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APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL.
Prof. Jaime A Pinto.
Departamento De Ciencias Básicas,
Unidades Tecnológicas de Santander.
uts Departamento de Ciencias Básicas 2013
Contenido
Introducción ................................................................................................................................................................. 1
1 Capítulo 1
"Desigualdades" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Propiedades de las Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Clases de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Inecuaciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 cuadráticas o de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5 Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Capítulo 2
"Funciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Definición de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Representación Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Criterio de la Recta Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Elementos de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Dominio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Intersección con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Simetrías de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Funciones par e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Álgebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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Cálculo Diferencial
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CONTENIDO 3
2.9 Movimientos en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.1 Translación Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.2 Translación Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Gráfica de Funciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Composición de Funciones o Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.12.1 Propiedades de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.13 Aplicaciones de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.2 Modelos Demanda y Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Límites y Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Definición Informal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Límites Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Definición Formal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 Cálculo de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.1 Indeterminación
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2 Indeterminación
±∞
±∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.3 indeterminación ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.4 indeterminación 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.5 indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Límites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8 Límites al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.1 Asintotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9 Teorema del Emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11 Clases de Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.1 Discontinuidad Evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.2 Discontinuidad no evitable o esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11.3 Resumen de las Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Derivadas y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.4 Diferentes formas de representar la derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.0.5 La Derivada como Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Propiedades o reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
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Cálculo Diferencial
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CONTENIDO 1
4.2 Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Costo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Ingreso Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3 Utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.4 Consumo y Ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.5 Elasticidad de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Regla de la cadena para potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Derivada de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 Derivada de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.2 Derivada de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3 Derivada de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.5 Derivadas de funciones trigonométricas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6 Derivada de una Función elevada a otra Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8 Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10 Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10.1 El problema de recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.11 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11.1 La primera derivada y la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11.2 Extremos locales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.11.3 Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . 117
4.11.4 Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.11.5 Concavidad de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.11.6 Punto de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.11.7 Representación Gráfica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.11.8 Tabla de resumen "Definiciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.12 Aplicación de la derivada al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.12.1 Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.13 Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Bibliografía .................................................................................................................................................................... 134
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Cálculo Diferencial
Departamento de Ciencias Básicas
Introducción
El Cálculo Diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII
cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) entre otros, inten-
taron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega
Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica que es el problema de
la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular ve-
locidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo
práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí.
Con el paso del tiempo las aplicaciones del Cálculo Diferencial se han ampliado a la cotidianidad, a las cien-
cias socieconómicas e ingeniería, entre otros.
1 Capítulo 1"Desigualdades"
1.1 Desigualdades
En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lin-
eales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor
que otra, para ello utilizamos los símbolos:
Mayor que > menor que <
Mayor o igual que ≥ menor o igual que ≤.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de de-
sigualdad:
a es mayor que b→ a > b
a es menor que b→ a < b
a es mayor o igual que b→ a≥ b
a es menor o igual que b→ a≤ b.
1.1.1 Propiedades de las Desigualdades
Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1. (Propiedad transitiva).
Si a > b y b > c, entonces a > c.
Si a < b y b < c, entonces a < c.
2. Si a > b, entonces a± c > b± c.
Si a < b, entonces a± c < b± c.
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
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Cálculo Diferencial
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3
4. Si a > b y c > 0, entonces
a
c
>
b
c
.
Si a > b y c < 0, entonces
a
c
<
b
c
.
5. (Propiedad aditiva)
Si a > b yc > d, entonces a+ c > b+d
6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd
7. Si a > b y a > 0 y b > 0, entonces an > bn
8. Si a > b, entonces 1a <
1
b
9. a.b > 0 =

a > 0 ∧ b > 0
∨
a < 0 ∧ b < 0
a.b < 0 =

a > 0 ∧ b < 0
∨
a < 0 ∧ b > 0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.
Por ejemplo 3 < 6⇐⇒ 6 > 3
1. Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además son
satisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostración
analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
Por ejemplo: la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b
2ab
a+b
<
√
ab
2. Desigualdades condicionales: Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos
números Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades que
poseen variables.
Por ejemplo:
2x+6 < 0
Definición 1.1
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4
Capítulo 1
"Desigualdades"
1.2 Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se rep-
resentan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre
conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que
existen y luego algunos ejemplos.
1.2.1 Clases de Intervalos
A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos
Sean los intervalos A = [−5,5], B(−∞,8] y C = (2,∞); hallar en las diferentes notaciones:
1. A∪C 2. B∩C 3.(A∩C)∪B
Solución:
1. A∪C = [−5,∞) Notación de intervalo→ A∪C = {x/x≥−5} Notación de conjunto
2. B∩C = (2,8] Notación de intervalo→ B∩C = {x/2 < x≤ 8} Notación de conjunto
3. (A∩C)∪B = (2,5]∪ (−∞,8] = (−∞,8] Notación de intervalo
→ (A∩C)∪B = {x/x≤ 8} Notación de conjunto
Ejemplo 1.1
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5
1.3 Inecuaciones de una variable
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se
conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.
La desigualdad 2x−3 > x+5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para
cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una
desigualdad de signo contrario.
Ejemplo 1.2
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enun-
ciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante
un intervalo).
Solución de inecuaciones
Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para
hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el
nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en
notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos")
1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable
Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que
aparece en ellas.
Inecuación tipo
2x−3 > x−5 1° grado; 1 incógnita
x−3≤ y 1° grado; 2 incógnitas
x2−5x≥ 4 2° grado; 1 incógnitas
xy−3 > 0 2° grado; 2 incógnitas
1.4.1 Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita:
son las que responden a las siguientes formas básicas:
ax+b < 0 ax+b > 0 ax+b≤ 0 ax+b≥ 0
En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
uts
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6
Capítulo 1
"Desigualdades"
Paso 1: Quitar los paréntesis, si los hay.
Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por
el m.c.m. de los denominadores.
Paso 3: Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.
Paso 4: Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
Paso 5: Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la
desigualdad.
Paso 6: Despejar la x (la incógnita).
