3-funcion_lineal

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Función Lineal: Definción y expresiones
Veremos:
1 Noción de Función Lineal
2 Propiedad Principal de una recta.
3 Recta con y sin referencia.
4 Expresión de la recta.
5 Aplicando relaciones entre triángulos.
6 Diferentes expresiones para la función lineal.
7 Ejemplos y gráficos.
8 Relación entre la expresión y el gráfico.
9 El rol de la Ordenada al Origen, b.
10 Aspectos Geométricos: Condición de Paralelismo.
11 Aspectos Geométricos: Condición de
Perpendicularidad.
12 Intersección de rectas. Consecuencias.
13 Ejercitación
14 Pistas
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 1 / 38
1-Noción de Función Lineal
Como hemos visto, el esquema para funciones es el siguiente:
x → Operación matemática → y
Ahora, ¿cómo debería ser la expresión matemática para que el gráfico sea una línea recta?
Para responder esta pregunta vamos a comenzar viendo en el plano cartesiano una recta y ver qué información podemos extraer.
Propiedad Principal de una recta
Por dos puntos del plano pasa una única recta.
Veamos dos situaciones en las cuales mostramos la recta. En un primer caso, sin sistema de coordenadas. En otro caso, con
sistema de coordenadas.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 2 / 38
1-Recta sin referencia
x
y
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 3 / 38
3-Recta en un sistema de referencia
x
y
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 4 / 38
4-Buscando la expresión de la recta
Nuestro objetivo será la obtención de una expresión matemática f (x) cuyo gráfico sea una recta.
Lo que deberíamos ver entonces, cómo podemos construir esa expresión.
Para lograr esto, por el resultado que obtuvo Euclides (más o menos en el 300 antes de Cristo!, esto es, más o menos hace 2319
años)
”por dos puntos no coincidentes pasa una única recta ”
Entonces podemos tener en cuenta lo siguiente:
Considerar dos puntos por donde pase la recta, P(x1, y1) y otro punto Q(x2, y2) (En principio, consideremos estos dos
pares ordenados conocidos)
Considerar un punto genérico R(x, y) y ver cómo será y = f (x) para que el punto pertenezca a la misma recta.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 5 / 38
Veamos los dos puntos conocidos en la recta
x
y
P(x1, y1)
Q(x2, y2)
x1 x2
y1
y2
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 6 / 38
Ahora incorporemos un punto genérico (x , f (x))
x
y
P(x1, y1)
Q(x2, y2)
R(x, y)
x1 x2 x
y1
y2
f (x)
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 7 / 38
5-Miremos este (estos) triángulos!
x
y
P
Q
R
x1 x2 x
y1
y2
f (x)
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 8 / 38
5-Mirando detenidamente, tenemos dos triángulos!
x
y
P
Q
R
x1 x2 x
y1
y2
f (x)
Mirando los triángulos, observamos que
El triangulito naranja tiene un cateto paralelo al eje x que mide x2 − x1 y un cateto paralelo al eje y que mide y2 − y1
El triángulo verde tiene un cateto paralelo al eje x que mide x − x1 y un cateto paralelo al eje y que mide f (x)− y1
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 9 / 38
5-Aplicando relaciones entre triángulos
Con los dos triángulos semejantes, podemos establecer la relación de proporcionalidad entre los lados:
f (x)− y1
x − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
Entonces, despejando f (x) tenemos la expresión de la función lineal (obtenida a partir de conocer los dos puntos por donde
pasa)
f (x) =
[
y2 − y1
x2 − x1
]
(x − x1) + y1
Recordemos que los puntos (x1, y1) y (x2, y2) son conocidos, por lo que los números x1, x2, y1 e y2 son conocidos
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 10 / 38
6-Diferentes expresiones para la función lineal
Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta, (x1, y1) y (x2, y2) escribimos:
f (x) =
[
y2 − y1
x2 − x1
]
(x − x1) + y1
Ahora, haciendo distributiva, tenemos
f (x) =
[
y2 − y1
x2 − x1
]
x −
[
y2 − y1
x2 − x1
]
x1 + y1
Inspeccionando bien, podemos ver que
f (x) =
[
y2 − y1
x2 − x1
]
︸ ︷︷ ︸
es un número
x −
[
y2 − y1
x2 − x1
]
x1 + y1︸ ︷︷ ︸
es un número
Llamando
a =
y2 − y1
x2 − x1
, b = −
[
y2 − y1
x2 − x1
]
x1 + y1
podemos escribir:
f (x) = a x + b
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 11 / 38
6-Expresión de la función lineal
Expresión general de la función lineal
En general, la expresión general de una función lineal será
f (x) = a x + b, con a, b ∈ R
Al número a se lo denomina PENDIENTE y al número b se lo denomina
ORDENADA AL ORIGEN
Notemos que cuando conocíamos dos puntos por donde pasa, podíamos calcular
a =
y2−y1
x2−x1
que es un número que indica cuán inclinada es la recta. Por eso este número
indica la pendiente. En la expresión f (x) = a x + b si evaluamos en x = 0 tenemos que
f (0) = a · 0 + b = b que justamente es dónde la recta toca al eje y .
