ANTOLOGIA ALGEBRA BASICA 2019

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Compiladores: 
Ing. Jorge Balan Novelo 
Mtro. Manuel Chin Moreno 
Mtro. Santiago Andrés Cuenca Villamonte 
Ing. Nayeli Salas López 
Mtra. Brillante Zavala Centeno 
 
 
 
 
Ciclo escolar agosto 2019-enero 2020 Fase 19-1 
 
Esc. Preparatoria Dr. Nazario Victor Montejo Godoy 
Esc. Preparatoria Lic. Ermilo Sandoval Campos 
 
COMPILACIÓN DE EJERCICIOS DE LA 
UNIDAD DE APRENDIZAJE 
“ALGEBRA BÁSICA” 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
El poder de las matemáticas 
 
El que domina las matemáticas 
piensa, razona, analiza y por ende 
actúa con lógica en la vida cotidiana, 
por tanto, domina al mundo. 
 
ING. ARTURO SANTANA PINEDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
2 
 
 
Índice 
 
Unidad de Competencia I 
Expresiones y Operaciones Algebraicas. 
 
 Competencias genéricas 
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la 
utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas. 
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o 
gráficas. 
 
Competencias disciplinarias 
M-1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos 
aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de 
situaciones reales, hipotéticas o formales. 
 
Propósito de la Unidad de Competencia 
Conoce el lenguaje algebraico básico para aplicar las propiedades de los signos y de los 
exponentes en la realización de las operaciones básicas de expresiones algebraicas. 
 
Contenido específico: 
 
Expresiones Algebraicas 
1. Definición y elementos de una expresión algebraica y término algebraico (Signo, 
coeficiente numérico, variable y exponente). 
2. Clasificación de las expresiones algebraicas. 
3. Lenguaje algebraico (Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa). 
 
Operaciones con expresiones algebraicas 
4. Suma y resta de expresiones algebraicas (Términos semejantes, Leyes de los signos en 
suma y resta de polinomios). 
5. Multiplicación de expresiones algebraicas. (Leyes de los signos, Leyes de los 
coeficientes, Leyes de los exponentes enteros positivos y negativos), Multiplicación de 
monomio por monomio, monomio por polinomio y de polinomio por polinomio. 
6. Productos notables. (Cuadrado de un binomio, cubo de un binomio, Producto de 
binomios conjugados, Producto de Binomios con término común). 
7. División de expresiones algebraicas. (Leyes de los signos, Leyes de los coeficientes, 
Leyes de los exponentes enteros positivos y negativos), División de monomio entre 
monomio y División de polinomio entre monomio. 
 
 
 
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Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Unidad de Competencia II 
Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones Lineales y Factorización 
 
Competencias genéricas 
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos 
establecidos. 
 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada 
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 
Competencias disciplinarias 
M-2 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 
Propósito de la Unidad de Competencia 
Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico, numérico y gráfico; formula 
expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. 
 
Contenido específico: 
 
Factorización de expresiones algebraicas. 
1. Factorización de expresiones que tienen factor común (Factor común monomio y 
polinomio). 
2. Factorización de expresiones que tienen factor común al agrupar términos. 
3. Factorización de una diferencia de cuadrados. 
4. Factorización de trinomios cuadráticos (Trinomios cuadrados perfectos, Trinomios de la 
forma x2+bx+c y Trinomios de la forma ax2+bx+c). 
5. Factorización de una suma y de una diferencia de cubos. 
 
Representación y resolución de ecuaciones lineales y de sistemas de ecuaciones 
lineales. 
6. Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita (Con coeficientes enteros). 
7. Resolución de problemas mediante la aplicación de ecuaciones de primer grado. 
8. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (Métodos de: 
eliminación, sustitución e igualación) y planteamiento de problemas que dan lugar a un 
sistema de ecuaciones lineales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad de Competencia I 
Expresiones y Operaciones Algebraicas. 
 
Álgebra 
Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general. 
 
Expresiones algebraicas 
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras 
(variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, 
multiplicación, división, potenciación, etcétera. 
 
Término algebraico. 
Es una expresión compuesta por números concretos y letras que también representan 
números relacionados entre sí mediantes las operaciones de multiplicación, división, 
potenciación y radicación. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de: 
coeficiente, base(s) y exponente(s). 
 
Elementos de un término algebraico 
Los elementos de u termino son: 
 El signo 
 El coeficiente o variable. 
 La parte literal 
 Exponente 
Signo: respecto al signo de un término, será negativo si le precede el signo menos (-) y 
positivo si le precede el signo más (+). 
 
Coeficiente o variable numérica: si un término algebraico es el producto de un número 
concreto por uno o más numérico literales, dicho número es su coeficiente numérico 
 
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Literal: la parte literal la constituyen las letras del término algebraico con sus respectivos 
exponentes. 
 
 
Exponentes: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por 
ella misma las veces que lo indique el exponente. 
 
Ejemplos 
 
Término Coeficiente Base(s) Exponente(s) 
-8y3 -8 y 3 
 
m, n 1, x 
 
(2x + 1) -2 
 
Grado de un término: es la suma de los exponentes de sus factores literales. 
Términos semejantes. 
Son los que tiene la misma parte literal, es decir, tienen las mismas letras afectadas de 
iguales exponentes. 
 
Reducción de términos semejantes 
Esta operación consiste en sustituir dos o más términos semejantes por uno solo, que resulta 
de la suma o resta algebraica de sus coeficientes numéricos multiplicados por su parte 
literal. 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
 
 
Actividad 1: 
Determina en cada ejercicio el coeficiente numérico, la parte literal, los exponentes y el 
grado de cada término. 
1. 7x3 
 
 
 
 
 
 
2. -5ab2 3. 6x2y3c 
4. - 
 
 
 
 
 
 
5. 6. 9m
3n2o 
 
 
7. –r2st3 
 
 
 
 
 
 
8. a 9. a5bc3 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 2: 
Reduce los términos semejantes. 
1. 5a – a + 3a 
 
 
 
 
2. a2y + 7a2y 3. 4ab2 + 7ab2 + ab2 
 
4. 6r3s + 7r3s 
 
 
 
 
5. –a – a 6. – 3x – 2x 
7. – 8a – 9a 
 
 
 
 
8. – 7b – b 
 
9. 
10. 
 
 
 
 
11. 12. 
13. 
 
 
 
 
14. 
 
15. 
16. 
 
 
 
17. 20y3 – 18y3 18. 6n2 – 20n 
19. -8ab2 + 3ab2 
 
 
 
20. -5x2 + 17x2 21. -6xy3 + 12xy3 – 8xy3 + 10xy3 
22. –x2 – x2 –x2 
 
 
 
 
23. -9x2y + 9x2y 24. 8a2b – 5ab2 
 
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8 
 
 
 
25. 9m3n2o + 12m3n2o- 3m3n2o 
 
 
 
 
 
26. –r2st3 + r2st3 
27. r + 4 + 3r + 12 
 
 
 
 
 
28. x + 2y + 7x – 9x – 3y – 12xy 
 
 
29. 
 
 
 
 
 
30. a5bc3–12abc+ 
 
 
31. 
 
 
 
 
 
32. 2x2yz – 3xy2z + 5xyz2 – yxy2z – x2yz + 6xyz2 
 
33. 6x2y3c - 2x2y3c + x2y3c 
 
 
 
 
 
34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 1: 
Simplifica las siguientes expresiones 
1.- 3x – 8x 12. -3ax+1 + 2ax+1 – ax+1 + 2ax+1 
2. 6a2b + 7a2b 13. 0.25b – 0.4b + 0.2b 
3. -6xy2 – xy2 – 3xy2 14. 
4. 4xy4z3 – 4xy4z3 15. 4mx-2 - 10mx-2 + 3mx-2 
5. -2a2b + 12a2b 16. 8x – 3y – 9x + 5y – 2x + y 
6. -3a + 5a – 10a 17. 10a -7b + 4a + 5b – 14a + 3b 
7. 4x – 3x – 2x 18. -12m + 3n – 4m – 10n + 5m – n 
8. 7ab + 4ab – 3ab 19. 12a2b + 3ab2 – 8a2b – 10ab2 – 3a2b + 6ab2 
9. 5a2 – 7a2 + 3a2 – 2a2 20. 9a3b2c – 5a2bc2 – 12a3b2c + 3a2bc2 + 4a3b2c 
10. – m + n + m + n 21. -3x2 + 2y2 – 7 + 10x2 – 12y2 + 15 
11. 22. -81m2 – 17mn + 15n2 + 20m2 + 3mn – 17n2 
+ 53m2 + 18mn + 7n2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lenguaje Algebraico: frecuentemente, en la resolución de problemas matemáticos se 
requiere escribir una expresión algebraica que represente un enunciado verbal o viceversa. 
 