Paso 7: Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Resolver
x−2
3
− 5(x−7)
4
>
7− x
2
4(x−2)−3(5x−35)
12
>
6(7− x)
12
4x−8−15x+105 > 42−6x⇒−5x >−55
5x < 55⇒ x < 11
Solución: x ∈ (−∞,11)
Ejemplo 1.3
Resolver 2x−3 > x+5
Pasando x al primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene: 2x− x > 3+5
Reduciendo término: x > 8
Solución: S = (8,∞) = {x ∈ R|x > 8}
Ejemplo 1.4
uts
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7
Dada la siguiente inecuación 7− x
2
>
5x
3
−6. Halle el conjunto solución y grafíquelo
Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene: 42−3x > 10x−36
Trasponiendo términos: −3x−10x >−36−36
−13x >−78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x < 78
Dividiendo por 13: x <
78
13
o sea laSolución: es x < 6
Ejemplo 1.5
Resolver (x+3)(x−1)< (x−1)2 +3x
Efectuando las operaciones algebraicas: x2 +2x−3 < x2−2x+1+3x
Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo: 2x+2x−3x < 1+3 x < 4
Solución: S=(−∞,4) = {x ∈ R|x < 4}
Ejemplo 1.6
uts
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8
Capítulo 1
"Desigualdades"
Dada la siguiente inecuación
x−2
3
− 2x
2−1
2
≤ 1
4
− x2 Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para
obtener:
4(x−2)−6(2x2−1)≤ 3−12x2
4x−8−12x2 +6≤ 3−12x2
Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4x+6≤ 3+8
Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: Solución S=(−∞, 5
4
]={x ∈ R|x≤ 5
4
}
Ejemplo 1.7
1.4.2 inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x > a x < b, es
decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:
S = {x/x > a}∩{x/x < b}
Hallar el conjunto solución de 6≤ 4x−2 < 7
Separando en dos desigualdades:
4x−2≥ 6 ∧ 4x−2 < 7
4x≥ 6+2 ∧ 4x < 7+2
x≥ 8
4
∧ x < 9
4
x≥ 2 ∩ x < 9
4
Solución: x ∈ [2, 9
4
)
Ejemplo 1.8
uts
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1.4.3 cuadráticas o de segundo grado
Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes
formas básicas:
ax2 +bx+ c < 0 ax2 +bx+ c > 0 ax2 +bx+ c≥ 0 ax2 +bx+ c≤ 0
Procedimiento
Paso 1: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de se-
gundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.
Paso 2: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.
Paso 3: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.
Paso 4: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
uts
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Capítulo 1
"Desigualdades"
Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 > 0. Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2), quedando una in-
ecuación de la forma: (x+3)(x+2)> 0
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: (x+3)> 0 y (x+2)> 0
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos es decir: (x+3)< 0 y (x+2)< 0
Solución Caso I: Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y SB al conjunto
solución de la inecuación (x+2)> 0, la solución del Caso I viene dada por: SI=SA∩SB
Solución para SA x+3 > 0 x >−3 SA = (−3,∞) = {x ∈ R|x >−3}
Solución para SB x+2 > 0 x >−2 SA = (−2,∞) = {x ∈ R|x >−2}
Solución para SI es: SI=SA∩SB = (−3,∞)∩(−2,∞) = (−2,∞)
SI = (−2,∞) = {x ∈ R|x >−2}
Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación (x+3)< 0 y SD al conjunto
solución de la inecuación (x+2)< 0, la solución del Caso II viene dada por: SII=SC ∩SD
Solución para SC (x+3)< 0 SC = (−∞,−3) = {x ∈ R|x <−3}
Solución para SD (x+2)< 0 SD = (−in f ty,−2) = {x ∈ R|x <−2}
Entonces la solución para es: SII = SC ∩SD = (−∞,−3)∩ (−∞,−2) = (−∞,−3)
SII = (−∞,−3) = {x ∈ R|x <−3}
Solución general: La solución general será la unión de SI y SII , es decir: SG = SI ∪ SII =
(−∞,−3)∪ (−2,∞)
Ejemplo 1.9
El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico.
Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio
o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método
consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la
recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando
cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario
que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los
intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
uts
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Dada la siguiente inecuación x2 +5x+6 > 0, halle el conjunto solución y grafique.
Se factoriza el polinomio x2 +5x+6 = (x+3)(x+2)
quedando la inecuación de la forma: (x+3)(x+2)> 0
Las raíces que anulan (x+3)(x+2) son x =−3 y x =−2. (valores de separación)
Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1).
Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.
(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)
x+3 − + +
x+2 − − +
(x+3)(x+2) + − +
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene
dada por:
Solución: SG = SI ∪SII = (−∞,−3)∪ (−2,∞)
Ejemplo 1.10
uts
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12
Capítulo 1
"Desigualdades"
Dada la siguiente inecuación
(x−1)2
2
− (x−1)
2
3
<
8
3
, halle el conjunto solución y grafique.
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y
se reducen términos semejantes, obteniendo: x2−2x−15 < 0
Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3), resultando una
inecuación de la forma: (x−5)(x+3)< 0
Las raíces de (x− 5)(x + 3) son x = 5 y x = −3 (valores de separación) las cuales se ubican
sobre la recta real.
Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad.
(−∞,−3) (−3,5) (5,∞)
x+3 − − +
x−5 − + +
(x+3)(x−5) + − +
Solución: SG = (−3,5) = {x ∈ R|−3 < x < 5}
Graficamente:
Ejemplo 1.11
Casos especial 1
Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:
(ax+b)2 ≤ 0→ la solución es x =−b/a
(ax+b)2 < 0→ No tiene solución
(ax+b)2 ≥ 0→ La solución son los R
(ax+b)2 > 0→ La solución son los R−{−b/a}
Resolver: x2 +2x+1≥ 0
Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tanto x2 +2x+1 = 0
Por lo tanto usando la fórmula cuadrática x =
−b±
√
b2−4ac
2a
=
−2±
√
22−4
2
=
−2±0
2
=−1
(x−1)2 ≤ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R
Ejemplo 1.12
Casos especial 2
uts
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Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con el
de la desigualdad, no tiene solución (vacío).
1.4.4 Inecuaciones de Grado Superior
Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuaciones
Paso 1 Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
Paso 2 Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
Paso 3 Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
Paso 4 En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Paso 5 Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.
Resolver la inecuación: x3−4x < 0
Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea neg-
ativo por el sentido de la desigualdad.
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar
factor común x)
x(x2−4)< 0, o lo que es lo mismo x(x−2)(x+2)< 0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes
valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio
es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el
producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de
la operación. Observa la gráfica:
(−∞,−2) (−2,0) (0,2) (2,∞)
x+2 − + + +
x − − + +
x−2 − − − +
x(x−2)(x+2) − + − +
Solución=(−∞,−2)∪ (0,2)
Ejemplo 1.13
1.4.5 Inecuaciones Racionales
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones
polinómicas. Expresión general: son del tipo ax+bcx+d ≤ 0, o todas sus equivalentes
ax+b
cx+d ≥ 0, o
ax+b
cx+d < 0, etc y de
grados mayores que uno.
