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Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
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Ing. Manuel Zamarripa Medina 
Academia de Matemáticas 
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS 
 Industrial y de Servicios 33 
Correo: zamarripa6103@hotmail.com 
mailto:zamarripa6103@hotmail.com
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
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Con profundo agradecimiento 
a nuestra benemérita escuela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puedes descargar gratuitamente estos apuntes y otros materiales 
para el aprendizaje de las matemáticas del blog: 
 
http://cetis33matematicas.blogspot.com/ 
 
 
 
 
Centro de Estudios Tecnológicos
 Industrial y de Servicios N° 33
http://cetis33matematicas.blogspot.com/
 
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PROLOGO: 
 
Estos apuntes de Matemáticas “Cálculo” fueron preparados como apoyo didáctico para 
que el estudiante se introduzca en la comprensión y dominio de esta rama de las 
matemáticas, consiste en una recopilación de temas a modo de una antología. 
En los apuntes se expone la parte teórica correspondiente seguida de ejemplos resueltos, 
los cuales incluyen los pasos a seguir y las formulas empleadas, las cuales se disponen hacia 
el margen derecho de los ejercicios planteados. La solución de los ejercicios propuestos al 
estudiante es de vital importancia para la consolidación de los conocimientos adquiridos. 
Como ayuda a los estudiante se han preparado también un Formulario de Matemáticas, al 
cual hay que reproducir por separado; y lecciones en video sobre los diferentes temas de 
matemáticas que se pueden consultar en el blog. Lo anterior porque para la solución de 
problemas se requiere del conocimiento o dominio de otras áreas de las matemáticas, tales 
como: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. 
Estos apuntes por tanto son para ser utilizados como un apoyo más en el estudio 
independiente de los estudiantes. 
Esperando que este material sea de su agrado, estoy a sus órdenes para sus comentarios y 
sugerencias. 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
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ÍNDICE 
 Página 
 
 
 PROLOGO ------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 Lectura: Citas Matemáticas ---------------------------------------------------------------- 
 
1. PRECÁLCULO ------------------------------------------------------------------------------------- 
 1.1 Antecedentes históricos -------------------------------------------------------------------- 
 1.2 Números reales --------------------------------------------------------------------------------- 
 1.3 Sistema de coordenadas --------------------------------------------------------------- 
 1.4 Intervalos ------------------------------------------------------------------------------ 
 1.5 Desigualdades --------------------------------------------------------------------------------- 
 
2. FUNCIONES ------------------------------------------------------------------------------------- 
 2.1 Notación --------------------------------------------------------------------------------- 
 2.2 Operaciones con funciones---------------------------------------------------------------- 
 2.3 Clasificación ------------------------------------------------------------------------------- 
 2.4 Dominio y Contradominio ------------------------------------------------------------- 
 2.5 Comportamiento ----------------------------------------------------------------------- 
 
3. LÍMITES ----------------------------------------------------------------------------------------- 
 3.1 Limite de una función ----------------------------------------------------------------- 
 3.2 Propiedades ------------------------------------------------------------------------------ 
 3.3 Continuidad de una función ---------------------------------------------------------- 
 
4. LA DERIVADA ---------------------------------------------------------------------------------- 
 4.1 Razón de cambio promedio de interpretación geométrica --------------------- 
 4.2 Derivación de funciones------------------------------------------------------------------ 
 4.3 Formulas de derivación ------------------------------------------------------------- 
 4.4 Derivadas sucesivas ---------------------------------------------------------------- 
 4.5 Problemas de aplicación ------------------------------------------------------------- 
 4.6 Comportamiento -------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
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5 
5 
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31 
35 
38 
 
55 
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64 
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78 
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104 
 
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Lectura de comprensión: 
 
 Citas y referencias sobre Matemáticas 
 
 
 
“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas 
de razonamientos, todos sencillos y fáciles”. 
 
 René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés. 
 
Se recuerda a este francés extraordinario por su descubrimiento de la 
Geometría Analítica. Pero su logro más notable fue la reducción de la 
Naturaleza a leyes matemáticas. Como filosofo fue fundador del racionalismo, 
se le recuerda por su frase: “pienso, luego existo”. 
 
 
 
 
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. 
 
Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano. 
 
Galileo comenzó la revolución científica que culminó con la obra del físico 
inglés Isaac Newton. Su principal contribución a la astronomía fue el uso 
del telescopio para la observación y descubrimiento de las manchas 
solares, valles y montañas lunares, los cuatro satélites mayores de Júpiter 
y las fases de Venus. En el campo de la física descubrió las leyes que rigen 
la caída de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. 
 
 
 
 
 
Cultura Maya: la refinación en las ciencias 
matemáticas, la astronomía y la arquitectura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calendario Maya: el 
más preciso de su 
tiempo. 
Numeración Maya: 
sistema de numeración 
vigesimal, que incluía 
el concepto de cero. 
El Calendario Maya: La 
medición del tiempo y el 
calendario astronómico 
más preciso de su 
tiempo. 
 
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UNIDAD 1. PRECÁLCULO 
 
 1. 1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS 
 
Introducción 
 
La palabra cálculo proviene del latín CALCULUS, que significa contar con piedras. Precisamente desde que 
el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Las 
matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. 
 
Por la necesidad de contar objetos, se desarrollaron los primeros sistemas de numeración que inicialmente 
se basaban en la utilización de los dedos de las manos y pies, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se 
hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los 
problemas que se les presentabana los seres humanos, los cuales se hicieron más complejos con el 
surgimiento de la civilización. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los seres humanos tuvieron necesidad de contar, surgieron las matemáticas; a la 
derecha un fragmento de las pinturas rupestres de Altamira al norte de España, con 
antigüedad de 15,000 años a.C. representando escenas de cacería. 
 
Civilizaciones antiguas 
En este momento de la historia, la Civilización Egipcia, llevaba la pauta con el avance en sus conocimientos 
matemáticos. Según varios papiros escritos en esa época, los egipcios inventaron el primer sistema de 
numeración, basado en la implementación de jeroglíficos. El sistema de numeración egipcio, se basaba en 
sustituir los números clave (1, 10, 100...), con figuras (palos, lazos, figuras humanas...), los demás números 
eran escritos por la superposición de estas mismas figuras, pero en clave. Este sistema es la pauta para lo 
que hoy conocemos como el sistema romano. 
 
Otras civilizaciones importantes en la historia, como la babilónica, crearon otros sistemas de numeración. 
En la Antigua Babilonia, la solución al problema de contar los objetos, se vio resuelto con la 
implementación de un método sexagesimal. Este método tenía la particularidad de escribir un mismo 
signo como la representación de varios números diferenciados por el enunciado del problema. 
 
Civilizaciones como la China Antigua, y la India Antigua, utilizaron un sistema decimal jeroglífico, con la 
cualidad de que estas implementaron el número cero. 
 
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Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son utilizados 
actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución a ecuaciones de tipo 
𝑥 + 𝑎𝑥 = 𝑏. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de los hindús, 
aumentó el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales, además que ayudó a la 
resolución de sistemas de ecuaciones de la forma 𝑥2 = 1 + 𝑦2. 
 
En la Antigua Mesopotamia, se introduce el concepto de número inverso, además de las soluciones a 
distintos problemas logarítmicos, e incluso lograron la solución a sistemas de ecuaciones de la forma, 
𝑥 + 𝑝𝑥 = 𝑞 , y 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 . Su avance fue tal que crearon algoritmos para el cálculo de sumas de 
progresiones. Y en geometría, se cree que conocían el teorema de Pitágoras, aunque no como un teorema 
general. 
 