 
 
 
 
Lenguaje Común 
 
 
Lenguaje Algebraico 
El doble de un numero 2x, 2y, 2w 
 
La diferencia de dos números a – b, x – y, w – m 
 
La raíz cuadrada de un numero , , 
 
El triple del cubo de un numero 
 
 
El producto de dos números ab, xy, mn 
 
El cociente de dos números , 
 
La mitad de un numero 
 
El doble de un numero disminuido en 5 , 2a – 5, 2m – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 3: 
Traduce correctamente al lenguaje algebraico. 
1. La suma de 10 y x 
 
 
2. La raíz cuadrada de un 
número 
 
 
 
 
3. Un número disminuido en 
cuatro 
4. El triple de un numero 
dividido entre 7 
5. El cociente de dos números 
aumentado en dos 
 
 
 
6. La semidiferencia de dos 
números 
 
 
 
 
 
7. La edad de una persona hace 
5 años 
8. El cubo de un número por el 
cuadrado de otro número 
9. La diferencia de dos 
cuadrados 
 
 
 
 
 
10. La mitad de un número 11. La cuarta parte del cubo de 
un número 
12. El triple de un número 
aumentado en diez 
 
 
 
 
 
13. El doble del cuadrado de 
un número disminuido en ocho 
14. El cociente del cubo de un 
número entre otro número 
 
 
 
 
15. La raíz cuadrada del triple 
de un número 
 
 
 
 
 
16. La raíz cuadrada del cubo 
de la diferencia de dos 
números 
17. el cuádruplo del cuadrado 
de un número. 
 
 
 
 
 
18. Ocho veces el cubo de un 
número disminuido en 3 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Ejercicio 2: 
Traduce correctamente al lenguaje algebraico. 
Lenguaje Común Lenguaje Algebraico 
 
Un número cualquiera. 
 
 
Un número cualquiera aumentado en siete. 
La diferencia de dos números cualesquiera. 
El doble de un número excedido en cinco. 
La división de un número entero entre su 
antecesor. 
 
 
El cuadrado de un número. 
 
 
La mitad del cuadrado de un número. 
 
 
La semisuma de dos números. 
 
 
Las dos terceras partes de un número 
disminuido en cinco es igual a 12. 
 
 
Tres números naturales consecutivos. 
La parte mayor de 1 200, si la menor es w. 
El cuadrado de un número aumentado en 
siete. 
 
 
Las tres quintas partes de un número más la 
mitad de su consecutivo equivalen a 3. 
 
 
La raíz cuadrada de la diferencia de dos 
cantidades. 
 
 
El producto de un número positivo con su 
antecesor equivale a 30. 
 
 
El cubo de un número más el triple del 
cuadrado de dicho número. 
 
 
Un número disminuido en tres. 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Clasificación de Polinomios 
De acuerdo con el número de términos que tienen los polinomios se clasifican: 
 Monomio: es un polinomio que consta de un solo termino 
 Binomio: es un polinomio que consta de dos términos. 
 Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos 
 Polinomio: consta de cuatro o más términos. 
 
Suma de Polinomios 
Para sumar dos o más polinomios se requiere reducir los términos semejantes de los 
polinomios que se suman. Para ello pueden escribirse los polinomios en renglones 
sucesivos de forma que los términos semejantes queden en la misma columna y a 
continuación se reducen los términos semejantes. 
Ejemplo. 
Suma los polinomios indicados: 
A) 9x3 + 3x2 + 2x + 8 y 6x2 – 4x – 2 
 9x3 3x2 2x 8 
 6x2 –4x –2 
 9x3 9x2 –2x 6 
 
 
B) ; 2x 
 
-9x -8 
 
2x -5 
 
3x 19 
 
- 4x +6 
 
 
 
 
La aplicación de la suma de polinomios se lleva a cabo cuando se tienen situaciones que 
pueden generalizarse por ejemplo puede ser el cálculo de perímetros. 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Ejemplo. 
Determina el perímetro de las siguientes figuras 
 5x2 x - 3 
 5x2 x - 3 
 5x2 x - 3 
 5x2 x - 3 
 5x2 + x – 3 20x2 4x -12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verónica desea vender un terreno como el de la figura, ¿Cuál es la expresión polinomial 
que representa el perímetro del terreno? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 m2 - 4 
4m – 5 
m + 1 
3m2 – 7m + 4 
m2 - 4 
 4m - 5 
 m 1 
3m2 -7m 4 
4m2 -2m - 4 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
15 
 
 
Actividad 4: 
Realiza las siguientes sumas de polinomios. 
1. 3a2 – 6a + 4; a2 – 2a - 1 
 
 
 
2. 3a + 7b – 5c – 1; a – 10b + 5c - 1 
3. 5x – 4y + 10; -7x – 3y – 10 
 
 
 
4. 2r3 – 9r2 – 10r + 3; r3 + 3r2 – r – 8 
5. (15xy + 6y – 8x – z + 3) + (-12 + 4x + xy – 6y – z) 
 
 
 
6. (x4 – 2x3 + 7x2 – 5 + 8x) + (-4x – 1 – 7x2 – x3 – 2x4) 
7. 4st – 3t + u; -4u – 9st; 5st – 6u + 10t 
 
 
 
8. –m2 + 16mn – 8m – 9n + 8; -4mn – 5 + 2n – m + m2 
9. (7mn –2m + n –5) + (mn +2m –2) + (5n– 9mn + 6) 10. (-4x –12y+z) + (3x+9z–y) + (-5z+3y + 2x) 
 
 
 
11. Determina la expresión polinomial que represente el perímetro de las siguientes figuras. 
 
 
 (2x2 + 3x + 2) 
 
 
 
 
12. 
 (3x + 7) 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
- 
 
 5x2+ x - 4 
 
 
 
 
 
A 
B C 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
16 
 
 
 
Ejercicio 3: 
Realiza lo siguiente: 
1. Suma los polinomios 3x – 8y – 2z; 7x + 3y + z 
2. ¿Cuál es la suma de -5m – 3n + 6 con 2m + 2n – 8 
3. Realiza (11a – b + c) + (-8a – c) 
4. Efectúa (3p – 5q – 6r) + (2p + 3q - 2r) + (-12p + 4q + r) 
5. Suma 6x2 + 3x – 2 con –x2 + 7x + 4 
6. (8a2 – 6a3 + 4a) + (4a3 + a2 – 4a – 5) 
7. (5x4 – 3x2 + 6x – 3) + (-3x4 + x3 +5x2 – 7x + 3) 
8. Realiza (5x2 – 5x + 6) + (2x2 – 7x + 4) + (-6x2 +10x – 10) 
9. Suma y3 – y; 2y2 -5y + 7; 4y3 – 5y2 + 3y – 8 
10. ¿Cuál es el resultado de sumar 8z3 – 9; -4z3 + 2z2 + 6; 5z2 – 2z3 – 7z +2? 
11. Efectúa la suma de 4x2 – 10xy – 12y2; 3y2 – 10x2 +5xy; 8xy – 3x2 – 2y2 
12. Realiza (x5 – 3x) + (x4 + 6x) + (-x3 – 2) 
13. ¿Cuál es el resultado de la suma de -15x3y – 3x2y2 – 6xy3; -8x3y + 2x2y2 – 4xy3? 
14. Suma x4 – y4; -x3y + x2y2 – xy3; 3x4 + 5x3y – 4x2y2; -5x3y + 3x2y2 – 3y4 
15. Realiza(3a6 – 4a) + (7a4 + 6a2) + (-3a2 + 7a) + (-a4 – 4a2) 
16. Suma los polinomios 
17. Efectúa 
18. Suma los polinomios 
19. Efectúa 
20. Suma 
21. 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
17 
 
 
Resta de polinomios 
En principio, toda resta de polinomio puede expresarse como una suma aplicando la regla 
siguiente: 
x – y = x + (-y) 
En otras palabras, para restar dos polinomios se suma el minuendo con el inverso aditivo 
del sustraendo. 
Se acostumbra a escribir en un renglón los términos del minuendo y por debajo de éste los 
que corresponden al inverso aditivo, de forma que los términos semejantes estén colocados 
en la misma columna; por último, se procede a reducir términos semejantes. 
Ejemplo: 
A) Resta el polinomio de 
De acuerdo con el orden tenemos 
 