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador
no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método
gráfico.
uts
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Capítulo 1
"Desigualdades"
Procedimiento a tener en cuenta:
Paso 1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
Paso 2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,
independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Paso 3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la
fracción polinómica.
Dada la siguiente inecuación:
x2 +3x−10
x2 + x−2
< 0 halle el conjunto solución y grafique.
Factorizando los polinomios dados x2 +3x−10 = (x+5)(x−2) y x2 + x−2 = (x+2)(x−1)
Resultando una inecuación de la forma
(x+5)(x−2)
(x+2)(x−1)
< 0
Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el denominador son y , las cuales se
ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
los signos de la desigualdad.
(−∞,−5) (−5,−2) (−2,1) (1,2) (2,∞)
x+5 − + + + +
x+2 − − + + +
x−1 − − − − +
x−2 + − + − +
x2 +3x−10
x2 + x−2
< 0 − + − + +
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde
el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la
solución viene dada por:
Solución:SG = (−5,−2)∪ (1,2)
Ejemplo 1.14
uts
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Resolver:
x+1
x−1
< 1
x+1
x−1
−1 < 0→ x+1+ x−1
x−1
< 0
2
x−1
< 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es
negativo y lo es en (−∞,1).
Solución: (−∞,1)
Ejemplo 1.15
1.4.6 Inecuaciones de Valor Absoluto
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo.
|a|=
{
a para a≤ 0
−a para a < 0 ∀ a ∈ R
significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Definición 1.2
Ejemplo:
|−5|= |5|= 5
1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto re-
quieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos.
A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.
Sean a,b ∈ R.
1 |a| ≥ 0
2
√
a2 = |a|
3 |a|= |−a |
4 |a | 2 = a2
5 |a ·b| = |a| · |b|6
∣∣ a
b
∣∣ = |a ||b | , si b 6= 0
7 |a+b| ≤ |a|+ |b| Desigualdad triangular
8 |a|= b ⇒ b≥ 0 ∧ {a = b ∨ a =−b}
uts
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Capítulo 1
"Desigualdades"
Desigualdades con valor absoluto
Sea x,y,a ∈ R. Se tiene entonces:
1 |x| ≤ a sii a≥ 0 ∧ x≤ a ∧ x≥−a ó−a≤ x≤ a
2 |x| ≥ a sii x≥ a ∨ x≤−a
3 |x| ≥ |y| sii x2 ≥ y2
Definición 1.3
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor ab-
soluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto
de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de
resolución de inecuaciones.
Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:
Sean x,a,b,c ∈ R.
1 |ax+b| ≤ c⇒

ax+b≤ c
∧
ax+b≥ c
∨ −c≤ ax+b≤ c
2 |ax+b| ≥ c⇒

ax+b≥ c
∨
ax+b≤−c
∨ ax+b≤ c ∨ ax+b≥−c
Definición 1.4
uts
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17
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface |5x+10| ≤ 15 y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −15≤ 5x+10≤ 15
−15−10≤ 5x≤ 15−10
−25
5
≤ 5x
5
≤ 5
5
−5≤ x≤ 1
Solución: S = [−5,1] = {x ∈ R|−5≤ x≤ 1}
Graficamente:
Ejemplo 1.16
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: | x
3
+2|< 1 y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −1 < x
3
+2 < 1
−3 < x
3
<−1
−3∗3 < x
3
<−1∗3
−9 < x <−3
Solución: S = (−9,−3) = {x ∈ R|−9 < x <−3
Graficamente:
Ejemplo 1.17
uts
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18
Capítulo 1
"Desigualdades"
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |3x+8| ≥ 2 y grafique.
3x+8≥ 2 ∨ 3x+8≤−2
3x≥ 2−8 ∨ 3x≤−2−8
3x≥−6 ∨ 3x≤−10
x≥ −6
3
∨ x≤ −10
3
x≥−2 ∨ x≤ −10
3
Solución: S = (−∞,−10
3
]∪ [−2,∞)
Graficamente:
Ejemplo 1.18
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |5x−3| ≤ 7 y grafique.
5x−3≥ 7 ∨ 5x−3≤−7
5x≥ 7+3 ∨ 5x≤−7+3
5x≥ 10 ∨ 5x≤−4
x≥ 10
5
∨ x≤ −4
5
x≥ 2 ∨ x≤ −4
5
Solución: S = (−∞,−4
5
]∪ [(2,∞)
Graficamente:
Ejemplo 1.19
uts
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19
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |2x−1
x+3
| ≥ 3 y grafique.
|2x−1|
|x+3|
≥ 3
|2x−1| ≥ 3|x+3|
(2x−1)2 ≥ (3x+9)2
(2x−1)2− (3x+9)2 ≥ 0
(2x−1)2− (3x+9)2 ≥ 0
[(2x−1)− (3x+9)][(2x−1)+(3x+9)]≥ 0
(−x−10)(5x+8)≥ 0
Solución: S = [−10,−8
5
]
Ejemplo 1.20
uts
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20
Capítulo 1
"Desigualdades"
1.4.7 Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones
Las inecuaciones permiten resolver problemas.
Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de
cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875−4x≤ 415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad −4x≤ 415−875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro −4x≤−460
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por −1
4
(Cuidado: como multiplicamos
por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad), x≥ (−1
4
)(−460)
hacemos el cálculo x≥ 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se
trata de un peso, x > 0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0,115]. Graficamos la solución en la recta real:
Ejemplo 1.21
uts
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2 Capítulo 2"Funciones"
En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; ob-
servamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperatura
de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones;
aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, sí
existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones pueden
ser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones se
conocen como funciones.
El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac
Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades vari-
ables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».
2.1 Definición de Función
Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado
dominio un valor único f (x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a los
que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se
llama imagen.
Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función.
uts
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Capítulo 2
"Funciones"
Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f (x), por ejemplo:
y = f (x) = x2; y = g(x) = 3x2 + x; y = h(x) = x+1x−3
y = j(x) =
√
x+6; y = t(x) =
√
x−2
x+4 y = k(x) = sen(x)
Por otra parte en las funciones del tipo y = f (x), la relación entre ambas variables x e y está claramente
determinada. Por ese motivo la expresión y = f (x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin
embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma
tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:
3x−2y+5 = 0 x−3y3 +4yx = 5 x+ sen(xy)+ y = 3
√
2x, π = xy+ x2 + y2
Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la fun-
ción. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable
dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión
implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores ex-
presiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones
anteriores puede servirnos de ayuda.
2.2 Representación Gráfica de una Función
La gráfica de una función f (x) es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano xy (ejes de coordenadas),
tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f (x).
