MATFIN 2023

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICAS FINANCIERAS
	Unidades 	Resultados de aprendizaje	Indicadores 	Contenido
	Unidad 2. Crédito e inversión con valores independientes y series de valores 	R.A.2. Resolver operaciones de inversión y financiamiento con serie de valores; para estructurar la colocación de excedentes y cubrir necesidades de capital.
Frente a un problema que involucre información cuantitativa básica financiera, sobre crédito e inversión, plantea e implementa estrategias que lleven a soluciones adecuadas. RC.	1. Identifica los conceptos; las variables y modalidades de las negociaciones con tasas equivalentes; accidentes financieros y series de valores. RC.	1. Tasas equivalentes
2. Accidentes Financieros y Series de valores.
3. Anualidades y Gradientes.
4. Tipos y Fórmulas.
5. Aplicaciones.
			2. Reconoce las relaciones entre las variables y procedimientos asociados a las tasas equivalentes; las tablas de amortización y fondos de amortización; empleadas en la solución de casos con accidentes financieros y/o series de valores. RC.	
			3. Ejecuta y construye las tablas de amortización y fondo de amortización; según el caso; para dar solución a problemas de inversión y de crédito que involucren equivalencia entre tasas; accidentes financieros y/o series de valores. RC.	
			4. Resuelve y sustenta las decisiones a tomar en inversión y/o crédito; donde se emplee la equivalencia entre tasas; y cuotas con accidentes financieros y/o series de valores. RC.	
1
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
	ESTRATEGIA DE TRABAJO PRESENCIAL/SINCRÓNICA 	ESTRATEGIA DE TRABAJO INDEPENDIENTE/ASINCRÓNICO	ESTRATEGIAS EVALUATIVAS
	Sustentación magistral	 Lectura crítica. LC.	Cuestionario en con estructura Saber Pro. RC y LC. 
	Lectura crítica.	Taller con instrumentos desarrollados en Excel para Evaluación Formativa. RC.	Banco de casos para taller bajo ABP. Retroalimentación. LC y RC.
	Taller con ABP Banco de Casos Series de Valores. Decisiones, a partir de información procesada con Fórmulas u Hoja de Cálculo, Mediante el análisis y la interpretación de los enunciados, se desarrolla el razonamiento cuantitativo. RC.	Taller con ABP. RC.	Participación
	Aplicación y uso de simuladores. RC.	Aplicación y uso de los simuladores. RC.	Aplicación y uso de simuladores. RC.
	Análisis y discusión de casos. RC.	Análisis casos. RC.	 
2
Unidad II Crédito e inversión con valores independientes y series de valores. 
Objetivos: Esta unidad contempla un temario especializado en opciones para estructurar modalidades de crédito o, fondos de amortización o de inversión. El objetivo es facilitar al estudiante el desarrollo de competencias que le permitan: 
Poder comparar entre sí tasas de diferentes nominaciones, tener la posibilidad de entender la información pública sobre tasas de interés, estar en capacidad plena de tomar decisiones sobre alternativas de financiación y aun de inversión, son posibilidades que se tienen a través de la cabal interpretación y la habilidad de manejo de las tasas de interés.
En esta presentación se busca la claridad conceptual del tema fundamental en los procedimientos de conversión de tasas de interés. La presentación basa su tratamiento matemático en el concepto de equivalencia del valor del dinero en el tiempo, el cual establece que un monto de dinero no conserva su valor a lo largo del tiempo, pero que, involucrando apropiadamente una tasa de interés, se hace posible calcular los montos equivalentes a él en todo momento. Basado en este desarrollo se fundamentan las relaciones matemáticas entre las diferentes denominaciones de la tasa de interés.
Adicionalmente se desarrolla la ruta de equivalencia de tasas como un método nemotécnico de aplicación. Los procedimientos establecidos enfocan el manejo de modelos mediante el uso de EXCEL, lo que representa la condición más demandante pero más sólida de comprensión, condición también necesaria para la utilización amplia y certera del EXCEL. Sin embargo, el manejo del EXCEL se ve mucho mejor asistido cuando se conecta conceptualmente con el enfoque que se presenta en el documento, ya que es éste precisamente el que subyace en sus algoritmos.
3
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bibliografía básica: 
1. Arzuza, Martín E. (2010) Matemáticas financieras. Operaciones de la inversión y el crédito en hoja de cálculo. 1ª ed. Colombia: Editorial Educosta, ISBN 978958- 851-173-3.
2. Castrillón Cifuentes, Jaime; Cabeza de Vergara, Leonor. (2014) Matemáticas financieras. Colombia: Uninorte, ISBN 978-958-741-303-8.
3. Díaz M, Alfredo; Aguilera Victor M. (2013) Matemáticas Financieras. 5ª ed. México: Mc Graw Hill, ISBN 978-607-15-0943-7
4. Fahim, Arash. (2019) Introduction to financial mathematics. Concepts and Computational Methods. Florida State University Libraries. DOI: 10.33009/financialmath1.
5. Meza O Johnny de J. (2017) Matemáticas financieras aplicadas. 6ª ed. Bogotá. Ecoe Ediciones. ISBN 978-958-771-493-7.
Bibliografía complementaria:
1. Biais, B; Cvitanic, J; Jouini, E; Bjork, T; El Karoui, N; Charles, J. (1996). Financial Mathematics. Editor: Runggaldier, W. Bressanone- Italia.
