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Graficas	de	funciones	lineales	y	cuadraticas	ejercicios	resueltos
Capítulo	del	libro	(teoría	y	ejercicios)	–	SISTEMAS	DE	REPRESENTACIÓN	EN	EL	PLANO	(ejes	de	coordenadas	o	cartesianos,	coordenadas	cartesianas),	FUNCIONES	(concepto,	gráfica	de	una	función,	función	afín	y	cuadrática,	gráficas	de	funciones	con	geogebra,	gráficas	de	funciones	lineales	y	afines),	CARACTERÍSTICAS	DE	UNA	FUNCIÓN
(continuidad,	monotonía:	crecimiento	y	decrecimiento,	extremos:	máximos	y		mínimos,	simetría,	periodicidad)	–	Apuntes	Marea	Verde	Resumen	teoría	–	funciones	lineales	–	IES	Complutense	Resumen	teoría	–	funciones	cuadráticas	–	IES	Complutense	CON	SOLUCIONES:	SIN	SOLUCIONES:	Funciones	lineales	y	cuadráticas	Problemas	métricos	en	el
plano	Explicamos	los	conceptos	básicos	relacionados	con	las	funciones	lineales	y	resolvemos	algunos	problemas.	Índice:	Definición	y	ejemplo	Pendiente	y	ordenada	Gráfica	Puntos	de	corte	con	los	ejes	Función	a	partir	de	dos	puntos	Intersección	de	dos	funciones	Paralelas	y	perpendiculares	Problemas	resueltos	1.	Definición	y	ejemplo	Una	función
lineal	es	una	función	polinómica	de	primer	grado.	Es	decir,	tiene	la	siguiente	forma	siendo	\(meq	0\).	\(m\)	es	la	pendiente	de	la	función	\(n\)	es	la	ordenada	(en	el	origen)	de	la	función	La	gráfica	de	una	función	lineal	es	siempre	una	recta.	La	pendiente	de	la	función	es	\(m=2\)	y	la	ordenada	es	\(n=-1\).	2.	Pendiente	y	ordenada	La	pendiente	es	el
coeficiente	de	la	variable,	es	decir,	\(m\).	Geométricamente,	cuanto	mayor	es	la	pendiente,	más	inclinada	es	la	recta.	Es	decir,	más	rápido	crece	la	función.	Si	la	pendiente	es	positiva,	la	función	es	creciente.	Si	la	pendiente	es	negativa,	la	función	es	decreciente.	Rectas	con	pendientes	1,	2,	3	y	-1:	Observad	que	la	recta	con	pendiente	negativa	\(-1\)	es
decreciente	(la	roja).	
Las	otras	tres	rectas	son	crecientes.	De	las	rectas	crecientes,	la	que	crece	más	rápidamente	es	la	verde	(pendiente	\(3\)).	3.	Gráfica	Como	una	función	lineal	es	una	recta,	para	representar	su	gráfica	sólo	tenemos	que	trazar	la	recta	que	une	dos	de	sus	puntos.	Para	ello,	calculamos	la	imagen	de	dos	puntos	cualesquiera.	La	definición	formal	de	la
gráfica	de	la	función	es	el	conjunto	de	puntos	siguiente:	$$	\{	(x,	f(x))\}$$	Vamos	a	representar	la	gráfica	de	la	función	Hacemos	una	tabla	para	calcular	dos	puntos	de	la	gráfica:	Representamos	la	recta	a	partir	de	los	puntos	\((4,5)\)	y	\((-2,-7)\):	Observad	que	la	recta	corta	al	eje	Y	por	debajo	del	eje	X,	esto	se	debe	a	que	la	ordenada	es	negativa	(\(n	=
-3\)).	