2.2.1 Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números x e y,
llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(x,y).
uts
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23
1. La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal, OX . Se denomina abscisa del
punto P.
2. La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY . Se denomina ordenada
del punto P.
3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas, O.
El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
2.2.2 Criterio de la Recta Vertical
¿Todas las gráficas son funciones? Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical que
se ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguiente
gráfica.
Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos (a,b) y (a,c) entonces dicha gráfica
no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en la
siguiente gráfica mostramos tal situación.
Observe eldibujo:
uts
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24
Capítulo 2
"Funciones"
2.3 Elementos de una Función
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables
(dependiente e independiente).
1. Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente
x de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función
del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D( f ),Dom( f ).
2. Se llama Recorrido, Rango, Imagen o codominio de una función al conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.
El recorrido de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones:
R( f ),Rango( f ), Im( f ).
2.3.1 Dominio de Funciones
Una función polinómica es de la forma:
f (x) = anxn +an−1xn−1 +an−2xn−2 + ....+a1x+a0, donde n ∈ Z+
El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Dom f (x) = R
Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
f (x) = 2x2−3x+2; g(x) = x3 +2x2− x+2; h(x) = 2x−5
Solución: Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemos Dom f (x) = R
Ejemplo 2.1
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios) .
f (x) =
p(x)
Q(x)
Recuerde que una expresión de números reales de la forma AB no existe si B = 0; de manera que
para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero Q(x) = 0
y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de
los valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador): Dom f (x) = R-(valores
críticos)
Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales
Algunos ejemplos de funciones racionales son:
f (x) =
2x+3
x2−1
; g(x) =
x−4
2x2− x+4
; h(x) =
x
x4− x
; y =
1
x+1
uts
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25
Hallar el dominio de la función
f (x) =
2x+3
x2 +3x+2
Igualamos el denominador a cero: x2 +3x+2 = 0
Factorizamos: (x+2)(x+1) = 0 este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:
x+2 = 0 , entonces: x =−2
x+1 = 0 , entonces: x =−1
De lo anterior, deducimos que los números −2 y −1 no pertenecen al dominio y por lo
tanto:
Dom f (x) = R− (−2,−1)
Ejemplo 2.2
Las funciones racionales son de la forma: f (x) = n
√
p(x), el dominio depende del índice de la raíz.
1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio es Dom f (x) = R
2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen que p(x)≥ 0
Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales
Hallar el dominio de la función:
f (x) =
√
x2−1
La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando es
mayor o igual que cero, es decir si:
x2−1≥ 0
al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio.
x2−1≥ 0 → (x+1)(x−1)≥ 0
Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satis-
facen la ecuación son:
(−∞,−1]∪ [1,∞)
entonces:
Dom f (x) = (−∞,−1]∪ [1,∞)
Ejemplo 2.3
uts
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26
Capítulo 2
"Funciones"
Encuentre el dominio de la función:
g(x) =
x√
x+4
En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que
x+4 6= 0, → x 6=−4,
y además que el radicando sea mayor que cero
x+4 > 0,
de tal manera que debemos resolver la ecuación:
x+4 > 0
x >−4
Por lo tanto el dominios es Domg(x) = (−4,∞)
Ejemplo 2.4
Determine el dominio de h(x),
h(x) =
√
x−2
x−4
En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el
denominador, es decir:
1. El radicando debe ser positivo o cero.
x−2≥ 0,
x≥ 2
2. El denominador debe ser distinto de cero.
x−4 6= 0
x 6= 4
Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2:
De manera que la solución es: Dom f (x) = [2,4)∪ (4,∞)
Ejemplo 2.5
uts
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27
Una función exponencial es de la forma
f (x) = ax
La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio se
representa como:
Dom( f ) = ℜ
Definición 2.4 Dominio de la función exponencial
Encuentre el dominio de la siguiente función f (x) = 2ex+2
Solución: Dom f (x) = ℜ
Ejemplo 2.6
Una función logaritmo es de la forma
f (x) = Loga [g(x)]
Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que los
logaritmos de números negativos y el cero no existen.
Entonces Dom( f ) ⇒ son los valores que satisfacen la siguiente inecuación g(x)> 0
Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica
Hallar el dominio de f definida como
f (x) = Ln(1− x2)
La función logaritmo natura f (x) está definida si 1− x2 > 0
Resolviendo la inecuación tenemos:
Dom f (x) = (−1,1)
Ejemplo 2.7
uts
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28
Capítulo 2
"Funciones"
2.3.2 Recorrido o rango de algunas funciones
Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.
Hallar el recorrido de la función f (x) =
2x+1
x−5
Para lograrlo despejamos a x: y(x−5) = 2x+1
yx−5y = 2x+1
xy−2x = 5y+1
x(y−2) = 5y+1
x =
5y+1
y−2
Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden
tomar las imágenes, por lo tanto la solución es: Rango = ℜ−{2}
Ejemplo 2.8
2.4 Intersección con los ejes
Un punto (a,0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si f (a) = 0 , es decir, si este punto es una
solución de la ecuación que define a f . Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x
debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.
Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f (0) = b es decir, si este punto es
una solución de la ecuación que define a f .
Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación
que se obtiene.
Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos
para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:
uts
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29
Halle los interceptos de la función f (x) =
2x+2
x−7
Solución:
Intersección con el eje y
Hacemos x = 0, entonces: y =−2
7
Intersección con el eje x
Hacemos y = 0, entonces: 0 =
2x+2
x−7
por lo tanto 2x+2 = 0 y obtenemos que: x = - 1
Ejemplo 2.9
2.5 Simetrías de una Función
Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función
presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona
sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar
diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden
presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro
estudio.
Una función f (x) es:
1. Simétrica respecto al eje y si f (x) = f (−x) ; se dice que f (x) presenta simetría par.
2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f (x) = − f (−x); se dice que f (x) presenta simetría
impar.
Veamos los siguientes ejemplos
uts
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30
Capítulo 2
"Funciones"
2.6 Funciones par e impar
Sea f una función, entonces:
1. f es par si satisface f (−x) = f (x)
2. f es impar si satisface f (−x) =− f (x)
La función f (x) = x2 es par, veamos: f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) por lo tanto es par.
La función f (x) = x3 es impar, veamos: f (−x) = (−x)3 =−x3 =− f (x) por lo tanto es impar.
Ejemplo 2.10
2.7 Álgebra de Funciones
Definimos las operaciones básicas entre funciones así:
SUMA:
( f +g)(x) = f (x)+g(x)
DIFERENCIA:
( f −g)(x) = f (x)−g(x)
uts
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31
PRODUCTO:
( f .g)(x) = f (x).g(x)
COCIENTE:
f (x)
g(x)
Donde g(x) 6= 0
En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios
de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el
denominador g.
