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Nociones previas
Dos formas adicionales para calcular el número de 
ordenamientos de cierto número de objetos es la 
combinación y la variación, estas van a ser usadas 
cuando el número de espacios o lugares sea igual al 
número de personas o cosas que se van a ordenar.
A. Variación
 Es un arreglo u ordenación de una parte de los 
elementos de un conjunto, considerando el orden 
en que se encuentran.
 El número de permutaciones de “n” objetos to-
mados en grupos de “k” elementos (siendo k ≤ n) 
y denotado como Vnk , estará dado por lo siguiente:
Vnk = 
n!
(n – k)!
 Forma práctica:
Vnk = n(n – 1)(n – 2) ...
«k» factores
 Donde: n, k  N y 0 ≤ k ≤ n
B. Combinación
 Es una selección o agrupamiento que se puede 
formar con los elementos de un conjunto (los ele-
mentos deben ser diferentes).
 El número de combinaciones de “n” elementos, 
agrupados de “k” en “k”, está dado por lo siguiente:
Cnk = 
n!
(n – k)! × k!
Forma práctica:
Cnk = 
n(n – 1)(n – 2) ...
k(k – 1)(k – 2) ...
«k» factores
 Donde: n, k  N y 0 ≤ k ≤ n
 Observaciones:
 Cnk = n
 Cnk =1
 Cnk = C
n
n–k
 Cn1 + C
n
2 + C
n
3 + ... + C
n
n = 2
n – 1
 Cnk + C
n
k–1 = C
n+1
k–1
 En las permutaciones o variaciones, interesa el 
orden, se buscan ordenaciones.
 En las combinaciones no interesa el orden, se 
buscan agrupaciones.
1
NIVEL BÁSICO
1. Se tiene ocho banderas de ocho colores diferen-
tes. Si se requiere hacer señales con tres de estas 
banderas, sacando una a continuación de otra; 
¿cuántas señales diferentes se podrán formar?
a) 332 b) 336 c) 338
d) 339 e) 340 
2. Si un examen consta de 10 preguntas; ¿de cuántas 
maneras se pueden elegir 8 de ellas?
CATÓLICA 2018 - II
a) 36 b) 24 c) 45 
d) 42 e) 44
3. Se tiene cinco focos ubicados en línea recta y se 
emite una señal prendiendo y apagando dichos 
focos. ¿Cuántas señales distintas se pueden emitir? 
CATÓLICA-2018
a) 25 b) 16 c) 10 
d) 32 e) 20
4. De un grupo de 15 estudiantes, en el cual se en-
cuentra Pedro, ¿de cuántas maneras se puede ele-
gir a 6 personas, donde Pedro es el abanderado? 
CATÓLICA 2018 - II
a) 2002 b) 2000 c) 1001 
d) 3003 e) 2003
NIVEL INTERMEDIO
5. De un grupo de 40 personas, entre las cuales hay 
19 mujeres, se debe seleccionar 4 personas. ¿De 
cuántas formas se puede hacer dicha selección si 
entre ellas debe haber 2 mujeres?
CATÓLICA 2018 - I 
a) 33 950 b) 36 840 c) 35 910 
d) 34 720 e) 35 900
6. Fernando llama a una pizzería donde existen 15 
sabores para elegir. Si su presupuesto le alcanzaba 
solo para 4 sabores; ¿de cuántas maneras diferen-
tes podría realizar su pedido? 
CATÓLICA 2018 - I
a) 1465 b) 1365 c) 1265 
d) 1440 e) 1360
7. Veinte países mantienen relaciones diplomáticas, 
cada país tiene un embajador en los otros países. 
Indica la cantidad de embajadores que hay en total 
UNI 2011-I
a) 40 b) 80 c) 190
d) 240 e) 380
8. Un grupo de 9 turistas llegan a un hotel y encuen-
tran disponibles una habitación triple y tres ha-
bitaciones dobles. ¿De cuántas formas diferentes 
podrán ocupar las habitaciones?
UNAC 2018-II
a) 8760 b) 5760 c) 7560 
d) 8560 e) 7520
9. Un examen psicológico está formado por tres fa-
ses y cada fase tiene cierto número de preguntas. 
La fase A contiene 5 preguntas; la fase B, 7 pre-
guntas; y la fase C, 9 preguntas. Si un estudiante 
tiene que contestar exactamente 3 preguntas de 
cada fase, ¿de cuántas maneras diferentes puede 
elegir sus preguntas?
a) 29400 b) 29300 c) 29000
d) 29100 e) 29200
10. Una delegación de 10 estudiantes, que incluyen a 
dos hermanos, se van a hospedar en 4 hoteles. Se 
sabe que cada hotel dispone solo de 4 habitacio-
nes simples (una sola cama). ¿De cuántas formas 
diferentes pueden hospedarse, los estudiantes, si 
los hermanos deben estar en un mismo hotel?