China sin duda tuvo que ver en gran medida en el avance matemático. Su aporte principal se basaba en la 
creación del "método del elemento celeste", desarrollado por Chou Shi Hié, con el cual era posible la 
resolución de raíces enteras y racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma 
Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao. 
 
Renacimiento y matemáticas modernas 
En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamentó en un 
conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos 
problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían 
dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el 
cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos 
fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de 
funciones, que fueron el tema central en este siglo. 
 
Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudio del criterio de 
convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió 
profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de 
notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los 
valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. 
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y 
obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida 
actualmente como función de Bolzano. 
 
Otro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la variable compleja, con ella 
se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo 
de la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación 
en variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales 
diferenciales. 
 
Ya en el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias reconocidas en el ámbito de 
las matemáticas, como la Academia de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las 
disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales, 
y el cálculo de probabilidades. 
 
 
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La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática 
interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral 
y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de 
cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales 
clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes. 
 
Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la 
astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas 
generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: 
KEPLER, GALILEO, CAVALIERI, TORRICELLI, PASCAL, WALIS, ROBERVAL, FERMAT, DESCARTES, BARROW, 
NEWTON, LEIBNIZ y EULER. 
 
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizarse estudios sobre el movimiento, es decir al 
estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vació ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en 
cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo 
infinitesimalmente pequeño. 
En 1666, el científico inglés ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para 
resolver problemas de esta índole. 
 
Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizó investigaciones similares 
e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. 
 
Otros matemáticos destacan por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, 
entre ellos sobresale PIERRE FERMAT, matemático francés, quien en su obra habla de los métodos 
diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose así al descubrimiento del Cálculo 
diferencial. 
FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los 
matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método 
propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran 
rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses. Razón por la que las demostraciones de FERMAT se 
hayan perdido. 
 
NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que en la proximidad del punto 
de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente. 
 
JOHANNES KEPLER tiempo después, coincide con lo establecido por ORESME, conceptos que permitieron 
a FERMAT en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada 
de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o sumínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula. 
 
ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del “triángulo característico”, en donde la 
hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren 
las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco. 
 
NEWTON concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto 
que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo 
excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la 
velocidad. 
 
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Por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”; “fluxión” es la velocidad o 
rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o 
instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”. 
El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La aportación que LEIBNIZ hace para el descubrimiento del cálculo, se logra al estudiar el problema de las 
tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de BARROW, observando que el triángulo 
es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así 
mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los 
símbolos 𝑑𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 , la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático francés, impulsor del cálculo 
diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en 
el método de los límites; las definiciones de 
“función de función” y la de “función compuesta”, también se deben a CAUCHY. 
 
JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe 
a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos. El símbolo tiende a “ → ” lo implantó J.G LEATHEM. 
 
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTON y a 
LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo 
infinitesimal. 
En el siglo XIX se encontraron bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. 
 
El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta 
técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, 
Sir Isaac Newton (1642 – 1727) 
Inglaterra.- En 1672 escribe una obra 
inédita denominada Método de las 
Fluxiones, en la cual encontró un 
algoritmo para derivar funciones 
algebraicas. 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 
Alemania.- Descubrió y comenzó a 
desarrollar el Cálculo Diferencial en 1675 al 
estudiar el problema de las tangentes. Fue el 
primero en realizar publicaciones sobre la 
derivada; la notación de derivada que el 
invento, se sigue utilizando en la actualidad. 
 
 
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por ejemplo; la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y 
económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. 
 
A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el 
problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina: “Problema de las Tangentes” 
en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada. 
La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los 
resultados que caracterizan su estructura actual. Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de 
J. Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler 
quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración 
indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a 
comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones 
especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. 
 
Éste es el desarrollo que las matemáticas han obtenido desde que el hombre tuvo la necesidad de contar, 
hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las 
matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte 
de las ciencias actuales. 
 
EL CÁLCULO es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. El cálculo es también la matemática 
de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros 
conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros, economistas, biólogos, administradores y 
sociólogos entre otros profesionales puedan modelar situaciones de la vida real. Para los ingenieros y otros 
profesionistas es una herramienta invaluable por que mediante la Derivada se puede medir la rapidez con 
que se producen los cambios; se optimice el uso o aplicación de materiales, inversión, trabajo, etc. y se 
obtenga el máximo beneficio, resistencia, ganancia, etc. A la Integral se dan aplicaciones geométricas, 
para el cálculo de áreas y volúmenes; Físicas en la determinación de trabajo, presión de líquidos, 
lanzamiento de proyectiles, etc.; también tiene aplicación en procesos industriales, de economía y negocios 
entre otros; por lo cual el Cálculo como herramienta nos ayuda a una mejor calidad de vida. 
 
 
EJERCICIOS: 
 
Contesta correctamente en tu cuaderno las siguientes preguntas: 
1. Realiza la lectura de comprensión de la página 5, selecciona una cita, escríbela y comenta sobre su 
significado. 
2. De los antecedentes históricos del cálculo. Menciona el significado de la palabra cálculo. 
3. ¿Qué bases dieron origen al cálculo diferencial? 
4. Nombra a los fundadores del cálculo diferencial. 
5. Describe la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo diferencial. 
6. Escribe los conceptos que estableció NICOLAS ORESME en el estudio de los máximos y mínimos. 
7. Escribe el estudio de ISAAC BARROW sobre el triángulo característico. 
8. Explica los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las Fluxiones. 
 
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Ventajas Comparativas Del Cálculo Diferencial 
 
 
 
 
 
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1.2 NÚMEROS REALES 
 
Los números reales son la expresión numérica de los valores. Un número real es un valor que representa 
una cantidad. 
 
Clasificación de los números reales. 
Para su estudio, los números reales se clasifican en: 
 
Números naturales. Son aquellos que se utilizan 
para contar los elementos de un conjunto. 
 
𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … , 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, . . } 
Números enteros. Comprenden a los números 
enteros negativos, cero y los números enteros 
positivos. 
 
𝒁 = {… − 𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
 
Números racionales. Son los números que se 
pueden representar como una fracción de 
enteros. 
 
𝑸 = {
𝒂
𝒃
 𝒄𝒐𝒏 𝒃 ≠ 𝟎} Ejemplos: −
𝟑
𝟓
 ; 
𝟐
𝟕
 ; 
𝟔
𝟏𝟑
 … 
Números irracionales. Son los números que no 
se pueden expresar como una fracción de 
enteros y tienen infinitas cifras decimales noperiódicas. 
 
𝝅 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐 … ; 𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏 … ; √𝟐 ; √𝟕 
 
 
Notación: 
 
El conjunto de los números reales se denota por 
Al conjunto de los números naturales por N, 
Al conjunto de los números enteros por Z, 
Al conjunto de los números racionales por Q, y 
Al conjunto de los números irracionales por I. 
 
No son números reales: 
 
 
Los Números imaginarios. Son aquellos que 
tienen radicando negativo. 
 
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝒊 = √−𝟏 
 
Los Números complejos. Son los números que 
resultan de sumar un número real con un 
número imaginario. 
 
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝟐 + √−𝟏 
 
Las Indeterminaciones, fracciones con 
denominador cero. 
 
 
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔: 
𝟑
𝟎
 ; 
𝟐 + √𝟓
𝟎
 ; 
𝝅
𝟎
 ; 
−𝟗
𝟎
 
 
 
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EJERCICIOS: 
 
 
1. Completa la tabla siguiente: 
 
 
 
 
2. Escribe, dentro del paréntesis de la derecha, V si la proposición es verdadera o F si es falsa. 
a) Todos los enteros son racionales. ( ) 
b) 0.75 es racional y real. ( ) 
c) Los irracionales se expresan por medio de expansiones decimales infinitas ( ) 
d) Los racionales tienen decimales infinitos no periódicos ( ) 
e) El cero es irracional ( ) 
 
3. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales y por qué. 
a) 7.466446644… 
b) 2.1331333133331… 
c) 1.4300… 
d) 1.41352897…. 
 