Dadas f (x) = x3 +2x, g(x) = 1x .
Determinar: 1) f +g, 2) f −g, 3) f ×g y sus dominios.
En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:
El dominio de f (x) es: Dom f = ℜ (Porque es un polinomio);
El dominio de g(x) es Domg = ℜ−{0} (Porque no se puede dividir entre cero).
Realicemos las operaciones:
1. f (x)+g(x) =
(
x3 +2x
)
+
( 1
x
)
= x
4+2x2+1
x =
(x2+1)
2
x
Dom( f +g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}
2. f (x)−g(x) =
(
x3 +2x
)
−
( 1
x
)
= x
4+2x2−1
x
Dom( f −g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}
3. f (x)×g(x) =
(
x3 +2x
)
×
( 1
x
)
= x
3+2x
x = x
2 +2
Dom( f ×g) = Dom f ∩ Domg = ℜ−{0}
Ejemplo 2.11
2.8 Funciones a trozos
Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo
y = f (x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información)
que la expresión f (x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como
por ejemplo:
y = − x23 + 2x+3 y =
3+2x
x−4
y = 3
√
25− x2 y =
∣∣x2−3x+2∣∣
uts
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32
Capítulo 2
"Funciones"
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no
admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es nece-
sario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones
se dice que están definidas a trozos.
Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función,
por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:
1. |x|=

−x si x < 0
0 si x = 0
x si x > 0
2. |x|=

−x si x < 0
x2 si 0≤ x < 1
1 si x > 0
uts
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33
3. |x|=

x si x≤ 0
1 si 0 < x < 3
2x−5 si x≥ 3
2.9 Movimientos en el Plano
2.9.1 Translación Vertical
La ecuación y = f (x) + k, k una constante real describe una traslación vertical de y = f (x) de |k| unidades.
1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba.
2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo.
y =
√
x + 1
Ejemplo 2.12
uts
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34
Capítulo 2
"Funciones"
2.9.2 Translación Horizontal
y = f (x+h) de |h| unidades.
1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.
2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.
y =
√
x−1
Ejemplo 2.13
uts
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35
2.10 Gráfica de Funciones Básicas
Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas ten-
emos:
1. Función Lineal:
f (x) = ax+b
2. Función Cuadrática:
f (x) = ax2 +bx+ c
3. Función Cúbica:
f (x) = ax3 +bx2 + cx+d
4. Función Raíz Cuadrada:
f (x) =
√
x
5. Función Valor Absoluto:
f (x) = |x|
6. Función Racional:
f (x) =
1
x
7. Función logarítmica
f (x) = Log a(x)
8. Función exponencial
f (x) = ax
9. Función logística
f (x) =
a
b + e−cx
10. Función seno
f (x) = senx
11. Función coseno
f (x) = cosx
A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones:
1. Función lineal: f (x) = x (Función identidad)
uts
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36
Capítulo 2
"Funciones"
Ejemplo: f (x) = 2x+1
2. Función cuadrática f (x) = x2
Ejemplo: f (x) =−x2 +1
3. Función cúbica f (x) = x3
uts
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37
Ejemplo: f (x) =−2x3 +1
4. Función raíz cuadrada f (x) =
√
x
Ejemplo: f (x) =
√
x+2
uts
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Capítulo 2
"Funciones"
Función valor absoluto f (x) = |x|
Función Racional f (x) = 1x
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39
Función logarítmica f (x) = Log a(x)
Función exponencial f (x) = ex
uts
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40
Capítulo 2
"Funciones"
2.11 Composición de Funciones o Función compuesta
En general, dadas dos funciones
La función g◦ f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[ f (x)]
Se debe tener cuidado con los dominios de g ◦ f y de f ◦ g. El dominio de g ◦ f es la parte del dominio
de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. También, el dominio de f ◦g es la parte del dominio
de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
uts
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41
Si f y g son las funciones definidas por:
f (x) =
x−3
2
y g(x) =
√
x
Encuentre g◦ f y f ◦g con sus respectivos dominios:
(g◦ f )(x) = g [ f (x)] =
√
f (x) =
√
x−3
2
( f ◦g)(x) = f [g(x)] = g(x)−3
2
=
√
x −3
2
Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g◦ f )(x) 6= ( f ◦g)(x)
Se debe tener también cuidado con los dominios de g◦ f y de f ◦g . El dominio de g◦ f es la parte
del dominio de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. Esto es, D( f ) = ℜ
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales:
f (x) ≥ 0 ⇔ x−3
2
≥ 0 ⇔ x≥ 3
Se concluye entonces que: D(g◦ f ) = [3,∞)
Nótese que (g◦ f )(1) = g [ f (1)] = g(−1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g◦ f )(2) = g [ f (2)] = g
(−1/2) NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f ◦ g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como
pre-imagen. Es decir, D(g) = [0,∞). Es decir D(g) = [0,∞)
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los val-
ores de g en el intervalo D(g) = [0,∞). De esta forma: D( f ◦g) = [0,∞).
Ejemplo 2.14
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto
puede hacerse de varias maneras.
uts
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42
Capítulo 2
"Funciones"
la función: p(x) =
√
3x2 +5x+2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto de
composición de funciones, estas son unas alternativas:
1. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 +5x+2 y g(x) =
√
x
En efecto, (g◦ f )(x) = g [ f (x)] = g
(
3x2 +5x+2
)
=
√
3x2 +5x+2
2. P(x) = (g◦ f )(x) siendo f (x) = 3x2 +5x y g(x) =
√
x+2
En efecto (g◦ f )(x) = g [ f (x)] = g
(
3x2 +5x
)
=
√
3x2 +5x+2 en el segundo caso.
Ejemplo 2.15
2.12 Función Inversa
Dada una función f (x), su inversa es otra función, designada por f−1(x) de forma que se verifica: Si f (a) = b
entonces f−1(b) = a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de ser
una función inyectiva.
Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:
f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2. ∀x1,x2 ∈ Dom f (x)
o equivalentemente
x1 6= x2⇒ f (x1) 6= f (x2). ∀x1,x2 ∈ Dom f (x).
Definición 2.6 Función Inyectiva
En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f , existe exactamente una y en el rango,
y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.
Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una fun-
ción 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.
Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningún
punto, entonces f es una función 1-1
Definición 2.7 Criterio de la recta horizontal
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x2 +1 y al trazar una recta horizontal
por ejemplo la recta y = 2 corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la recta
horizontal f (x) no corresponde a una función 1-1.
uts
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43
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x3 +1 la cual, de acuerdoal criterio
de la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda recta
horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.