4.	Puntos	de	corte	con	los	ejes	Una	función	lineal	siempre	corta	al	eje	Y	en	un	punto.	También,	corta	al	eje	X	en	un	punto.	El	punto	de	corte	con	el	eje	Y	es	el	punto	de	la	recta	que	tiene	la	primera	coordenada	igual	a	\(0\):	El	punto	de	corte	con	el	eje	X	es	el	punto	de	la	recta	que	tiene	\(0\)	en	la	segunda	coordenada.	Se	calcula	igualando	a	\(0\)	la
función	y	resolviendo	la	ecuación	obtenida.	Calculamos	los	puntos	de	corte	de	la	función	del	ejemplo	anterior,	Corte	con	el	eje	Y:	Es	el	punto	Observad	que	la	segunda	coordenada	es	la	ordenada.	Corte	con	el	eje	X:	Es	el	punto	5.	
Función	a	partir	de	dos	puntos	Si	tenemos	dos	puntos	de	la	recta,	podemos	calcular	la	expresión	algebraica	de	la	función.	Sólo	tenemos	que	sustituir	las	coordenadas	de	los	puntos	en	la	forma	general	de	la	función	y	resolver	el	sistema	de	ecuaciones.	Vamos	a	calcular	la	función	lineal	que	pasa	por	los	puntos	\((1,2)\)	y	\((2,7)\).	Tenemos	que	hallar	la
pendiente,	\(m\),	y	la	ordenada,	\(n\).	Primer	punto	Como	\(x	=1\)	e	\(y=2\),	sustituyendo,	Segundo	punto	Como	\(x	=2\)	e	\(y=7\),	sustituyendo,	Tenemos	el	sistema	Resolviendo	el	sistema,	por	ejemplo,	por	reducción,	tenemos	que	\(m	=	5\)	(con	lo	que	\(n=-3\)).	Por	tanto,	se	trata	de	la	función	6.	Intersección	de	dos	funciones	Si	tenemos	dos	funciones
lineales,	podemos	preguntarnos	si	las	rectas	que	representan	se	cortan	y	en	qué	punto	lo	hacen.	Para	responder	esta	pregunta,	sólo	tenemos	que	igualar	las	dos	expresiones	algebraicas	y	resolver	la	ecuación.	Vamos	a	calcular	el	punto	de	corte	de	las	dos	siguientes	rectas:	Como	\(y	=	y\),	igualando,	Resolvemos	la	ecuación:	La	primera	coordenada	del
punto	de	corte	es	\(x=4\).	La	segunda	coordenada	la	obtenemos	calculando	su	imagen	en	alguna	de	las	dos	rectas:	Por	tanto,	el	punto	de	corte	es	\((4,7)\).	Gráfica:	7.	Paralelas	y	perpendiculares	Dos	rectas	son	paralelas	si	no	se	cortan	en	ningún	punto	(o	si	son	iguales).	Esto	ocurre	cuando	tienen	la	misma	pendiente,	\(m\).	Dos	rectas	son
perpendiculares	si	se	cortan	formando	un	ángulo	recto	(ángulo	de	45°).	Las	rectas	perpendiculares	a	la	recta	con	pendiente	\(m\)	son	las	que	tienen	pendiente	\(-1/m\).	Las	siguientes	rectas	son	paralelas	porque	tienen	la	misma	pendiente	(\(m=2\)):	Las	siguientes	rectas	son	perpendiculares	porque	la	pendiente	de	la	una	es	el	opuesto	del	inverso	de	la
pendiente	de	la	otra:	8.	Problemas	resueltos	Calcular	los	puntos	de	corte	con	los	ejes	y	representar	la	función.	¿Cuál	es	la	pendiente	de	la	recta?	Resolvemos:	La	pendiente	de	la	recta	es	\(m	=	-2\).	Como	es	negativa,	es	una	recta	decreciente.	La	recta	corta	al	eje	Y	cuando	\(x=0\),	por	tanto,	lo	hace	en	el	punto	La	recta	corta	al	eje	X	cuando	\(y=0\).