 
 
 
 
( I ) 
 
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La Recta numérica o Recta Real: 
 
La recta real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números 
reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido 
(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una 
correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este 
conjunto. 
 
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente 
el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que 
represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica. 
 
 
 
 
 
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. 
Ejemplo. Localiza sobre la recta real los siguientes valores: −𝜋, −
3
2
,
1
2
 , √2, 𝜋 
 
( - ) ( +) 
 -π -3 -2 - 3/2 -1 0 ½ 1 √2 2 3 π 
 
 
Propiedad de orden de los Números Reales: 
 
Una propiedad de los números reales es la de orden, llamada tricotomía, de la cual se derivan los 
siguientes signos: 
 
 > “mayor que” 
 > “menor que” 
 = “igual a” 
 
Expresiones como a > b, a < b, a ≥ b se llaman desigualdades. 
 
 
Cantidades constantes y variables: 
 
Constantes son cantidades que conservan siempre un valor fijo (son un solo número); por ejemplo: 5, √3, 
½, π, -2, etcétera. 
 
Variables son cantidades que representan un número cualquiera del conjunto de números; por ejemplo: 
x, y, z, φ, θ, etcétera. 
 
Combinaciones: 
≥ “mayor o igual a” 
≤ “menor o igual a” 
 
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Ejemplo 1.- Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas 
temperaturas se le puede representar por la letra L (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por 
la letra T (inicial de temperatura). Las letras L y T son variables. 
 
Ejemplo 2.- Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de 
todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos 
por la letra x, y al conjunto de las ordenadas por la letra y, pues es una convención internacional. Las 
literales x, y son variables. 
 
 
 Par Ordenado 
 
Definición. Se llama par ordenado o pareja ordenada a un conjunto formado por dos elementos y un 
criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. 
 
Un par ordenado de componentes o distancias ortogonales a los ejes coordenados x, y se denota por (x, y) 
 
A partir de dos objetos x, y se forma un nuevo objeto (x, y) llamado par ordenado. En general a "x" se le 
llama primera componente o abscisa y a "y" se llama segunda componente u ordenada. 
 
Intuitivamente, dos pares ordenados son iguales sí y sólo sí son iguales sus primeras componentes y sus 
segundas componentes. 
 (x, y) = (u, v) sí y solo sí x = u, y = v. 
 
 
 Producto Cartesiano 
 
Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera 
componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A 
y B. 
 
Ejemplo.- Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: 
 
 A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}. 
 
R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el 
plano cartesiano llamado también plano numérico. Se establece así una relación de correspondencia entre 
Rx (abscisas) y Ry (ordenadas): el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta 
forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x, y); Los números en un par ordenado son llamados 
coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Valor absoluto de un número 
 
 
El Valor absoluto de un número real a, se escribe como |a| y siempre es una magnitud positiva. 
 
|𝑎| = 𝑎 si a es cero o un número positivo 
|−𝑎| = 𝑎 si a es un numero negativo 
 
El Valor Absoluto de un número es la distancia siempre positiva de un número desde cero en una recta 
numérica. 
 
Ejemplo: 
І -4 І = 4 
 
І 4 І = 4 
 
 
Propiedades del valor absoluto 
1. Multiplicación |𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏| 
2. División |
𝑎
𝑏
|=
|𝑎|
𝑏
 
3. Potencia |𝑎𝑛| = |𝑎|𝑛 
4. Raíz cuadrada √|𝑎2| = |𝑎| 
 
 
 
Ejemplos.- Realiza las siguientes operaciones: 
a) |−3| + 9 = 12 
b) |−𝑦| (2𝑦) = 2𝑦2 
c) 
(3)|−6|
2
=
18
2
= 9 
d) 
(−5) |6|
|−3|
=
−30
3
= −10 
e) 
|−2| (8+4)
−4
=
2(12)
−4
=
24
−4
− 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 І -4 І = 4 І 4 І = 4 
 
 
 -4 0 4 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
17 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
 
1. Localiza sobre la recta real los siguientes números: -4, 
3
2
 , 5, √9 , −
1
2
 , 1, 2𝜋, −𝜋 
 
2.- Propiedad de los números reales. Indica los signos correspondientes entre los números de las dos 
columnas que se indican. Ejemplo 2 < 6 
 a) 8 5 
 b) ½ 0.5 
 c) X2 0 
 d) 32 6 
 e) -(42) 8 
 
3.- Define: a) constante, b) variable 
 
 
4. Realiza las siguientes operaciones: 
a) |−8| + 8 = 
b) |−𝑥| (𝑥) = 
c) 
2|−9|
6
= 
d) 
−3 |8|
|−2|
= 
e) 
|−4| (8+7)
−3
 
f) |−34|= 
g) |−3| − 9 = 
h) √|−92| 
i) (|−5| + 3)(|4| − 6) = 
j)|−10| − |−4|
3 ( |−2|−4)
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
18 
 
 
Operaciones con los números reales 
 
Hay cinco operaciones importantes en los números reales: suma, resta, multiplicación, división y 
exponenciación. La exponenciación significa elevar un número real a una potencia, por ejemplo 
32 = 3 ∙ 3 = 9 ; 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 
 
 
Orden de las operaciones 
 
1. Resolver signos de agrupación ( ), [ ], { } 
2. Resolver exponentes o raíces, 
3. Multiplicar y dividir de izquierda a derecha, 
4. Sumar y restar de izquierda a derecha. 
 
Ejemplo 1: 
 
 2 + 7 · 8 / 2 
 2 + 56 / 2 Se multiplicó 7 · 8 
 2 + 28 Se dividió 56 / 2 
 30 Se sumó 28 + 2 
 
Cuando hay un paréntesis ( ), llave { } y corchete [ ], hay que resolver lo que está dentro de estos 
símbolos, antes de efectuar alguna otra operación. 
 
 
Ejemplo 2: 
 
5 · (9 – 6) + 8 Se resuelve el paréntesis 
 5 · 3 + 8 Se restó 9 – 6 = 3 
 15 + 8 Se multiplicó 5 · 3 
 23 Se sumó 15 + 8 
 
 
Ejemplo 3: 
 
2 [ 6 · (-1)] + 8 / 2 Primero, se resuelve el [ ] 
 2 [ -6] + 8 / 2 Se multiplicó 6 · -1 
 -12 + 8 / 2 Se multiplicó 2 · -6 
 -12 + 4 Se dividió 8 / 2 
 -8 Se sumó –12 + 4 
Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro 
hacia fuera. 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
19 
 
Ejemplo 4: 
 
2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
Como el paréntesis está adentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete. 
2 [ 6 – (9 / 3 ) + 8 ] 
2 [ 6 – 3 + 8 ] 
2 [ 3 + 8 ] 
2 [ 11] = 22 
 
 
Ejemplo 5: 
 
3 { 4 – [ 6 · 2 (9 – 5) + 1 ] } 
3 { 4 – [ 6 · 2 (4) + 1 ] } 
3 { 4 – [ 12 (4) + 1 ] } 
3 { 4 – [ 48 + 1 ] } 
3 { 4 – [ 49 ] } 
3 { -45} = -135 
 
 
Ejemplos con exponente: 
 
1) 9 { 2 – [ 6 + (4)2 + 8 ] } 
 9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] } 
 9 { 2 – [ 22 + 8 ] } 
 9 { 2 – 30 } 
 9 {-28} 
 -252 
 