2.12.1 Propiedades de la función inversa
1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f (x) = x.
2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad(
f ◦ f−1
)
(x) =
(
f−1 ◦ f
)
(x) = x
3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función
inversa es igual dominio de la función directa
Dom f−1(x) = Rango f (x)
Rango f−1(x) = Dom f (x)
4. Siempre se cumple que: f−1(x) 6= 1f (x)
Pasos para hallar la inversa de una función:
1. En la función y = f (x) se intercambian la variable x por la variable y y de manera viceversa en la
expresión inicial: y = f (x) de tal manera que función se transforma en x = f (y)
2. En la nueva expresión x = f (y) se despeja la y, para así obtener y = f−1(x), esta corresponde a la
función inversa de f .
uts
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44
Capítulo 2
"Funciones"
Hallar la inversa de y = 2x.
1) Cambiamos la x por la y y de forma viceversa nos queda entonces x = 2y
2) Despejamos la y, nos queda entonces y = x2
Por tanto la función inversa de y = 2x es y = x2 ;
es decir f −1 (x) = x2
Ejemplo 2.16
2.13 Aplicaciones de las funciones
Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situación
matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa
se llama un modelo matemático de la situación.
2.13.1 Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad
1. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuen-
cia, es el costo de x artículos y tiene la forma:
Costo=Costo variable+Costo Fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la
forma C(x) = mx+ b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La
pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
2. Una Función Ingreso especifíca el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículo. El ingreso que
resulta es:
I = px (Precio por número de unidades)
3. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos.
Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula
U(x) = I(x)−C(x)
El equilibrio ocurre cuando U(x) = 0 es decir, cuando I(x) =C(x)
uts
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45
Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo , y si se vende los artículos a $60 cada
uno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio.
Solución:
C(x) = 40x+400 I(x) = 60x
U(x) = R(x)−C(x), para el equilibrio, U(x) = 0
60x− (40x+400) = 0
20x−400 = 0
Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.
Ejemplo 2.17
2.13.2 Modelos Demanda y Oferta
Una Función de Demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)como una función del
precio unidad p (el precio por artículo).
Una Función de Oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a
llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso
que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
una Función Lineal de Demanda tiene la forma q = mp+b, donde q es la demanda (números de artículos
vendidos) y p es el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la de-
manda a dos precios distintos.
La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q
se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el
precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica o
analítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.
uts
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46
Capítulo 2
"Funciones"
Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja el
precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es:
Solución:
q =−50p+600 Ecuación de la recta que pasa por (10,100) y (8,200)
Entonces, la función de ingreso relacionada es R = qp = p(−50p+600)
R =−50p2 +600p
Ejemplo 2.18
uts
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47
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y
16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un
instante dado:
a. En función de la altura h.
b. En función del radio de la base x.
Solución:
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el
instante determinado.
El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
V =
1
3
πr2h
(
Vc =
1
3
(areabase)(altura)
)
(1)
Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:
16
4
=
h
x
⇒ h = 4x (2)
a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y susti-
tuirlo en (1). Así,
x =
h
4
⇒V = 1
3
π
(
h
4
)2
h
Luego,
V =
1
48
πh3
b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).
Así:
V =
1
3
πx2(4x) =
4
3
πx3
Ejemplo 2.19
uts
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48
Capítulo 2
"Funciones"
Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de la
caja en función del lado del cuadrado recortado.
V (x) = (a−2x)2 .x
V (x) = 4x3 −4ax2 + a2x 0≤ x≤ a
2
Ejemplo 2.20
uts
Cálculo Diferencial
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49
Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en
un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua
para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.
a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función
de su profundidad x en el extremo profundo.
b. Calcular V (1) y V (2)
Solución
a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el
menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo
cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:
L
x
=
20
3
⇒ L = 20
3
x , con 0≤ x≤ 3
Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por:
V = (Área de la sección transversal). (Ancho)
V =
L.x
2
.10 =
20
3 x.x
2
.10 =
100
3
x2
V (x) =
100
3
x2
b.
V (1) =
100
3
(1)2 =
100
3
≈ 33.3 m3
V (2) =
100
3
(2)2 =
400
3
≈ 133.3 m3
Ejemplo 2.21
uts
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3 Límites y Continuidad deFunciones
Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo
matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, uti-
lizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.
Consideremos la función:
f (x) =
x−1√
x − 1
cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x = 1, es
decir:
D = {x ∈ℜ|x≥ 0,x 6= 1}
Si realizamos su representación gráfica:
Para x = 1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede
verse a continuación:
uts
Cálculo Diferencial
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51
Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora
nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?.
Esclaro que en x = 1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea
capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende
a 1 ¿a cuánto tiende la función?
A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:
lim
x→1
f (x) = L
3.1 Definición Informal de Límite
Sea f (x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x
se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a b es igual a L y
escribimos:
lim
x→ b
f (x) = L
Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aprox-
imarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x = 1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda,
es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites
laterales.
3.2 Límites Unilaterales
1. lim
x→b+
f (x) , se llama límite lateral por la derecha.
2. lim
x→b−
f (x) , se llama límite lateral por la izquierda
Definición 3.1
Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales,
de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:
lim
x→ b
f (x) = L , si y solamente si: lim
x→ b+
f (x) = lim
x→ b−
f (x)
Teorema 3.1
uts
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52 Límites y Continuidad de Funciones
Sea f (x) =
{
4− x si x < 1
4x− x2 si x≥ 1 Hallar limx→1 f (x)
Solución:
lim
x→1=
f (x) = lim
x→1=
(4− x) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la izquierda)
lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(4x− x2) = 4−1 = 3 (Acercamiento por la derecha).
Entonces:
lim
x→1
f (x) = 3
Ejemplo 3.1
uts
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53
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:
f (x) =
x−1√
x − 1
Solución: Calculemos: lim
x→2
f (x)
Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:
f (2) =
1
−1+
√
2
y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2+
f (x) =
1
−1+
√
2
con lo cual tenemos que:
lim
x→2
f (x) =
1
−1+
√
2
Para el segundo punto, calculemos: lim
x→0
f (x)
En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda
de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero).
El límite lateral por la derecha si existe y vale: lim
x→0+
f (x) = 1, por lo tanto el límite pedido
no existe.
Ejemplo 3.2
En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su
izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por qué
existir en dicho punto.
uts
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54 Límites y Continuidad de Funciones
Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Con-
sideremos, por ejemplo, la función: f (x) =
{
x2 si x≤ 0
logx si x > 0
Representémosla gráficamente:
En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x = 0, que es punto interior,
en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero,
ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el
valor−∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales
utilizamos x2 cuando determinamos el límite por la izquierda y log(x) cuando calculamos el límite
por la derecha.