UNI 2018-I
a) 11880 b) 18018 c) 36036 
d) 56464 e) 72072
11. Un grupo formado por 4 varones y 4 mujeres se 
quiere sentar en una misma banca de modo que 
estén alternados varones y mujeres. ¿De cuántas 
formas se pueden sentar algunos de ellos si la 
banca solo tiene 6 asientos?
a) 1152 b) 1153 c) 1321
d) 1114 e) 1010
12. De un total de “n” estudiantes se quiere elegir un 
presidente, un tesorero y un secretario para for-
mar una junta directiva. Si el número total de di-
rectivas diferentes que se pueden formar es 210, 
entonces, el valor de “n” es:
a) 4 b) 7 c) 5
d) 10 e) 8
1
NIVEL AVANZADO
13. De un grupo de 8 personas, se desea ubicar si-
métricamente a 5 de ellas alrededor de una mesa 
circular para un almuerzo. ¿De cuántas maneras 
distintas se pueden ubicar?
a) 6720 b) 1344 c) 5360
d) 2120 e) 3360
14. Dieciséis equipos juegan un torneo de fútbol en 
el que cada equipo juega exactamente una vez 
contra cada uno de los demás equipos. En cada 
partido, el equipo ganador obtiene 3 puntos, el 
que pierde 0 puntos y, si hay empate, cada equipo 
obtiene 1 punto. Si al nal del torneo la suma del 
número total de puntos de los dieciséis equipos es 
350, ¿cuántos partidos terminaron empatados?
UNMSM-2019 II
a) 12 b) 8 c) 10
d) 16 e) 14
15. Para la etapa nal del Concurso Nacional Escolar 
se han clasi cado 5 estudiantes de la región costa, 
4 estudiantes de la región sierra y 3 estudiantes 
de la región selva. Si todos los estudiantes han 
sido alojados en habitaciones triples del Centro 
Recreacional UNI; ¿de cuántas formas se pueden 
alojar los estudiantes en una habitación determi-
nada de forma tal que haya 2 estudiantes de una 
misma región? 
UNI 2013-I
a) 60 b) 75 c) 120 
d) 145 e) 220
2
Nociones previas
PROBABILIDAD
Este término proviene del latín «probabilitas», que 
signi ca ‘verosimilitud’ o ‘fundada apariencia de 
verdad’. Aquello que tiene calidad de probable, es 
decir, que se funda en razón prudente; aquello que 
puede suceder o que hay buenas razones para creer 
que se veri cará o sucederá.
La aplicación del cálculo de probabilidades es 
diversa: desde estadísticas de población, hasta 
cálculos muy complicados de posibles averías en 
telecomunicaciones o de que ocurran fenómenos 
raros en meteorología.
Así, los directores de producción de las grandes 
empresas e industrias, los cientí cos, los biólogos, 
los ingenieros, los analistas de mercados, etc., se 
tienen que agrupar frecuentemente en el estudio de 
problemas que los obligan a realizar experimentos, 
es decir, pruebas bien planeadas para obtener 
información acerca del problema que les interesa 
resolver (es, como algunos dicen, una forma de 
predecir el futuro, leyendo matemáticamente el 
pasado). Estos experimentos son de dos clases: 
determinísticos y aleatorios.
Experimento determinístico
Es aquel hecho o suceso que SÍ es completamente
seguro que suceda.
Experimento aleatorio
Es aquel hecho o suceso que NO es seguro que suceda.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles eventos o sucesos.
Probabilidad clásica : P(A)
P(A) = 
Número de casos favorables al evento A
Número total de casos posibles del evento A
Propiedades:
 0 ≤ P(A) ≤ 1
 P(A) = 1 – P(A)’ (Complemento)
Considera los siguientes sucesos:
• Dados: 6 casos
• Monedas: 2 casos
• Baraja de cartas: 52 cartas
2
NIVEL BÁSICO
1. Se lanza dos dados al aire. ¿Cuál es la probabili-
dad de obtener 7 puntos?
a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4
d) 1/3 e) 1/2
2. Se tiene una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la proba-
bilidad de obtener una carta corazón?
a) 20% b) 10% c) 12%
d) 25% e) 50%
3. La probabilidad de que un alumno apruebe Len-
guaje es 0,5; de que apruebe Matemática es 0,45; y 
la probabilidad de que apruebe ambas asignaturas 
es 0,25. Calcula la probabilidad de que el alumno 
no apruebe ninguna de las dos asignaturas.
a) 10% b) 20% c) 30%
d) 40% e) 50%
4. Si se lanza simultáneamente dos monedas; una de 
un sol y la otra de cincuenta céntimos, ¿cuál es la 
probabilidad de obtener, al menos, una cara?
CATÓLICA 2019 - I
a) 1/2 b) 3/4 c) 1/4
d) 2/3 e) 1
NIVEL INTERMEDIO
5. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tirar dos dados, 
la suma resultante sea un cuadrado perfecto?
UNI 2019-I
a)7/36 b) 5/36 c) 11/36
d) 13/36 e) 17/36
6. Una caja contiene 10 bolas de color rojo y 4 bolas 
de color azul. Si se extraen al azar 2 bolas, ¿cuál es 
la probabilidad de que se extraigan dos bolas de 
color rojo?
UNI 2016-I 
a) 0,396 b) 0,494 c) 0,512 
d) 0,568 e) 0,652
7. Un dado es lanzado tres veces. Calcula la probabi-
lidad de obtener un número mayor cada vez que 
se lanza el dado
UNI 2016-I
a) 5/21 b) 5/53 c) 5/54
d) 3/35 e) 7/54 
8. Se tiene 3 urnas; la primera contiene 4 bolas blan-
cas y 2 negras; la segunda, 3 blancas y 3 negras; y 
la tercera, 3 blancas y 6 negras. Se elige una urna 
al azar y se extrae una bola. Calcula la probabili-
dad de que la bola extraída sea negra.