Ordenamos: 
 
x -10 
 
7x 4 
 
8x -6 
 
B) Sustraer 6x2 – 4x – 2 de 9x3 + 3x2 + 2x + 8 
 9x3 3x2 2x 8 
 –6x2 4x 2 
 9x3 –3x2 6x 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
18 
 
 
Actividad 5: 
Realiza las siguientes restas de polinomios. 
1. 2a - (2+5a) 
 
 
 
 
 
2. 3- x - (2x-4) 
3. (5x - 4y) - (7x + y) 
 
 
 
 
 
4. (a-3b) – 3(a-2b) 
4. 9 - (ab+ a2 + 3) - (ab+2) 
 
 
 
 
 
5. Sustraer 3x – 3 de 5x – 1 
6. (15xy + 6y – 8x – z + 3) -(-12 + 4x + xy – 6y – z) 
 
 
 
 
 
7. (x4 – 2x3 + 7x2 – 5 + 8x) - (-4x – 1 – 7x2 – x3 – 2x4) 
8. (4st – 3t + u) – (- 4u – 9st) 
 
 
 
 
 
9. Sustraer (–m2 +16mn–8m–9n+8) de 
 (-4mn–5+2n–m + m2) 
 
 
 
10. (7mn –2m + n –5) - (mn +2m –2) 11. (-4x –12y+z) - (3x+9z–y) - (-5z+3y + 2x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
19 
 
 
De los siguientes ejercicios restar el segundo polinomio del primero 
12. 6x2 + 3y2 – 7x + 4y – 2; 2x2 – y2 – 7x + 8 
 
 
 
 
 
13. x2 + 3x – y + 6; -12 + 6y – 2x + 2x2 
14. a3 – 6b2 + c3; 3c3 + 6b2 – 2a3 
 
 
 
 
 
15. 
16. 
 
 
 
 
 
17. 3m – 4mn +6n – 8; -10 – n + 7m + 2mn 
18. -7c + 4b + 3a – 4; 2b + 5a + 4 – 7c 
 
 
 
 
 
19. x3 +3x2y –5xy2 –4y3; 2y3 –4xy2 + 2x3 –7x2y 
 
Si A= 4x3 + 4x2 – 5x + 6; B= -x3 + x2 – 7x y C= 6x2 + 4x + 4x3 + 5, resuelve las siguientes 
operaciones. 
 
20. (A+B) – C 
 
 
 
 
 
 
 
21. (A-C) + B 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
20 
 
Actividad 6: 
Relaciona las columnas. Las respuestas están ordenadas de mayor a menor exponente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
21 
 
 
Ejercicio 4: 
Realiza las siguientes operaciones: 
1. De 5a2 -3a + 2 resta 8a2 – 5a + 7 
2. ¿Cuál es el resultado de (3x3 – 5x2 – 6x + 3) – (2x3 + 4x – 8) 
3. De 4d4 – 10d3 + 2d2 – 3d – 4 resta 5d5 – 3d3 + 6d – 3 
4. Efectúa (4r3y2 – 5r2y3 + 6r4y – 8ry4) – (12r2y3 – 3ry4 + 4r3y2 – 9r4y) 
5. De 7 – 8a5b + 3a3b3 – 6a4b2 + 2ab5 resta 5a3b3 – 3ab5 + 8 – 7a5b – 2a4b2 
6. Realiza (3xa+2 – 7xa+1 – 8xa + 3xa-1) – (4xa+2 + 6xa+1 – 7xa – 9xa-1) 
7. De 5a2m-1 + 6a2m – 8am+1 – 3am-3 resta 12a2m – 5a2m-1 – 3am+1 – 4am-3 
8. ¿Cuál es el resultado de 
9. De resta 
10. De resta 
11. Resta 8x – 3y – 6 de 5x + 4y – 1 
12. Realiza (a2+ a – 1) – (a2 – a + 1) 
13. Resta -8x3 + 6x2 – 3x – 2 de 10x3 – 12x2 + 2x – 1 
14. ¿Cuál es el resultado de sustraer 12a4 – 3a2 + a – 8 de 14a4 – 5a2 – 3? 
15. Sustraer 16x6y4 – 3x3y2 + 8x7y5 de 4x7y5 + 9x3y2 10x6y4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
22 
 
Multiplicación de Polinomios 
Para realizar esta operación es conveniente recordar las reglas de los signos. 
Reglas de los signos: (importante) 
( ) ( )  ( )( - )  ( )( )  ( - ) ( - ) 
Ley de los exponentes para la multiplicación. 
En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman. 
 
 (Importante) 
 
Respecto a la multiplicación y en cuanto a los polinomios distinguiremos tres casos: 
 Multiplicación de monomios. 
 Multiplicación de un monomio por un polinomio. 
 Multiplicación de un polinomio por un polinomio. 
En seguida se explica cómo realizar cada uno de estos tipos de multiplicaciones. 
 
Multiplicación de monomios 
En la multiplicación de dos o más monomios se aplican las reglas de los signos, las leyes de 
los exponentes y los axiomas de la multiplicación. 
 
Para multiplicar dos o más monomios podemos seguir estos pasos: 
1. Se determina el signo del producto. 
2. Se multiplica los coeficientes numéricos. 
3. Se multiplican las partes literales aplicando las leyes de los exponentes 
respectivamente. 
 
Ejemplo: 
A) Multiplica los monomios siguientes: ( ( 
( ( = (3) (7) = 21 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
23 
 
B) Multiplica los monomios siguientes: ( ( 
( ( = ( 3) (7) = 21 
 
C) Multiplica los monomios siguientes: ( ( 
( ( = ( 5) ( 4) = 20 
 
D) Multiplica los monomios siguientes: ( ( 
( ( = (3*7) = 21 
 
Nota: Observa que las potencias de cada factor (tanto de x como de y) se suman. 
Actividad 6: 
Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios. 
1. 7x3y(3xy5) 
 
 
 
 
2. (-8xy2)(7xy) 3. (-4m2n)(-5mn2) 
4. (5ab)(-7abc) 
 
 
 
 
5. (3ab)(–3bc) 6. (-3r)(5r)(-8r4) 
7. (6a2b)(-3ab5)(-2a2b4c) 
 
 
 
 
8. 3x2y3(2x3y4)(-5xy) 9. (-4m2n3)3(7mn4)2 
10. (-3axby)(-7abc) 
 
 
 
 
11. (3ay+1bx+1)(–3bx+2c) 12. (-4mxny)(-5m2n2) 
13. (-2w2xy3)3(-4w2y)2 
 
 
 
 
 
14. (-2x2y3)3(-2xy3)2 15. (-5a2b4)3 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
24 
 
 
Ejercicio 5: 
Resuelve las siguientes multiplicaciones de monomios: 
1. (5x)(-7x) 2. (4x3y5z)(6x5y4z) 
3. (-8r5s2)(3r4ts6) 4. 
5. (-12n4o)(-6n3o3) 6. (9c5m9p2) 
7. (-mno)(mno) 8. (pq)(-5p3q2) 
9. 
10. 
11. (8r5s2)(3rat2sb) 
12. 
13. 
14. (0.5m5p5)(0.2m2n) 
15. (0.4abc)(0.12xyz) 
16. (5ambnc)(-2a2b3c) 
17. (-pqr)(-5p3-xq2) 
18. (6m2x+8n4x)(-2mx-6n5) 
19. (-mno)2(mno) 
20. (-2n4o)3(-6n3o3)2 
21. (-2a5b2)2(3a4bc6)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
25 
 
Multiplicación de un Monomio por un Polinomio 
Para efectuar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación que, 
como recordarás, postula lo siguiente: 
(a) * (b + c + …+ k) = ab + ac + ad + ... ak 
 
Ejemplo: 
A) ( 
 
Solución del producto. 
( = ( 
 = 
 
B) ( 
 
Solución del producto. 
 ( = ( 
 = 
 
 
C) 
 
Solución del producto. 
 = 10 
 = 2 (x+2) + 1 (x+3) 
 = 
 = 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
26 
 
Actividad 7: 
Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomio. 
1. 7x3 (3x5+ 4x2 – 2x - 1) 
 
 
 
 
2. (-8y2)(7y + 5y2 – 3xy – 2x2) 3. (-4n)(2n + 6m - 5mn2) 
4. 4y2(y3 – 3y2 + y – 2) 
 
 
 
 
5. m4n(m3–2mn2+4m2n–n2 + 4) 6. (-3r)(5r -8r4 + 3rs2) 
7. -2a3b(a3 – 2a2b2 – 6ab3) 
 
 
 
 
 
8. 7n2(n4 – 4n3 – n2 + 2n + 3) 9. -5xy3(2x3 – x2y + 6) 
10. –y3(4y2 – 6y – 8) 
 
 
 
 
 
11. xy4(xy – x2y2) 12. 4b2(5b2 – 4b – c) 
13. (-3axby)(-7a + 2b – 3abc) 
 
 
 
 
 
14. (3ay+1bx+1)(–3a + 2b2 - abc) 15. 
16. 
 