Ejemplo 3.3
Nota: Sabemos que "el infinito" no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de
tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.
Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número
real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe.
En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos
distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo
los laterales no coinciden.
lim
x→ 0
1
x2
= lim
x→ 0−
1
x2
= lim
x→ 0+
1
x2
= ∞
lim
x→ 0−
1
x
= −∞ lim
x→ 0+
1
x
= ∞
Nota: Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:
f (x) = 1/x2 f (x) = 1/x
uts
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55
3.3 Definición Formal de Límite
Se dice que la función f (x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número real
positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de
x distintos de c que cumplen la condición |x− c|< δ, se cumple que | f (x)−L|< ε.
lim
x→a
f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 0 < |x− c|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε
Utilicemos la definición para demostrar que lim
x→2
(4x−5) = 3
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces pode-
mos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0
existe una δ > 0 tal que:
Si 0 < |x−2|< δ entonces |(4x−5)−3|< ε (A)
Si 0 < |x−2|< δ entonces |4x−8|< ε
Si 0 < |x−2|< δ entonces 4 |x−2|< ε
Si 0 < |x−2|< δ entonces |x−2|< ε4
Entonces, si tomamos δ = ε4 se cumple la proposición (A).
Esto demuestra que lim
x→2
(4x−5) = 3
Ejemplo 3.4
uts
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56 Límites y Continuidad de Funciones
Demuestre que lim
x→3
(x2 + x−5) = 7 utilizando la definición de límite.
Para hacer la demostración basta con encontrar un δ tal que:
0 < |x−3|< δ ⇒
∣∣(x2 + x−5)−7∣∣< ε
|x2 + x−5−7|= |x2 + x−12|= |x+4||x−3|< ε (1)
Ya que por definición, el lim
x→b
f (x) = L existe siempre que
0 < |x− c|< δ⇒ | f (x)−L|< ε
Para efectos de simplificación, asumimos un valor de δ = 1 y obtenemos:
|x−3|< 1 ⇒ 2 < x < 4 ⇒ 2+4 < x+4 < 4+4 ⇒ |x+4|< 8
Sustituyendo en (1) se obtiene que 8δ < ε y que δ <
ε
8
; ya que|x−3|< δ por definición.
Ejemplo 3.5
3.4 Propiedades de los Límites
Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:lim
x→c
f (x) = A , lim
x→c
g(x) = B Entonces:
1. lim
x→ c
b = b
2. lim
x→ c
x = c
3. lim
x→ c
b. f (x) = b. lim
x→ c
f (x) = bA
4. lim
x→ c
[ f (x)+g(x)] = lim
x→ c
f (x)+ lim
x→ c
g(x) = A+B
5. lim
x→ c
[ f (x).g(x)] = lim
x→ c
f (x). lim
x→ c
g(x) = A.B
6. lim
x→ c
f (x)
g(x) =
lim
x→ c
f (x)
lim
x→ c
g(x)
= AB , B 6= 0
7. lim
x→ c
√
f (x) =
√
lim
x→c
f (x)
8. lim
x→ 0
x
k = 0
9. lim
x→ 0
k
x = no existe (±∞)
10. . lim
x→±∞
k
x n = 0, n 6= 0
11. lim
x→±∞
x
k = no existe (±∞)
uts
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57
3.4.1 Cálculo de Límites
1. Límites de funciones polinómicas
Sea f (x) = 3x3−2x2+x−2 La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo,
por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene
que lim
x→c
f (x) = f (c) , es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente
calculando su imagen.
Para la función anterior lim
x→−1
f (x) = 3(−1)3−2(−1)2 +(−1)−2 =−3−2−1−2 =−8 = f (−1)
Ejemplo 3.6
2. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
expresión de la forma
k
0
, k 6= 0 convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función
tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o
funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales.
3. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
expresión de la forma
0
0
, ∞−∞ , 0.∞ , 00, ∞0, 1∞
(indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeter-
minación.
Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar,sino que la apli-
cación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay
que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados
3.5.1 Indeterminación
0
0
Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con de-
scomponer factorialmente el numerador y el denominador.
uts
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58 Límites y Continuidad de Funciones
Resolver lim
x→ 1
x3−1
x2−1
Solución: lim
x→ 1
x3−1
x2−1 =
0
0
Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y
resolvemos el límite obtenido, así:
lim
x→ 1
x3−1
x2−1
= lim
x→ 1
(x−1)
(
x2 + x+1
)
(x−1)(x+1)
= lim
x→ 1
(
x2 + x+1
)
(x+1)
Por lo tanto
lim
x→ 1
x3−1
x2−1
=
3
2
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y di-
vidir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo 3.7
Encuentre la solución del siguiente límite lim
x→1
(√
x−1
2x−2
)
Solución:
lim
x→1
(√
x−1
2x−2
)
=
1−1
2−2
=
0
0
lim
x→1
√
x−1
2x−2
= lim
x→1
(
√
x−1)(
√
x+1)
(2x−2)(
√
x+1)
= lim
x→1
x−1
2.(x−1)(
√
x+1
lim
x→1
(
1
2.(
√
x+1)
)
=
1
4
Ejemplo 3.8
uts
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59
Evalúe el valor de lim
x→0
√
x+1−1
x
Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 00 por lo cual debemos realizar algún pro-
cedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por
√
x+1+1,
es decir, se racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable:
(a+b)(a−b) = a2−b2,
y así eliminar la indeterminación
lim
x→0
√
x+1−1
x
= lim
x→0
(
√
x+1−1)(
√
x+1+1)
x(
√
x+1+1)
= lim
x→0
(x+1)−1
x(
√
x+1+1)
= lim
x→0
x
x(
√
x+1+1)
= lim
x→0
1√
x+1+1
=
1
2
Ejemplo 3.9
3.5.2 Indeterminación
±∞
±∞
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de la
variable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como:
Sea f(x) una función racional definida por:
f (x) =
anxn +an−1xn−1 + ......+a1x+ao
bmxm +bm−1xm−1 + ......+b1x+bo
a) Si n < m entonces: lim
x→∞
f (x) = 0
b) Si n = m entonces: lim
x→∞
f (x) = anbm
c) Si n > m entonces: lim
x→∞
f (x) =±∞
Definición 3.2
uts
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60 Límites y Continuidad de Funciones
Resuelva lim
x→ ∞
4x2+x−1
x2+1
Solución: lim
x→ ∞
4x2+x−1
x2+1 =
∞
∞
Dividimos por la variable de mayor grado del denominador,x2.