Tenemos	que	resolver	una	ecuación:	El	punto	de	corte	es	Como	tenemos	dos	puntos	de	la	recta,	podemos	representar	su	gráfica:	Calcular	y	representar	la	función	cuya	gráfica	es	una	recta	que	pasa	por	los	puntos	\((1,2)\)	y	\((-3,4)\).	¿Cuál	es	su	pendiente?	Resolvemos:	La	forma	general	de	una	recta	es	Vamos	a	calcular	\(m\)	y	\(n\)	sustituyendo	las
coordenadas	de	los	puntos.	Primer	punto:	Segundo	punto:	Tenemos	un	sistema	de	ecuaciones:	Restando	la	primera	ecuación	a	la	segunda	tenemos	Sustituyendo	\(m\),	tenemos	\(n	=	5/2\).	Por	tanto,	se	trata	de	la	función	Gráfica:	La	pendiente	de	la	función	es	\(m	=	-1/2\).	Las	pendientes	de	tres	rectas	son	\(m_1	=	1\),	\(m_2	=	-2\)	y	\(m_3	=	3\).	¿Cuál
de	ellas	crece	más	rápidamente?	¿Cuál	de	ellas	es	una	recta	decreciente?	Solución	La	recta	decreciente	es	la	que	tiene	la	pendiente	negativa,	\(m_2\).	Las	otras	dos	rectas	son	crecientes	y	crece	más	rápido	la	que	tiene	pendiente	\(m_3\).	Hallar,	si	existe,	el	punto	de	corte	de	las	siguientes	rectas:	¿Son	rectas	paralelas	o	perpendiculares?	Resolvemos:
Igualamos	las	funciones	para	calcular	el	punto	de	corte:	Resolvemos	la	ecuación:	Calculamos	\(y\)	a	partir	de	\(x\):	Las	rectas	se	cortan	en	el	punto	\((4,5)\).	Como	se	cortan,	no	pueden	ser	paralelas.	
Tampoco	son	perpendiculares	porque	las	pendientes	son	positivas	(es	indispensable	tener	pendientes	de	signo	contrario	para	ser	perpendiculares).	Gráfica:	Hallar,	si	existe,	el	punto	de	corte	de	las	siguientes	rectas:	¿Son	rectas	paralelas	o	perpendiculares?	Resolvemos:	Las	dos	rectas	tienen	la	misma	pendiente:	Por	tanto,	se	trata	de	dos	rectas
paralelas,	lo	que	significa	que	no	se	cortan,	a	no	ser	que	sean	la	misma	recta.	
Por	ejemplo,	el	punto	\((1,2)\)	es	un	punto	de	la	primera	función,	pero	no	de	la	segunda,	así	que	no	son	la	misma	recta.	Gráfica:	También,	podemos	igualar	las	funciones,	pero	como	las	rectas	son	paralelas,	obtendremos	una	igualdad	falsa.	Más	problemas	similares:	Rectas	y	parábolas.	Una	función	cuadrática	tiene	la	forma	$latex
f(x)=a{{x}^2}+bx+c$,	en	donde	a,	b,	y	c	son	números	reales	y	a	es	diferente	de	cero.	La	gráfica	de	una	función	cuadrática	es	una	curva	llamada	una	parábola.	Las	parábolas	se	abren	hacia	arriba	o	hacia	abajo	y	tienen	diferentes	“anchuras”	o	“inclinaciones”,	pero	todas	tienen	la	misma	forma	de	U	básica.	Las	siguientes	son	gráficas	de	parábolas:
Todas	las	parábolas	son	simétricas	con	respecto	a	una	línea	llamada	el	eje	de	simetría.	Una	parábola	interseca	su	eje	de	simetría	en	un	punto	llamado	el	vértice	de	la	parábola.	
Sabemos	que	dos	puntos	determinan	a	una	línea.	Es	decir,	si	es	que	tenemos	dos	puntos	en	el	plano,	existe	solo	una	línea	que	contiene	a	ambos	puntos.	Existe	un	enunciado	similar	para	puntos	y	funcionescuadráticas.	Dados	tres	puntos	en	el	plano	que	tienen	diferentes	coordenadas	y	que	no	se	ubican	en	una	línea	recta,	existe	exactamente	una
función	cuadrática,	la	cual	produce	una	gráfica	que	contiene	a	los	tres	puntos.	