 
2) 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 1 + 3 )2 – 20 ] } 
 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 4 )2 – 20 ] } 
 3 { 6 – [ 9 + 2 ( 16 ) – 20 ] } 
 3 { 6 – [ 9 + 32 – 20 ] } 
 3 { 6 – [ 21 ] } 
 3 { -15 } 
 -45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
20 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
Resuelve las siguientes operaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 𝟐{𝟖 + [𝟓 + 𝟑(𝟐 + 𝟑)𝟐 − 𝟑𝟎]} = 
6. 5{𝟑 [𝟐 −
(𝟔+𝟑)𝟐
𝟐
+ 𝟓]} = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
21 
 
Notación Exponencial 
 
Para las operaciones con potencias se deben considerar las siguientes reglas. 
 
 
an = a ∙ a ∙ a … . n factores 
Se lee "a" a la enesima potencia 
Dónde: n = exponente 
 a = base 
 
am ∙ an = am+n 
Para multiplicar: sumar exponentes 
am
an
= am−n 
Para dividir: restar exponentes 
an
an
= an−n = a0 = 1 ; con a ≠ 0 
Todo número diferente de cero elevado a la 
potencia 0 es 1 
1
an
= a−n , o bien a−n =
1
an
 
Pasando del numerador al denominador y 
viceversa, se cambia el signo del exponente 
 
(am)n = am∙n 
Para una potencia de potencia: multiplicar 
exponentes 
 
 
Radicales: 
 
0b 
b
a
 
ab b 
n
nn


n
n
n
b
a
a
 
aan n  
 
 
Cambio de notación radical a potencia: 
 
 √𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
√𝒂
𝒏
= 𝒂
𝟏
𝒏 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Desarrolla las siguientes potencias como 
producto de factores: 
 
a) (- 7)3 
 
b) (- 2)5 ⋅ 32 
 
c) 4-3 
d) X-2 
 
Solución: 
a) (- 7)
3 = (− 7) ⋅ (− 7) ⋅ (- 7) = -343 
 
b) (- 2)
5 ⋅ 3
2 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ 3 ⋅ 3= -288 
c) 4-3 = 1 = 1 = 1_ 
 43 4·4·4 64 
d) X-2 = 1 = 1_ 
 X2 X·X 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
1. Desarrolla las siguientes potencias como producto de factores: 
 
a) (- 3)5 
 
b) (- 4)3 ⋅ 24 
 
c) 6-2 
d) X-3 
2. Expresa el resultado como potencia 
única: 
 
a) [ ( -7)
−2 ]
3
 
b) ( -2)
5 ⋅ ( -2)
0 ⋅ ( -2)
-3 ⋅ ( - 2) 
c) 6 
2
⋅ (− 2)
2 ⋅ 3 
2
 
 
Solución: 
 
a) [(- 7)
−2 ]
3 
= ( - 7 )
−6
 
b) (- 2)
5 ⋅ (- 2)
0 ⋅ (- 2)
-3 ⋅ (- 2) = (- 2)
3
 
c) 6
2 ⋅ (− 2)
2 ⋅ 3
2 = [6 ⋅ (− 2) ⋅ 3]
2 = (− 36)
2
 
 
3. Escribe en forma de potencia las 
siguientes raíces: 
a) √𝟑 
b) √𝟓
𝟑
 
c) √𝒙𝟑
𝟒
 
d) √𝒚𝟗
𝟕
 
Solución: 
a) √3 = 3
1
2 
b) √5
3
= 5
1
3 
c) √𝑥3
4
= 𝑥
3
4 
d) √𝑦9
7
= 𝑦
9
7 
 
4. Escribe en forma radical: 
a) 𝟒
𝟏
𝟗 
b) 𝒙
𝟏
𝟒 
c) 𝒚
𝟑
𝟐 
d) 𝒂
𝟒
𝟓 
 
Solución: 
 
a) 𝟒
𝟏
𝟗
= √𝟒
𝟗
 
b) 𝒙
𝟏
𝟒 = √𝒙
𝟒
 
c) 𝒚
𝟑
𝟐 = √𝒙𝟑
 
 
d) 𝒂
𝟒
𝟓 = √𝒂𝟓
𝟒
 
 
 
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23 
 
2. Expresa el resultado como potencia única: 
 
a) [ ( -5)−3 ]2 
b) ( -3)4 ⋅ ( -9)0 ⋅ ( -4)-2 ⋅ ( - 3) 
c) 3 3⋅ (− 4)2 ⋅ 2 2 
d) 70+2-2 
 
3. Escribe en forma de potencia las siguientes raíces: 
a) √93 
b) √𝑥
4
 
c) √33
5
 
d) √85
5
 
 
 
4. Escribe en forma radical: 
a) 8
3
5 
b) 5
1
3 
c) 𝑥
5
2 
d) 𝑦
2
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
Conjuntos 
 
Conjunto es una lista o colección de objetos bien definidos. Estos objetos pueden ser números, personas 
o cosas. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. 
 
Ejemplo de conjuntos: 
 
 
 
Notación o simbología.- los conjuntos se denotan por letras Mayúsculas A, B, X, Y …; al conjunto universal 
o total de todas las cosas, se le asigna la letra 𝑼 . 
 
Por ejemplo, en el caso de las letras del abecedario, el conjunto universal es el de todas las letras: 
 
𝑈 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧} 
 
Algunos de los símbolos más utilizados en notación de conjuntos son los siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Los números 1,3,7 y 10 
b) Los números 2, 4, 6, 8…. 
c) Los ríos de México 
 
 
 
 
 . . . 
 
 
 ε 
 
 
 ε 
 
 φ 
 
U 
 
 
∩ 
 
 C 
 
 
 C 
 
 R 
Llaves indican principio y fin de un conjunto. Cuando se listan los elementos de un 
conjunto deben estar separados con comas; por ejemplo: A = { 3, 5, 9 } 
 
Indican continuación de un patrón; ejemplo: B = { 5, 10, 15 . . . 85, 90 } 
Al final indican un conjunto infinito; por ejemplo: C = { 2, 4, 6, 8 . . . } 
 
“Pertenece a” o bien “es elemento de”; ejemplo: si A = { 3, 5, 9 } , entonces 
5 ε A porque 5 está en el conjunto A. 
 
“No pertenece a” o bien “no es elemento de”; ejemplo: si C = { 2, 4, 6, 8 . . . } 
entonces 5 ε C 
 
Conjunto vacío (sin elementos) 
 
“Unión de conjuntos”; ejemplo: si 𝐸 = {1,3,5} y 𝐹 = {4,6,8}, entonces 
𝐸 ∪ 𝐹 = {1,3,4,5,6,8} 
“Intersección de conjuntos”; ejemplo: si 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} y 𝐷 = {𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} , 
entonces 𝐶 ∩ 𝐷 = {𝑑, 𝑒} 
 
“Es subconjunto de”; ejemplo:si A = { 3, 5 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces A C B 
 
“ No es subconjunto de”; ejemplo: si D = { 2, 3 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces 
D C B 
 
“El conjunto de los números reales” 
 
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25 
 
 Ejemplos: 
 
 1. Escribe en notación de conjuntos las afirmaciones siguientes: 
a) v pertenece al conjunto M 𝑣 𝜖 𝑀 
b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H 𝐻 ⊂ 𝑇 
c) Entre los elementos del conjunto G no está el numero 2 2 ∉ G 
d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A Z ⊂ A 
e) El conjunto X no es subconjunto del conjunto K X ⊂ K 
f) El conjunto H es un subconjunto del conjunto L H ⊂ L 
 
 
2. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ o ∉: 
a) 2 ∉ {1,3,5,7}, 
b) 5 ∈ {2,4,5,6}, 
c) 2 ∉ {4,5,6,7}, 
d) 0 ∈ ℝ 
e) 8 ∈ ℕ. 
 