UNI 2016-II
a) 2/3 b) 1/2 c) 11/18
d) 13/18 e) 17/18
9. Veinte alumnos han recibido 10 tickets cada uno, 
a S/ 15 cada ticket. Solo se vendieron el 89% de los 
tickets, donde se encuentra el ticket ganador. En 
el supuesto que un padre de familia comprase 7 
tickets más, ¿cuál es la probabilidad de que gane? 
CATÓLICA 2019 - 0
a) 0,54% b) 3,54% c) 9,55% 
d) 5,54% e) 9,56%
10. Una urna contiene 7 llaves de las cuales solo una 
de ellas abre una puerta. Si las llaves se prueban 
una por una, sin reposición, ¿cuál es la probabili-
dad de que la llave elegida en el cuarto intento sea 
la que abra la puerta? 
CATÓLICA 2019 - I
a) 0,28 b) 0,14 c) 0,32 
d) 0,23 e) 0,21
11. Si se lanza un dado 2 veces, halla la probabilidad 
de obtener, al menos, un 6.
CATÓLICA 2018 - 0
a) 1/36 b) 1/12 c) 5/36
d) 7/36 e) 11/36
12. En una heladería hay 12 sabores diferentes de 
helados, entre los cuales están los sabores de 
maracuyá y lúcuma. Si se elige un helado entre 
8 sabores diferentes, ¿cuál es la probabilidad de 
que entre los sabores elegidos estén los sabores de 
maracuyá y lúcuma?
CATÓLICA 2017 - 1
a) 14/33 b) 10/33 c) 1/3
d) 13/33 e) 19/32
NIVEL AVANZADO 
13. Se tiene tres cartas del mismo tamaño, pero con 
diferentes diseños. Cada carta es cortada en tres 
rectángulos iguales. Todos los pedazos se colocan 
2
en una caja y se sacan tres pedazos de manera 
aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres, 
formen una carta completa?
CATÓLICA 2017 - 1
a) 2/41 b) 1/55 c) 1/54
d) 3/56 e) 54/55
14. Se tiene 24 monedas de 5, 10 y 20 céntimos en 
una caja; la probabilidad de extraer una moneda 
de 5 céntimos es 3/8, la probabilidad de extraer 
una moneda de 10 céntimos es 1/8. ¿Cuántas mo-
nedas de 20 céntimos hay? 
CATÓLICA 2017 - 1
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 16 e) 13
15. En la sala de pediatría de un hospital, el 70% de 
los pacientes son varones, de estos, el 42% son 
menores de 3 años, y el 30% de las niñas son me-
nores de 3 años. Una pediatra que ingresa a la sala 
selecciona un infante al azar. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que este tenga 3 o más años?
UNAC 2018-II
a) 0,484 b) 0,616 c) 0,294
d) 0,285 e) 0,304
3
Nociones previas
En el curso de Razonamiento Matemático se trata 
de resolver problemas de situaciones geométricas 
utilizando principios básicos de geometría y el 
razonamiento libre. Recuerda que Área es el valor 
numérico que representa la super cie. Ahora, 
debemos recordar las fórmulas geométricas
Área de un cuadrado
L L
L
L
D
Área = L2
Área = D
2
L
Área de un rectángulo 
b
h
Área = bh
Área de un triángulo
b
h
Área = bh
2
Área de un triángulo equilátero
L
L L
h
Área = 
L2 3
4
Área = 
h2 3
3
Área de un trapecio
h
b
B
Área = 
J
K
L
b+B
2
N
O
P
× h
Área de un rombo
D
d
Área = Dd
2
3
Área de un círculo
r
Área = πr2 ; además, perímetro = 2πr
Área de un sector circular
r
r

Área = r
2
360
Área de una corona circular
Entonces, el cálculo sería: área sombreada = 44
2
 = 8u2
R
r
O
Área = π(R2 – r2)
Relaciones de áreas 
b b
Si BM es mediana, entonces, determina áreas iguales.
Translación de áreas
Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y “O” es centro, entonces, el área de la región sombreada es:
 
A
B C
O
D A
B
R
R
S
4m
4m
S
C
O
D
Área = 4
2
4
 = 4m2
3
NIVEL BÁSICO
1. Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado y, ade-
más, “M” es punto medio, calcula el área de la re-
gión sombreada.
A
B C
M D
a) 1 m2 b) 2 m2 c) 3 m2
d) 4 m2 e) 5 m2
2. Calcula el área de la región sombreada.
a) a
2
5
 u2
b) a
2
4
 u2
c) a
2
6
 u2
d) a
2
7
 u2
e) a
2
3
 u2 
a
a
3. ¿Qué fracción del área total del paralelogramo 
ABCD se encuentra sombreada?
A
B C
D
a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5
d) 3/8 e) 5/12
4. En la gura, ABCD es un cuadrado. La fracción 
de área del cuadrado que está sombreado, respec-
to del área del cuadrado ABCD, es:
UNI 2018-II
A
D C
B
4
4
1/2
1/2
1
2
1
2
1
1
1 1
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3
d) 4/5 e) 3/5
NIVEL INTERMEDIO
5. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide a cm, 
C
1
, C
2
 son semicircunferencias, y C
3
, C
4
 son cir-
cunferencias; calcula el perímetro de la región 
sombreada (en cm).
UNI 2017-II
A D
C
2
C
4
C
3
B C
C
1
a) ( 2 + 2 2 + )a
b) ( 2 + 2 2 – )a
c) ( 2 – 2 2 + ) a
d) (2 2 + 2 2+ )a
e) (2 2 + 2 2 – )a
6. Pedro dispone de una hoja de papel de forma 
triangular. Ha dividido en tres partes iguales cada 
uno de los lados de la hoja, trazando segmentos. 