2. Chan, Wai-Sum; Tse, Yiu-Kuen. (2017) Financial Mathematics for Actuaries. Second Edition. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. https://doi.org/10.1142/10564
3. García, Jaime A. (2008) Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. 4 ed. Colombia: Pearson, ISBN 978-958-699-100-1. 
4. Ramírez D, Jose A. (2019) Evaluación financiera de proyectos. 2ª ed. Bogotá: Ediciones de la U, ISBN 978-958-792-018-5.
5. Reyes R, Juan de J. (2021) Las TIC en las matemáticas financieras. 1ª ed. Colombia: Editorial Educosta, ISBN: 978-958-5172-38-8.
Sitios Web: 
• https://www.cuc.edu.co/consulta-especializada
• https://www.cuc.edu.co/libros-electronicos/economia
• https://www.cuc.edu.co/conmutacion-bibliografica
• https://www.cuc.edu.co/bases-de-datos/economia
• Redicuc
• Biblioteca CUC
• www.actualicese.com.co
• https://www.superfinanciera.gov.co
• Bolsa de Valores de Colombia, Un país todos los valores (bvc.com.co)
• Banco de la República (banco central de Colombia) | (banrep.gov.co)
Tesis:
• Camargo Acuña, Génesis Yulie (2017). Determinación de las necesidades de reubicación y crédito para la pequeña y mediana industria de Barranquilla y su área metropolitana. Biblionum 39503. Colección Tesis. Location TES.
• Collante Hernándes, Nicolas. Análisis y evolución de la banca financiera en región caribe colombiana 2006- 2010. Biblionum 36849. Colección Tesis. Location TES.
• More Bustillo; Jazmín Esther. Análisis de las alternativas de ahorro e inversión ofrecidas por las entidades financieras en la ciudad de barranquilla. Biblionum 32076. Colección Tesis. Location TES.
• Mosquera, Marcelina (1991). Evolución de las tasas de interés y su incidencia en el mercado de capitales 1980-1985. Biblionum 16506. Colección Tesis. Location TES.
• Sierra Arías, Ramiro Carlos (2007). El crédito para la adquisición de vivienda en Colombia. Biblionum 17341. Colección Tesis. Location TES.
• Suárez Jaime, Nubia (1985). Nivel de aceptación de las tarjetas de crédito en la ciudad de Barranquilla y su incidencia en el comercio. Biblionum 18000. Colección Tesis. Location TES.
Revistas:
• Dinero. Biblionum 16828. Colección Hemeroteca. Location HEM. 
• Revista del Banco de la República. Biblionum 17098. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• Cuadernos de Economía. Biblionum 18890. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• Estrategia financiera. Biblionum 35282. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• The Journal of finance. Biblionum 24975. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• LatinFinance. Biblionum 25922. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• Finanzas personales. Biblionum 16897. Colección Hemeroteca. Location HEM.
• Banca y Finanzas. Biblionum 17229. Colección Hemeroteca. Location HEM.
Artículos: 
1. Effects of balance transfer offers on consumer short-term finance: evidence from credit card data. 
https://journalofeconomicstructures.springeropen.com/articles/10.1186/s40008-017-0066-y 
2. The importance of financial education http://www.oecd.org/finance/financial-education/37087833.pdf4
Tasas Equivalentes
Las tasas de interés llevan consigo tres características, explícitas o implícitas cuando se pactan.
 
Dos tasas son equivalentes, si con distintas características, producen un mismo resultado. 
Al comparar tasas para elegir entre varias, se requiere unificarlas en sus tres características como son: Presentación, Periodicidad y Vencimiento. 
Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación (nominal y efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o diferente vencimiento (vencida y anticipada) y que produzcan el mismo efecto, resultando indiferente invertir a la una o a la otra. 
Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de una tasa, ya que para poder comparar dos de ellas, se requiere que estén dadas con la misma presentación, periodicidad y vencimiento.  
 Características y equivalencias de tasas.
Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una característica a una tasa de interés, tenga presente que éstas fórmulas solo le cambian una y solo una característica. 
Presentación 
Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su presentación: nominales (j) o efectivas (i) y se debe aprender a reconocerlas de acuerdo con la expresión utilizada. 
 
El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas o funciones: efectiva a nominal (J) = m * i; nominal a efectiva (i) = J / m. 
Donde: i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. 
Estas fórmulas o funciones, aplican tanto para las vencidas como para las anticipadas.
Si una tasa efectiva anticipada se va a convertir a nominal, entonces la efectiva a nominal entregará una nominal anticipada, en caso 
contrario producirá una vencida. Igual ocurre con la nominal a efectiva. 
 
EJEMPLO: Qué tasa trimestral es equivalente al 36% ATV?. 
 
SOLUCION: nominal a efectiva (i) = 36% / 4 = 9% trimestral.
 Expresiones que definen las tasas nominal y efectiva.
Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para enunciar una tasa nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa de interés pactada lleva consigo tres propiedades como son: PRESENTACION (Nominal o efectiva), PERIODICIDAD (Diaria, mensual, trimestral, etc.) Y VENCIMIENTO (Anticipada o vencida).
MANEJO DE LAS TASAS DE INTERÉS - Concepto de tasa de interés: La tasa de interés representa el importe del alquiler del dinero. Dado que los montos de intereses son dinero lo mismo que el capital, este importe se presenta normalmente como un porcentaje que se aplica al capital por unidad de tiempo; a este valor se le denomina tasa de interés.