 
3. Sea M= {r, s, t, u }. Indica cuales de las afirmaciones siguientes son correctas. Si alguna es 
incorrecta, decir el por qué: 
a) a ∈ M b) r ⊂ M c) {r,s} ∈ M d) {r,s } ⊂ M 
 
 
 
 
 
4. Consideremos el conjunto A={r , s ,m, e }. Indica si las expresiones son correctas: 
a) c ∈ A, Incorrecto 
b) {r, c, m} ⊂ A, Incorrecto 
c) {m} ⊂ A, Incorrecto 
d) {e, m, r } ⊂ A Correcto 
e) {s, e } ∈ A Incorrecto 
f) {s, e } ⊂ A Correcto 
 
 
 
 
 
 
Incorrecto: 
a no pertenece a M Correcto Correcto 
Incorrecto: r y s forman 
un subconjunto de M 
 
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26 
 
 
EJERCICIOS: 
 
1.- Escribe en notación de conjuntos: 
 a) el conjunto A de los números nones positivos 
 b) el conjunto D los días de la semana 
 c) el conjunto B de las personas mayores de 200 años 
 d) el conjunto de los números del 1 al 100. 
 
2.- Escribe las siguientes expresiones en notación de conjuntos: 
 a) x no pertenece a B 
 b) a no pertenece a D 
 c) A es un subconjunto de C 
 d) D no es subconjunto de E 
 e) X pertenece al conjunto de los números reales 
 
3.- Dados los siguientes conjuntos, indica entre las dos columnas el símbolo de correspondencia que se 
requiera: 
 
A = {2,4,6,8,10,12,14} 𝐵 = {4,6,8} 𝐶 = {1,3,5} 
 a) Ejemplo: 3 ∈ C 3 pertenece a C 
 b) 15 A 
 c) B A 
 d) 5 C 
 e) C A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
 
 Diagramas de Venn 
 
Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre 
conjuntos. 
 
 
Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto V de las letras 
vocales”, expresarlo por medio de un diagrama de Venn. 
 
 
 
 
 
Operaciones con conjuntos 
 
Al conjunto universal U que contiene a todos los elementos considerados en un estudio. Gráficamente se 
le representará en los diagramas de Venn mediante un rectángulo. 
 
 
 
La unión de conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin 
repetir ninguno y se denota como A ∪ B. Esto es: 
 
 
Ejemplo. 
A = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi} 
B = {durazno, melón, plátano, uva, pera, kiwi} 
A ∪ B = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi, durazno, 
melón, plátano} 
 
 
 
 
 
La intersección de conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se 
denota como A ∩ B. Esto es: 
 
 
Ejemplo. 
A = {mango, ciruela, sandía, uva, pera, kiwi} 
B = {durazno, melón, plátano, uva, pera, kiwi} 
A ∩ B = {uva, pera, kiwi } 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
 
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su 
intersección es el conjunto vacío, es decir, que no 
tienen nada en común. Por ejemplo: 
 
 
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} 
E = {limón, fresa, pera, mandarina, cereza} 
A ∩ E = ɸ 
 
 
 
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos 
de U que no están en A y se denota como A' . Esto es: 
 
 
 
Ejemplo. 
U = {mango, kiwi, ciruela, uva, pera, naranja, 
cereza, manzana, sandía, durazno, limón, melón, 
plátano} 
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, 
sandía} 
A' = {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, 
plátano} 
 
 
 
 
 
En este ejemplo se puede notar como ƞ(A)+ ƞ (A' ) = ƞ (U ) (Siendo ƞ el número de elementos) 
De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones: 
(A' )' = A 
ɸ ' = U 
U ' = ɸ 
 
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29 
 
 
La diferencia de conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no 
pertenecen a B y se denota como A - B . Esto es: 
 
 
 
Ejemplo. 
A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} 
B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} 
A - B = {mango, ciruela, manzana} 
B - A = {durazno, melón, plátano} 
 
 Se puede advertir como A - B ≠ B - A . 
 
 Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones: 
 
A - B = A ∩ B' 
A - B = ɸ, sí y sólo sí : A ⊂ B 
A - B = B - A, sí y sólo sí : A = B 
A - B = A, sí y sólo sí : A ∩ B = ɸ 
(A - B) ⊂ A 
A - ɸ = A 
A - B = B'-A' 
 
 Los conjuntos A - B, A∩ B, B - A son mutuamente ajenos (su intersección es el conjunto vacío). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
 
Ejemplo. 
Sean los conjuntos: 
U = {a, b, c, d ,e, f , g, h, i, j ,k ,l ,m, n} 
A = {a, d ,e, g, h, k ,l ,n} 
B = {a, c, f ,g, k ,l ,m} 
 
 Obtener: 
 
Solución: 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
1. Empleando diagramas de Venn, determina la intersección de los conjuntos A y B 
U{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝} 
A{𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑓, 𝑘, 𝑙, 𝑛} 
B{𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑘, 𝑚, 𝑜, 𝑝} 
 
2. Empleando diagramas de Venn, determina la Unión de los conjuntos P y Q 
U{1,3,5,7,9,11,12,15,16,18,20,21,24,26,27,29} 
P{3,5,9,12,16,21,24} 
Q{1,3,5,11,15,20,27} 
 
3. Dados los conjuntos: 
 U{silla, banca, mesa, vaso, plato, sartén, taza} 
 C{𝑚𝑒𝑠𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑜, 𝑡𝑎𝑧𝑎} 
 D{𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎, 𝑚𝑒𝑠𝑎, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑜, 𝑏𝑎𝑛𝑐𝑎} 
 
a) Determina C’ 
b) Determina D’ 
c) C - D 
 
 
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31 
 
1.3 SISTEMA DE COORDENADAS 
 
El plano cartesiano 
Así como se pueden representar números reales mediante puntos sobre una recta también se pueden 
representar pares ordenados de números reales mediante puntos en un plano llamado sistema 
coordenado rectangular o plano cartesiano, denominado así en honor del matemático francés René 
Descartes (1596-1650). 
El plano cartesiano se forma usando dos rectas de números reales que se intersecan de manera 
perpendicular, como se muestra en la figura La recta numérica horizontal se denomina eje x y la vertical 
es el eje y. El punto de intersección de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cuatro 
partes a las que se les llama cuadrantes. 
 
 
 
Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado (x, y) de números reales y llamados coordenadas 
del punto. La coordenada x representa la distancia dirigida desde el eje al punto y la coordenada y 
representa la distancia dirigida desde el eje al punto, como se muestra en la figura. 
 
 
 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa MedinaApuntes de Cálculo 
32 
 
 Trazo de puntos en el plano cartesiano 
Ejemplo 1. Localiza los puntos (-1, 2), (3, 4), (0, 0), (3, 0) 
y (-2, -3). 
Solución 
Para localizar el punto (-1, 2) imagina una recta vertical 
que pasa por -1, en el eje x y una recta horizontal que 
pasa por 2, en el eje y. La intersección de estas dos 
rectas es el punto (-1, 2) Los otros cuatro puntos se 
pueden trazar de manera similar, como se muestra en 
la figura. 
 
 
 
Ejemplo 2. En la tabla se muestran las utilidades (ganancias “g”) en millones de pesos de la empresa 
“Electro componentes S. A.”, para el periodo 2005-2012, dibuja una gráfica de dispersión de los datos. 
 
 
 
Solución 
Para dibujar una gráfica de dispersión de los datos mostrados en la tabla, 
simplemente, representa cada par de valores mediante un par ordenado 
“tiempo, ganancia” (t, g) y dibuja los puntos resultantes, como se muestra 
en la figura. Por ejemplo, el primer par de valores está representado por 
el par ordenado (2005, 950). 
 