Luego, ha sombreado una región triangular y una 
región cuadrangular de la hoja, tal como se mues-
tra en la gura. Si el área de la región triangular 
sombreada es 10 cm2; ¿cuál es el área de la región 
cuadrangular sombreada?
UNMSM 2019 - II
3
a) 60 cm2 b) 30 cm2 c) 70 cm2
d) 40 cm2 e) 50 cm2
7. En la gura; ¿qué fracción de área del hexágono 
ABCDEF es el área de la región sombreada?
UNMSM 2013-II
A
B
C
D
E
F
a) 2/3 b) 1/3 c) 3/4
d) 1/2 e) 1/4
8. En la gura, M es punto medio de AD. ¿Qué frac-
ción del área del paralelogramo ABCD es el área 
de la región sombreada?
UNMSM 2013-II
A
B C
D
a) 1/6 b) 2/5 c) 1/3
d) 2/3 e) 3/5
9. En la gura, M y N son puntos medios de BC y AC, 
respectivamente. ¿Qué parte del área de la región 
triangular ABC es el área de la región sombreada?
UNMSM 2014-II
AB
M N
C
a) 1/6 b) 1/12 c) 1/13
d) 1/8 e) 2/13
10. En la gura, ABCD es un paralelogramo y el área 
de la región sombreada es 8 m2. Si M y N son pun-
tos medios de AD y DC, respectivamente; halla el 
área de la región ABCD. 
UNMSM 2015-II
A
B C
N
DM
a) 28 cm2 b) 24 cm2 c) 16 cm2
d) 12 cm2 e) 20 cm2
11. La grá ca muestra un parque que tiene forma 
rectangular. Si el perímetro de la región sombrea-
da es 94 m; halla el área del parque.
UNMSM 2018-I
3m
4m
xm
4x m
a) 420 m2 b) 360 m2 c) 400 m2
d) 480 m2 e) 520 m2
12. Se desea cercar dos terrenos circulares tangentes 
interiores. Se sabe que la distancia entre sus cen-
tros es 10 m y que la diferencia entre sus áreas es 
500 m2. Determina la cantidad de alambre que se 
debe comprar para rodear con una sola vuelta los 
bordes de cada uno de los terrenos.
UNMSM 2018-II
a) 100

 m b) 100 m c) 200 m 
d) 200 m e) 100 m 
NIVEL AVANZADO
13. En la gura, “O” es punto medio del diámetro 
AC. Si las áreas de las regiones sombreadas son 
S
1 
= 7m2 y S
2
 = 41m2; halla el área del sector cir-
cular DOC.
3
UNAC 2018-II
B
D
S
1
A O C
S
2


a) 35m2 
b) 45m2 
c) 48m2
d) 34m2 
e) 36m2
14. En la gura, se tiene AM = MC y PC = 3NP. Si el 
área de la región triangular ABC es 48 m2; halla el 
área de la región sombreada MPC.
UNAC 2018-II
A M C
N
P
B
a) 10m2 b) 11m2 c) 12m2
d) 14m2 e) 15m2
15. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la 
ceviana BP (P en AM), tal que mABP = mMBC. 
Si AB = 6m y BC = 9m; halla la relación de las 
áreas de las regiones ABP y PBC.
UNAC 2017-II
a) 3/7 b) 4/9 c) 1/2
d) 3/2 e) 5/4
4-5
Nociones previas:
En cada pregunta se plantea un problema y se ofrecen 
dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debes 
identi car qué datos se necesitan y marcar de acuerdo 
con estas alternativas:
A. El dato I es su ciente y el dato II no lo es.
B. El dato II es su ciente y el dato I no lo es.
C. Es necesario utilizar I y II, conjuntamente.
D. Cada unode los datos, por separado, es su ciente.
E. Se necesitan más datos.
Indicaciones:
 En esta parte se manejan conceptos básicos de los 
cursos de ciencias (Aritmética, Álgebra, Geometría, 
Trigonometría y Razonamiento Matemático).
 El procedimiento adecuado debe ser el siguiente:
 Primero se intenta resolver el problema con solo 
el primer dato. Si se puede resolver, la respuesta 
ya no podría ser ni C ni E.
 Luego se intenta resolver con el segundo dato. Si 
se puede resolver, la respuesta ya no podría ser 
tampoco C ni E.
 Si con ambos datos se pudo (por separado), la 
respuesta sería D.
 Si no se pudo con los datos por separado, recién 
debería intentar resolver el problema con ambos 
datos. Si se puede, la respuesta sería C; y si no se 
puede, la respuesta sería E.
 En esta parte, solo interesa saber si se puede re-
solver la interrogante planteada, así que se deberá 
evitar hacer cálculos innecesarios.
 Ejemplo: Calcula “a”
I. a + 3b = 5
II. a – 3b = 2
Con solo el primer dato es imposible (hay in nitas 
soluciones).
 Con solo el segundo dato es imposible (hay in -
nitas soluciones).
 Si los combino, tengo un sistema de 2 ecuaciones 
con 2 incógnitas. Si los sumo, puedo encontrar el 
valor de “a”. 
 Fin del análisis. Rpta. C. ¿Acaso me debí preocu-
par por el valor nal de “a”? Pues, no hizo falta.