Para poder aplicar las fórmulas de equivalencia de cifras de dinero en el tiempo, es necesario que la base del tiempo para la tasa de interés aplicada coincida con el período o la longitud del intervalo de la línea del tiempo entre momentos consecutivos. Una presentación de la información del interés se le llama tasa periódica.
El período puede ser finito (día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año, etc.) o infinitesimal (cuando tiende a cero), en cuyo caso el tratamiento toma el nombre de interés continuo, y es asistido por una serie de formulaciones que no se tratarán en este documento por considerarlo un tema muy especializado y de poca utilización en nuestro medio.
Además de contar con la información del interés en períodos periódicos se pueden manejar otras formas, como la tasa nominal y la tasa efectiva, las cuales se discutirán inmediatamente.
 Naturaleza de las tasas de interés: 
La declaración de una tasa de interés lleva implícitos dos elementos. Causación: Informa el momento en el cual el interés se causa o tiene lugar según se haya estipulado en el contrato o por el negocio en cuestión. Aquí el monto de interés se calcula y se da por cierto, pero no se cancela sino que se puede acumular aditivamente (interés simple, si se acumula sin capitalizarse) o se puede capitalizar (interés compuesto). Capitalización: Informa el momento en el cual el interés calculado o acumulado aditivamente se lleva a capital, o sea, se capitaliza.
Rigurosamente no tiene que existir coincidencia entre los períodos de causación y de capitalización (puede pensarse, por ejemplo, en una tasa de interés del 2% mensual capitalizable trimestralmente); sin embargo, y tal vez por lo imprácticos que se tornarían los cálculos en ese ambiente, se tiene prácticamente en la totalidad de las situaciones una coincidencia de los dos períodos, en cuyo caso se le denomina período de composición :
Componer = Causar y Capitalizar
Nótese que en el caso de interés simple no hay capitalización y por lo tanto no hay composición, sólo existe causación. El interés compuesto, por el contrario, se construye sobre el concepto de composición:
Naturaleza de las tasas de interés: 
Todavía hay más consideraciones; desde el ángulo de la causación, el interés puede exigirse al vencimiento o anticipadamente , según se estipule en el contrato (así como el canon de arrendamiento se acostumbra cobrar anticipadamente o el salario se acostumbra pagar al vencimiento del período), con lo que se puede resumir la naturaleza del interés en el siguiente esquema:
En la práctica, los modos que se presentan con letras mayúsculas en el esquema anterior son clásicos y se entienden "por defecto"; es decir, si una tasa no se declara simple se entiende COMPUESTA; si no se declara continua se entiende PERIÓDICA; si no se declara anticipada se entiende VENCIDA.
Denominaciones de la tasa de interés
Según la manera como una tasa de interés propone la información se le denomina de una de estas tres maneras:
Periódica: La tasa corresponde al período de composición (% por día, mes, bimestre, trimestre, semestre, año, etc.). Algunos sectores la conocen como tasa efectiva periódica (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aquí se denominará simplemente tasa periódica.
Nominal: Es la expresión anualizada de la tasa periódica, contabilizada por acumulación simple de ella.
Efectiva: Es la expresión equivalente de una tasa periódica en la que el período se hace igual a un año y la causación siempre se da al vencimiento. Algunos sectores empleando el nombre de tasa efectiva para aplicarla a un período distinto del año (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aquí no se empleará esta denominación, la cual la llamaremos simplemente tasa periódica. La tasa efectiva se conoce también como tasa efectiva anual, tasa anual efectiva o incluso tasa anual.
adicionalmente, como ya se habilita, la tasa debe definir la forma en que se causa el interés:
Anticipada: Cuando el interés se causa en forma anticipada en el período. Cabe anotar que la Tasa Efectiva no puede darse cuenta, por definición, en forma anticipada, es decir no existe una tasa efectiva anticipada.
Vencida: Cuando el interés se causa en forma vencida en el período. Cabe anotar que la tasa efectiva es siempre vencida y por lo tanto esta última palabra se omite en su declaración.
Clases de tasas de interés: De acuerdo con lo tratado en lo anterior, se pueden emplear cinco clases de tasa de interés:
Tasa periódica vencida de interés: que expresa la forma de interés periódico vencido.
Tasa periódica anticipada de interés: que expresa la forma de interés periódico anticipado.
Tasa nominal vencida de interés: que expresa la forma de interés nominal vencida.
Tasa nominal anticipada de interés: que expresa la forma de interés nominal anticipado.
Tasa efectiva de interés: que expresa la forma de interés efectivo.
Cuando se lee una tasa de interés, normalmente no se encuentra expresada con palabras la modalidad de la cual se trata; ésta se obtiene de la información que acompaña a las cifras de porcentaje, normalmente en siglas. Ejemplo: 30% AMV representa una tasa de interés del 30% anual compuesto mensualmente y causada al vencimiento de cada período. La información se estructura en Campos y en Siglas siguiendo al signo de porcentaje (%). 
CAMPOS
TASAS NOMINALES: El primer campo siempretendrá una “A” o la palabra anual , mejorará que es una tasa anualizada; El segundo campo lleva la sigla o la palabra correspondiente al período de composición (por ejemplo “M” o mensual , significando que el período de composición corresponde al mes). El tercer campo contiene la información correspondiente al momento de la causación del interés; llevará una “A” (o la palabra anticipado ) si el interés es anticipado, o una “V” (o la palabra vencido ), o simplemente se deja vacío (información "por defecto") si el interés es vencido.