 
 
 
 
17. 18. 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
27 
 
Ejercicio 6: 
 
Resuelve los siguientes productos. 
1. (4a2 – 7ab)(2a3) 
2. (-3m)(5m4 - 3m3 + 6m - 3) 
3. (3x3 – 7x2– 2x)(xy) 
4. (-3ab)(2a2 – 7ab + 8b2) 
5. (6a3b2 – 7a2b3 + 4ab5)(4a5b2) 
6. (-5xy2z)(7x6y2z – 3x5y – 4xz) 
7. (5m3n – 6m3p – 2m2)(6m3p) 
8. (4a3c – 8a2b – 3b)(-5b4c) 
9. (5s6t – 3st4 + 4st)(2sx+1) 
10. 
11. 
12. 
13. (-2xa-2)(7x5 – 5x2 + 6xa + 3) 
14. (-5x2m)(5x3m – 2xm+1 - 2) 
15. (3a2x+1 – 7a2xb4x+1 - 4axb3x)(2a2bx) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
28 
 
Multiplicación de un polinomio por un polinomio. 
Consideremos los polígonos 
(a + b) y (x + y + z) 
Para multiplicarlos, hagamos w = a + b; luego 
(a + b) (x + y + z) = w (x + y + z) 
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación resulta: 
w (x + y + z) = wx + wy + wz 
= (a + b) x + (a + b) y + (a + b) z 
= ax + bx + ay + by + az + bz 
= ax + ay + az + bx + by + bz 
 
Observa que cada término del primer polinomio se ha multiplicado por cada uno de los 
términos del segundo polinomio. Obviamente, de acuerdo con la propiedad distributiva de 
la multiplicación, también se puede proceder multiplicando cada término del segundo 
polinomio por los términos del primero. 
 
Ejemplo: 
A) multiplica los siguientes polinomios 
( 
Solución: 
( = ( 
= 15 
= 
 
Otra forma de realizar esta operación es organizar los factores y escribir en dos renglones lo 
que resulta del producto, posteriormente realizar la reducción de términos semejantes de los 
polinomios resultantes, similar a realizar una multiplicación en aritmética. 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
29 
 
Ejemplo: 
B) multiplica los siguientes polinomios 
( 
Solución: 
 
_______ _ ___ ___ ( 
 -20x3 + 25x2 – 10x + 15 
 8x4 -10x3 + 4x2 – 6x . 
 8x4 – 30x3 + 29x2 – 16x + 15 
 
Actividad 8: 
Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomio por polinomio. 
1. (x2 – 3x + 4)(3x – 3) 
 
 
 
 
2. (4x – 1)(9x – 4) 3. (-4n + 2n)(6m - 5n2) 
4. (a+b)(a-b) 
 
 
 
 
5. (5x – 2)(6x2 – 3x + 2) 6. (-3 + 8r4)(5r - 3r2 + 3r4) 
7. (a-b)(a2 + ab + b2) 
 
 
 
 
 
8. (x+3)(x2 – 3x + 9) 9. (2a – b)(4a2 + 2ab + b2) 
10. (–y3+5)(4y2 – 6y – 8) 
 
 
 
 
 
11. (3m-1)(2m2 – 7m – 3) 12. (5y2 – 3y – 2)(-7y + 3) 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
30 
 
 
Resuelve los siguientes problemas usando la multiplicación de polinomio por polinomio. 
1. Calcula la expresión polinomial del área del rectángulo siguiente: 
 
 
 (3x - 4) 
 
 
 
 
 
2. Calcula la expresión polinomial del área del triángulo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 b=8x 
3. Determina la expresión polinomial para el área de la región sombreada 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determina el volumen del cubo de la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5x2 – 3x + 8) 
h=2x-4 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
31 
 
 
Ejercicio 7: 
Efectúa los siguientes productos: 
1. (x – 7)(x+2) 2. (m + 9) (m – 8) 3. (-x + 2) (3 – x) 
4. (3x – 7) (x – 4) 5. (2x – 5)(3x + 2) 6. (5x – 4y)(5x + 4y) 
7. (3x + 2y)(3x – y) 8. (n2 + 4)(n2 – 7) 9. ( 
10. ( – 3y) 11. ( 12. (x2 – 2xy + y2)(x – y) 
13. (x2 + 2xy + y2)(x + y) 14. (m2 – mn + n2)(m + n) 15. (m2 + mn+ n2)(m – n) 
16. (5x2 – 7y2 – 4xy)(3x – 2y) 17. (4b2 – 9a2 - 4ab)(3a – 7b) 
18. (2a3 – 3a + 4)(2a – 1) 19. (5x4 – 3x2 – 6)(3x – 4) 
20. (x2 – 3x + 1)(x2 – 1) 
 
 
 
Producto Notables 
Al multiplicar algunos tipos de expresiones algebraicas se obtienen productos en que se 
distinguen algunos rasgos notables, los cuales nos permiten efectuar esta operación (la 
multiplicación) en forma rápida al aplicar la regla correspondiente. 
 
Producto de dos binomios conjugados. 
Si se tiene el binomio entonces es su conjugado y viceversa. Para multiplicar 
dos binomios conjugados se aplica la regla siguiente. 
 El producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer 
término menos el cuadrado del segundo. 
 (Diferencia de Cuadrados) 
 
Ejemplo. 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
32 
 
 
Actividad 9: 
Desarrolla los siguientes binomios conjugados 
1. (x – 5)(x + 5) 
 
 
 
 
 
2. (2x + y) (2x – y) 3. (5u + 4y)(5u – 4y) 
4. (7a – 2b)(2b + 7a) 
 
 
 
 
 
5. (-4m + 4n)(4m + 4n) 6. (3x – 2)(2 + 3x) 
7. (q + ) (q - ) 
 
 
 
 
 
8. ( a − b)( a + b) 9. (5x + 10y)(5x −10y) 
10. (-7a2 + 2)(7a2 + 2 ) 
 
 
 
 
 
11. (ab + )(- + ab) 12. (ac + )(ac – ) 
13. (a2b + )(a2b – ) 14.(4m – 9n)(4m + 9n) 15. (-8 + 3p
3)(8 + 3p3) 
 
 
 
 
 
16. (6x5 – 8)(8 + 6x5) 17. (4c2 + b)(4c2 - b) 18. (h2 – 5)(h2 + 5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
33 
 
 
Ejercicio 8: 
 
Desarrolla los siguientes productos: 
 
1. (x – 3) (x + 3) 2. (r + 1)(r – 1) 3. (a – 2)(a + 2) 
4. (k + 8)(k – 8) 5. (-y + 5)( y + 5) 6. (a + 9)(-a + 9) 
7. (o + p)(o – p) 8. (m – n)(m + n) 9. (xy – z)(xy + z) 
10. (9f3 – 1)(9f3 + 1) 11. (- 2k2 + 9)(2k2 + 9) 12. (3e2 – 5a)(5a + 3e2) 
13. (3x + 5y)(5y – 3x) 14. (4m – 9n)(9n + 4m) 15. (2b + 3c)(3c – 2b) 
16. (3m3 – 9)(3m3 + 9) 17. (m + n)(m – o) 18. (5x4y + 4z)(-4z + 5x4y) 
19. 20. ( 
 
 
 
Cuadrado de un Binomio. 
En este caso se tiene lo siguiente. 
 El producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, 
más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del 
segundo término, es decir. 
 (Trinomio Cuadrado Perfecto) 
 
Caso particular en que el número o literal tenga signo negativo 
 
 
Ejemplo: 
 = 
 = 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
34 
 
Actividad 10: 
Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado 
1. (x + 4)(x + 4) 
 
 
 
 
 
2. ( x + 2)2 3. (p - 5r)(p -5r) 
4. (a – 2b)2 
 
 
 
 
 
5. (5x2 + 3)2 6. (6a2 – b)(6a2 – b) 
7. (x3 – 3ya)2 
 
 
 
 
 
8. (k2 – )2 9. ( – m3)2 
10. (3a3 + b2)2 
 
 
 
 
 
11. (5s – 2)2 12. (5r2 – 3s)2 
13. (5x – 10y)(5x – 10y) 14. (9 – 3y3)2 15. (xa + yb)2 
 
 
 
 
 
16. (3x2 - )2 17. (7m9 + 6)2 
 
 
 