En algunos casos que se pide el valor numérico de
alguna expresión grande, deberás primero pensar
en factorizarla o reducirla. No intentes reemplazar
el dato de manera directa. Casi siempre lo único
que se logra es complicar más el problema.
Conclusión:
En este capítulo se plantean problemas y en cada uno
se ofrecen 2 datos para resolverlo. Debe identi car 
qué datos se necesitan para llegar a la solución, 
aunque no es necesario hallar el resultado. 
 No es necesario resolver todo el problema.
 Leer bien las alternativas para no perder tiem-
po al momento de marcar.
 La alternativa C se re ere a que necesitan am-
bos datos para resolver el problema.
4-5
NIVEL BÁSICO
1. Para todo y ≠ 0; calcula el valor de la siguiente 
expresión: 
(x + y)2 – (x – y)2
2y
Datos:
I. x = 2 
II. y = 3
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
2. ¿Cuántos alumnos hay en una clase?
I. Hay más mujeres que hombres.
II. Hay menos de 50 alumnos.
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
3. Calcula el volumen de un cubo.
Datos:
I. Su área es 96 cm2.
II. Su diagonal mide 4 3 cm.
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información
4. Calcula la edad de Juan y de Pedro. 
Datos:
I. Juan nació 6 años antes que Pedro.
II. La suma de sus edades actuales es 30.
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
NIVEL INTERMEDIO
5. Determina el área del triángulo ABC.
M
B
CA
Información brindada: 
I. BM es una mediana de valor 10 cm. 
II. mC = 53º 
UNI 2019-I
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
6. Juana tiene 3 amigos: Marcos, Luis y Víctor. Estos 
viven en tres ciudades distintas: Lima, Cusco e 
Iquitos; y tienen tres caracteres distintos: tímido, 
liberal y agresivo. Se desea saber dónde vive Víc-
tor y su respectivo carácter. 
Información brindada: 
I. Marcos no está en Lima, ni Luis en el Cusco, y 
el que vive en Iquitos es agresivo. 
II. El que está en Lima no es tímido, en tanto que 
Luis no es liberal ni tímido. 
UNI 2019-I 
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información
7. Pedro observa en una tienda un aviso que dice: 
“Camisa + pantalón + corbata = S/120”. Entra en 
la tienda, y compra dos camisas, un pantalón y 
dos corbatas. Determina cuánto pagó Pedro. In-
formación brindada: 
I. Un pantalón cuesta 60 soles. 
II. Un pantalón cuesta tanto como la camisa y 
corbata juntas. 
Para resolver el problema: 
UNI 2019-I
4-5
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
8. Si yz ≠ 0, se pregunta si:
x – y + z
2z
 = x
2z
 – y
2z
 – x
y
Información brindada:
I. 
x
y
 < –
1
2
II. xy < 10 
Para resolver el problema: 
UNI 2019-I
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
9. En una fábrica, la línea de producción A incre-
menta 5% del 2016 al 2017; y la producción en la 
línea B, aumenta en 10%, en ese mismo período. 
¿Cuántas unidades se produjeron en 2016 por la 
línea A? 
Información brindada: 
I. Las dos líneas combinadas produjeron 
100 000 unidades en 2016. 
II. Las dos líneas combinadas produjeron 
107 500 unidades en 2017. 
Para resolver el problema: 
UNI 2019-I
a) La información I es suficiente.
b) La información II es suficiente.
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
10. Se desea determinar si el triángulo mostrado es 
equilátero:
xº yº
zº
Información brindada: 
I. x = y 
II. z = 60 
Para resolver el problema:
UNI 2018-II 
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario usar ambas informaciones. 
d) Cada una de las informaciones, por separado, 
es suficiente. 
e) La información brindada es insuficiente.
11. Se desea calcular el volumen de una pirámide re-
gular de base cuadrada. 
Se conoce la siguiente información: 
I. La altura de la pirámide y la longitud de una 
de sus aristas laterales. 
II. El área de la base. 
Para resolver el problema:
UNI 2018-I 
a) Información I es suficiente.
b) Información II es suficiente.
c) Ambas informaciones son necesarias.
d) Cada una de las informaciones por separado es 
suficiente. 
e) No hay suficiente información.
12. Dos televisores se compraron en S/ 3000 y se de-
sea conocer el precio que se pagó por cada uno de 
ellos. 
Información brindada: 
I. El primero costó el 80% del segundo. 
II. En el segundo TV se obtuvo un descuento del 
20% del precio original. 
Para resolver el problema: 
UNI 2018-I
a) Información I es suficiente.
b) Información II es suficiente.
c) Ambas informaciones son necesarias. 
d) Cada una de las informaciones, por separado, 
es suficiente. 
e) No hay suficiente información.
NIVEL AVANZADO
13. Halla el valor de un número de la forma N = 3ab
cuya suma de sus cifras sea un número par. Infor-
mación brindada: 
I. N es múltiplo de 6. 
II. La suma de las cifras de N es la máxima posible. 
Para resolver el problema: 
UNI 2018-I
a) La información I, sola, es suficiente. 
b) La información II, sola, es suficiente. 
c) Es necesario ambas informaciones. 
4-5
d) Cada información, por separado, es suficiente. 
e) Falta información.
14. En un triángulo rectángulo, calcula la distancia 
del ortocentro al circuncentro. 
Se dispone de las siguientes informaciones: 
I. Un cateto mide 20 cm. 
II. La hipotenusa mide 25 cm. 
Para resolver el problema: 
UNI 2017-II
a) La información I es suficiente.
b) Las informaciones I y II son necesarias. 
c) La información II es suficiente.
d) No es necesaria la información II
e) Las informaciones dadas, por separado, sonin-
suficientes.