Expresión de la recta
Ecuación de la recta en Geogebra
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 12 / 38
https://drive.google.com/file/d/1izIrDzy9owg0d1vdYejL0HjTGsHPJHQQ/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1W_GSaAf-lEOWULWZM0ruA8zfCXt4d3Ns/view?usp=sharing
7-Ejemplos y gráficos
A partir de una tabla de valores grafica las siguientes funciones lineales.
a) f (x) = x , (a = 1)
b) f (x) = 2x , (a = 2)
c) f (x) = 3x , (a = 3)
d) f (x) = −x , (a = −1)
e) f (x) = −2x , (a = −2)
f) f (x) = −3x , (a = −3)
Notemos que las primeras tres funciones a), b) y c) son CRECIENTES y las segundas 3, d), e) y f) son DECRECIENTES.
Relacionemos el signo de la pendiente con el crecimiento y el decrecimiento.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 13 / 38
7-Mirando los gráficos
x
y
f (x) = x
f (x) = 2x
f (x) = 3x
f (x) = −x
f (x) = −2x
f (x) = −3x
Comportamineto de la pendiente
Función lineal
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 14 / 38
https://www.geogebra.org/classic/kgxz67te
https://drive.google.com/file/d/1wPeGieLtmHTlG0zFJYWVP0iUnA8drOZm/view?usp=sharing
8-Relación entre la expresión y el gráfico
Observando detenidamente los gráficos podemos concluir
Signo de a
Cuando la pendiente a es POSITIVA la función es CRECIENTE
Cuando la pendiente a es NEGATIVA la función es DECRECIENTE
Además con relación al valor absoluto de la pendiente a se cumple
Valor absoluto de a
Cuando el valor absoluto de a es mayor crece más rápido (si es positiva) y decrece más rápido (si es negativa).
Cuando el valor absoluto de a es más pequeño crece o decrece más lento.
Pregunta. ¿Qué crees que ocurre cuando el valor de a es cero?
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 15 / 38
9-El rol de la Ordenada al Origen, b
Recordemos
La Ecuación de la recta
f (x) = a x + b
Vimos que el valor de a es la pendiente, que dependiendo del signo crece o decrece (crece si es positiva y decrece si es
negativa) y que dependiendo de su valor absoluto lo hace más o menos rápido (más rápido si es mayor en número y más lento si
el número es menor).
El valor de b lo que hace es ”mover hacia arriba o hacia abajo la recta” como veremos en el siguiente gráfico.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 16 / 38
9-Gráficamente, el rol de b
x
y
f (x) = x
f (x) = x + 1
f (x) = x + 2
f (x) = x − 1
f (x) = x − 21
2
−1
−2
gráfico de la recta
uso de deslizadores
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 17 / 38
https://drive.google.com/file/d/19HJv-VwwkbK24_ewp2ySCs9pADlwUf3V/view?usp=sharing
https://www.geogebra.org/classic/zhkswuzw
10-Aspectos Geométricos: Condición de Paralelismo
Viendo detenidamente el gráfico anterior, podemos notar que las rectas son todas paralelas.