 
 
18. (𝑥5 − 3𝑎𝑦2)2 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
35 
 
Ejercicio 9: 
Resuelve los siguientes binomios al cuadrado: 
1. (x + 8)(x + 8) 2. (m – 10)2 3. (a – 2)(a – 2) 
4. (y + )2 5. (y + )2 6. (p – 6)(– 6 + p) 
7. ( – b)2 8. (-5 + x)2 9. ( + n)2 
10. ( – s)2 11. (t + 9)2 12. (m + 12) (12 + m) 
13. (r + 15)2 14. (k + 15)2 15. 
16. (3bc – )2 17. (ab + 8n)2 18. (7m – 3n)2 
19. (6x2 -8y2)2 20. (-6 + a)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
36 
 
Encuentra en la sopa de polinomios los binomios elevados al cuadrado. 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
37 
 
 
Binomio con término común 
En este producto notable se tiene lo siguiente: 
 Al cuadrado del término común. 
 El producto del término común por la suma de los términos no comunes. 
 El producto de los términos no comunes. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
Actividad 11: 
Desarrolla los siguientes binomios con término común: 
1. (x – 2)(x + 1) 
 
 
 
 
2. (m + 3)(m – 2) 3. (r + 7)(r – 4) 
4. (k – 10)(k – 2) 
 
 
 
 
 
5. (b – 6)(b – 5) 6. (2a – 6)(2a + 4) 
7. (z – 3)(z - 4) 
 
 
 
 
 
8. (x + 4)(x + 6) 9. (4n – 5)(4n – 2) 
10. (x2 – 10)(x2 + 5) 
 
 
 
 
 
11. (n3 –4)(n3 – 8) 12. (pq2 + 7)(pq2 – 9) 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
38 
 
 
 
Ejercicio 10: 
Resuelve los productos siguientes: 
 
1. (a – 8)(a + 5) 2. (s + 7)(s – 4) 
3. (b – 10)(b – 2) 4. (x – 6)(x – 5) 
5. (r + 4) (r + 6) 6. (n – 3) (n + 4) 
7. (m – 1)(m – 8) 8. (b – 9) (b + 3) 
9. (x + 2)(x – 5) 10. (p + 8)(p – 3) 
11. (2n – 6)(2n + 4) 12. (3m + 6)(3m – 4) 
13. (6x – 4)(6x + 3) 14. (x4 + 6) (x4 – 12) 
15. (q5 – 1)(q5 + 2) 16. (a3 – 5)(a3 – 2) 
17. (mx + 7)(mx – 5) 18. (a2b3 +4)(a2b3 + 2) 
19. (3xm + 4)(3xm -7) 20. (a2x3 + y4)(a2x3 +3) 
 
 
 
Cubo de un binomio 
En este producto notable se tiene lo siguiente: 
 El cubo del primer término. 
 El triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. 
 El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo. 
 El cubo del segundo término. 
 
= 
 
El caso en el que el número literal tenga signo negativo 
 
= 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
39 
 
Ejemplo: 
 
= 
 
 
= 
 
 
Actividad 12: 
Desarrolla los siguientes binomios al cubo: 
1. (x – 2)3 
 
 
 
 
 
2. (m - 3)3 3. (r + 7)(7 + r)(r + 7) 
4. (k – 10)3 
 
 
 
 
 
5. (b – 6)3 6. (2a + 4)3 
7. (z – 3)(z - 3)(z – 3) 
 
 
 
 
 
8. (x + )3 9. (2n – )3 
10. (x2 – 5)3 
 
 
 
 
 
11. (n3 – )3 12. (pq
2 + 7)3 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
40 
 
Ejercicio 11: 
Desarrolla los siguientes binomios al cubo: 
 
1.(x – 1)3 2. (p + 6)3 3. (m – 2)3 
4. (b + 10)3 5. (k - 3 6. ( – x)3 
7. (1 – x)3 8. (10 – c2)3 9. (2f + 1)3 
10. (3n – 4)3 11. (2s + 3)3 12. (2n - )3 
13. (1 – 4y)3 14. (5a2 + 2b5)3 15. (3x – 4y)3 
16. (3a3b – 2c4)3 17. (4x2 + 2xy)3 18. (a - 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
41 
 
División de Polinomio 
A continuación, se muestra la regla de los signos de esta operación: 
 
Regla de los signos: 
(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = − (−) ÷ (−) = + 
 
Ley de los exponentes para la división 
En la división los exponentes de las bases iguales se restan: 
 (Importante) 
 
División de un monomio entre un monomio 
Para dividir un monomio entre un monomio se siguen estos pasos: 
1. Se dividen los coeficientes numéricos. 
2. Se aplica la ley de los exponentes 
Ejemplo. 
Efectuar la siguiente división entre monomio. 
A) = = 
 
Nota: para todo x ≠ 0 (importante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
42 
 
Actividad 13: 
Desarrolla las siguientes operaciones: 
1. (– 8x4) ÷(–4x3) 
 
 
 
 
 
2. ( – 18x4 ) : (6x3 ) 
3. 
4. 
 
 
 
 
 
5. 
6. (6x3) ÷ (4x2) 
7. – 
 
 
 
 
 
8. 9. (–x
6y5)÷ (–6x5y4) 
10. –25a2b3 entre 5ab 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Completa los elementos faltantes, para que sean correctas las operaciones: 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
43 
 
 
 
Ejercicio 12: 
 
Realiza las siguientes divisiones de monomio. 
 
1. 2. 3. 
 
4. 5. 6. 
 
7. (-6x8y9) ÷ (18x4y7) 8. (-44m5n8)÷(66m3n2) 9. 
 
10. 16x5y3 entre –3x6y3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
44 
 
División de un polinomio entre un monomio 
Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la 
división, es decir, se divide cada término del polinomio entre el monomio. 
Ejemplo. 
Efectuar la siguiente división. 
A) 
Solución: 
 = - + = - 4x + 2 
Ejercicio13: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
45 
 
Evaluación Diagnostica 
Analiza y resuelve correctamente cada una de las situaciones. 
 
1. Resuelve las ecuaciones lineales siguientes 
 
a) x + 10 = 15 b) y – 6 = 12 
 
 
 
c) -4x = 20 d) -3x = -12 
 
 
 
e) f) 9x – 11 = 5x - 9 
 
 
 
 
2. Abigail y Roberto rompieron sus alcancías y tienen un total de $342. Si Roberto tiene 
$105 más que Abigail, ¿cuánto dinero tiene cada uno? 
 
 
 
 
 
3. La edad de Rosa es el doble de la edad de Margarita y entre las dos tienen 48 años. 
¿Cuántos años tiene Margarita? 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
46 
 
 
 
 
 
 
4. Con base a la siguiente ecuación lineal y= 3x – 6 completa la siguiente tabla. 
 
x 0 1 2 3 4 
y 
 
 
5. Grafica la recta 3x + 2y = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
47 
 
 
Unidad de Competencia II 
Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones Lineales y Factorización 
 
Factorización. 
Factorización significa expresar una expresión algebraica como factores; puede ser 
entendida como el proceso inverso al producto algebraico. 
1. Factorización de expresiones que tienen factor común (factor común 
monomio y polinomio). 
 
Máximo Factor Común (M.F.C): 
El término 𝑎𝑥𝑛, es el M.F.C de un polinomio si: 𝑎 es el máximo entero que divide cada uno 
de los coeficientes del polinomio, y 𝑛 es el mínimo exponente de 𝑥 en todos los términos 
del polinomio. 
El Factor común monomio (F.C.M) es un término que es común a todos los términos de 
una expresión algebraica, generalmente se usa el Máximo Factor Común (M.F.C). 
Por ejemplo, en la expresión 4+8 tenemos como factores comunes al 2 y al 4 pero solo el 
4 es el máximo factor común. 
2(2+4) 
4(1+2) 
Los pasos para realizar la factorización son: 
1.- Encontrar el M.F.C de los coeficientes numéricos. 
2.- Encontrar el M.F.C de las partes literales. 
3.- El F.C.M es la unión de los resultados de los pasos 1 y 2. 
4.-En el resultado de la factorización se escribe el F.C.M y luego entre paréntesis se escribe 
la expresión que resulta de dividir la expresión original entre el F.C.M. 
 