15. Se desea saber en qué porcentaje varía la pobla-
ción de una ciudad si el número de mujeres es al 
número de varones como 3 es a 2. 
Información brindada: 
I. El 60% de la población son mujeres. 
II. El número de varones aumentó en 30% y el de 
mujeres disminuyó en 10%. 
Para resolver el problema: 
UNI 2017 II
a) La información I es suficiente. 
b) La información II es suficiente. 
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. 
d) Cada una de las informaciones, por separado, 
es suficiente. 
e) Las informaciones dadas son insuficientes.
6
Nociones previas
Existen diversos test psicológicos que permiten evaluar cierto nivel cognitivo de la persona, por ejemplo, el 
test de dominó es uno de ellos, ya que evalúa la capacidad intelectual general. Una muestra de un ejercicio de 
dominó es el siguiente, en el que se pide encontrar la gura que falta.
?
?
 
Distribuciones numéricas
Podemos entender como distribución numérica, a un arreglo de números apoyados en tablas, grá cos, etc., en 
las que nos pidan hallar un valor desconocido.
Ejemplo: En la siguiente distribución numérica, halla el valor de “x”.
2 2 6
3 5 18
1 3 4
4 2 X
2(2 + 1) = 6 3(5 + 1) = 18 1(3 + 1) = 4 4(2 +1) = X = 12
Analogías de guras
En este tipo de problemas debemos primero encontrar 
la relación entre 2 guras (información brindada al 
estudiante) y luego, a partir de la tercera, encontrar la 
cuarta gura (solución).
Completa la siguiente analogía:
Es a
Es a
como
?
Figuras discordantes
En este tipo de problemas se brinda una serie de 
 guras, las cuales aparentemente guardan una 
relación, pero entre ellas hay una discordante (que 
no guarda relación). La idea es encontrar esa gura 
discordante.
¿Qué gura no guarda relación con las demás?
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 
6
Sucesiones grá cas
En este tipo de problemas, los elementos que 
buscamos para obtener un criterio de formación son 
diversos; uno de los principales criterios utilizados 
es la rotación, además, cuando un grá co está 
conformado por otros grá cos, es recomendable 
analizarlo por separado.
¿Qué grá co continúa en la siguiente sucesión?
 ; ; ; ; …
 Leer adecuadamente lo que quieres calcular.
 En analogías numéricas, siempre el trabajo es 
horizontal.
 En matrices con guras, el criterio de trabajo 
debe ser siempre horizontal.
NIVEL BÁSICO
1. Resuelve la siguiente analogía:
 es a como es a?
a) b) c) 
d) e) 
2. Calcula “x”.
3
1
41
0
6
4
3
x
2
0
5
1
53
3
8
a) 12 b) 21 c) 14
d) 53 e) 56
3. Calcula “x”.
169 23 7
289 62 5
361 33 10
( x ) 52 2
a) 576 b) 284 c) 196
d) 25 e) 144
4. ¿Qué gura no corresponde al grupo?
a) b) c) 
d) e) 
NIVEL INTERMEDIO
5. En la siguiente imagen, indica el símbolo que re-
emplaza al signo de interrogación.
UNI 2019-I
?
a) b) c) 
d) e) 
6. Indica el cuadrado que reemplace a “X”.
UNI 2019-I
a) b) c) 
d) e) 
6
7. ¿Cuál de las alternativas muestra el correcto des-
pliegue?
UNI 2019-I
a) b) c) 
d) e) 
8. ¿Cuál de los sólidos forma la gura desplegada?
UNI 2019-I
a) b) c) 
d) e) 
9. Determina el valor de X + Y en la siguiente distri-
bución:
UNI 2019-I
3
37
8 13
4
56
10 16
5
X
Y
19
a) 73 b) 77 c) 83
d) 87 e) 91
10. Encuentra la gura que continúa la secuencia.
UNI 2018-I
18
5 34
1 55
6
8
1
2
13 89
–32
a) 
144 21
3
–180 b) 
3 21
144
180
c) 
3 21
144
180
 d) 
21 144
3
–80
e) 
194 19
2
–62
11. Determina las vistas que corresponden al sólido 
mostrado.
UNI 2018-II
I II III
IV V
a) I y II b) I y III 
c) II y V d) I, III y IV 
e) I, III y V
12. Halla la gura que sigue en la siguiente sucesión:
UNI 2018-II
0
1 1A
2
; ;
0
2
C
5
3
H 5
a) 
5
13
3
U b) 
8
12
2
R
c) 
1
14
3
G
 d) 
8
12
2
P
e) 
7
13
2
P
6
NIVEL AVANZADO
13. A una pieza cuadrada de papel se le hacen dos dobleces y luego se la perfora, tal como se muestra en la 
 gura.
15 cm
15 cm 15 cm15 cm
15 cm 15 cm 15 cm
doblez perforación
¿Cuál de las siguientes guras es la que se obtiene al desdoblar, totalmente, el papel?