Además en todas las rectas del gráfico anterior el valor de a = 1. Lo único que cambiaba era el valor de b.
En términos generales se cumple
Condición de paralelismo
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Esto es, Si tenemos dos rectas definidas con las funciones
f1(x) = a1 x + b1, f2(x) = a2 x + b2
Serán paralelas si y sólo si
a1 = a2
Ejemplo. Las funciones f (x) = 2x − 1 y g(x) = 2x + 4 definen dos rectas paralelas ya que tienen la misma pendiente. En
ambos casos, a = 2. ¡Grafícalas para verlas!
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 18 / 38
11-Aspectos Geométricos: Condición de
Perpendicularidad
Hemos visto que dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. Ahora, ¿qué condición deberán satisfacer dos
pendientes para que los gráficos sean perpendiculares?
Vamos a encontrar la condición mediantela aplicación de un teorema muy conocido: El Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, de catetos a y b y de hipotenusa c
c
a
b
se cumple
c2 = a2 + b2
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 19 / 38
11-Ejemplo
Consideremos el triángulo
c
a
b
donde a = 3 y b = 4 entonces,
c2 = 32 + 42 = 25
Entonces si el cuadrado da 25, entonces, c = 5
Esto es usado actualmente en la construcción.
Esta relación se utiliza cuando conocemos dos lados de un triángulo rectángulo y necesitamos saber el tercero. Simplemente
despejamos el lado que no conocemos.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 20 / 38
11-Determinación de la condición de
perpendicularidad
Ahora consideremos dos rectas perpendiculares, cuyas funciones serán
f1(x) = a1 x, f2(x) = a2 x
Para simplificar los cálculos consideremos rectas que pasen por el origen (esto es, con b1 y b2 nulos). Igualmente el resultado
vale siempre.
Gráficamente:
x
y
B
A
Ox1
y1 = a1x1
x2
y2 = a2x2
d
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 21 / 38
11-Determinación de la condición de
perpendicularidad
Observando la figura, tendremos que el segmento OA será un cateto, el segmento OB es el otro cateto y d seá la hipotenusa.
Además mirando el gráfico, notemos que
OA2 = x21 + (a1 x1)
2
OB2 = x22 + (a2 x2)
2
d2 = (x1 − x2)2 + (a2 x2 − a1 x1)2
Aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos d2 = OA2 + OB2 y reemplazando lo que habíamos observado
(x1 − x2)
2 + (a2 x2 − a1 x1)
2 = x21 + (a1 x1)
2 + x22 + (a2 x2)
2
x21 + x
2
2 − 2x1x2 + (a2 x2)
2 + (a1 x1)
2 − 2a1a2x1x2 = x
2
1 + (a1 x1)
2 + x22 + (a2 x2)
2
cancelando llegamos a
−2x1x2 − 2a1a2x1x2 = 0, → a1 · a2 = −1
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 22 / 38
11-Condición de perpendicularidad
Condición de Perpendicularidad
Las funciones lineales f1(x) = a1 x + b1 y f2(x) = a2 x + b2 representará rectas PERPENDICULARES si sus pendientes
satisfacen
a1 · a2 = −1
o lo que es lo mismo, si
a2 = −
1
a1
Es decir, son, además de signos opuestos, inversas multiplicativas.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 23 / 38
11-Ejemplos
Ejemplo. Consideremos las funciones
f1(x) = 3x + 5, f2(x) = −
1
3
x + 2
Las pendientes serán a1 = 3 y la otra pendiente, a2 = − 13 Entonces, calculando
tenemos
a1 · a2 = 3 ·
(
−
1
3
)
= −3 ·
1
3
= −1
Entonces, como el producto resultó -1, serán perpendiculares.
Grafica las rectas para verlas en un mismo gráfico.
Es importante que recordemos que no alcanza que sean inversas, también deben ser
opuestas, es decir, tener diferente signo.
