Teoría de Conjuntos

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Trujillo “Mario Briceño Iragorry”
Núcleo “Barbarita de la Torre”
Trujillo – Edo – Trujillo
Unidad Curricular: Matemática I
TEORIA DE CONJUNTOS
Elaborado por:
Ojeda R. Rosimar C.
V-27.466.011
Programa de Formación Nacional en Informática
Trayecto I – Trimestre II
Abril, 2022
Teoria de Conjuntos
Definición Técnica
 La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas (y de la lógica) que se dedica a estudiar las características de los conjuntos y las operaciones que pueden efectuarse entre ellos.
 Se dice que un conjunto es una colección de objetos. Se puede entender que el conjunto está constituido por una multiplicidad de objetos, y estos a la vez se consideran una unidad. A los objetos suele llamárseles elementos del conjunto. 
 Prácticamente todo objeto puede llegar a formar un conjunto, por ejemplo, un conjunto de conjuntos, todos objetos, excepto las colecciones.
 Lo que estudia la teoría de conjunto son los objetos que pertenecen a estos. Se cumplen los siguientes postulados:
1. Si  no tiene elementos, entonces  es un objeto que estudia la teoría de conjuntos.
2. Si  es un conjunto, entonces es un objeto que estudia la teoría de conjuntos.
3. Los únicos objetos de la teoría de conjuntos son antes descritos en los incisos 1 y 2.
 Es decir, la teoría de conjuntos es un área de estudio enfocada en los conjuntos. Por tanto, se encarga de analizar tanto los atributos que poseen, como las relaciones que pueden establecerse entre ellos. Es decir, su unión, intersección, complemento u otro.
 Debemos recordar que un conjunto es una agrupación de elementos, ya sean números, letras, palabras, funciones, símbolos, figuras geométricas u otros.
 Para determinar un conjunto se suele definir la característica que tienen en común sus elementos. Por ejemplo, un conjunto A con los números enteros, positivos y pares menores a 20.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
 Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves:  , siendo irrelevante el orden. Se puede hacer de dos maneras:
· Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
· Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.
Para representarlos gráficamente se usan los llamados diagramas de Venn.
Operaciones de Conjuntos
· Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.
· Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como, es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.
· Complementario: El complementario de un conjunto A es el conjunto  (o bien,) que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.
· Diferencia: La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el conjunto  que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
· Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto  con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
· Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto  de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.
Elementos Básicos de Conjuntos
 En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto o familia.
Simbología utilizada en Teoría de Conjuntos
· : Se lee "pertenece a"
· : Se lee "no pertenece a"
· : Se lee "está incluido en"
· : Se lee "está incluido en o es igual a"
· : Se lee "unión"
· : Se lee "intersección"
Operaciones de Unión y de Intersección
 La unión e intersección de conjuntos son las operaciones más reconocidas y utilizadas, en relación a la teoría de conjuntos. En base a ellas, combinándolas o no, resolverás algunas situaciones problemáticas que de otro modo serían realmente complejas.
Unión de Conjuntos
 Dados los conjuntos A y B, la unión de A y B es:
 La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca a B.
 La operación de unión es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro:
· Conmutativa: 
· Asociativa: 
· Elemento Neutro: 
 La unión de dos conjuntos presentada anteriormente puede extenderse a varios conjuntos así la unión de un número finito de conjuntos viene dada por “uniones sucesivas”…
 Debido a la propiedad asociativa cualquier orden de “emparejamiento” para realizar la unión conduce al mismo resultado. La unión de conjuntos puede generalizarse también para contemplar la unión de un número infinito de conjuntos . En ese caso se define:
Intersección de Conjuntos
 Dados dos conjuntos A y B, se define intersección como:
 La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y que x pertenezca a B.
 La operación intersección es conmutativa, asociativa, tiene elemento neutro e inverso:
· Conmutativa: 
· Asociativa: 
· Elemento Neutro: 
· Elemento Inverso: 	donde representa el concepto “complementario”
 Hay unas propiedades que se cumplen entre las intersecciones y las uniones.
 
 (Propiedad distributiva respecto de la unión).
 (Ley de absorción)
 La intersección de dos conjuntos puede extenderse a un número cualquiera de conjuntos
 Debido a la propiedad asociativa cualquier orden de “emparejamientos” para realizar la unión conduce al mismo resultado. La unión de conjuntos puede generalizarse también para contemplar la unión de un número infinitos de conjuntos En ese caso se define
 Para terminar, dos conjuntos se llaman disjuntos si su intersección es nula.