UNMSM 2019-II
a) b) c) d) e) 
14. Las guras I y II son triángulos equiláteros congruentes y han sido dibujados sobre láminas transparentes.


 
 Figura I Figura II
La gura I gira 1200°sobre su centro, en sentido antihorario; y la gura II gira 960° sobre su centro, en sen-
tido horario. Luego de los giros realizados, se traslada, sin rotar, una de las guras obtenidas sobre la otra; 
entonces, la gura resultante es:
UNMSM 2019-I
a) 


 b) 

 c) 


 d) 


 e) 
 
15. Halla el valor de “X” en:
4 5 9
3 6 6
4 8 6
3 5 x
UNI 2018-I
a) 2 b) 5 c) 9 d) 7 e) 8
7-8
Diagramas lineales o de barras
Un grá co estadístico es una representación de datos
que facilita la visualización de los mismos, de manera
que sean mucho más sencillas las operaciones y
proyecciones que deseamos.
Dentro de la gran variedad de grá cos que existen,
nosotros trabajamos los grá cos de barras y de líneas.
Para facilitar nuestras operaciones, debemos saber: 
Exportación toneladas metal (cobre)
($)
Millones
60
50
40
30
20
10
2009 2010 2011 2012 2013 Año
Variación porcentual
Inicio Final Variación (%)
 80 120 40
80
 × 100% = 50%
 
 40
50% Aumento porcentual
Vp = valor nal – valor inicial
valor inicial
 × 100%
Diagramas circulares 
En esta lección, estudiaremos grá cos circulares 
llamados cakes o diagramas circulares, los cuales, son 
muy utilizados en estadística.
100% 360%
parte
todo
 × (360 o 100%)
Ejemplo:
Total: S/.200
S/.40
 
 Fracción : 40
200
 = 1
5
 Porcentaje : 40
200
 × 100% = 20%
 Ángulo : 40
200
 × 360° = 72°
 × 360°
 
Fracción porcentaje ángulo 
 × 100% × 18/5
7-8
NIVEL BÁSICO
1. En el grá co se muestra el número de empresas 
aceptadas al programa de reestructuración patri-
monial.
Número de
solicitudes
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1100
1997 1998 1999 2000 2001 Año
¿Cuál es la razón entre el número de solicitudes 
recibidas en el año 2001 con respecto a las recibi-
das en el año 1997?
a) 3,1 b) 3,4 c) 3,2
d) 3,5 e) 3,3
2. En el grá co se muestra el precio del zinc, en dólares 
por tonelada, de enero del 2001 a enero del 2002.
Precio
($) 100
80
60
50
40
ENE
2001
ENE
2002
MAR JUN SET
¿Cuál fue la variación porcentual en el precio del 
zinc, de marzo a junio del año 2001?
a) 12% b) 15% c) 20%
d) 25% e) 30%
3. Distribución de los gastos familiares. 
Gasto mensual: S/. 3600
vivienda
25%
vestido
10%
otros
15%
educación
40%
¿Cuánto más se gasta en vivienda que en vestido?
a) S/. 540 b) S/. 240 c) S/. 340
d) S/. 140 e) S/. 640
4. De un grupo de 720 profesionales, se tiene la si-
guiente información:
Universidad de procedencia
PUCP
100°
60°
50°
U. Lima
Otros
50°UNI
40°
S.M.
¿Qué porcentaje representan los de la U. Pací co 
con respecto a los de la PUCP?
a) 12% b) 40% c) 60%
d) 50% e) 15%
NIVEL INTERMEDIO
5. El grá co circular muestra la cantidad de horas 
de tarea hecha cada día por los alumnos del curso 
de Álgebra; basado en este círculo, ¿cuál es el por-
centaje de alumnos que dedican, al menos, una 
hora diaria a realizar tareas?
UNI 2017-II
Menos 
de 1
Más 
de 2
1 a 2
a) 30% b) 45% c) 60% 
d) 67% e) 75%
6. Benjamín registra el número de visitas a su sitio web 
de lunes a viernes, como se muestra en el grá co.
UNI 2017-II
Visitas al sitio web
de Benjamín400
300
200
100
Lu Ma Mi Ju Vi
Días de la semana
7-8
El promedio de visitas, por día, a su sitio web du-
rante los cinco días, es: 
a) menor a 100 b) entre 100 y 200 
c) entre 200 y 300 d) entre 300 y 400 
e) más de 400
7. Lamunicipalidad de San Isidro presentó el nú-
mero de multas a los establecimientos comercia-
les durante el segundo semestre de 2016. 
Multas
350
300
250
200
150
100
50
Meses
Indica qué enunciados son verdaderos. 
I. En diciembre, hubo el mayor número de mul-
tas. 
II. En los meses consecutivos de septiembre, oc-
tubre, además noviembre y diciembre hubo 
un descenso en las multas. 
III. El porcentaje de multas del mes de septiem-
bre fue 28%. 
UNI 2017-I
a) I b) II c) III 
d) I y II e) II y III
8. La tabla indica el porcentaje de basura electrónica 
producida en el Perú durante el 2015.
OBJETOS %
computadoras 44
televisores 20
neveras 16
lavadoras 15
celulares 5
Si se botaron 7360 toneladas de televisores; ¿cuál 
de los siguientes enunciados es verdadero?
UNI 2017-II
a) 16 912 toneladas de computadoras se botaron 
en el Perú durante el 2015. 
b) El año 2015 se botó en Perú 1480 toneladas de 
celulares. 
c) Los peruanos botaron más de 6000 toneladas 
de lavadoras. 
d) La basura electrónica producida en Perú en el 
2015 es de 36 800 toneladas. 
e) En el 2015 los peruanos botaron menos de 
5000 toneladas de neveras.
9. Se aplicó una encuesta a estudiantes de secunda-
ria y universidad, sobre el uso más frecuente del 
internet. En el grá co se resume los resultados.