Ejemplo. Las rectas de ecuación f (x) = −2x + 1 y g(x) = − 12 x + 3 no serán
perpendiculares, ya que el producto de las pendientes resulta 1 y no -1.
Condición de paralelismo y
perpendicularidad.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 24 / 38
https://drive.google.com/file/d/1yBRDJXsz2hxbSb9CpGD6v4ThpfQtRhzx/view?usp=sharing
12-Intersección de rectas
Consideremos dos rectas cualesquiera. Qué entenderemos por intesección de rectas?
Dos rectas se van a intersectar si hay un punto P del plano que pertenezca a ambas rectas.
Esto es, supongamos dos funciones lineales
f (x) = a1 x + b1, y g(x) = a2 x + b2
Vamos a decir que el punto P(x0, y0) es la intersección de ambas rectas, si pertenece simultáneamente a ambas, esto es
y0 = a1 x0 + b1, y y0 = a2 x0 + b2
Entonces, para obtener los números x0 e y0 debemos igualar (ya que y0 es el mismo)
a1 x0 + b1 = a2 x0 + b2
despejando, tendremos
x0 =
b1 − b2
a2 − a1
y y0 = a1 x0 + b1
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 25 / 38
12-Intersección de rectas. Consecuencias
Encontramos entonces si dos funciones lineales, de expresiones
f (x) = a1 x + b1, y g(x) = a2 x + b2
Se intersectan en el punto P(x0, y0), entonces sus coordenadas se calculan
x0 =
b1 − b2
a2 − a1
y y0 = a1 x0 + b1
Atención PARALELAS! Notemos que si las rectas son paralelas, entonces a1 = a2 pero hará que
x0 =
b1 − b2
a2 − a1
=
b1 − b2
0
cuyo resultado no existe. Por lo que afirmamos
”las rectas paralelas no se intersectan”
Pero si además, b1 = b2 además de ser paralelas son coincidentes (es decir son la misma recta).
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 26 / 38
12-Ejemplos
Ejemplo. Considerar las fuciones lineales f (x) = 3x − 1 y g(x) = −2x + 9. Como sus pendientes son diferentes, no serán
paralelas, por lo que podemos buscar el punto de intersección
x0 =
−1− 9
−2− 3
=
−10
−5
= 2, y0 = 3 · (2)− 1︸ ︷︷ ︸
f (2)
= 5 = −2 · (2) + 9︸ ︷︷ ︸
g(2)
Entonces en el punto P(2, 5) las rectas se intesectan. Construye un gráfico para verlo.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 27 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
1. Cuatro recipientes como los de la figura se llenaron con el mismo flujo constante de agua. A un estudiante de
ingeniería se le asignó la tarea de analizar la velocidad con la que sube el líquido,
(1)
h
(2)
h
(3)
h
(4)
h
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 28 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
algunas de las preguntas que debe responder son las siguientes:
a) ¿ En alguno de estos recipientes la velocidad con la que subió el nivel de agua es constante? Si la respuesta
es no, explicar por qué. Si la respuesta es sí, determinar en cuáles de ellos y argumentarla afirmación.
b) Determinar si algunas de las siguientes tablas podrían representar los valores del tiempo (t) y la altura (h) del
agua en el recipiente (4). En caso afirmativo, indicar la velocidad con la que sube el agua. Argumentar
I)
t(seg) h(t)(cm)
1 1,2
2 2,4
3 3,6
4 4,4
5 5,2
II)
t(seg) h(t)(cm)
2 1,4
4 2,8
8 5,6
12 8,4
14 9,8
III)
t(seg) h(t)(cm)
1 4,2
2 3,4
3 2,6
4 1,8
5 1
c) Del llenado de un tanque cilíndrico, a flujo constante de agua, se conoce que a los 35 segundos de llenado
la altura alcanzada por el agua es de 22,5 cm y que a los 147 segundos la altura alcanzada es de 54,5 cm.