Ejemplo: 24% ABV representa un interés del 24% anual compuesto bimestralmente al vencimiento.
 30% ASA representa un interés del 30% anual compuesto semestralmente y causado anticipadamente, o sea, al comienzo de cada período.
 26% AM ​​representa un interés del 26% anual compuesto mensualmente al vencimiento.
Tasa periódica: No llevan el primer campo de las tasas nominales, o sea, no tienen la sigla “A” o la palabra anual siguiendo al signo de porcentaje (%), porque No son tasas anualizadas. Los dos campos subsiguientes tienen la misma connotación de los campos segundo y tercero de las tasas nominales.
Ejemplo: 4% BV representa un interés periódico vencido del 4%, con un período equivalente al bimestre.
 15% SA representa un interés del 15% semestral, causado al comienzo de cada semestre.
 2,2% M representa un interés periódico del 2,2% mensual, causado al vencimiento de cada mes.
TASA EFECTIVA: Se reconoce que una tasa es efectiva cuando sólo tiene una de estas siglas: EA; AE; A; E.
Ejemplo: Son declaraciones de tasas efectivas anuales: 23% AE
 20% A
 30% EA
 28% E
Declaración de las tasas de interés
Tasa efectiva: Una tasa se denota efectiva si después del signo de porcentaje lleva una de estas siglas: c/u (cada uno); AE; MI (solamente); A (solamente). 
Tasas nominales y periódicas: Una tasa es nominal o es periódica si se determina con diferentes siglas a las consignadas inmediatamente antes.
Primer campo: a. = significa que la tasa es anualizada (nominal). anual = significa que la tasa es anualizada (nominal). Otra sigla = significa que la tasa es periódica.
Segundo campo (o primer campo, si la tasa es periódica, es decir no lleva la sigla de anualización): Determina el período de composición:
d. = diario; metro. = mensual; b. = bimestral; t. = trimestral; s. = semestral; a. = anual; día = diario; mes = mensual; bimestre = bimestre; trimestre = trimestral; 
semestre = semestre; anual = anual
Tercer campo (o segundo campo, si la tasa es periódica, es decir no lleva sigla de anualización). Determina el modo de causalidad: a. = anticipadamente; 
v. = al vencimiento; Si se omite = al vencimiento
Ejemplo:
22% EA significa 22% efectivo anual
23% AMV significa 23% anual mes vencido
24% ABA significa 24% anual bimestre anticipado
25% AS significa 25% anual semestre vencido
6% TV significa 6% trimestral vencido
2% MA significa 2% mensual anticipado
Señales 
Equivalencia de las tasas de interés
Tasa periódica y tasa nominal
Como una herencia de tratamiento en interés simple, y coincidiendo con él, la tasa nominal en el contexto de interés compuesto representa la anualización de la tasa periódica por acumulación simple de este en cada período. Por lo tanto, la tasa nominal se obtiene multiplicando la tasa periódica por el respectivo número de períodos contenidos en el año; si la tasa periódica es anticipada, la tasa nominal también lo será, y viceversa; y si la tasa periódica es vencida, la tasa nominal también lo será, y viceversa:
i pv : Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)
i nv : Tasa de interés nominal vencida (% anual)
i pa : Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.)
i na : Tasa de interés nominal anticipada (% anual)
n: Número de períodos por año (360 días, 12 meses, etc.)
Ejemplo: Encontrar la tasa periódica correspondiente a una tasa nominal del 24% AMV:
i nv = 24% AMV 
n = 12 meses por año
vv = 24% / 12 = 2% VM
Ejemplo: Encontrar la tasa nominal correspondiente a una tasa periódica del 10% SA:
yo pa = 10% SA
n = 2 semestres por año
yo na = 10% x 2 = 20% ASA
 Tasa vencida y tasa anticipada
En la modalidad de interés anticipado, el monto de intereses se paga o se capitaliza al comienzo del período. Para encontrar la equivalencia con el interés vencido se emplea la noción de equivalencia entre un flujo presente y un flujo futuro para un período, como sigue:
P = X - yo pa X
P = X (1-i pa )
La tasa de interés aparece como un descuento al monto del flujo presente, y por lo tanto no tiene por qué aparecer al final. Aplicando el concepto de equivalencia se tiene:
F = P (1+i pv ) Reemplazando por las expresiones de F y de P:										
							De la misma manera es posible despejar el valor de i pa :
i pv : Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)
i pa : Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.)
							i pv : Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)
							i pa : Tasa de interés periódica anticipada (% por día, mes, etc.)
 Tasa vencida y tasa anticipada
Ejemplo: Encontrar la tasa periódica vencida equivalente a una tasa del 4% TA: yo pa = 4% = 0,04 i pv = 4% / (1 - 0,04) = 4,17% TV
Ejemplo: Encontrar la tasa periódica anticipada equivalente a una tasa del 9% SV: vv = 9% = 0,09 i pa = 9% / (1 + 0,09) = 8,26% SA
Cabe anotar que la equivalencia entre tasas anticipadas y vencidas sólo se da para períodos periódicos. De hecho la tasa nominal sólo sirve para encontrar la respectiva tasa periódica y no puede ser operada directamente con el concepto de equivalencia.