Las	funciones	cuadráticas	pueden	ser	graficadas	al	encontrar	varios	puntos	que	son	parte	de	la	curva	y	usando	su	eje	de	simetría.	Podemos	encontrar	las	raíces	de	una	función	cuadrática	usando	su	forma	factorizada	y	recordando	que,	si	es	que	su	forma	factorizada	es	$latex	f(x)=(x-a)(x-b)$,	entonces,	sus	raíces	son	$latex	x=a$	y	$latex	x=b$.	Los
siguientes	ejercicios	de	funciones	cuadráticas	tienen	su	respectiva	solución	la	cual	detalla	el	proceso	y	el	razonamiento	usados	para	llegar	a	la	respuesta.	Intenta	resolver	los	ejercicios	tú	mismo	antes	de	mirar	la	solución.	Grafica	la	función	cuadrática	$latex	{{x}^2}+2$.	
Podemos	usar	tres	puntos	para	graficar	a	la	función	cuadrática.	Escogemos	los	valores	$latex	x=0$,	$latex	x=1$	y	$latex	x=2$.	Entonces	tenemos:	Cuando	$latex	x=0$,	tenemos	$latex	f(0)=0+2=2$Cuando	$latex	x=1$,	tenemos	$latex	f(1)=1+2=3$Cuando	$latex	x=2$,	tenemos	$latex	f(2)=4+2=6$	Luego,	graficamos	esos	puntos	y	trazamos	una
curva	que	pasa	por	ello	y	producimos	una	reflexión	en	su	eje	de	simetría:	Alternativamente,	podemos	reconocer	que	esta	gráfica	es	la	gráfica	de	una	función	cuadrática	estándar	$latex	f(x)={{x}^2}$	con	una	traslación	vertical	de	2	unidades	hacia	arriba.	Grafica	la	función	cuadrática	$latex	{{x}^2}-1$.	Nuevamente,	podemos	usar	los	valores	$latex
x=0$,	$latex	x=1$	y	$latex	x=2$	para	obtener	tres	puntos.	Entonces,	tenemos:	Cuando	$latex	x=0$,	tenemos	$latex	f(0)=0-1=-1$Cuando	$latex	x=1$,	tenemos	$latex	f(1)=1-1=0$Cuando	$latex	x=2$,	tenemos	$latex	f(2)=4-1=3$	Graficamos	esos	puntos	y	trazamos	una	curva.	Luego,	replicamos	esa	curva	en	su	eje	de	simetría:	Alternativamente,	es
posible	reconocer	que	esa	gráfica	es	una	cuadrática	estándar	$latex	f(x)={{x}^2}$	con	una	traslación	vertical	de	1	unidades	hacia	abajo.	Grafica	la	función	cuadrática	$latex	-{{x}^2}+3$.	Usando	los	valores	$latex	x=0$,	$latex	x=1$	y	$latex	x=2$,	tenemos:	Cuando	$latex	x=0$,	tenemos	$latex	f(0)=0+3=3$Cuando	$latex	x=1$,	tenemos	$latex
f(1)=-1+3=2$Cuando	$latex	x=2$,	tenemos	$latex	f(2)=-4+2=-2$	Ahora,	graficamos	los	puntos	y	trazamos	una	curva.	Luego,	replicamos	esto	en	su	eje	de	simetría:	Alternativamente,	es	posible	reconocer	está	función	es	una	función	cuadrática	estándar	$latex	f(x)={{x}^2}$	con	una	reflexión	en	el	eje	y	y	una	traslación	vertical	de	3	unidades	hacia
arriba.	Encuentra	las	raíces	de	la	función	cuadrática	si	es	que	existen:	Las	raíces	de	una	función	cuadrática	son	los	puntos	en	donde	la	gráfica	cruza	al	eje	x.	En	este	caso,	vemos	que	la	gráfica	de	la	función	cuadrática	cruza	al	eje	x	en	los	puntos	$latex	x=-2$	y	$latex	x=3$,	por	lo	que	estas	son	las	raíces.	