Interesa averiguar
I) La velocidad con la que sube la altura del agua
II) ¿ Cuántos litros de agua había en el recipiente al comenzar el llenado?
d) ¿ Qué estrategias resultaron significativas en la resolución de este problema? ¿ Cuáles de ellas te parecen
que merecen considerarse para resolver problemas como este?
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 29 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
2. Un auto sale de una ciudad que está sobre la Ruta Nacional 2, entre Buenos Aires y Mar del Plata. En la siguiente
tabla se informa sobre la distancia a la que se encuentra de Buenos Aires en distintos momentos de su viaje. A los
fines de la modelización, se supone que el auto viaja siempre a la misma velocidad.
viajó está a
30 min 100,5 km
41 min 120,9 km
58 min 152,35 km
a) ¿ A qué velocidad viaja el auto?
b) ¿ A qué distancia de Buenos Aires se encuentra la ciudad desde la que partió?
c) Otro auto parte desde otra ciudad que está en la ruta entre Buenos Aires y Mar del Plata, ubicada a 10 km de
Buenos Aires. Si se acepta que este auto también viaja a la misma velocidad: 120 km/h. ¿ Se van a cruzar
estos dos vehículos? En caso afirmativo, ¿ en dónde y en qué momento?
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 30 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
3. Durante las mañanas del mes de mayo del 2022, Martín tuvo que realizar diariamente viajes en taxi, en la capital
federal, desde su casa, con destinos ya conocidos por él a principio de mes. Para entonces, la bajada de bandera
tenía un valor de $144 y $14, 40 por cada 200 metros recorridos. ¿ Podría Martín haber elaborado un método que le
hubiese permitido anticiparse al gasto mensual por los viajes en taxi?
4. En una fábrica se producen dos tipos de aceites. Uno de ellos pesa 0, 84 kg por litro, y el otro pesa 0, 77 kg por litro.
Esos aceites se vierten en barriles para su comercialización. Para el primero de ellos se utiliza un barril que vacío pesa
5 kg, y tiene una capacidad para 45 litros. Para el segundo aceite se usa otro tipo de barril que también admite como
máximo 45 litros, pero que vacío pesa 8 kg, pues se exporta y debe estar reforzado.
a) El trabajo de uno de los empleados de la fábrica es determinar el peso total de los barriles y etiquetarlos. Un
día se encontró con que tenía muchos barriles para etiquetar de los dos tipos,con distintos volúmenes de
aceite ya vertido en cada uno (ese dato lo tenía) y que la balanza se encontraba fuera de servicio. ¿ Podrían
proponerle al empleado alguna forma para que pueda hacer su trabajo de manera rápida y económica?
b) Para balancear la camioneta en la que se realizan los envíos se requiere llenar los barriles de modo que todos
pesen lo mismo. ¿ Es esto posible? Explicar
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 31 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
5. Obtener el gráfico de varias rectas que pasan por el punto (4, 1). Indicar una manera rápida de obtener ecuaciones
de las rectas que pasan por el (4, 1).
6. Está entrando agua en un depósito cilíndrico vertical de 6 m de radio a razón de
8m3/m ¿ Con qué velocidad sube el nivel de agua dentro del depósito?.
7. Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a
f (x) =
3
2
x − 8
A = (0,−4) B = (5/2, 23) C = (0,−8) D = (19/2, 25/4) E = (1;−6, 4)
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 32 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
8. Escribe la función lineal que contiene a los puntos:
a) P(1; 1) y Q(−1; 3) b) P(0; 0) y Q(1; 2) c) P(1; 1) y Q(3; 1)
9. Determina si las siguientes rectas son paralelas, perpendiculares u oblicuas
a) f (x) = 3x − 1 , g(x) = 3x + 5
b) f (x) = x − 1 , g(x) = −x + 5
c) La recta que pasa por P
(
−1, 12
)
y Q(0, 0) con la recta de ecuación f (x) = 2x + 1.
d) f (x) = 3x − 1 , g(x) = x + 5
10. Dado el punto P(1; 2). Halla otro punto del plano para que la recta que los une sea:
a) Paralela a la recta definida por la función lineal f (x) = 2x − 1.