 Tasa efectiva y tasa periódica
La tasa efectiva representa una tasa periódica vencida en la cual el período es exactamente un año. Para desarrollar la equivalencia entre la tasa efectiva y la tasa periódica se supone que un año consta de n períodos:
Con la misma inversión P = X, al cabo de un año se debe tener la misma cantidad de dinero F en los dos aviones presentados en el dibujo de flechas: X (1+i pv ) n = X (1+i e ) 1 + yo mi = (1 + yo pv ) ^norte
Despejando i e se tiene: i e : Tasa efectiva de interés (% anual) ; i pv : Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)
Despejando i pv se tiene: i e :Tasa efectiva de interés (% anual) i pv : Tasa de interés periódica vencida (% por día, mes, etc.)
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa efectiva anual correspondiente a una tasa del 2% mensual? i pv = 2% mensual = 0,02 n = 12 meses / año i e = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,26824 = 26,82% c/u
Ejemplo: ¿Cuál es la tasa trimestral correspondiente a una tasa del 24% ea? i e = 24 % ea = 0,24 n = 4 trimestres/año
i pv = (1 + 0,24)1/4 - 1 = 0,05525 = 5,53% tv 
Aunque pueden derivarse más ecuaciones de relación, las formulaciones anteriores de equivalencia de tasas se consideran fundamentales y dan lugar a la Ruta de Equivalencia de Tasas®, la cual constituye una herramienta nemotécnica para realizar cualquier clase de tasa de interés a cualquiera otra de una manera sencilla:
 LA RUTA DE EQUIVALENCIA DE TASAS
Ejemplo: Encontrar la tasa nominal mes vencido equivalente a una tasa del 30% ASA:
yo na = 30% asa
m = 2 semestres / año
ñ = 12 meses / año
yo pn = ?
Con m = 2 se pasa de una tasa nominal a una tasa efectiva, atendiendo a la ruta de equivalencia de tasas y de acuerdo con las fórmulas desarrolladas:
yo pa = 30% / 2 = 15% sa
i pv = 15% / (1-0,15) = 17,65% sv
i e = (1+0,1765)2 - 1 = 38,41% c/u
Ahora, con ñ = 12 se pasa de la tasa efectiva a la correspondiente tasa nominal vencida:
i pv = (1+0,3841)1/12 - 1 = 2,75% vm
i nv = 2,75 x 12 = 32,95%amv
Presentación: Como se pudo observar, la del modo de una tasa de interés se tiene mediante la lectura de las siglas que suceden al signo de declaración de porcentaje (%). La notación presentada hasta ahora no es la única. Una notación muy utilizada en publicaciones de prensa y en anuncios comerciales es la que se expone a continuación: Todas las siglas son letras mayúsculas. Sólo reconoce dos tipos de tasa: Nominal (anualizada) Efectiva (periódica). En lugar de los tres tipos de tasas tradicionales: Nominal (anualizada). Efectiva (anual). Periódico.
 
 TASAS DE INTERÉS: NOTACIÓN COMERCIAL
 Periodicidad
En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada cuánto tiempo el interés se convierte en capital. Entonces puede ser diaria, 
mensual, bimestral, trimestral, etc. 
 
OJO, para cambiar periodicidad se requiere partir de una tasa efectiva y vencida; en caso de no estarlo, habrá que realizar las conversiones del caso, antes de aplicar el ifinal. 
Utiliza la siguiente fórmula (o función personalizada en Excel): ifinal = (1 + iinicial) ^ (minicial / mfinal) – 1. Donde ifinal es la tasa efectiva 
vencida a calcular con nueva periodicidad; mfinal es el número de capitalizaciones en un año de la tasa a calcular; iinicial es la tasa efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, y minicial es el número de capitalizaciones de iinicial. 
EJEMPLO: 
¿Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral? 
SOLUCION: ifinal = (1+15%) ^ (2 / 12) – 1 = 0.023567=2.3567% mensual.
 Vencimiento
Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el tiempo, la tasa podrá negociarse con pago de intereses anticipados o vencidos. 
Para cambiar el vencimiento de una tasa se utilizan las siguientes fórmulas o funciones: 
Vencida a anticipada (ia) = i / (1 + i);
Anticipada a vencida (i) = ia / (1 - ia) 
 
EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA? 
 
SOLUCION: Como se parte de una tasa nominal y anticipada, para cambiar la periodicidad, de trimestral a semestral, se debe primero 
cambiarla a efectiva y luego a vencida para poder utilizar la ifinal. nominal_a_efectiva (ia) = 42% / 4 = 10.5% trimestral. 
 
Anticipada a vencida (i) = 10.5%/(1-10.5%) = 11.73184% trimestral.
ifinal = (1+11.73184%) ^ (4/2) – 1 = 24.84% semestral. 
*OJO, para cambiar vencimiento se requiere partir de una efectiva. 
 
NOTA: En una expresión donde no se diga que la tasa es anticipada se debe entender como vencida.
 Valores independientes
A diferencia de las operaciones de diagramas simples, corresponden a flujos de dinero con más de una entrada y/o más de una salida de dinero, y en ellos, los montos de las cuotas y/o sus vencimientos no cumplen con las condiciones para ser una serie de valor, es decir, que no alcanzan a ser anualidad o gradiente. Dicho de otra forma, se caracterizan porque entre sus valores puede NO existir relación alguna y/o no ocurren con una frecuencia fija, como sí es el caso de las series de valores. Ejemplo: Supongan una operación de crédito en la cual los pagos se realizan así:
Esa sería una serie de valores independientes, pues los valores no son periódicos ni obedecen a una relación de uniformidad o variabilidad como en las series de valores que estudiaremos a continuación. Esta otra que se muestra a continuación, a pesar de tener frecuencia periódica (valores mensuales), NO califica como serie de valor, por 
cuanto los valores NO tienen relación alguna entre sí, luego sigue perteneciendo a valores independientes o accidentes financieros.
