y su cateto opuesto 4 cm, entonces la 
hipotenusa, 𝑥, y el otro cateto, 𝑦, miden: A 
𝐴) 𝑥=8 𝑐m , 𝑦=6,9 𝑐m 𝐵) 𝑥=6,9 𝑐m , 𝑦=8 𝑐m 𝐶) 𝑥=8 𝑐m ,𝑦=7,9 𝑐m 𝐷) 𝑥=4 𝑐m ,𝑦=6,9 cm 
30° 
4cm
x
y
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 
𝑠𝑒𝑛 30° =
4𝑐𝑚
𝑥
 
𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30° = 4𝑐𝑚 
𝑥 =
4𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛 30°
 
𝑥 = 8𝑐𝑚 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
 
𝑡𝑔 30° =
4𝑐𝑚
𝑦
 
𝑦 ∗ 𝑡𝑔 30° = 4𝑐𝑚 
𝑦 =
4𝑐𝑚
𝑡𝑔 30°
 
𝑦 = 6,92𝑐𝑚 
d) Las medidas de los lados de un triángulo son 6, 8 y 10 cm, entonces se trata de un triángulo: D 
A) Obtusángulo B) Acutángulo C) Isósceles D) Rectángulo 
ℎ𝑖𝑝2 = 𝑐𝑎𝑡2 + 𝑐𝑎𝑡2 
102 = 62 + 82 
100 = 36 + 64 
100 = 100 
Se verifica el Teorema de Pitágoras por lo tanto es un triángulo rectángulo. 
e) Un tronco de 6,2 m está apoyado sobre una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°. La 
distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared es de: B 
A) 5,08 m B) 3,53 m C) 8,85 m D) 35,3 m 
55° 
6,2m
x
 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦
ℎ𝑖𝑝
 
𝑐𝑜𝑠 55° =
𝑥
6,2 𝑚
 
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 55° ∗ 6,2 𝑚 
𝑥 = 3,55 𝑚 
4.-Marcar con tinta, la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los siguientes 
enunciados. 
Sea la función (𝑥)=cos𝑥 en el intervalo (90º, 180º), f(x) es negativa 
y el menor valor que toma es -1