80
80
60
40
20
64
60
32
56
50
8 10
Información
académica
Comunicación Entretenimiento Otro
USO DE INTERNET
Secundaria Universidad
De la información ofrecida en el grá co, pode-
mos concluir: 
I. El porcentaje de estudiantes universitarios 
duplica al de estudiantes de secundaria, para 
los cuales, el uso más frecuente de obtener in-
formación académica es internet. 
II. Hay el mismo porcentaje de estudiantes de 
secundaria y universidad cuyo uso más fre-
cuente es otro. 
III. El 75% de estudiantes de secundaria y 50% de 
universitarios usan internet para comunicar-
se o entretenerse. 
UNI 2017-II
a) I b) II c) III 
d) I y II e) I, II y III
10. El grá co adjunto muestra los resultados de una 
encuesta acerca de las preferencias del público 
respecto a los candidatos a la alcaldía de cierto 
distrito de Lima. Señala la alternativa correcta 
después de determinar si las siguientes proposi-
ciones son verdaderas (V) o falsas (F).
I. El candidato A tiene el 25% de preferencia. 
II. El 37,5% de preferencia la tiene B. 
III. C, D y E suman igual porcentaje que B.
UNI 2019-I
B
C
D
E
A
7-8
a) VVV b) VVF c) VFV 
d) VFF e) FVV
11. El grá co muestra una gura que apareció en un 
diario de una ciudad. En él se indica la preferen-
cia por el noticiero central de 5 canales de televi-
sión, según una muestra aleatoria en un año de-
terminado. ¿Cuál de las siguientes a rmaciones 
es verdaderas? 
I. De acuerdo a la muestra, el noticiero central 
con menor probabilidad de ser visto es TV5. 
II. El gráfico muestra exactamente la realidad de 
la preferencia de los noticieros de esta ciudad. 
III. Aproximadamente, un cuarto de la muestra no 
ve los noticieros centrales de estos 5 canales.
UNI 2019-I 
26,3%
22,3%
11,5%
9,8%
5,2%
TV1 TV2 TV3 TV4 TV5 Canales
de TV
a) solo I b) solo II 
c) solo I y II d) solo I y III 
e) I, II y III
12. En una encuesta entre alumnos de la UNI se ob-
tuvieron los datos representados por el grá co 
sobre qué país ganaría la Copa del Mundo. Señala 
la alternativa que presente la secuencia correcta 
luego de determinar si la proposición es verdade-
ra (V) o falsa (F).
UNI 2019-I
Alumnos
UNI
Perú España Alemania Brasil Países
22
17
11
6
I. El porcentaje de personas encuestadas que 
piensa que Perú campeonará, es el 10,7%, 
aproximadamente. 
II. La mitad de los encuestados piensa que Ale-
mania ganará la Copa del Mundo.
III. Aproximadamente, el 61 % de los encuesta-
dos piensa que Alemania no ganará la Copa 
del Mundo. 
a) FVV b) FFV c) VFV 
d) VFF e) VVF
 NIVEL AVANZADO
13. La a uencia de turistas en tres zonas (A, B y C) 
de cierta zona turística de Arequipa en el 2015, 
fue de 50 000 personas; y, en el 2016, aumentó en 
20%, como se muestra en los diagramas. Se desea 
conocer cuánto aumentó la a uencia de turistas 
en la zona B.
UNI 2019-I
2016
A
45%
C
B
15%
2015
40%
C A
10%
B
a) 300 b) 3500 c) 4000 
d) 4200 e) 4500
14. El grá co muestra las curvas de ventas y costos 
del producto “k” de la empresa Zinkosa. De dicho 
grá co se puede a rmar: 
I. El precio unitario de venta del producto “k”, 
para no perder dinero, es de 3 dólares. 
II. El costo de la empresa por cada unidad produ-
cida, sin considerar el costo fijo, es de 1 dólar. 
III. Si la empresa vende 3000 unidades del pro-
ducto “k”, tiene una utilidad de 3000 dólares
UNI 2018-I
7,5
5
3
0
ventas
costos
1 2 2,5 3
Miles de unidades
Señala la alternativa correcta después de determi-
nar la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposi-
ciones dadas. 
a) VVV b) VVF c) VFF 
d) FFF e) FVV
15. En el Congreso, están elegidos 130 representantes 
que conforman 4 grupos con los porcentajes indi-
cados en el grá co circular.
7-8
PPPY
PPPZ
PPPW
PPPX
10%
10%
30%
50%
Porcentajes de representantes
El día de una votación están ausentes algunos 
representantes, como se muestra en el siguiente 
cuadro:
GRUPO
NÙMERO DE 
AUSENTES
PPPW 4
PPPX 3
PPPY 2
PPPZ 1
La votación obtenida después de un largo debate 
fue como se muestra en el grá co de barras, en 
porcentaje referido al número de presentes.
Votación en %
80
70
60
50
40
30
20
10
0
A favor En contra En blanco
Todos los presentes votan, que representan el 
100%
Con la información brindada, señala el valor de 
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes a rma-
cione:
I. De la agrupación PPPW, ese día solo votaron 
61 representantes. 
II. Si todos los miembros del grupo PPPW vo-
taron a favor; 27 miembros de otros grupos 
también votaron a favor. 
III. Todos los miembros presentes de la agrupa-
ción PPPZ votaron a favor. 
UNI 2017-I
a) VVV b) VVF c) VFF 
d) FFF e) FFV