En tanto esta otra que verán seguidamente, a pesar de que sus valores están relacionados, pues todos ellos son de un mismo valor, NO tiene periodicidad uniforme en sus vencimientos, por ello también cuenta como valores independientes.
Series de valores
Se caracterizan por ser series periódicas con valores que guardan alguna relación y pueden ser Anualidades o Gradientes:
Anualidades: Son series de valores, los cuales, además de ser periódicos deben ser uniformes. Esta modalidad es de uso frecuente en créditos bancarios, donde por la naturaleza de los cálculos, en la medida en que se abona a capital, el interés disminuye. En la constitución de 
fondos de amortización se utiliza cuando se decide hacer depósitos periódicos de un mismo valor a fin de reunir una suma determinada 
al cabo de algún tiempo.
Las anualidades en el gráfico siguiente se marcan con línea horizontal indicando cuotas de un mismo valor PAGO (para fórmulas se simbolizan con A), representadas por flechas de una misma longitud:
21
Gradientes
Serie de cuotas variables y periódicas con comportamiento de progresión aritmética o geométrica. 
	Gradientes aritméticos o lineales: En ellos se da la periodicidad fija y los valores, además, varían en una suma fija $G, donde las cuotas aumentan o disminuyen.
	Gradiente aritmético creciente: 
En gradientes, la A representa el valor de la primera cuota..
	Gradiente aritmético decreciente:
En los crecientes, el valor de las cuotas aumentan en una cantidad G, 
por ejemplo en la serie de cuotas 150, 170, 190, 210, 230, el G 
Períodos de vencimiento 1 2 3 4 5
G = $20. Aritmético Creciente $150 $170 $190 $210 $230
G= -$50 Aritmético Decreciente $300 $250 $200 $150 $100
equivale a 20, valor en el que se aumenta la serie. El G en los 
crecientes siempre será positivo.
Al igual que en el Aritmético, con la A se representa el valor de la 
primera de las cuotas.
En los decrecientes, el valor de las cuotas disminuyen en una cantidad 
G, por ejemplo en la serie de cuotas 300, 250, 200, 150, 100, el G 
equivale a menos 50, siendo 50 el valor en el que va disminuyendo la 
serie. El G en los decrecientes siempre será negativo. 
Gradientes
En todo gradiente aritmético, creciente o decreciente se cumple: 
𝑨3 -𝑨2 = 𝑨2 –𝑨= 𝑮 Esto indica que al tomar tres cuotas sucesivas de un GA, la tercera menos la segunda, debe ser igual a la segunda menos la primera, y el resultado de esas diferencias igual a G. En la serie del GA creciente citada como ejemplo: 150, 170, 190, 210 y 230, Si tomamos tres cuotas sucesivas cualesquiera, 
por ejemplo 190, 210, 230; al realizar las operaciones: 230-210 = 20 y 210-190 = 20, se cumple lo previsto, esto es, que las diferencias son iguales y que precisamente equivalen al G. También podemos comprobarlo en la serie del GA decreciente del ejemplo: 300, 250, 200, 150, 100 y 50. Tomemos aquí los tres últimos valores y verifiquemos la validez de la fórmula: 50-100 = -50 y 100-150 = -50, siendo G = -50 
2. 𝑨𝒏 = 𝑨𝒏−𝟏 + 𝑮 Esto establece que cualquier cuota debe ser igual a su anterior más el G. En el GA creciente se cumple por ejemplo que: 190 = 170+20 y 170 = 150+20, y así sucesivamente. En el GA decreciente aplica de igual forma: 200 = 250+ (-50) y 100 = 150+ (-50)
3. 𝑨𝒏 = 𝑨 + (𝒏 − 𝟏) ∗ 𝑮 Esta relación manifiesta que la enésima cuota de la serie puede obtenerse al reemplazar los valores de: la primera cuota A, el G$ y el número de cuotas n. En el ejemplo del GA creciente: 150, 170, 190, 210, 230, 250, 270, 290 podemos confirmar que: 𝑨𝟓 = 150 + (5 − 1) ∗ 20 = 230 En el decreciente: 300, 250, 200, 150, 100 encontramos que: 𝑨𝟓 = 300 + (5 − 1) ∗ (−50) = 100 
Gradientes geométricos o exponenciales. Esta serie, además de la periodicidad fija, cumple con la condición de que los valores varían en una tasa fija k%. o Gradiente geométrico creciente.
Gradientes
Gradiente geométrico decreciente
En los crecientes, el valor de las cuotas aumentan en una tasa fija k%, por ejemplo en la serie de cuotas 100; 110; 121; 133.1 y 146.41, el crecimiento es en un K% igual al 10%. El K% en los crecientes siempre será positivo. 
 
En los GG decrecientes, el valor de las cuotas disminuyen en una tasa k%; por ejemplo, en la serie de cuotas 800, 400, 200, 100 y 50, el % en que disminuyen las cuotas es en un 50%, es decir, K = -50% = -0.5. El K% en los decrecientes siempre será negativo.