Ejercicio de Ejemplo resuelto por el docente 
Factoriza 30x10 – 50x8+ 60yx6 
Respuesta: 10x6 ( 3x4 – 5x2 + 6 ) 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
48 
 
 
 
Ejercicio No. 1 Factoriza en dos factores. 
1. 3a3 – a 2= 6. a3- a2x +ax2 = 
 
2. x3 – 4x4 7. 2a2x +2ax2 -3ax= 
 
3. a3 + a2 + a= 8. 25x7 -10x5 +15x3 -5x2= 
 
4. 4x2 -8x + 2= 9. 9a2-12ab+15a3b2 -24ab3= 
 
5. 15y3 +20y2 -5y= 10. 16x3y2-8x2y-24x4y2 -40x2y3= 
 
 
 
Ahora, el Factor común polinomio (F.C.P) es un polinomio (expresión de más de un 
término) que es común a una expresión algebraica. 
 
Los pasos para realizar la factorización son los mismos que en el F.C.M, solo que en F.C.P 
consideramos un polinomio como factor común en lugar de un monomio. 
Ejercicio de Ejemplo resuelto por el docente: 
Factoriza x (a+b) + m(a+b) Respuesta: (a+b) (x+m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
49 
 
Ejercicio No.2 Factoriza en dos factores. 
1. 2x(n-1) – 3y(n-1) 6. (x+y) (n+1) – 3 (n+1)= 
 
 
 
2. a(n+2) + n + 2 = 7. (x+1) (x-2) + 3y(x-2)= 
 
 
 
3. x (a+1) -a -1= 8. (a+3)(a+1) – 4(a+1)= 
 
 
 
4. 4x (m-n) +n – m= 9. a ( x-1) – (a+2) (x-1)= 
 
 
 
5. x (2a+b+c) -2a -b -c= 10. 4x (x+1)3 – (2x+1)(-x-1)= 
 
 
 
 
2. Factorización de expresiones que tienen factor común al agrupar 
términos. 
En algunos casos en el polinomio que se busca factorizar no hay un factor común para 
todos sus términos, pero alagruparlos se puede determinar una expresión común para cada 
agrupación. 
Por ejemplo, en el polinomio am + bm + an + bn, no hay un factor común, pero si se 
agrupan los términos es posible factorizarlos. 
Factorizar: am + bm + an + bn, 
 Se forman dos grupos con el mismo número de términos. 
 (am + an) (bm + bn) 
 Se busca el factor común en cada grupo: a (m + n) +b (m + n). 
 Se factoriza el binomio común: (m + n)( a + b) 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
50 
 
Ejercicio No.1 Factoriza en dos factores. 
1. x+x2 -xy2 -y2 
 
6. 3x3-9ax2-x+3ª 
 
 
2. 3abx2-2y2-2x2+3aby2 
 
7. 6ax+3a+1+2x 
 
 
3. 3a -b2+2b2x-6ax 
 
8. 1+a+3ab+3b 
 
 
4. 3a3-3a2b+9ab2-a2+ab-3b2 
 
9. a3+a2+a+1 
 
 
 
 
5. 3x3+2axy+2ay2-3xy2-2ax2-3x2y 
 
10. 3-x2+2abx2-6ab 
 
 
 
3. Factorización de una diferencia de cuadrados. 
Para una Diferencia de Cuadrados, los dos términos que lo forman tienen raíces cuadradas 
exactas, al factorizar se forman los Binomios Conjugados. 
Recuerda el modelo matemático para el producto notable de dos binomios conjugados del 
que se obtiene la fórmula: 
(x + y )(x - y) = x2 – y2 
Ésta nos proporciona una diferencia de cuadrados. 
Aplicando la propiedad de identidad, se puede observar que una diferencia de cuadrados 
también se representa como un producto de dos binomios conjugados: 
x2 – y2 = (x + y) (x - y) 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
51 
 
Nota: Nuevamente se aprecia que la factorización es una operación inversa a la del 
desarrollo de un producto notable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diferencias de cuadrados con coeficientes enteros. 
9a4 – 25b6 = 
 Se extrae raíz cuadrada de ambos términos para representar la diferencia de 
cuadrados según el modelo: 
9a4 – 25b6 = [3a2]2 – [5b3]2 
 
 Con estas raíces se escribe el producto de binomios conjugados. 
 (3a2 + 5b3) (3a2 – 5b3) 
Diferencia de cuadrados con coeficientes racionales. 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
52 
 
Ejercicio No.1 Factoriza en dos factores 
1. x² -49 16. x2 - 9/100 
2. 81 – x² 17. a2 - 36/49 
3. 18. x6 - 4 
4. 19. y4 - 1/4 
5. 20. 81/16 - a10 
6. 21. x8 - 9/100 
7. x2 - 4 22. -x2 + 4 
8. a4 – 64 23. -16 + x2 
9. 49 - b6 24. - 4/9 + a6 
10. x8 - 4 25. - 81 + y4 
11. x2 - y2 26. 36x2 - a6b4 
12. b2 - 1 27. x2y4 - 1/4a2 
13. x2 - 9/25 28. 49x8 - 9/100 y6z2 
14. y2 - 1/4 29. a4b10 - 144x6 
15. 81/16 - a2 30. 0.25a4b6 - x2y8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
53 
 
4. Factorización de trinomios cuadráticos (Trinomios cuadrados 
perfectos, Trinomios de la forma x2+bx+c y Trinomios de la forma 
ax2+bx+c). 
T.C.P. (Trinomio Cuadrado Perfecto) 
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto deben estar ordenados los términos respecto a 
los exponentes de mayor a menor o inversamente y posteriormente es necesario: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado de la factorización: 36x2+4x+4 = (6x+2) (6x+2) o (6x+2)2 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
54 
 
Visualización de la fórmula para un binomio al cuadrado y para su trinomio cuadrado 
perfecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1. Identificar si son trinomios cuadrados perfectos 
1. 144m2-72mp+9p2 
2. 125x2+40xy+16y2 
3. 25a2+24ab+4b2 
4. 121f2-22fg+g2 
5. 4x2+40xy+100y2 
6. 64x2-40xy+16y2 
7. 49a2+42ab+4b2 
8. 4-x2-4x 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
55 
 
 
 
Ejercicio No.2 Factoriza en dos factores 
1. x2 − 2x + 1 2. x2 + 6x + 9 
 
3. x2 − 6x + 9 4. x2 − 2x + 1 
 
5. x2 − 20x + 100 6. x2 + 2x + 1 
 
7. x2 + 10x + 25 8. x2 + 8/3 x + 16/9 
 
9. x2 + 14x +49 10. x2 - 10x + 25 
 
11. 4 – 4x + x2 12. x + x2 + ¼ 
 
13. 4x2 + 12x + 9 14. 9x2 + 30x + 25 
 
15. x2y2 + 8xy +16 16. x6 + 10x3 + 25 
 
17. 25m2 – 10mn + n2 18. 4x2 + 4xa3 + a6 
 
19. m2n2 + 10mn + 25 20. 25x6 + 10 x5 + x4 
 
21. 36x2 – 72x + 81 22. 1/4b6 + x4a2 - x2ab3 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
56 
 
23. 9m2 + 12mn + 4m2 24. -x2 + 6x - 9 
 
25. m2 + 4mn + 4n2 26. a2 + 14a + 49 
 
27. 9x4 – 30x3y + 25xy 28. x4 + 16x2y4 + 64y8 
 
29. 16m8 – 64m5n – 64m2n2 30. a4x4 + a8x4 + 4a6x6 
 
31. 49a2 + 14a + 1 32. 9x2 + 30x + 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
57 
 
Factorización de trinomios de la forma x2+bx+c 
Regla para conocer un trinomio de la forma x²+bx+c: 
 Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (El 1 no se 
escribe, y así lo diferenciamos del T.C.P.). 
 No siempre el tercer término, se le podrá sacar la raíz cuadrada (Es otra razón para 
diferenciarlo del T.C.P.). 
 Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la 
raíz cuadrada del término . 
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del 
segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. 
Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea 
igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor 
absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios. 
Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia 
sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor 
absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer 
factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor 
binomio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.aulafacil.com/uploads/cursos/750/editor/2902_20131025213709.jpg
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
58 
 
Ejemplo explicativo: 
 
 
 
Ejercicio No.1 Factoriza en dos factores 
1. x2 + 5x + 6 2. x2 – x - 6 
 
3. x2 – 11x + 24 4. x2 – 9x + 8 
 
5. x2 + x – 20 6. x2 + 5x + 6 
 
7. x2 – 6x – 27 8. x2 + 6x + 5 
 
9. x2 + 3x - 10 10. x2 + 2x + 1 
 
11. x2 – 13x – 30 12. x2 + 10x + 16 
 
13. x2 + 5x + 6 14. x2 + 8x + 16 
 
15. a2 – 2 a –15 16. x2 – 5x – 14 
 
17. n2 – 6 n – 40 18. x2 – 11x – 42 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
59 
 
19. x2 - 8x +15 20. x2 – 2x – 63 
 
21. c2 + 5c - 24 22. x2 – 10x + 25 
 
23. c2 + 5c - 24 24. x2 – x – 72 
 
25. x2 + 7x + 10 26. x2 + 8x + 15 
 
27. x2+ 4x - 21 28. n2 + n – 20 
 
29. x2 + 5x + 6 30. x2 – x – 6 
 
31. x2 – 11x + 24 32. x2 – 9x + 8 
 
33. x2 + 4x + 3 34. x2 + 5x + 6 
 
35. x2 - 6x - 40 36. y2 - 6y – 72 
 
37. m2 – 12m + 27 38. x2 – 25x + 100 
 
39. x2 - 2x – 24 40. y2 + 16y – 80 
 
41. x2 + 20x + 75 42. m2–11m–12 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
60 
 
Factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c 
Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características: 
 El coeficiente del primer término es diferente de 1. 
 La variable del segundo término es la misma que la delprimer término, pero con 
exponente a la mitad. 
 El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo 
términos del trinomio. 
 