Encuentra	las	raíces	de	la	siguiente	función	cuadrática	si	es	que	existen:	Vemos	que	en	este	caso,	la	gráfica	de	la	función	cuadrática	no	cruza	al	eje	x,	por	lo	que	la	función	no	tiene	raíces	reales.	
Todas	las	funciones	cuadráticas	tienen	raíces	si	es	que	no	estamos	restringidos	a	los	números	reales	y	podemos	usar	ls	números	imaginarios.	Sin	embargo,	para	la	mayoría	de	casos,	podemos	decir	que	esta	función	no	tiene	raíces	reales.	Usa	la	forma	factorizada	para	encontrar	las	raíces	de	la	función	cuadrática	$latex	f(x)={{x}^2}+5x+6$.	Para
encontrar	la	forma	factorizada	de	la	función	cuadrática,	tenemos	que	encontrar	dos	números	de	modo	que	su	suma	sea	igual	a	5	y	su	producto	sea	igual	a	6.	Dos	números	que	cumplen	estas	condiciones	son	el	2	y	el	3	ya	que	$latex	2+3=5$	y	$latex	2\times	3=6$.	Entonces,	para	encontrar	las	raíces	de	la	función	cuadrática,	reescribimos	a	la	función	en
su	forma	factorizada	usando	los	números	encontrados	e	igualamos	con	cero:	$latex	f(x)=(x+2)(x+3)=0$	Las	raíces	son	$latex	x=-2$	y	$latex	x=-3$.	Encuentra	las	raíces	de	la	función	cuadrática	$latex	f(x)={{x}^2}+2x-8$.	En	este	caso,	tenemos	que	encontrar	dos	números	de	modo	que	su	suma	sea	igual	a	2	y	su	producto	sea	igual	a	-8.	Podemos
cumplir	estas	condiciones	con	los	números	4	y	-2	ya	que	$latex	4-2=2$	y	$latex	4\times	-2=-8$.	Entonces,	encontramos	las	raíces	de	la	función	cuadrática	al	reescribir	a	la	función	en	su	forma	factorizada	usando	los	números	encontrados	e	igualamos	con	cero:	$latex	f(x)=(x+4)(x-2)=0$	Las	raíces	son	$latex	x=-4$	y	$latex	x=2$.	Usa	la	forma
factorizada	para	encontrar	las	raíces	de	la	función	cuadrática	$latex	f(x)=2{{x}^2}+4x-6$.	Podemos	empezar	sacando	el	factor	común	2	de	la	función:	$latex	f(x)=2{{x}^2}+4x-6$	$latex	=2({{x}^2}+2x-3)$	Ahora,	encontramos	dos	números	de	modo	que	su	suma	sea	igual	a	2	y	su	producto	sea	igual	a	-3.	
Los	números	3	y	-1	cumplen	estas	condiciones,	ya	que	$latex	3-1=2$	y	$latex	3\times	-1=-3$.	Entonces,	reescribimos	a	la	función	en	su	forma	factorizada	usando	los	números	encontrados	e	igualamos	con	cero:	$latex	f(x)=2(x+2)(x-1)=0$	Las	raíces	son	$latex	x=-2$	y	$latex	x=1$.	→	Calculadora	de	Ecuaciones	Cuadráticas	Pon	a	prueba	tu
conocimiento	sobre	funciones	cuadráticas	con	los	siguientes	ejercicios.	Escoge	una	respuesta	y	verifícala	para	comprobar	que	seleccionaste	la	respuesta	correcta.	¿Interesado	en	aprender	más	sobre	funciones	algebraicas?	Mira	estas	páginas: