Accidentes financieros y series de Valores

Vista previa del material en texto

2 
2.1 GENERALIDADES 
Esta unidad contempla un temario especializado en opciones para 
estructurar modalidades de crédito o, fondos de amortización o de 
inversión: 
 
2.1.1 Resultados de aprendizaje e indicadores de desempeño 
 
RESULTADOS DE APRENDIZAJE: 
 
Resolver operaciones de inversión d financiamiento, con series de 
valores, para estructurar la colocación de excedentes y cubrir las 
necesidades de capital. 
 
INDICADORES DE DESEMPEÑO: 
 
 
1. Identifica los conceptos, las variables y modalidades de las 
negociaciones con tasas equivalentes, accidentes financieros y series de 
valores 
2. Reconoce las relaciones entre las variables y procedimientos asociados 
a las tasas equivalentes, y las tablas de amortización y fondos de amortización, 
empleadas en la solución de casos con accidentes financieros y/o series de 
valores. 
3. Construye las tablas de amortización y fondo de amortización, según el 
caso, para dar respuesta a casos de inversión y de crédito que involucren 
equivalencia entre tasas, accidentes financieros y/o series de valores. 
4. Sustenta las decisiones a tomar en inversión y/o crédito, donde se 
emplee la equivalencia entre tasas, y cuotas con accidentes financieros y/o 
series de valores. 
 
2.2 Tasas Equivalentes 
 
Las tasas de interés llevan consigo tres características, explícitas o 
implícitas cuando se pactan. 
 
Dos tasas son equivalentes, si con distintas características, producen 
un mismo resultado. Al comparar tasas para elegir entre varias, se 
requiere unificarlas en sus tres características como son: 
Presentación, Periodicidad y Vencimiento. 
 
Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación 
(nominal y efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o 
diferente vencimiento (vencida y anticipada) y que produzcan el 
mismo efecto, resultando indiferente invertir a la una o a la otra. 
 
Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de 
una tasa, ya que para poder comparar dos de ellas, se requiere que 
estén dadas con la misma presentación, periodicidad y vencimiento. 
 
2.2.1 Características y equivalencias de tasas. 
 
Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una 
característica a una tasa de interés, tenga presente que éstas fórmulas 
solo le cambian una y solo una característica. 
 
2.2.1.1 Presentación 
 
Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su 
presentación: nominales (j) o efectivas (i) y se debe aprender a 
reconocerlas de acuerdo con la expresión utilizada. 
 
El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas o funciones 
personalizadas: 
efectiva_a_nominal (J) = m * i; nominal_a_efectiva (i) = J / m. 
 
Donde i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. Estas fórmulas o 
funciones, aplican tanto para las vencidas como para las anticipadas. 
 
Si una tasa efectiva anticipada se va a convertir a nominal, entonces 
la efectiva_a_nominal entregará una nominal anticipada, en caso 
contrario producirá una vencida. Igual ocurre con la 
nominal_a_efectiva. 
 
EJEMPLO: Qué tasa trimestral es equivalente al 36% ATV?. 
 
SOLUCION: nominal_a_efectiva (i) = 36% / 4 = 9% trimestral. 
 
2.2.1.1.1 Expresiones que definen las tasas nominal y efectiva. 
 
Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para 
enunciar una tasa nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa 
de interés pactada lleva consigo tres propiedades como son: 
PRESENTACION (Nominal o efectiva), PERIODICIDAD (Diaria, 
mensual, trimestral, etc.) Y VENCIMIENTO (Anticipada o vencida). 
 
 
 
 
 
Expresiones que definen las TASAS 
Nominal (j) Efectiva o periódica (i) 
a) 36% nominal anual, capitalizable 
mensualmente. 
b) 36% nominal capitalizable mensualmente 
anticipada. 
c) 
a) 2% efectiva mensual 
vencida. 
b) 3% efectiva 
trimestral 
a) 36% capitalizable mensualmente. 
b) 24% convertible trimestralmente 
c) 20% liquidable semestralmente. 
 
f) 2% mensual 
g) 5% semestral 
h) 28% anual 
i) 36% AMV; 36% ASV; 40% ATA; 38% ATV. 
j) 36% MV; 36% SA; 30% MA 
k) 
a) 2% EMV, 18% ESA; 
25% E.A. 
 
2.2.1.2 Periodicidad 
 
En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada cuánto 
tiempo el interés se convierte en capital. Entonces puede ser diaria, 
mensual, bimestral, trimestral, etc. 
 
* OJO, para cambiar periodicidad se requiere partir de una 
tasa efectiva y vencida; en caso de no estarlo, habrá que 
realizar las conversiones del caso, antes de aplicar el 
ifinal. 
 
Utiliza la siguiente fórmula (o función personalizada en Excel): ifinal = 
(1 + iinicial) ^ (minicial / mfinal) – 1. Donde ifinal es la tasa efectiva 
vencida a calcular con nueva periodicidad; mfinal es el número de 
capitalizaciones en un año de la tasa a calcular; iinicial es la tasa 
efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, y minicial es 
el número de capitalizaciones de iinicial. EJEMPLO: 
 
¿Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral? 
 
SOLUCION: ifinal = (1+15%) ^ (2 / 12) – 1 = 0.023567=2.3567% 
mensual. 
2.2.1.3 Vencimiento 
 
 Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el tiempo, 
la tasa podrá negociarse con pago de intereses anticipados o 
vencidos. Para cambiar el vencimiento de una tasa se utilizan las 
siguientes fórmulas o funciones: 
 
vencida_a_anticipada (ia) = i / (1 + i); 
 
anticipada_a_vencida (i) = ia / (1 - ia) 
 
EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA? 
 
SOLUCION: Como se parte de una tasa nominal y anticipada, para 
cambiar la periodicidad, de trimestral a semestral, se debe primero 
cambiarla a efectiva y luego a vencida para poder utilizar la ifinal. 
 
nominal_a_efectiva (ia) = 42% / 4 = 10.5% trimestral. 
 
anticipada_a_vencida (i) = 10.5%/(1-10.5%) = 11.73184% trimestral. 
 
ifinal = (1+11.73184%) ^ (4/2) – 1 = 24.84% semestral. 
 
*OJO, para cambiar vencimiento se requiere partir de una 
efectiva. 
 
NOTA: En una expresión donde no se diga que la tasa es 
anticipada se debe entender como vencida. 
 
2.3 Valores independientes 
 
A diferencia de las operaciones de diagramas simples, 
corresponden a flujos de dinero con más de una entrada y/o más de 
una salida de dinero, y en ellos, los montos de las cuotas y/o sus 
vencimientos no cumplen con las condiciones para ser una serie de 
valor, es decir, que no alcanzan a ser anualidad o gradiente. 
 
Dicho de otra forma, se caracterizan porque entre sus valores puede 
NO existir relación alguna y/o no ocurren con una frecuencia fija, 
como sí es el caso de las series de valores. Ejemplo: Supongan una 
operación de crédito en la cual los pagos se realizan así: 
 
Meses 1 2 5 12 
Pagos $600.000 $550.000 $500.000 $300.000 
 
Esa sería una serie de valores independientes, pues los valores no 
son periódicos ni obedecen a una relación de uniformidad o 
variabilidad como en las series de valores que estudiaremos a 
continuación. 
 
Esta otra que se muestra a continuación, a pesar de tener frecuencia 
periódica (valores mensuales), NO califica como serie de valor, por 
cuanto los valores NO tienen relación alguna entre sí, luego sigue 
perteneciendo a valores independientes o accidentes financieros. 
 
Meses 1 2 3 4 
Pagos $600.000 $550.000 $500.000 $300.000 
 
En tanto esta otra que verán seguidamente, a pesar de que sus 
valores están relacionados, pues todos ellos son de un mismo valor, 
NO tiene periodicidad uniforme en sus vencimientos, por ello 
también cuenta como valores independientes. 
 
Meses 1 8 15 17 
Pagos $600.000 $600.000 $600.000 $600.000 
2.4 Series de valores 
 
Se caracterizan por ser series periódicas con valores que guardanalguna relación y pueden ser Anualidades o Gradientes: 
 
2.4.1 Anualidades 
 
Son series de valores, los cuales, además de ser periódicos deben 
ser uniformes. Esta modalidad es de uso frecuente en créditos 
bancarios, donde por la naturaleza de los cálculos, en la medida en 
que se abona a capital, el interés disminuye. En la constitución de 
fondos de amortización se utiliza cuando se decide hacer depósitos 
periódicos de un mismo valor a fin de reunir una suma determinada 
al cabo de algún tiempo. 
 
Trimestres 1 2 3 4 5 
Valores $560.000 $560.000 $560.000 $560.000 $560.000 
 
Las anualidades en el gráfico siguiente se marcan con línea 
horizontal indicando cuotas de un mismo valor PAGO (para 
fórmulas se simbolizan con A), representadas por flechas de una 
misma longitud: 
 
 
 
 
 
 
2.4.2 Gradientes 
 
Serie de cuotas variables y periódicas con comportamiento de 
progresión aritmética o geométrica. 
 
 Gradientes aritméticos o lineales 
En ellos se da la periodicidad fija y los valores, además, 
varían en una suma fija $G, donde las cuotas aumentan o 
disminuyen. 
 
o Gradiente aritmético creciente 
 
 
En gradientes, la A representa el valor de la primera cuota.. 
 
o Gradiente aritmético decreciente 
 
 
 
 
En los crecientes, el valor de las cuotas aumentan en una cantidad G, 
por ejemplo en la serie de cuotas 150, 170, 190, 210, 230, el G 
Períodos de vencimiento 1 2 3 4 5 
G = $20. Aritmético Creciente $150 $170 $190 $210 $230 
G= -$50 Aritmético Decreciente $300 $250 $200 $150 $100 
equivale a 20, valor en el que se aumenta la serie. El G en los 
crecientes siempre será positivo. 
 
Al igual que en el Aritmético, con la A se representa el valor de la 
primera de las cuotas. 
 
En los decrecientes, el valor de las cuotas disminuyen en una cantidad 
G, por ejemplo en la serie de cuotas 300, 250, 200, 150, 100, el G 
equivale a menos 50, siendo 50 el valor en el que va disminuyendo la 
serie. El G en los decrecientes siempre será negativo. 
 
En todo gradiente aritmético, creciente o decreciente se cumple: 
 
1. 𝑨3 -𝑨2 = 𝑨2 –𝑨= 𝑮 
 
Esto indica que al tomar tres cuotas sucesivas de un GA, la tercera 
menos la segunda, debe ser igual a la segunda menos la primera, y el 
resultado de esas diferencias igual a G. 
 
En la serie del GA creciente citada como ejemplo: 150, 170, 190, 210 
y 230, Si tomamos tres cuotas sucesivas cualesquiera, por ejemplo 
190, 210, 230; al realizar las operaciones: 230-210 = 20 y 210-190 = 
20, se cumple lo previsto, esto es, que las diferencias son iguales y 
que precisamente equivalen al G. 
 
También podemos comprobarlo en la serie del GA decreciente del 
ejemplo: 300, 250, 200, 150, 100 y 50. Tomemos aquí los tres últimos 
valores y verifiquemos la validez de la fórmula: 
 
50-100 = -50 y 100-150 = -50, siendo G = -50 
 
2. 𝑨𝒏 = 𝑨𝒏−𝟏 + 𝑮 
 
Esto establece que cualquier cuota debe ser igual a su anterior más el 
G. 
 
En el GA creciente se cumple por ejemplo que: 
190 = 170+20 y 170 = 150+20, y así sucesivamente. 
 
En el GA decreciente aplica de igual forma: 
200 = 250+ (-50) y 100 = 150+ (-50) 
 
3. 𝑨𝒏 = 𝑨 + (𝒏 − 𝟏) ∗ 𝑮 
 
Esta relación manifiesta que la enésima cuota de la serie puede 
obtenerse al reemplazar los valores de: la primera cuota A, el G$ y el 
número de cuotas n. 
 
En el ejemplo del GA creciente: 150, 170, 190, 210, 230, 250, 270, 290 
podemos confirmar que: 
 
𝑨𝟓 = 150 + (5 − 1) ∗ 20 = 230 
 
En el decreciente: 300, 250, 200, 150, 100 encontramos que: 
 
𝑨𝟓 = 300 + (5 − 1) ∗ (−50) = 100 
 
 Gradientes geométricos o exponenciales 
 
Esta serie, además de la periodicidad fija, cumple con la 
condición de que los valores varían en una tasa fija k%. 
 
o Gradiente geométrico creciente 
 
 
 
o Gradiente geométrico decreciente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los crecientes, el valor de las cuotas aumentan en una tasa fija k%, 
por ejemplo en la serie de cuotas 100; 110; 121; 133.1 y 146.41, el 
crecimiento es en un K% igual al 10%. El K% en los crecientes siempre 
será positivo. 
 
En los GG decrecientes, el valor de las cuotas disminuyen en una tasa 
k%; por ejemplo, en la serie de cuotas 800, 400, 200, 100 y 50, el % 
en que disminuyen las cuotas es en un 50%, es decir, K = -50% = -
0.5. El K% en los decrecientes siempre será negativo. 
 
En todo gradiente geométrico, sea creciente o decreciente, se cumple: 
 
1. 
𝑨𝟑
𝑨𝟐
− 𝟏 = 
𝑨𝟐
𝑨𝟏
− 𝟏 = 𝒌% 
 
Esto indica que al tomar tres cuotas sucesivas cualesquiera (A1, A2 y 
A3) de un GG, la tercera entre la segunda menos uno, debe ser igual 
a la segunda entre la primera menos uno, y el resultado de esos 
cocientes, igual a k% 
 
Períodos de vencimiento 1 2 3 4 5 
K= 10% Geométrico Creciente $100 $110 $121 $133.1 $146.41 
K= -50% Geométrico Decreciente $800 $400 $200 $100 $50 
En la serie del GG creciente citada como ejemplo: 100; 110; 121; 
133.1 y 146.41, si tomamos tres valores sucesivos cualesquiera, por 
ejemplo empezando en 110, entonces diremos que A1 =110; A2 =121 
y A3 =133.1; al realizar las operaciones, resulta: 133.1/121 -1 = 01 que 
es 10% y 121/110 -1 = 0.1 que es 10%, se concluye entonces que 
ambos resultados son iguales al 10%, luego se cumple lo previsto, 
esto es, que se trata de una serie perteneciente a un gradiente 
geométrico y que ese resultado del 10%, corresponde al valor del 
crecimiento porcentual fijo k%. 
 
También podemos comprobarlo en la serie del GG decreciente del 
ejemplo: 
 
800, 400, 200, 100 y 50, tomemos aquí los tres valores 400, 200 y 100, 
y verifiquemos la validez de la fórmula: 
100/200 -1 = -0.5 o -50% 200/400 = -0.5, o -50% siendo entonces, 
K%.= -50% 
 
2. 𝑨𝒏 = 𝑨𝒏−𝟏 ∗ (𝟏 + 𝑲%). 
 
Esto establece que cualquier cuota debe ser igual a su anterior 
multiplicada por el factor (1+K%). 
 
En el GG creciente donde A4 =146.41, A3 =121 y A2 =110 se cumple 
que: 
121 = 110*(1+10%), que 121 = 110*(1+10%), que 146.41 = 
121*(1+10%y así sucesivamente. 
 
En el GG decreciente, donde k% = -50%, aplica de la misma forma, 
pues: 
200 = 400*(1+ (-50%), 25 = 50*(1+ (-50%)) y así sucesivamente. 
 
3. 𝑨𝒏 = 𝑨 ∗ (𝟏 + 𝑲%)
(𝒏−𝟏) 
 
Esta relación manifiesta que la enésima cuota de un GG puede 
obtenerse, al reemplazar los valores de: la primera cuota A, del k% y 
del número de cuotas n. 
 
En el ejemplo del GG creciente: 100; 110; 121; 133.1 y 146.41, 
podemos confirmar que: 
 
𝑨𝟓 = 100 ∗ (1 + 10%)
(5−1) = 146.41 
 
En el decreciente: 800, 400, 200, 100, 50 encontramos que: 
 
𝐴5 = 800 ∗ (1 + (−50%))
(5−1) = 50 
 
2.4.3 Series de valores según vencimiento de las cuotas 
 
En operaciones de inversión y crédito con series de valores, éstas 
podrán pactarse de las siguientes formas: vencidas, anticipadas, 
diferidas o perpetuas. 
 
2.4.3.1 Series Vencidas 
 
A las anualidades y los gradientes se les llama vencidos cuando sus 
cuotas vencen al final de cada período. 
 
 Anualidades vencidas 
 
 
Aquí la cuota 1 vence al final período 1, la cuota 2 al final del 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número de período) 
 1 2 3 n-1 n (número de la cuota) 
 
 -----------PAGO-------------- 
período 2 y así sucesivamente, hasta la última cuota, la 
enésima que vence en el período n. Es decir, el número del 
período y el de la cuota coinciden. 
 
 Gradientes vencidos 
 
2.4.3.2 Series anticipadas 
 
Cuando las cuotas de una serie vencen al comienzo de cada 
período, se les denomina anualidades o gradientes anticipados 
según el caso. 
 
 Anualidades anticipadas 
 
 
Aquí en las series anticipadas, la cuota 1 vence en el punto 
cero, que es el inicio del período 1, lacuota 2 al final del 
período 1 que es el inicio del período 2 y así sucesivamente, 
hasta la última cuota, la enésima que vence en el período n-
1. Es decir, el número del período es uno más que el número 
de la cuota. 
 
 
 Gradientes anticipados 
 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número de período) 
 
 1 2 3 n-1 n (número de la cuota) 
 
 
 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número de período) 
 
 1 2 3 4 n (número de la cuota) 
 ----------PAGO----------- 
 
 
 
 
 
 
2.4.3.3 Series diferidas 
 
Se refiere a los casos en los cuales la primera cuota de la serie vence 
en fecha posterior al final del primer período. De ser así se les conoce 
como anualidades o gradientes diferidos. Son las diferidas el resultado 
de períodos de gracia durante los cuales no vence cuota, pero sí se 
causan intereses. 
 
 Anualidades diferidas 
 
 
 
Mientras la primera cuota de una serie. NO venza en el cero o en el 
uno, será diferida. 
 
 Gradientes diferidos 
 
 
 
 
 
Al resolver situaciones donde el flujo posea series de valores, sean 
anualidades o gradientes, se hace posible simplificar el gráfico 
reemplazando cada serie de valores por un solo valor, fruto de la 
aplicación de las fórmulas que se estudian a continuación y cuyo 
vencimiento dependerá de la fórmula empleada. El gráfico es 
 
 0 1 2 3 n-1 n (número del período) 
 1 2 n-2 n-1 (número de la cuota) 
 
simplificable también en los casos en que aparecen en una misma 
fecha valores de ingreso y desembolso, las dos flechas se reemplazan 
por una cuyo valor será la diferencia entre el ingreso y el desembolso, 
y tendrá el sentido del mayor valor. 
 
Al resolver situaciones donde el flujo posea series de valores, sean 
anualidades o gradientes, se hace posible simplificar el gráfico 
reemplazando cada serie de valores por un solo valor, fruto de la 
aplicación de las fórmulas que se estudian a continuación y cuyo 
vencimiento dependerá de la fórmula empleada. El gráfico es 
simplificable también en los casos en que aparecen en una misma 
fecha valores de ingreso y desembolso, las dos flechas se reemplazan 
por una cuyo valor será la diferencia entre el ingreso y el desembolso, 
y tendrá el sentido del mayor valor. 
 
2.4.3.4 Series Perpetuas o Perpetuidades 
 
Series que pueden ser anualidades o gradientes y se caracterizan por 
un número de cuotas indeterminado o tan grande que se asume tiende 
a infinito. 
 
Estas series se emplean para proyectar seguros de vida y 
especialmente para valorar empresas. 
 
2.4.4 Tablas de amortización y de fondos de amortización 
 
Con la llegada de la hoja de cálculo surge una alternativa de solución 
más práctica, sencilla, con resultados más detallados, exactos y de 
rápida obtención; para ello se emplean las tablas de amortización y 
tablas de fondos de amortización en Excel. 
 
Las ecuaciones de valor constituyen un instrumento para dar solución 
a problemas de inversión o de crédito, sin embargo, con la aparición 
del Excel se tiene la opción de resolver esos mismos problemas 
empleando las tablas de amortización para los casos de crédito y las 
tablas de fondos de amortización para los casos de inversión. 
Al aprender a construir las tablas de amortización y de fondos de 
amortización como procedimiento para resolver las situaciones 
indicadas, se estudia la función Buscar Objetivo, importante función 
que resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita. 
 
Como se indicó, dependiendo de si la operación es de inversión o de 
crédito, se emplean respectivamente las tablas de: 
 
a. AMORTIZACIÓN: También conocida como PICAS, expresión que 
se forma por las iniciales de los títulos de las columnas empleadas 
en una de sus presentaciones, como son: Períodos, Interés 
ganado, Cuotas, Amortización a capital y Saldo de capital al final 
del período. Esta tabla resuelve problemas de crédito. 
 
b. FONDO DE AMORTIZACIÓN: En este caso las iniciales de los 
nombres de las columnas en el formato sugerido forman la 
expresión PIDRS. Dichas iniciales corresponden a Períodos, 
Interés, Depósitos, Retiros y Saldos. Esta tabla resuelve casos de 
inversión. 
 
2.4.4.1 Tabla de amortización para situaciones de crédito con 
accidentes financieros o Series de Valores 
 
Las tablas de amortización muestran los cambios generados período 
a período, en cuanto a intereses vencidos, abonos a capital y saldos 
finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda 
para los asientos contables, donde se deben especificar tanto la parte 
de gasto por intereses como la de disminución del pasivo. 
 
A continuación se muestra una tabla de amortización en Excel, 
indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda. 
 
 
 
Tal como se observa, la tabla de amortización contiene las 
siguientes columnas: 
 
a) Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en el cual 
se realiza el último accidente financiero. 
 
b) Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la tasa 
de interés por el saldo del período anterior y se concluye arrastrando 
la fórmula hasta el último período. 
 
c) Cuotas: Al ser las cuotas lo que se pide hallar, a la primera de ellas, 
se le identifica con color para recordar que esa será la celda incógnita. 
Si existen otras cuotas en función de la primera se formula como 
corresponda su relación en el período indicado. 
 
d) Abonos a capital: Se formula como la cuota menos el interés del 
período y se copia hasta el final de la tabla. 
 
e) Saldo: En el período cero corresponde al valor del crédito, 
descontando la cuota inicial si la hubiere. A partir del primer período 
se formula como saldo del período anterior menos el abono del 
período y se copia hasta el final. 
 
Seguidamente se resuelve el caso propuesto, mostrando con 
pantallazos el paso a paso de la formulación en la hoja de cálculo y 
verificando finalmente con las operaciones, un resultado exacto al 
obtenido mediante las fórmulas: 
Un caso de crédito para estudio: Un activo vale de contado $4.000.000 
y se financia para pagarlo con cantidades iguales en los meses 8, 10 
y 15, con un interés del 4% ETV. Calcule el valor de las cuotas. 
 
La primera fase comprende la formulación del caso planteado en la 
siguiente tabla, donde: 
 
a) Los períodos van del cero al quince, 
 
b) Los intereses se obtienen por la multiplicación de la tasa (se 
recuerda que la tasa tuvo que ser convertida de efectiva 
trimestral a efectiva mensual) por el saldo anterior, 
 
c) Las cuotas que corresponden a cifras iguales, se formulan a 
partir de la primera de ellas como celda incógnita, identificándola 
con color, y luego las restantes, en función de ella, para que 
concluido el proceso, asuma el mismo valor de la celda 
incógnita, 
 
d) Los abonos a capital son calculados como lo que resta de la 
cuota, después de cancelar los intereses del período, y 
 
e) El saldo del período cero se indica como el valor adeudado por 
quien se beneficia del crédito en el inicio de la transacción, que 
para el caso es de $4.000.000; a partir del período uno, el saldo 
será la diferencia entre el saldo con el cual inició el período, o 
saldo anterior, y el abono de capital del período. 
 
 
 
Haciendo uso de los trucos de Excel en el copiado, la formulación de 
las columnas, excepto la de las cuotas que es particular en cada 
ejercicio, se copia hasta el último de los períodos. Como resultado de 
esta formulación la tabla mostrará los siguientes valoresEstando ubicados en la celda: saldo del último período, se invoca la 
función buscar objetivo (en Windows XP se encuentra en el menú, 
herramientas; en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con 
lo cual aparece la siguiente ventana de diálogo: 
 
 
Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin 
embargo, ella muestra la celda donde nos encontramos (la del saldo 
del último período) y como es esa precisamente la celda a definir, se 
pasa al campo siguiente: “con el valor” donde se registra el valor 0, 
pues el saldo del último período deberá alcanzar ese valor una vez se 
cancele la última de las cuotas. 
 
En el siguiente campo “para cambiar la celda” se indica la dirección 
de la celda incógnita, la cual se recordará como la celda de color. 
 
Por último, al pulsar el botón de aceptar dos veces, instantáneamente 
la hoja de cálculo mostrará en la celda color el resultado. 
 
 
Nótese que este resultado es exactamente igual al obtenido con las 
fórmulas. 
 
2.4.4.2 Tablas de fondos de amortización para situaciones de 
inversión con accidentes financieros 
 
En problemas de inversión, Excel nos permite la solución con las 
tablas de fondo de amortización las cuales muestran los cambios 
generados por período, en cuanto a intereses vencidos, depósitos, 
retiros y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es 
de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben 
especificar la parte de los ingresos por intereses así como el monto de 
las inversiones (depósitos) y las desinversiones (retiros). 
 
A continuación se muestra una tabla de fondo de amortización en 
Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada 
celda. 
 
 
Las columnas y su formulación son las siguientes: 
 
a) Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en 
el cual se realiza el último accidente financiero. 
 
b) Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la 
tasa de interés por el saldo del período anterior y se concluye 
arrastrando la fórmula hasta el último período. 
 
c) Depósitos: Si se piden hallar los depósitos, el primero de ellos 
será celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente 
se registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 
 
d) Retiros: Si se piden hallar los retiros, el primero de ellos será 
celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente se 
registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 
 
e) Saldo: En el punto cero corresponde al valor del primer depósito 
y a partir del período uno resultará de sumar al saldo anterior los 
intereses y los depósitos, restándole finalmente los retiros. 
 
A continuación se estudia el procedimiento para la aplicación de la 
tabla de fondo de amortización o de PIDRS, para un caso de inversión. 
 
Un caso de inversión para estudio: Establezca un fondo de 
amortización con tres depósitos trimestrales iguales y anticipados, 
para de allí realizar dos retiros así: $1.000.000 en el mes dos y 
$2.000.000 en el mes seis. Calcule el valor de los depósitos para una 
tasa de interés del 24% MV. 
 
A continuación se muestra con pantallazos la solución al CASO DE 
INVERSIÓN propuesto, inicialmente mostrando cómo se formula en la 
tabla y luego cómo se realiza el cálculo en la misma. 
 
Obsérvese cómo se construye cada columna, a partir de su 
formulación en la tabla del fondo de amortización, de acuerdo a la 
información del caso en estudio: 
 
: 
 
Nótense los seis períodos, empezando siempre con la fecha cero; el 
interés en la inversión, formulándose de igual manera que en el 
crédito: tasa por saldo de período anterior; los depósitos y retiros en 
orden a la información del caso; el saldo inicial igualado al depósito 
inicial y a partir del primer período, el saldo calculado como saldo del 
período anterior, más intereses del período, más depósitos del 
período, menos retiros del mismo período. Esta formulación arroja los 
valores que se muestran en la siguiente tabla: 
 
 
 
Ubicados en la celda del saldo del último período se invoca la función buscar 
objetivo (se recuerda que en Windows XP se halla en el menú, herramientas; 
mientras en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con lo cual aparece 
la ventana de diálogo así: 
 
 
Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin embargo, ella 
misma sugiere sombreada, la celda donde nos encontramos (la del saldo del 
último período) y como es esa precisamente la celda a definir, pasamos al campo 
siguiente “con el valor” donde registramos el valor 0, pues el saldo del último 
período deberá alcanzar ese valor una vez se efectúe el último de los retiros. 
 
En el campo “para cambiar la celda” se indica la dirección de la celda incógnita, 
la cual corresponde a la celda de color; en el paso siguiente se da aceptar dos 
veces e inmediatamente, la hoja de cálculo arroja en la celda color, el resultado 
del depósito preguntado, tal como se observa a continuación. El valor resultante 
$967,076 es exactamente el mismo obtenido con la ecuación de valor. 
 
Solución a Casos de Series de Valores: Determine el valor de cada 
una de las cuotas mensuales iguales que cancelan un crédito por 
$20.000.000 y plazo de 1 año al 2% mensual. 
 
Solución con la función de Excel 
 
Para solucionar con funciones el caso planteado, se deben identificar, tanto las 
variables dadas como la variable incógnita. Se conocen VA, TASA y NPER, y se 
busca la variable PAGO que constituye el valor de la cuota uniforme. Se ingresa 
a la ventana INSERTAR FUNCIÓN O ARGUMENTOS DE FUNCIÓN por el icono 
de la barra de fórmulas (fx) o por el menú principal en insertar función, luego se 
elige entre las financieras la función PAGO. Se indica con clic cada dirección 
donde se encuentran los valores de cada una de las variables conocidas, 
ignorándose los campos VF (utilizado para hallar PAGO a partir de un valor futuro) 
y TIPO (variable lógica utilizada con el valor 1 para cuando los pagos se realizan 
anticipados) y se da aceptar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al pulsar en aceptar, inmediatamente se muestra en la celda escogida para el 
cálculo la cantidad -$1.891.191.93, cantidad negativa debido a que representa 
un pago o una salida, que como ya se explicaba, Excel lo toma como valor 
negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si se observa la formulación en la celda donde se realiza el cálculo esta indica: 
=PAGO(B57;B58;B56); que es otra forma de ejecutar el cálculo, expresando en 
orden: signo igual, nombre de la función, y entre paréntesis y separados con punto 
y coma las direcciones de las variables conocidas en el orden en que las exige la 
ventana “argumentos de función”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución en Excel con tabla de fondo de amortización 
 
Al darle solución con la tabla PIDRS y utilizando la función BUSCAR OBJETIVO, 
se formulan las columnas de la siguiente forma: 
 
PERÍODOS: En el caso en estudio, la transacción tiene duración de doce 
meses, por ello en esta columna se registra desde el cero hasta el doce. 
INTERÉS: Se multiplica el valor de la tasa de interés por el SALDO del período 
anterior. 
 DEPÓSITOS: Como los depósitos se inician desde el período cero y ellos son 
la incógnita, entonces a la celda del depósito de ese período cero, se le da color 
para señalarla como la celda incógnita. Así el resto de depósitos, a partir del 
período uno hasta el período siete, se formulan como: más (+), seguido de la 
dirección de la celda anterior, más (+) los $50,000 del crecimiento 
 RETIROS: Los $850,000 de cada uno de los retiros semestrales, se registran 
cada dos períodos al encontrarse la escala trimestral, desde el período dos hasta 
el período doce. 
 SALDO: El saldo del período inicial cero, se formula con el mismo valor 
registrado en el primer depósito; para los demás períodos y desde el período uno,el sado se formula como el saldo anterior, más los depósitos, menos los retiros. 
 
La formulación general es la siguiente: 
 
 
Así luce la tabla luego de ser formuladas las celdas: 
 
Una vez se tiene la tabla formulada se aplica buscar objetivo, función que 
permite calcular el valor de los depósitos. 
 
Ubicados en la celda: saldo del período doce, se invoca la función BUSCAR 
OBJETIVO, con lo cual se abre la respectiva ventana: 
 
 
Para finalizar con un saldo de $25,000,000, tal como lo exige el enunciado del 
caso en estudio, se deja el campo “definir celda” de la función buscar objetivo, 
con la dirección de la celda del saldo final; luego registramos 25000000 (sin 
separar las unidades) en el campo “con el valor” y la dirección de la celda 
incógnita en el campo “para cambiar la celda”, al hacer clic en aceptar dos 
veces, la tabla del PIDRS se muestra así: 
 
 
 
 
 
 
CASOS DE CRÉDITO 
PARA RESOLVER CON TABLAS DE AMORTIZACIÓN (PICAS) 
 
1. Al comprar a crédito un equipo, se cancela cuota inicial del 30% sobre su valor de 
contado que es de $20.000.000, se acuerda además, una tasa de interés del 
28,8% AMV y cuotas mensuales durante 5 años, las cuales crecerán anualmente 
en un 20%. Se pide calcular el valor de la cuota mensual para el primer año. 
329440 
 
2. Hace 9 meses se obtuvo un crédito por $120.000.000, para ser cancelado en 
cuatro años y medio, con cuotas ordinarias, fijas mensuales y cuotas 
extraordinarias de $10.000.000 cada una, al final de los años 1, 2, 3 y 4. La tasa 
de interés aplicada es del 1.02% mensual. Si la primera de las cuotas venció siete 
meses después de adquirido el crédito, ¿Cuánto se adeuda, después de cancelar 
la cuota que vence el día de hoy? 123789103 
 
3. Una persona adquiere un crédito de $ 50.000.000 para cancelar en cuatro años 
con cuotas mensuales y un interés del 33% nominal mensual. La primera cuota 
será de $ 155.000 la cual aumenta mensualmente en el 1,5%, durante los dos 
primeros años. ¿Qué valor deberá tener la cuota 25 para que, aumentando de ahí 
en adelante cada mes en $ 13.000, la deuda quede saldada en el tiempo 
estipulado? 5029606 
 
4. De un crédito pactado inicialmente a 5 años, realizando pagos de $5.000.000 cada 
dos meses. Hoy, después de haber cancelado la doceava cuota, deudor y 
acreedor se han puesto de acuerdo para refinanciar la deuda, de manera que el 
saldo a la fecha se cancele en los próximos 4 años con cuota fija mensual. 
Determine el valor de las nuevas cuotas, considerando que la tasa de interés 
aplicada, ha sido del 18% anual. 69962931…2006718 
 
5. Calcule el valor de los pagos a realizar para cancelar un crédito por $500 millones 
al 2% mensual a 10 cuotas fijas mensuales anticipadas. 
$ 54.571.827,00 
 
6. Un Crédito por 50 millones de pesos se obtiene al 15% ATA. Si se pactaron cuotas 
mensuales iguales de 5 millones de pesos cada una, determine el saldo adeudado 
el día de hoy, exactamente después de haber cancelado en su vencimiento, la 
cuota número diez. 3.807.975 
 
7. Se tiene un crédito por 20 millones de pesos, para cancelar con cuotas 
semestrales, al 8.5% semestral. Si las cuotas crecen al 4% durante los 6 años 
del plazo del préstamo, pactándose además, un período de gracia de 6 meses, 
donde, la primera cuota se pagará al final del primer año. De cuánto será la 
primera cuota? 2.621.740 
 
8. Se logró pactar la financiación de un proyecto por 200 millones de pesos para 
pagar a diez años, con tasa de interés del 22% EA, cuota inicial del 20% y cuotas 
mensuales que crecen anualmente en un 5%. De cuánto serán las cuotas del 
primer año? 2.658.715 
 
9. En la operación de un crédito por $100 millones al 10% ATA, a 48 meses, 
mediante cuotas extraordinarias anuales de $5 millones, la primera dentro de un 
año, y cuotas ordinarias mensuales iguales, con período de gracia de 6 meses 
(durante el período de gracia NO se vencen cuotas, pero los intereses SÏ 
capitalizan), es decir, que la primera cuota de las mensuales vencerá en el mes 
7. Indique el saldo después de pagar la cuota quinta ordinaria; el valor de los 
intereses acumulados durante el período de gracia y el último abono a capital. 
96.910.028; 6.085.468; 7,457,256 
 
10. Su empresa recibió un crédito ´por valor de $40 millones, pactado al 18% AMV 
a 5 años y cuotas bimestrales. Determine cuánto tendría que pagar al final de los 
dos años, si en esa fecha el deudor decide cancelar la deuda.28.095.983 
 
11. Para un crédito por $50 millones, con cuota inicial del 30% a 4 años, tasa del 
20% EA, cuotas ordinarias mensuales iguales y dos cuotas extraordinarias de $2 
millones, al final de los años dos y cuatro. Calcule el valor de la cuota mensual. 
965.341 
 
12. Usted adquiere una obligación que consta de tres pagarés así $300,000, 
$500,000 y $700,000 al 6,5% ETV, con vencimientos en 4, 7 y 10 meses 
respectivamente; y desea sustituirla con un banco que ofrece su equivalente en 
6 pagos mensuales iguales y pactados al 5.5% ETV ¿Cuánto será el monto de la 
cuota mensual? 226.086 
 
13. 
 
CASOS DE INVERSIÓN 
PARA RESOLVER CON TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN (PIDRS) 
 
14. Con el propósito de reunir $10,000,000 para dentro de 5 años y de retirar al final 
de cada uno de los próximos 20 trimestres $1,000,000, usted invierte hoy la suma 
de $5,000,000 en un fondo que le paga el 3% trimestral de interés. además del 
depósito de apertura se realizarán 10 depósitos trimestrales iguales empezando 
dentro de 3 meses, seguidos de 6 depósitos trimestrales iguales más, que son la 
mitad del valor de los primeros. determine el valor de los depósitos. 1.461.667. 
730.834 
 
15. Un inversionista recibe una renta mensual de $1.900.000 y decide ahorrar, en un 
fondo que le paga un interés del 28% nominal trimestral, cantidades así: el primer 
mes el 90% de la renta, el segundo mes el 90% de la primera cuota, el tercer mes 
el 90% de la segunda cuota, y así sucesivamente durante dos años, para luego 
estabilizarlas durante el tercer año. Si al final del año dos, realiza un retiro de 
$1.500.000, calcule la cantidad total que tendrá acumulada en el fondo al cabo de 
los tres años. 30.002.662 
 
16. Una persona ahorra $ 580.000 mensuales durante un año en una Institución. 
Cinco meses más tarde del último depósito, empieza a retirar cantidades 
mensuales que aumentan cada mes en el 5%. Si la le reconocen un interés del 
28% nominal trimestral el primer año y el 29,5% nominal trimestral de ahí en 
adelante, y el primer retiro es de $ 510.000, determinar el número de retiros que 
cumplen la condición de aumento del 5% respecto al retiro anterior y el valor del 
último retiro con el cual la cuenta queda en ceros. 14…629254 
 
17. Se deposita hoy la suma de $41.000.000 en un fondo que paga un interés del 27% 
nominal mensual. Durante los dos primeros meses de cada trimestre se realizan 
depósitos adicionales de $500.000 cada uno y cada tres meses se retira el 40% 
del saldo existente en ese momento. ¿Dentro de cuántos meses el saldo existente 
será de $ 4.975.220? 30 
 
18. Una institución financiera capta dinero como inversión ofreciendo pagar el 18% 
nominal trimestral, pero, a su vez hace retención en la fuente, del 1,5% por 
trimestre, sobre los intereses devengados en cada período. Hallar el total 
acumulado al cabo de siete años por una inversión inicial en esa institución de $ 
4.200.000. 14.146.473 
 
19. Su empresa abrió un fondo donde realizó depósitos trimestrales por $2.000.000 
cada uno. Este fondo reconocía una tasa de interés del 6% E.A. Hoy, cuando el 
fondo cumple tres años, se decide trasladar el monto obtenido, a otro fondo que 
paga el 12% E.A. ¿Cuánto se podrá reunir dentro de dos años en el nuevo fondo? 
32.658.168 
 
20. Se tienen a la fecha, un saldo de $4 millones en un fondo. Si se realizan depósitos 
mensuales de $100.000 cada uno, durante6 años, con cuánto dinero se podrá 
contar al final, sabiendo que el fondo paga el 14% ABA? 20.638.629 
 
21. Se requiere de $30 millones para la cuota inicial de un activo que se va a adquirir 
a crédito. Para tal fin, se realizan depósitos en un fondo que paga el 30% ATV, 
así: $2 millones el día de hoy, $3 millones dentro de 1 bimestre, $7 millones dentro 
de 3 trimestres, $2 millones dentro de un año y $6 millones dentro de año y medio. 
Con estos depósitos, cuánto se habrá acumulado para la cuota inicial? 24.505.906 
 
22. Calcular el valor del depósito que deberá efectuarse hoy en una cuenta, la cual 
reconoce un 25% ABV, con el cual se puedan hacer los siguientes retiros: $1 
millón dentro de 8 meses; $2 millones dentro de un año; la mitad de lo depositado 
al inicio, dentro de año y medio; y que dentro de dos años pueda tener aún de 
saldo,, una cantidad igual al 50% del primer depósito. 6.951.682 
 
23. Se realizan 10 depósitos trimestrales de $3 millones, en un fondo que reconoce el 
10% EA, al final de los cuales se retira el saldo y lo deposita en otro fondo que 
paga el 14% EA, durante 3 años. Cuánto se tendrá al final? 33.473.772. 
49.592.865 
 
24. ¿Con qué cantidad de dinero se deberá abrir el día de hoy una cuenta que paga 
el 25% ATV, para que de ella se puedan hacer dos retiros por valor de $2,350,000 
y $3,800,000 dentro de 6 y 18 meses, respectivamente y que dentro de dos años 
se pueda tener un saldo igual a lo que hoy se deposita? 12,289,623 
 
25. Una persona hace un depósito hoy por $5,400,000 en una primera cuenta que 
paga el 24% TV; un año más tarde deposita $2,600,000; seis meses después de 
este depósito retira dos quintos del total acumulado hasta ese momento y lo 
transfiere a otra cuenta que le reconoce el 25% capitalizable trimestralmente por 
el primer año y el 27% convertible trimestralmente de allí en adelante, ¿cuánto 
dinero habrá en cada una de las dos cuentas dos años después de abierta la 
segunda? 10,119,051; 7,004,690 
 
MÁS CASOS PARA RESOLVER 
 
(1) Una deuda contraída hace un año se pactó cancelar con dos cuotas así: 
una por $4.000.000 pagadera seis meses después de recibido el crédito y otra por 
$2.300.000 con vencimiento ocho meses después de la primera. si el deudor 
canceló oportunamente la primera cuota y desea cancelar en su totalidad la 
obligación el día de hoy, ¿cuánto deberá pagar si la operación se realizó con tasa 
de interés del 4% trimestral? 
 
(2) Establezca un fondo de amortización con 10 depósitos mensuales iguales 
y anticipados, para de allí realizar cinco retiros bimestrales de $1,000,000 cada 
uno, el primero con vencimiento dos meses después de abierto el fondo. calcule 
el valor de los depósitos para una tasa de interés del 24% MV. 
 
(3) Usted tiene asegurado el siguiente flujo de entradas de dinero, al final de 
cada uno de los próximos seis años: $2.500.000 en el primero, $2.700.000 en el 
segundo, $2.900.000 en el tercero y así, sucesivamente. Si su tasa mínima 
esperada en una inversión es del 8% semestral, ¿en cuánto estaría usted 
dispuesto a venderlo el día de hoy? 
(4) Un cliente recibe de su banco un préstamo por $30,000,000 pactando un 
interés del 2.5 % mensual para los diez primeros años y del 3% mensual para los 
cinco últimos, con plazo de quince años y cuotas mensuales variables anticipadas 
que se incrementan en un 2.5% mensual hasta la cuota 120, y disminuyen 
respecto a su anterior en $25,000 a partir de la cuota 121. Determine el valor de 
las cuotas números: uno, ciento veinte, y ciento ochenta. 
 
(5) Un fondo de inversiones le reconoce el 11% anual de rentabilidad; ¿qué 
suma igual deberá invertir en él, al final de cada mes y por un año, a fin de utilizar 
el fondo para comprar un equipo de $50.500.000 dentro de seis meses y otro de 
$52,800,000 dentro de un año? 
 
(6) Para poder cubrir el déficit de caja del próximo período, su compañía ha 
recibido un préstamo el día de hoy por valor de $75.000.000 los cuales deberá 
cancelar mediante 48 cuotas mensuales, vencidas, e iguales para cada año, pero 
con incremento anual del 3%. Realice la tabla de amortización considerando la 
tasa de financiación en el 20% T.V. 
 
(7) Una línea de fomento contempla entregar créditos al 12% BV. Si ha pactado 
uno con plazo de cuatro años, cuotas trimestrales que aumenten en $7,000 y seis 
meses de gracia (durante la gracia no se vence ni capital ni intereses, pero estos 
últimos sí se causan), de manera que la primera cuota de $350.000, se paga 
nueve meses después de recibir el desembolso; determine cuál debe ser el valor 
del crédito otorgado y de cuánto deberá ser la última de las cuotas. 
 
(8) Los ingresos mensuales de su empresa serán de $500.000 el primer mes 
y después aumentarán en $50.000 cada uno. Los costos mensuales serán el 75% 
de los ingresos. Si la empresa ahorra un 10% de sus utilidades mensuales en una 
cuenta que le rinde el 25% EA, hallar el saldo que acumulará en la cuenta al cabo 
de cinco años. 
 
(9) Se Recibe un crédito por $156.000.000, con plazo de 10 años para 
amortizarlo con cuotas vencidas, mensuales y variables, y a un interés del 25% 
anual. La cuota del primer mes resultó ser de $200.000, la del segundo $270.000, 
la del tercero $340,000 y así, sucesivamente, durante los cinco primeros años, a 
partir de los cuales, las cuotas se incrementan en una tasa fija cada mes. Hallar 
la tasa fija de crecimiento de las últimas cuotas, empleando para ello, la tabla de 
amortización. 
 
(10) En el mercado extra-bancario, una persona obtiene $200.000 en calidad de 
préstamo, los que cancelará mediante ocho cuotas quincenales iguales. El 
acreedor liquida de la siguiente manera: como los intereses son el 10% mensual 
y son cuatro meses, pagaría por este concepto $80.000. En total tendría que 
cancelar $200,000 del capital más $80.000 de intereses, lo que representa un total 
de $280.000. La cuota a pagar por quincena sería entonces de $35.000 
($280.000/8); bajo estas condiciones, ¿qué tasa de interés mensual a interés 
compuesto se ha pactado en la negociación? 
 
(11) Con el propósito de reunir la suma de $50.000.000 para dentro de quince 
meses se constituye un fondo con rendimiento del 24% AMV. El fondo consta de 
quince depósitos mensuales anticipados que se incrementan en un 2% mensual. 
el departamento de contabilidad de su empresa le pide calcular los intereses 
correspondientes al décimo período abonados a su cuenta. 
 
(12) Usted efectúa diez depósitos semestrales que aumentan en $20,000, en un 
fondo que reconoce el 6% semestral, empezando con $100,000 desde el día de 
hoy. ¿Qué saldo podrá retirar seis meses después del último depósito, si dentro 
de un año retira $200.000? 
 
(13) Determine el valor del primero de doce depósitos mensuales anticipados, 
con crecimiento del 3% mensual a efectuar en un fondo constituido el día de hoy, 
que reconoce el 1.5% mensual de intereses. El fondo se ha establecido sólo para 
retirar el valor correspondiente a las cuotas con las que se debe cancelar un 
crédito de $22.000.000 recibido el día de hoy, pactado a 6 cuotas trimestrales 
vencidas que disminuyen cada mes en $50.000 y tasa de financiación del 36% 
AMV.