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, existen varias formas, a continuación, se 
describirá dos de ellas: 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
61 
 
 
 
 
 
 Ejercicio No.1 Factoriza en dos factores 
1. 6x² -7x -3 2. 4x² - 7x – 2 
 
3. 3x² -5x -2 4. 9x² - 81x + 50} 
 
5. 6a²x² +5ax -21 6. 18x² - 17x -187 
 
7. 5m² +13m -6 8. 25x² + 30x + 9 
 
9. 6y² +7y +2 10. 6x² - x – 2 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
62 
 
11. 2x² +3x -2 12. 2x² +11x + 9 
 
13. 4n² +15n +9 14. 5x² - 10x – 15 
 
15. 44z +20z² -15 16. 16x² + 8x + 1 
 
17. 6y4+5y2-6 18. 10x² + 16x – 8 
 
19. 15x4 - 23x2 + 4 20. 10x² - 13x – 3 
 
21. 6x² - 7x – 3 22. 15x² - 29x – 14 
 
23. 20x² +7x -6 24. 2x² + 12 x + 18 
 
25. 18x²- 13x -5 26. 4x² - 4x + 1 
 
27. 2x² + 3x - 2 28. 4x² + 44x + 72 
 
29. 5a2-8a+3 30. 4a2-8x+3 
 
31. 3x2+20x+25 32. 7x2-9x+2 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
63 
 
5. Factorización de una suma y de una diferencia de cubos. 
Primer paso. Identificar que existan dos términos. 
Segundo paso. Identificar si los términos tienen raíz cubica exacta. Un término es cubo 
perfecto cuando tiene raíz cúbica exacta. 
Esto lo podemos ver en los siguientes ejemplos: 
 = 3 3 es la raíz cúbica exacta de 27, porque 33 = 27 
 = 6 6 es la raíz cúbica exacta de 216, porque 63 = 216 
 = x2 x2 es la raíz cúbica exacta de x6, porque [x2]3 = x6 
 = 2x3 2x3 es la raíz cúbica exacta de 8x9, porque [2x3]3 = 8x9 
“La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de 
sus raíces cubicas y el segundo se descompone del cuadrado de la primera raíz menos el 
producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz”. 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
64 
 
Ejemplo 
w3 + 125 = 
 = w 
 La raíz cúbica de los términos. = 5 
 El cuadrado de la primera raíz (w)2 = w2 
 El producto de ambas raíces (w)(5) = 5w 
 El cuadrado de la segunda raíz 52 = 25 
 Por lo tanto: w2 + 125 = (w + 5) (w2 – 5w + 25) 
Ejemplo. 64x6 + y3 = 
 = 4x2 
 La raíz cúbica de los términos: = y 
 El cuadrado de la primera raíz (4x2)2 = 16x4 
 El producto de ambas raíces (4x2) (y) = 4x2y 
 El cuadrado de la segunda raíz (y)2 = y2 
 Por lo tanto, 64x6 + y3 = (4x2 + y) (16x4 – 4x2y + y2) 
“La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la 
diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz 
más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz”. 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
65 
 
Ejemplo 
w3 - 125 = 
 = w 
 La raíz cúbica de los términos. = 5 
 El cuadrado de la primera raíz (w)2 = w2 
 El producto de ambas raíces (w)(5) = 5w 
 El cuadrado de la segunda raíz 52 = 25 
 Por lo tanto: w2 + 125 = (w - 5) (w2 + 5w + 25) 
Ejemplo. 64x6 - y3 = 
 = 4x2 
 La raíz cúbica de los términos: = y 
 El cuadrado de la primera raíz (4x2)2 = 16x4 
 El producto de ambas raíces (4x2) (y) = 4x2y 
 El cuadrado de la segunda raíz (y)2 = y2 
 Por lo tanto, 64x6 + y3 = (4x2 - y) (16x4 + 4x2y + y2) 
 
Ejercicios para la clase: 
I. Encuentra las dimensiones de la siguiente figura para las cuales se conoce el área y uno 
de sus lados 
 
 
 
 
 
II. Escribe el elemento que falta en el proceso de factorización: 
 
1) p3 +27 = ( p+3 ) ( ___- 3p +9) 
 
2) 27x3-y3 = (3x-____ ) ( ___ +3xy+y) 
 
3) x9 + 125 = ( ___ +5) ( ____-5x3+25) 
 
4) 8x3-64n9 = ( 2x -____ ) ( 4x2 +___ + ___) 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
66 
 
Ejercicio 1. Descomponer en dos factores 
1. x3 – y3 2. a3–125 
 
3. 1 – a3 4. 1–216m6 
 
5. x3 + y3 6. 8a3+27b6 
 
7. m3+n3 8. x6 + b9 
 
9. a6 – 1 10. 8x3–27y9 
 
11. y3 + 1 12. 1+343n3 
 
13. y3–1 14. 64a3–729 
 
15. 8x3–1 16. a3b3 – x6 
 
17. 1–8x3 18. 512+27a3 
 
19. x3–27 20. x6 – 8y12 
 
21. a3+27 22. r9 – 8s6 
 
23. 8x3+y3 24. 1 + 729x6 
 
25. 27a3–b3 26. x9 – 1 
 
27. 64+a6 28. 27x3+64 
 
 
Recuerda 
Recuerda siempre primero sacar cualquier factor común. 
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b) (a2 – ab + b2) 
Un binomio de la forma a3 – b3 puede factorizarse como (a – b) (a2 + ab + b2) 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
67 
 
6. Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita (Con coeficientes 
enteros). 
Ecuación 
Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y 
que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. 
Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. 
Así 5x + 2 + = 17 es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la 
x, y ésta igualdad sólo es verdadera para el valor x = 3. 
Miembros 
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la 
izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro a la expresión que está 
a la derecha. 
Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3 el primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro es 
2x – 3. 
Resolución de una ecuación 
Resolver una ecuación es hallar sus raíces; o sea el valor o los valores de las incógnitas que 
satisfacen la ecuación, es decir, buscar los valores de las incógnitas para los que se vuelve 
verdadera la igualdad. 
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz o una solución 
única que satisface la ecuación, es decir, la variable sólo toma un valor que satisface a la 
ecuación. 
Transposición de términos 
Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro. 
 
Regla: cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro 
efectuando la operación contraria a la que originalmente realizaba. 
1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad positiva o 
negativa, la igualdad subsiste. 
2. Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma cantidad positiva o 
negativa, la igualdad subsiste. 
3. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad 
positiva o negativa, la igualdad subsiste. 
4. Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad positiva o 
negativa, la igualdad subsiste. 
5. Si a los dos miembros de una ecuación se elevan una misma potencia o si a los dos 
miembros se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste. 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
68 
 
Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita 
Regla General 
1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. 
2. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro los términos que 
contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 
3. Se reducen los términos semejantes en cada miembro. 
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el 
coeficiente de la incógnita. 
 
Ejemplo: 
Resolver la ecuación 3x – 5 = x + 3. 
1. Pasando x al primer miembro y -5 al segundo, cambiándoles los signos, tenemos: 
3x –x = 3 + 5. 
2. Reduciendo términos semejantes en el primer y segundo miembro tenemos que para 
3x – x = 2x y para 3 + 5 = 8, por lo tanto nos queda: 2x = 8. 
3. Despejando x para lo cual dividimos los dos miembros de laecuación entre 2 
tenemos: 
 y simplificando x = 4. 
 