 
 
 
 La gráfica de dispersión del 
ejemplo 2 es una forma de 
representar los datos de manera 
gráfica. Los datos también se 
pueden representar utilizando una 
gráfica de barras o una gráfica 
poligonal si los puntos resultantes 
se unen. 
 
Por qué se debe aprender esto: 
El plano cartesiano se puede usar 
para representar relaciones entre 
dos variables como en este caso 
tiempo y ganancia, en general las 
gráficas que representan 
relaciones entre dos datos se 
basan en el plano cartesiano. 
 
 
AÑO ( t ) MILLONES $ ( g )
2005 950
2006 960
2007 990
2008 750
2009 500
2010 780
2011 800
2012 820
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
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 Gráfica de una ecuación en el plano cartesiano. 
Una ecuación de dos variables, por ejemplo como 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 expresa una relación entre dos cantidades. Un punto 
(x, y) satisface la ecuación si al sustituir sus valores x, y en la ecuación, la igualdad resulta verdadera. 
La grafica de una ecuación con X y Y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano coordenado que satisfacen 
la ecuación. 
La gráfica de una ecuación es genéricamente una curva, de modo que para graficar una ecuación se determinan y 
trazan tantos puntos como sean necesarios, y luego se unen por medio de una línea suave. 
Ejemplos. Traza las gráficas que representen las soluciones a cada una de las siguientes ecuaciones. 
a) y=2x 
b) y=x2-2 
 
a) Ecuación Y=2X 
Por tabulación, proponemos valores de X y calculamos los de Y, los valores así obtenidos son los pares ordenados, 
puntos que utilizamos para graficar. 
 
X 
 
Y=2X 
Par 
ordenado 
-3 Y=2(-3)= -6 (-3,-6) 
-2 Y=2(-2)= -4 (-2,-4) 
-1 Y=2(-1)= -2 (-1,-2) 
0 Y=2( 0 )= 0 (0, 0) 
1 Y=2( 1 )= 2 (1, 2) 
2 Y=2( 2 )= 4 (2, 4) 
3 Y=2( 3 )= 6 (3, 6) 
 
b) Ecuación 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐 . Determinamos por tabulación algunos puntos que satisfagan la ecuación, a 
continuación graficamos estos puntos y los unimos mediante una curva suave. Una curva con esta forma se 
llama parábola. 
 
Nótese que en ambos casos los criterios para proponer los valores de x, son graficar una porción de la gráfica de la 
función en rededor del valor x=0, es decir en la intersección de la curva con el eje Y, donde el valor de la coordenada 
x es 0. 
 
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EJERCICIOS: 
 
 
1. Determina las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano. 
 
 
 
2. Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos y únelos: 
 
3. Dadas las siguientes ecuaciones, elabora las gráficas correspondientes: 
a) Y=3x+2 
b) Y=-2x+3 
c) Y= 2x2-3 
d) Y=x2+5 
 
 
 
 
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1.4 INTERVALOS 
Intervalo de una variable es el campo de variación o conjunto de números que representa; por ejemplo: 
a) Si X es un libro de un conjunto formado por 10 libros, el intervalo de X es el conjunto { 1, 2, … 10 } 
b) Si X es un día del mes de Julio, el intervalo o campo de variación de X es el conjunto {1, 2, 3, … 31 } 
c) Si X es la cantidad de agua en litros que se puede sacar de un depósito lleno de 10 litros, su campo de 
variación es el intervalo 0 ≤ X ≤ 10 
 
Notación de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos o cerrados, según contengan o no a sus puntos 
extremos. 
 
Intervalo Cerrado es el conjunto de puntos o números que si considera a los puntos extremos. Por ejemplo 
sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo cerrado [ a, b ] representa el conjunto de valores 
de la variable X tal que a ≤ X ≤ b. 
 
 
 
 
 [ ] 
Campo de variación de X 
(Los valores que puede tomar X incluyendo los extremos) 
 
Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo cerrado [ -5 , 3 ] 
 
 Gráfica Desigualdad 
 [ ] -5 ≤ X ≤ 3 
 -5 0 3 
 
Intervalo Abierto es el conjunto de puntos o números que no considera a los puntos extremos. Por 
ejemplo sean a y b números reales, tal que a < b ; el intervalo abierto ( a, b ) representa el conjunto de 
valores de la variable X tal que a < X < b. 
 
 
 
 
 ( ) 
Campo de variación de X 
(Los valores que puede tomar X sin incluir los extremos) 
 
Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo abierto ( 2 , 6 ) 
 
 Gráfica Desigualdad 
 ( ) 2 < X < 6 
 0 2 6 
Puntos extremos 
a b 
Puntos extremos 
a b 
 
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Intervalo Mixto es el conjunto de números que considera un extremo cerrado y otro abierto. Por ejemplo 
los intervalos: (2 , 8] y [-3, 6) son mixtos por que contienen un extremo cerrado y otro abierto. 
 
 
Intervalo Infinito.- cuando alguno de los puntos extremos se denota como abierto ∞ se trata de un 
intervalo infinito, este puede ser ( + ) ó ( - ). 
 
 
Ejemplo.- representa gráficamente y en forma de desigualdad el siguiente intervalo ( -2 , +∞ ) 
 
 Gráfica Desigualdad 
 ( +∞ - 2 < X 
 -2 0 
 
 
 
Ejercicios resueltos.- dada la expresión matemática representar en forma gráfica y en forma de 
desigualdad los siguientes intervalos: 
 
 
 Notación Gráfica Desigualdad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (-3 , 5] 
 
 
b) (-4 , +∞) 
 
 
c) ( -∞ , 6] 
 
 
d) (2 , 8) 
 
 
e) (-∞ , +∞) 
 ( ] 
 -3 0 5 
 
 ( 
 -4 0+∞ 
 
 ] 
 -∞ 0 6 
 
 ( ) 
 0 2 8 
 
 
 -∞ 0 +∞ 
 
 
-3 < X ≤ 5 
 
 
-4 < X 
 
 
X ≤ 6 
 
 
2 < X < 8 
 
 
-∞ < X < +∞ ó 
también: 
X ε R “ X pertenece al 
conjunto de los 
números reales” 
 
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En síntesis, existe una notación o simbología propia para expresar el conjunto de números que una variable 
puede tomar, estos conjuntos de números se denominan intervalos y pueden ser cerrados o abiertos, 
dependiendo si toman o no sus valores extremos; existen diferentes formas de expresar estos conjuntos 
de números llamados intervalos, la tabla siguiente nos muestra los distintos tipos de intervalos y su forma 
de expresión. 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
I. Expresa cada una de las siguientes desigualdades en notación de intervalos y representa su gráfica. 
 
1) -2 < X ≤ 2 2) -3 ≤ X ≤ 1 3) 0 < X 4) X ≤ 5 5) -3 < X 6) -50 ≤ X < 25 
 
7) 8 < X 8) -4 ≤ X ≤ 10 9) X ≤ 7 10) 4 ≤ X 
 
II. Para cada situación planteada, represéntala por medio de intervalos, desigualdad y en forma gráfica. 
 
1) A una escuela asisten niños de entre 6 y 14 años de edad. 
2) Para el transporte urbano los niños pagan tarifa desde los 4 años. 
3) El partido de futbol americano va a durar menos de 3 horas. 
4) Se recomienda trabajar con la computadora por espacio de 3 horas como máximo. 
5) En una ciudad de Canadá durante el invierno, la temperatura varía entre -10°C y 8°C 
6) Para que los alimentos se conserven en buen estado, deben estar por debajo de -1°C 
7) Un comerciante llega a tener pérdidas hasta de 200 y ganancias hasta de 1500 pesos diarios. 
 