En todo gradiente geométrico, sea creciente o decreciente, se cumple:
𝑨𝟑/𝑨𝟐 − 𝟏 = 𝑨𝟐/𝑨𝟏− 𝟏 = 𝒌%
Esto indica que al tomar tres cuotas sucesivas cualesquiera (A1, A2 y 
A3) de un GG, la tercera entre la segunda menos uno, debe ser igual 
a la segunda entre la primera menos uno, y el resultado de esos 
cocientes, igual a k%
Períodos de vencimiento 1 2 3 4 5
K= 10% Geométrico Creciente $100 $110 $121 $133.1 $146.41
K= -50% Geométrico Decreciente $800 $400 $200 $100 $50
En la serie del GG creciente citada como ejemplo: 100; 110; 121; 
133.1 y 146.41, si tomamos tres valores sucesivos cualesquiera, por 
ejemplo empezando en 110, entonces diremos que A1 =110; A2 =121 
y A3 =133.1; al realizar las operaciones, resulta: 133.1/121 -1 = 01 que 
es 10% y 121/110 -1 = 0.1 que es 10%, se concluye entonces que 
ambos resultados son iguales al 10%, luego se cumple lo previsto, 
esto es, que se trata de una serie perteneciente a un gradiente 
geométrico y que ese resultado del 10%, corresponde al valor del 
crecimiento porcentual fijo k%. 
INTERÉS COMPUESTO. FÓRMULAS 
También podemos comprobarlo en la serie del GG decreciente del ejemplo: 800, 400, 200, 100 y 50, tomemos aquí los tres valores 400, 200 y 100, y verifiquemos la validez de la fórmula: 100/200 -1 = -0.5 o -50% 200/400 = -0.5, o -50% siendo entonces, K%.= -50% 
2. 𝑨𝒏 = 𝑨𝒏−𝟏 ∗ (𝟏 + 𝑲%). Esto establece que cualquier cuota debe ser igual a su anterior multiplicada por el factor (1+K%). En el GG creciente donde A4 =146.41, A3 =121 y A2 =110 se cumple que: 121 = 110*(1+10%), que 121 = 110*(1+10%), que 146.41 = 121*(1+10%y así sucesivamente. En el GG decreciente, donde k% = -50%, aplica de la misma forma, pues: 200 = 400*(1+ (-50%), 25 = 50*(1+ (-50%)) y así sucesivamente.
3. 𝑨𝒏 = 𝑨 ∗ (𝟏 + 𝑲%) (𝒏−𝟏)
 
Esta relación manifiesta que la enésima cuota de un GG puede obtenerse, al reemplazar los valores de: la primera cuota A, del k% y del número de cuotas n. En el ejemplo del GG creciente: 100; 110; 121; 133.1 y 146.41, podemos confirmar que: 𝑨𝟓 = 100 ∗ (1 + 10%) (5−1) = 146.41 
En el decreciente: 800, 400, 200, 100, 50 encontramos que: 𝐴5 = 800 ∗ (1 + (−50%)) (5−1) = 50
Series de valores según vencimiento de las cuotas
En operaciones de inversión y crédito con series de valores, éstas podrán pactarse de las siguientes formas: vencidas, anticipadas, diferidas o perpetuas. 
Series Vencidas: A las anualidades y los gradientes se les llama vencidos cuando sus cuotas vencen al final de cada período.
Anualidades vencidas Aquí la cuota 1 vence al final período 1, la cuota 2 al final del período 2 y así sucesivamente, 
hasta la última cuota, la enésima que vence en el período n. Es decir, el número del período y el de la cuota coinciden.
Gradientes vencidos 
Series anticipadas: Cuando las cuotas de una serie vencen al 
comienzo de cada período, se les denomina anualidades o gradientes anticipados según el caso.
Anualidades anticipadas: Aquí en las series anticipadas, la cuota 1 vence en el punto cero, que es el inicio del período 1, 
la cuota 2 al final del período 1 que es el inicio del período 2 y así sucesivamente, hasta la última cuota, la enésima que 
vence en el período n-1. Es decir, el número del período es uno más que el número de la cuota.
Gradientes anticipados 
Series diferidas
Se refiere a los casos en los cuales la primera cuota de la serie vence en fecha posterior al final del primer período. De ser así se les conoce como anualidades o gradientes diferidos. Son las diferidas el resultado de períodos de gracia durante los cuales no vence cuota, pero sí se causan intereses.
 Anualidades diferidas 				Gradientes diferidos
Al resolver situaciones donde el flujo posea series de valores, sean anualidades o gradientes, se hace posible simplificar el gráfico reemplazando cada serie de valores por un solo valor, fruto de la aplicación de las fórmulas que se estudian a continuación y cuyo vencimiento dependerá de la fórmula empleada. El gráfico es 0 1 2 3 n-1 n (número del período) 1 2 n-2 n-1 (número de la cuota) simplificable también en los casos en que aparecen en una misma fecha valores de ingreso y desembolso, las dos flechas se reemplazan por una cuyo valor será la diferencia entre el ingreso y el desembolso, y tendrá el sentido del mayor valor. Al resolver situaciones donde el flujo posea series de valores, sean anualidades o gradientes, se hace posible simplificar el gráfico reemplazando cada serie de valores por un solo valor, fruto de la aplicación de las fórmulas que se estudian a continuación y cuyo vencimiento dependerá de la fórmula empleada. El gráfico es simplificable también en los casos en que aparecen en una misma fecha valores de ingreso y desembolso, las dos flechas se reemplazan por una cuyo valor será la diferencia entre el ingreso y el desembolso, y tendrá el sentido del mayor valor. 