Verificación 
La verificación es la prueba de que un valor obtenido para la incógnita es correcto. Se 
realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación dada la incógnita por el valor 
obtenido, y si éste es correcto, la ecuación dada se convertirá en identidad. 
Para el ejemplo anterior si sustituimos el valor de 4 en la incógnita tenemos: 
 3(4) – 5 = (4) + 3; 
12 – 5 = 4 + 3; 
7 = 7; por lo que realizando las operaciones obtenemos que es verdadera la identidad. 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
69 
 
Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. 
1. 4x + 1 = 2 2. y – 5 = 3y – 25 3. 5x + 6 = 10x + 5 
4. 9y – 11 = -10 + 2y 5. 21 – 6y = 27 – 8x 6. 11x + 5x – 1 = 65x – 
36 
7. 2x + 5x = 32 + 3x 8. 4x -23 = 4 – 3x + 11 9. 16 + 7x -5 = 11x – 3 – 
x 
10. 5y + 6y – 81 = 4y -31 11. 23x + 3 -5x = 3x + 20 12. 8x + 9 – 12x = 4x – 13 
– 5x 
13. 2x - 9 – 10x = 4x – 23 – 
5x 
14. 3x - 9 + 2x = 12 -4x – 
5x 
15. 4z + 9 – 2z = 14z – 13 
– 15z 
16. 3v + 101 – 4v – 33 = 108 – 16v - 100 17. 16 + 7y – 5 + y = 11y – 3 – x 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
70 
 
18. 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 
657x 
19. 8y – 15y – 30y – 51y = 53y + 31y – 
172 
20. 15x - (6 - 6x) – 2x – (x + 3) - 3x = 5 – (7x + 23) - 4x + (3 – 2x) - 7 
 
7. Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una 
incógnita. 
Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre 
cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una 
ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos. 
Para resolver un problema planteado, se procede como sigue: 
1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 
2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la misma 
variable. 
3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación 
algebraica. 
4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las cantidades 
requeridas. 
5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la 
ecuación algebraica. 
Ejemplo: 
La suma de las edades de Pedro y Juan es de 84 años, si Juan tiene 8 años menos que la de 
Pedro. Hallar ambas edades. 
1. Sea x = edad de Pedro 
2. Como Juan tiene 8 años menos que Pedro, entonces: edad de Juan = x – 8. 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
71 
 
3. El problema nos dice que la suma de las edades es igual a 84 años; luego tenemos la 
ecuación: x + (x – 8) = 84 
4. Resolviendo: x + x = 84 + 8 
2x = 92 
 x = 92/2 
 x = 46 años; por lo tanto, Pedro tiene 46 años y Juan tiene 38 años. 
5. Verificando los resultados, obtenemos que la suma de la edad de Pedro = 46 años 
más la edad de Juan = 38 años es igual a 84 años, por lo que se cumple la condición 
dada del problema. 
 Ejercicio 2. Encuentra la solución de los siguientes problemas. 
1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determina el número. 
2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número. 
3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número. 
4. El triple de un número disminuido en 19 es 53, determine el número. 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
72 
 
5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces él mismo. Encuentre 
el número. 
6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número aumentado en 
24. Obtenga el número. 
7. Un número es igual al cuádruplo de otro y la suma de ambos es 80. Halle los 
dos números. 
8. Un número es igual a 7 veces el otro, y la suma de ambos es 176. Halle los 
dos números. 
9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga 
los números. 
10. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos números si su 
suma es 280. 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
73 
 
11. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al doble del 
mayor. Encuentre los números. 
12. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos números si el 
cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor. 
13. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Obtenga los 
números. 
14. Entre Ana y José tienen 1 154 pesos, si José tiene 506 menos que Ana. ¿Cuánto 
tiene cada uno? 
15. María tiene 14 años menos que Pablo y ambas edades suman 56 años. Obtenga 
las edades de cada uno. 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
74 
 
8. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 
(Métodos de: eliminación, sustitución e igualación) y planteamiento de 
problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales. 
 
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor numérico de todas sus 
incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema; para dicha resolución existen 
varios métodos, sin embargo, en este primer semestre solamente se abordará el método de 
eliminación, el método de sustitución y el método de igualación. 
Método de eliminación (También conocido como método de reducción o método de 
suma y resta): 
Pasos: 
1. Ordenar las ecuaciones de tal forma que se encuentre el coeficiente con x, el coeficiente 
con y, el coeficiente sin letra. 
2. Cuando los coeficientes de una misma letra no pueden ser cancelados directamente, 
multiplica cada ecuación por el coeficiente de la otra ecuación cuidando que sean los 
coeficientes de una misma incógnita y además al final queden con signos cambiados. 
3. Suma / resta los términos semejantes de ambas ecuaciones. 
4. Resuelve la ecuación lineal resultante. 
5. Sustituir el valor encontrado de una incógnita en las ecuaciones originales para encontrar 
el valor de la segunda incógnita. 
 
 
 
 
Método de sustitución: 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
75 
 
Pasos: 
1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones. 
2. Sustituir la expresión equivalente de la ecuación despejada del paso 1 en la otra 
ecuación. 
3. Resolver la ecuación lineal resultante del paso 2. 
4. Sustituir el valor encontrado de una incógnita en la ecuación despejada del paso 1 para 
encontrar el valor de la segunda incógnita. 
 
 
 
 
 
Método de igualación: 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
76 
 
Pasos: 
1. Despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. 
2. Igualar las ecuaciones despejadas del paso 1. 
3. Resolver la ecuación lineal resultante del paso 2. 
4. Sustituir el valor encontrado de una incógnita en las ecuaciones despejadas del paso 1 
para encontrar el valor de la segunda incógnita. 
 
 
 
 
Ejercicio de ejemplo resuelto por los 3 métodos por el docente. 
Resuelve el sistema de ecuaciones formado por 2x + 4y = 16 , 3x – y = 3 
Respuestas: x=2 , y=3 
 
 
 
 
Ejercicio No. 1 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
77 
 
Resuelve los siguientes sistemas por el método que elijas . 
2x+y = 3 
5x+3y = 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4x-7y= -10 
3x+2y = 7 
8x-3y = 5 
5x-2y=4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x + y = -2 
6x-5y= 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x= 3-4y 
y=2+5y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10x-3= y 
Y=5x+1 
3x+y-5=0 4x-7y+1=0 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
78 
 
2y=10-6x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8x= 14y-4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio No.2 
Plantea el sistemade ecuaciones en cada problema (NOTA: No resolver el problema, 
solamente obtener el planteamiento del sistema de ecuaciones). 
1.- Se tiene que 5kg de almendra y 4 kg de 
nuez cuestan 44 pesos, mientras que 8 kg de 
almendra y 6kg de nuez cuestan 69 pesos. 
Encuentra el precio por kilogramo de cada 
producto. 
 
 
 
 
 
 
2.- En un juego de futbol se vendieron 10,000 
boletos. El precio de los boletos en la sección 
numerada fue de 40 pesos y en la general de 15 
pesos. El ingreso total obtenido fue de 310,000 
pesos. Determina cuántos boletos se vendieron 
en la sección numerada y cuántos en la general. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Un avión avanza con rapidez de 600 millas 
por hora con el viento a favor y con una 
rapidez de 560 millas por hora con el viento en 
contra. Calcula la rapidez del viento. 
 
 
 
4.- Un comerciante pagó 110 pesos por 20 
artículos de papelería entre cuadernos y 
bolígrafos. Si cada cuaderno cuesta 7 pesos y 
cada bolígrafo 2 pesos, ¿Cuántos cuadernos 
compró? 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.- El señor Paco tiene 40 años y su hijo Hugo tiene 10 años. ¿Qué edad tendrá cada uno cuando 
la edad de Paco sea el triple de edad que Hugo?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
80 
 
 
Fuentes de consulta 
 
Básica 
Bello, I. (1999). Algebra elemental. México: Thompson 
Cuellar C., J. A. (2004). Algebra. México: Mc Graw. Hill 
 
Complementaria 
Gobran, A. (2003). Algebra elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 
Martínez, Miguel Ángel. (1996). Aritmética y Algebra. México: Mc Graw Hill. 
Ortiz Campos, Francisco José (1999). Algebra (Matemáticas I). México: Publicaciones 
Cultural. 
García Juárez, Marco Antonio, (2013) Cuadernos de ejercicios: Baldor, México, Grupo 
Editorial Patria. 
 
 
 
 
 
Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Esc. Prepa. “Nazario Víctor Montejo Godoy” 
Esc. Prepa. “Lic. Ermilo Sandoval Campos” 
 
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Para los que enseñan y para los que aprenden 
ING. ARTURO SANTANA PINEDA