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1.5 DESIGUALDADES 
 
 Antecedentes 
 
Una propiedad de los números reales es la de orden, llamada tricotomía, de la cual se derivan los siguientes 
signos: 
 
 > “mayor que” 
 > “menor que” 
 = “igual a” 
 
Expresiones como a > b, a < b, a ≥ b se llaman desigualdades 
 
Constantes son cantidades que conservan siempre un valor fijo (son un solo número); por ejemplo: 5, √3, 
½, π, -2, etcétera. 
 
Variables son cantidades que representan un número cualquiera del conjunto de números; por ejemplo: 
x, y, z, φ, θ, etcétera. 
 
Ejemplo 1.- Al conjunto formado por las diferentes longitudes de una barra sometida a diversas 
temperaturas se le puede representar por la letra L (inicial de longitud) y al conjunto de temperaturas por 
la letra T (inicial de temperatura). Las letras L y T son variables. 
 
Ejemplo 2.- Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares consideramos las coordenadas de 
todos los puntos, el conjunto formado por las abscisas de todos los puntos del plano, lo representamos 
por la letra X, y al conjunto de las ordenadas por la letra Y, pues es una convención internacional. Las 
literales X, Y son variables. 
 
 
Desigualdades de primer grado en una variable 
 
La expresión 𝑎 ≠ 𝑏 significa que " a " no es igual a " b ". 
Según los valores particulares de a y de b, puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la 
diferencia a - b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a - b es negativa. 
La notación 𝑎 ≥ 𝑏 , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. 
Por su parte, la notación 𝑎 ≤ 𝑏 que se lee “a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que 𝑎 = 𝑏 
pero no ambos. 
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno 
de los símbolos >, <, ≥ ó ≤. 
Ejemplos de desigualdades: 
1) 4 > 3 
2) a < 10 
3) 𝑏 ≥ 5 
4) 𝑥2 ≤ 8 
Combinaciones: 
≥ “mayor o igual a” 
≤ “menor o igual a” 
 
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Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad los términos que están a la izquierda del signo mayor 
o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo 
miembro. 
De la definición de desigualdad, se deduce que: 
· Todo número positivo es mayor que cero 
· Todo número negativo es menor que cero 
· Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto 
· Si a > b entonces b < a . 
 
Los signos > ó < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer 
miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el 
miembro mayor se convierte en menor o viceversa. 
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. 
· Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que 
figuran en ella. Por ejemplo: x2 +1 > x 
· Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 
3x -15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x . 
 
Propiedades de las desigualdades: 
 
Sean a, b, c tres números reales. 
I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro. 
 Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c . 
 Ejemplos. 
1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 , ya que: 
9 > 5 
2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 - 5 > 8 - 5 , ya 
que: 11 > 3 
Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, 
teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede 
pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una 
misma cantidad a los dos miembros. 
Ejemplo. 
8x - 4 > 3x - 9 
8x - 3x > -9 + 4 
II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor 
positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. 
Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que 𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 y que 
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
 
 
 
 
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Ejemplos. 
1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5·3 > 2·3 , ya 
que 15 > 6 
2) Si a la desigualdad 36 > 28 se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 
36
4
>
28
4
 , ya que 
9 > 7 
 
III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor 
negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. 
Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a · c < b · c y que 
𝒂
𝒄
<
𝒃
𝒄
 
 Ejemplos. 
1) Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por - 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 6(− 4) <
 3(− 4), ya que -24 < -12 
 
2) Si a la desigualdad 16 >10 se divide por - 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 
16
−2
<
10
−2
 , ya 
que - 8 < -5 
 
Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que 
se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. 
 
Ejemplo. 
- 6x +18 < 2 - 4x multiplicando los dos miembros por -1, e invirtiendo el signo: 
 6x -18 > -2 + 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Representación de una desigualdad 
 
Una desigualdad se puede expresar en forma de expresión matemática, en notación de intervalos y en 
forma gráfica; todo ello para expresar el conjunto de números que cumplen o satisfacen la desigualdad. 
 
En la siguiente tabla se presentan estas formas de expresión de las desigualdades, nótese que en la forma 
gráfica se presentan dos formas donde la diferencia es la representación de los extremos. 
 Intervalo cerrado: corchete o punto relleno, 
 Intervalo abierto: paréntesis normal o punto hueco. 
 
 
 
 
 
 
 Desigualdades lineales con una variable 
 
Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se procede de la misma manera como en una 
ecuación lineal: se despejan los términos con variable al primer miembro (lado izquierdo) y se reduce la 
variable; los términos sin variable se despejan al segundo miembro (lado derecho) y se reducen, tomando 
en consideración las propiedades de los signos. 
 
 
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Ejemplos: 
1. Resuelve la desigualdad 6x − 10 > 3x + 5 
 
2. Determina el intervalo y grafica el conjunto solución de la desigualdad: 2x − 6 + 3x ≥ 8x + 21. 
 
 
 
Por la propiedad II 
Por la propiedad III 
3. 
 
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4. 
5. 
Por la propiedad II 
Por la propiedad II 
 
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EJERCICIOS: 
 
 
Determina el conjunto de solución para las siguientes desigualdades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Desigualdad cuadrática con una variable 
 
 
 Método por casos 
 
 
Para encontrar el conjunto solución, se factoriza la expresión cuadrática, la expresión que se obtiene se 
divide en casos, a los que se hace un análisis de signos, como se ilustra en el siguiente ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Método por intervalos 
 
Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan valores que hagan cero a cada factor, entonces los 
valores se indican en la recta numérica y se forman los intervalos a analizar. 
 
 
 
 
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 Desigualdades racionales 
 
En este tipo de desigualdades se analiza el signo del numerador y del denominador, para obtener el signo 
del cociente, según sea la desigualdad dada. 
 
Ejemplos: 
 
 
 Método por casos 
La desigualdad dada se transforma a otra, la cual se compara con cero y se analizan los signos del cociente. 
Ejemplo. 
 
1. 
2. 
Multiplicando la desigualdad por -1, 
 
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Desigualdades con valor absoluto 
 
Entre las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquellas que contienen valores 
absolutos. Veamos antes la definición de valor absoluto. 
 
 
Definición: El número no negativo |𝒙| se llama el valor absoluto de x y representa la distancia en la recta 
real que hay entre el punto cuya ordenada es x y el origen (0,0), sin importar la dirección. Entonces el valor 
absoluto es un número siempre positivo 
 
Propiedades básicas del valor absoluto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EJERCICIOS: 
 
 
Resuelve las siguientes desigualdades y representa graficamente las soluciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDAD 2. FUNCIONES 
 
 Antecedentes: Concepto de relación y función 
Uno de los conceptos más útiles en matemáticas es el de relación y, como caso particular, el de función. 
Estas palabras no tienen en matemáticas el mismo significado que en la vida ordinaria cuando decimos, 
por ejemplo, "la función de la escuela es educar" o bien "la relación entre dos países es satisfactoria", 
etcétera. 
Las palabras relación y función implican la idea de una correspondencia entre los elementos de dos 
conjuntos, es decir, la formación de "parejas ordenadas de objetos" cualesquiera: personas, números, 
figuras geométricas, etcétera. 
En una Relación a cada elemento de un conjunto A se le puede asignar uno o más elementos del conjunto 
B. En una Función a cada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un solo elemento del 
conjunto B. 
 Ejemplos: 
1. Los asientos de un teatro se localizan por una letra (fila) y un número (asiento). Así decimos: tenemos 
la localidad (A, 4) o la localidad (D, 10), etcétera. Son parejas ordenadas (primero la fila y después el 
número) de un conjunto de letras y un conjunto de números. Esta correspondencia se trata de una relación 
porque a una misma fila le corresponden varios asientos. 
2. Si hacemos corresponder a cada número natural su doble tendremos las parejas (1,2), (2, 4), (3, 6), 
etcétera. Esta correspondencia es una función porque ninguna pareja tiene igual el primer elemento. 
3. De la misma manera se dice que la longitud de una circunferencia es función del radio, que el espacio 
recorrido por un móvil es función del tiempo, etcétera. 
Si a cada elemento de un conjunto A se le puede hacer corresponder exactamente otro elemento de un 
conjunto B se dice que B es función de A. 
La manera de establecer la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos es arbitraria pero debe 
estar perfectamente definida. Se puede expresar por una ecuación o fórmula, por una gráfica, mediante 
una regla, etcétera. 
Los elementos de los conjuntos A y B pueden pertenecer a un mismo conjunto que, en Cálculo, suele ser 
el conjunto de los números reales, es decir, A y B suelen ser generalmente conjuntos de números reales. 
Si los conjuntos son de elementos geométricos la palabra función se suele sustituir por "aplicación". 
 