b) Perpendicular a la recta definida por la función lineal f (x) = 2x − 1.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 33 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
11.En cada uno de los siguientes casos hallar la fórmula de una función lineal:
a) Su pendiente es−3 y su ordenada al origen es 8.
b) Su pendiente es 4 y su raíz es 10.
c) Su ordenada al origen es 15 y no tiene raíces.
d) Su gráfica contiene a los puntos (−3, 7) y (12, 8).
e) Es paralela a y = −2/3x + 7 y pasa por el punto (2, 3).
f) Es perpendicular a y = 4/5x + 8 y pasa por el punto (−1, 3).
g) Es perpendicular a f (x) = −6x + 7/3 e interseca su gráfica en un punto de abscisa 2.
12. Para cada uno de los siguientes casos, graficar las funciones lineales:
a) Su ordenada al origen es−4 y pasa por el punto (2, 5).
b) Su pendiente es 5/3 y pasa por el punto (−2,−4).
c) Su ordenada al origen es 10 y su pendiente es−4/7.
d) Pasa por los puntos (−1, 3) y (4, 5; 9)
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 34 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
13. Calcular la intersección entre las siguientes rectas
1. y = 3x − 4 e y = −4x + 6.
2. y = 3x − 8 y los ejes cartesianos
3. y = 8 e y = −7/3x − 6
14. Encontrar la función lineal que satisface f (−2) = 4 y f (4) = 1.
A continuación, analizar y justificar la validez de las siguientes afirmaciones de la función encontrada:
a) El conjunto de positividad de la función es (6; +∞)
b) La recta es paralela a 4x + 2y − 7 = 0.
c) La recta es perpendicular a la función f (x) = −2x + 5.
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 35 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
15.En cada caso r ⊥ r ′, hallar las coordenadas del punto P.
a)
x
y
r
r ′
P
2
3
b)
x
y
r
r ′
P
1
4
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 36 / 38
13 - Ejercitación
Ejercicios
16. Probar analíticamente que el triángulo cuyos vértices son A = (1, 4); B = (0, 2); C = (2, 1) es rectángulo en B.
17. En cada caso, dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g. Representar sobre el eje x el conjunto
{x ∈ R/f (x) ≥ g(x)} y escribirlo como un intervalo.
a) f (x) = 3x + 2 y g(x) = −5 b) f (x) = −2x + 1 y g(x) = x + 5/2
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 37 / 38
14 - Pistas
8. a) f (x) =
[
3−1
−1−1
]
· (x − 1) + 1 = (−1) · (x − 1) + 1
b) f (x) =
[
2−0
1−0
]
· (x − 0) + 0
c) f (x) =
[
1−1
3−1
]
· (x − 1) + 1 =
[
0
3
]
· (x − 1) + 1
a) Notemos que precisamos una recta paralela a la ecuación f (x) = 2x + 1. Esto
significa que la pendiente de la paralela debe ser 2, porque para ser paralela
debe tener la misma pendiente. El punto que tenemos es el P(1, 2).
Necesitamos entonces otro punto Q(x2, y2) que tenga
y2 − 2
x2 − 1
= 2
Esto lo podemos lograr con y2 = 4 y x2 = 2. Entonces un punto podría ser el
Q(2, 4). Notemos que hay infinitos puntos que podrían haber sido elegidos, (por
ejemplo el (0, 0))
b) El ejercicio es similar, pero como queremos una perpendicular necesitamos que
la pendiente sea
y2 − 2
x2 − 1
= −
1
2
Esto lo podemos lograr con y2 = 1 y x2 = 3. Entonces un punto podría ser el
Q(3, 1).
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos
(UNAHUR) IAM - Función Lineal 38 / 38
https://drive.google.com/file/d/1CwU_J7LxrRjCw62v8beM9sxdL7Pk3X_K/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1FGPm8JT6jWgDfUJ8PIrDKtuyNOuUuG3U/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1fZN5OFi5OrTesCNSpFWTGS1YmxSMA2G-/view?usp=sharing