lim
x→ ∞
4x2
x2 +
x
x2 −
1
x2
x2
x2 +
1
x2
= lim
x→ ∞
4+ 1x −
1
x2
1+ 1x2
= lim
x→ ∞
4+0−0
1+0
=
4
1
= 4
Entonces, lim
x→ ∞
4x2+x−1
x2+1 = 4
Ejemplo 3.10
Encuentre el resultado del límite lim
x→ ∞
√
x2+x +3
x
Solución:
lim
x→ ∞
√
x2+x +3
x =
∞
∞
Dividimos el numerador y el denominador entre el término con mayor
exponente, o sea x.
lim
x→ ∞
√
x2
x2 +
x
x2 +
3
x
x
x
= lim
x→ ∞
√
1+ 1x +
3
x
1
= lim
x→ ∞
√
1 + 0
1
=
1
1
= 1
Entonces, lim
x→ ∞
√
x2+x +3
x = 1
Ejemplo 3.11
3.5.3 indeterminación ∞−∞
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
uts
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61
Halle lim
x→2
(
x
x2−4 −
1
x−2
)
Solución:
lim
x→2
(
x
x2−4 −
1
x−2
)
= ∞−∞ Indeterminación.
Realizamos la diferencia:
lim
x→2
(
x
x2−4
− 1
x−2
)
= lim
x→2
(
x− (x+2)
x2−4
)
= lim
x→2
(
−2
x2−4
)
=
−2
±0
Hay que hacer límites laterales: limx→2−
(
−2
x2−4
)
= −2−0 =+∞
lim
x→2+
(
−2
x2−4
)
= −2+0 =−∞
+∞ 6=−∞
⇒ lim
x→2
(
x
x2−4
− 1
x−2
)
= No existe
Ejemplo 3.12
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir por
la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).
uts
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62 Límites y Continuidad de Funciones
Encuentre: lim
x→ ∞
(
x−
√
x2 + x
)
Solución:
lim
x→ ∞
(
x−
√
x2 + x
)
= ∞−∞
lim
x→ ∞
(
x−
√
x2 + x
)
= lim
x→ ∞
(
x−
√
x2 + x
)(
x+
√
x2 + x
)
(
x+
√
x2 + x
) = lim
x→ ∞
x2−
(√
x2 + x
)2
x+
√
x2 + x
lim
x→ ∞
x2− x2− x
x+
√
x2 + x
= lim
x→ ∞
−x
x+
√
x2 + x
=
−∞
+∞
Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma −∞+∞ que se resuelve dividiendo
el numerador y el denominador entre x, así:
lim
x→ ∞
−x
x+
√
x2 + x
= lim
x→ ∞
−x
x
x
x +
√
x2
x2 +
x
x2
= lim
x→ ∞
−1
1+
√
1+ 1x
=
−1
1+
√
1+0
= −1
2
Por lo tanto,
lim
x→ ∞
(
x−
√
x2 + x
)
= − 1
2
Ejemplo 3.13
3.5.4 indeterminación 0.∞
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Halle lim
x→3
(x−3).( 1x2−9 )
Solución:
lim
x→3
(
(x−3) . 1
x2−9
)
= 0.(±∞)
Indeterminación; Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo :
lim
x→3
(
x−3
x2−9
)
=
0
0
lim
x→3
(
x−3
(x−3)(x+3)
)
= lim
x→3
(
1
x+3
)
=
1
6
Ejemplo 3.14
uts
Cálculo Diferencial
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63
3.5.5 indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
f (x)g(x) = e Ln
[
f (x)g(x)
]
= e g(x)�Ln( f (x)),
de donde resulta que:
lim
x→ a
f (x)g(x) = e
lim
x→a
[g(x)�Ln( f (x))]
Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos
que aprenderemos en temas posteriores. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación
del tipo 1 ∞ debemos tener en cuenta que:
lim
x→∞
(
1+
1
x
)x
= lim
x→0
(1+ x)
1
x = e = 2′71828...
También para la indeterminación
1 ∞
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
lim
x→ a
f (x)g(x) = e k ,
donde k = lim
x→a
[ f (x) −1] �g(x)
uts
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64 Límites y Continuidad de Funciones
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
lim
x→ 0
(
1+ x2
1− x2
) 1+3x2
x2
Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma
1 ∞,
aplicando la formula, tenemos:
lim
x→ 0
(
1+ x2
1− x2
) 1+3x2
x2
= 1 ∞ = e k
k = lim
x→a
[ f (x) −1] �g(x) ⇒ k = lim
x→0
(
1+ x2
1− x2
− 1
)
�
(
1+3x 2
x2
)
⇒ k = lim
x→0
(
1+ x2−1+ x2
1− x2
)
�
(
1+3x 2
x2
)
= lim
x→0
(
2x2
1− x2
)
�
(
1+3x 2
x2
)
⇒ k = lim
x→0
(
2
1− x2
)
�
(
1+3x 2
1
)
= lim
x→0
(
2+6x2
1− x2
)
=
2
1
= 2
Entonces,
lim
x→ 0
(
1+ x2
1− x2
) 1+3x2
x2
= e k = e 2
Ejemplo 3.15
3.6 Límites Trigonométricos
Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
A partir de este resultado podemos resolver límites como:
1. lim
x→0
1−cos(x)
x = 0
2. lim
x→0
x
sen(x) = 1
3. lim
x→0
sen(kx)
kx = k
No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades
trigonométricas.
uts
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65
Calcular lim
t→0
t+tan t
sent
Solución:lim
t→0
t+tan t
sent =
0
0
Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de seno
y coseno, tenemos:
lim
t→ 0
t + tan t
sent
= lim
t→ 0
t + sentcos t
sent
lim
t→ 0
t cos t+sent
cos t
sent
= lim
t→ 0
t cos t + sent
cos t sent
= lim
t→ 0
t cos t
cos t sent
+ lim
t→ 0
sent
cos t sent
lim
t→ 0
t
sent
+ lim
t→ 0
1
cos t
= 1+1 = 2
Entonces obtenemos que
lim
t→0
t + tan t
sent
= 2
Nota: En este ejemplo se utilizó
lim
t→0
t
sent
= 1
Ejemplo 3.16
3.7 Límites Infinitos
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:
lim
x→a
f (x) = ∞,
significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como de-
seemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica
presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica).
Definición 3.3 Asintotas verticales
uts
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66 Límites y Continuidad de Funciones
Sea f una función definida en ambos