Definición de función 
 
Se tiene una función cuando dos variables están relacionadas de tal manera que para cada valor de una, 
la otra depende tomando un solo valor, en: 
 
 Y = 5X2 + X + 3 
 
 
Dominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. En nuestroejemplo, el dominio es el conjunto de valores que puede tomar X. 
 
X es la variable independiente 
Y es la variable dependiente, Y es función de X 
 
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Rango o Contradominio de una Función es el conjunto de valores que puede tomar la variable 
dependiente. En nuestro ejemplo el Rango o Contradominio es el conjunto de valores que puede tomar Y. 
 
Como una función es una relación de dependencia entre dos variables, de tal manera que al dar un valor 
a una de ellas queda determinado el valor de la otra; dicha correspondencia puede expresarse por medio 
del siguiente diagrama en el que la función ( f ) relaciona los elementos del dominio con los del rango o 
contradominio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un conjunto de pares ordenados (x, y), tales que x ε A y y ε B es una función o aplicación de A en B si a 
cada x ε A le corresponde un único elemento y ε B; es decir, una relación que tiene la propiedad de que a 
cada elemento de su dominio le corresponde uno y sólo un elemento de su rango, se llama función. 
Es importante precisar que toda función es una relación, pero no toda relación es una función. 
La función entre los conjuntos mencionados A y B se denota por f: A → B que se lee “f es una función de 
A en B". 
 
Los elementos del Dominio de una función se llaman argumentos de la función y los del Rango se 
denominan imágenes. 
 
 Ejemplos: 
1) La relación R = {(l, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20)} es una función porque no se repite ningún elemento 
del dominio. 
2) La relación R = {(1, 1), (1, -1), (4, 2), (4, —2)} no es función, ya que se repiten el 1 y el 4 como 
elementos del dominio de la relación. Para que una relación no sea función basta con que se repita 
un elemento del dominio. 
 
Veamos los siguientes ejemplos: 
 
Determina cuáles de los diagramas que se indican definen una función de X = {2, 3, 4} en Y = {A, B, C}. 
 
 
Rango o 
Contradominio 
(Valores de Y) 
Dominio 
(Valores de X) 
A B 
 
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 Ejemplos 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: No es una función, porque al elemento 4 de X no le corresponde algún elemento de Y. 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: No es una función, porque al elemento 3 de X le corresponden los elementos A y C de Y. 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: Sí es una función, porque a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: Sí es una función, porque en una función puede un mismo elemento de su rango, corresponder 
a más de un elemento del dominio. 
Dominio (X) Contradominio o Rango (Y) 
 
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 Ecuaciones que representan una función 
 
Si una relación está definida por una ecuación con las variables x y y, donde x es la variable independiente 
y la variable dependiente es y, ésta representa una función si por cada valor de x para la cual está definida 
le corresponde uno y sólo uno de y. Veamos los siguientes ejemplos: 
1. En la ecuación y = 4x — 5 
Si x = 3, entonces y = 4(3) - 5, o sea, y = 7. 
Podemos observar en esta ecuación que a cada valor de x le corresponde uno de y; por lo tanto, ésta 
ecuación si define una función. 
 2. y2 = 8x 
En esta ecuación, por ejemplo si x = 2, entonces 
y2 = 8(2) ; y2 = 16 
 𝑦 = ±√16 ; por lo que y toma dos valores: y1 = 4 ; y2 = −4 
 Hemos determinado en esta ecuación que para x = 2, y = ±4; o sea, (2, 4) (2,-4) son los pares ordenados 
de la relación y2 = 8x; por consiguiente, esta expresión no representa función, porque para cada valor de 
x, corresponden dos de y. 
 
 
 
Prueba de la recta vertical para determinar si una gráfica representa una función 
Para determinar si una gráfica representa una función se utiliza la prueba de la recta vertical que consiste 
en lo siguiente: 
Si la gráfica de una relación es intersecada en solo un punto por cualquier recta perpendicular al eje de las 
x por un solo punto del dominio, entonces la gráfica corresponde a una función; en caso de que dicha recta 
interseque en dos o más puntos, entonces la gráfica no corresponde a una función. 
 
 
 
Ejemplos: 
Determina cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta gráfica si corresponde a una función, ya que observamos que si imaginariamente se desplaza la recta 
vertical punteada hacia la derecha o hacia la izquierda ésta siempre interseca en un solo punto a la gráfica. 
 
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2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta gráfica no corresponde a una función, ya que una recta vertical, solamente en x = 0, interseca en un 
solo punto a la gráfica; pero por cualquier punto donde x > 0 corta siempre en dos puntos a la curva. 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acuerdo con la posición de la recta vertical punteada en este ejemplo, ésta corta en un solo punto a la 
gráfica; sin embargo, al trasladarla imaginariamente hacia la derecha se observa que al pasar por la parte 
vertical de la gráfica la corta en un conjunto infinito de puntos; por lo tanto, esta gráfica no corresponde 
a una función. 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
1. Define los siguientes conceptos: 
a) Relación 
b) Función 
 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
60 
 
2. Indica la forma algebraica de las siguientes funciones, expresadas en forma tabular. 
 
x y 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
a) ejemplo: b) 
 y = x2 ___________________ 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 ____________________ _______________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 ____________________ ____________________ 
 
 
3. Indica si los siguientes pares ordenados representan una función. 
 
a) (1,3), (2,3),(4,3),(5,3),(6,3) __________________________ 
b) (1,3),(2,4),(3,5),(6,7),(8,5) __________________________ 
c) (2,4), (2,5),(3,4),(5,2),(1,4) __________________________ 
d) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5) __________________________ 
e) (0,0), (1,1,(2,4,(3,9),(4,16) __________________________ 
f) (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5) __________________________ 
g) (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5) __________________________ 
 
 
 
4. Indica si las siguientes relaciones determinan a y como función de x. 
a) 
x
y
1
 __________________________ 
b) xy  __________________________ 
c) 
4
1
2 

x
y __________________________ 
x y 
0 1 
1 2 
2 3 
3 4 
x y 
0 0 
1 2 
2 4 
3 6 
x y 
0 2 
1 3 
2 4 
3 5 
x y 
0 0 
1 1 
2 8 
3 27 
 x y 
0 0 
2 1 
4 2 
5 2.5 
 
Ing. Manuel Zamarripa Medina Apuntes de Cálculo 
61 
 
d) 5
22  yx __________________________ 
e) xy  2 __________________________ 
f) xy 2
2  __________________________ 
g) 3 xy __________________________ 
h) 5
2 xy __________________________ 
 
 
5. Indica cuales de las siguientes figuras representan una función. 
 
 
 
 
a) b)