Series Perpetuas o Perpetuidades
Series que pueden ser anualidades o gradientes y se caracterizan por un número de cuotas indeterminado o tan grande que se asume tiende a infinito. Estas series se emplean para proyectar seguros de vida y especialmente para valorar empresas.
Tablas de amortización y de fondos de amortización: Con la llegada de la hoja de cálculo surge una alternativa de solución más práctica, sencilla, con resultados más detallados, exactos y de rápida obtención; para ello se emplean las tablas de amortización y tablas de fondos de amortización en Excel. 
Las ecuaciones de valor constituyen un instrumento para dar solución a problemas de inversión o de crédito, sin embargo, con la aparición del Excel se tiene la opción de resolver esos mismos problemas empleando las tablas de amortización para los casos de crédito y las tablas de fondos de amortización para los casos de inversión. 
Al aprender a construir las tablas de amortización y de fondos de amortización como procedimiento para resolver las situaciones indicadas, se estudia la función Buscar Objetivo, importante función que resuelve ecuaciones de primer grado con una incógnita. 
Como se indicó, dependiendo de si la operación es de inversión o de crédito, se emplean respectivamente las tablas de: a. AMORTIZACIÓN: También conocida como PICAS, expresión que se forma por las iniciales de los títulos de las columnas empleadas en una de sus presentaciones, como son: Períodos, Interés ganado, Cuotas, Amortización a capital y Saldo de capital al final del período. 
Esta tabla resuelve problemas de crédito. b. FONDO DE AMORTIZACIÓN: En este caso las iniciales de los nombres de las columnas en el formato sugerido forman la expresión PIDRS. Dichas iniciales corresponden a Períodos, Interés, Depósitos, Retiros y Saldos. Esta tabla resuelve casos de inversión.
Tabla de amortización para situaciones de crédito 
con accidentes financieros o Series de Valores
Las tablas de amortización muestran los cambios generados período a período, en cuanto a intereses vencidos, abonos a capital y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben especificar tanto la parte de gasto por intereses como la de disminución del pasivo. 
A continuación se muestra una tabla de amortización en Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda.
Tal como se observa, la tabla de amortización contiene las siguientes columnas: 
Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en el cual se realiza el último accidente financiero. 
Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la tasa de interés por el saldo del período anterior y se concluye arrastrando la fórmula hasta el último período. 
Cuotas: Al ser las cuotas lo que se pide hallar, a la primera de ellas, se le identifica con color para recordar que esa será la celda incógnita. Si existen otras cuotas en función de la primera se formula como corresponda su relación en el período indicado. 
Abonos a capital: Se formula como la cuota menos el interés del período y se copia hasta el final de la tabla. 
Saldo: En el período cero corresponde al valor del crédito,descontando la cuota inicial si la hubiere. 
A partir del primer período se formula como saldo del período anterior menos el abono del período y se copia hasta el final. Seguidamente se resuelve el caso propuesto, mostrando con pantallazos el paso a paso de la formulación en la hoja de cálculo y verificando finalmente con las operaciones, un resultado exacto al obtenido mediante las fórmulas:
Un caso de crédito para estudio
Un activo vale de contado $4.000.000 y se financia para pagarlo con cantidades iguales en los meses 8, 10 y 15, con un interés del 4% ETV. Calcule el valor de las cuotas. 
La primera fase comprende la formulación del caso planteado en la siguiente tabla, donde:
 
Los períodos van del cero al quince, 
Los intereses se obtienen por la multiplicación de la tasa (se recuerda que la tasa tuvo que ser convertida de efectiva trimestral a efectiva mensual) por el saldo anterior, 
Las cuotas que corresponden a cifras iguales, se formulan a partir de la primera de ellas como celda incógnita, identificándola con color, y luego las restantes, en función de ella, para que concluido el proceso, asuma el mismo valor de la celda incógnita, 
Los abonos a capital son calculados como lo que resta de la cuota, después de cancelar los intereses del período, y 
El saldo del período cero se indica como el valor adeudado por quien se beneficia del crédito en el inicio de la transacción, que para el caso es de $4.000.000; a partir del período uno, el saldo será la diferencia entre el saldo con el cual inició el período, o saldo anterior, y el abono de capital del período. 
Haciendo uso de los trucos de Excel en el copiado, la formulación de las columnas, excepto la de las cuotas que es particular en cada ejercicio, se copia hasta el último de los períodos. Como resultado de esta formulación la tabla mostrará los siguientes valores 
Un caso de crédito para estudio
Estando ubicados en la celda: saldo del último período, se invoca la función buscar objetivo (en Windows XP se encuentra en el menú, herramientas; en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con lo cual aparece la siguiente ventana de diálogo: 
Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin embargo, ella muestra la celda donde nos encontramos (la del saldo del último período) y como es esa precisamente la celda a definir, se pasa al campo siguiente: “con el valor” donde se registra el valor 0, pues el saldo del último período deberá alcanzar ese valor una vez se cancele la última de las cuotas. En el siguiente campo “para cambiar la celda” se indica la dirección de la celda incógnita, la cual se recordará como la celda de color. Por último, al pulsar el botón de aceptar dos veces, instantáneamente la hoja de cálculo mostrará en la celda color el resultado.
Nótese que este resultado es exactamente igual al obtenido con las fórmulas. 
Tablas de fondos de amortización para situaciones de 
inversión con accidentes financieros
En problemas de inversión, Excel nos permite la solución con las tablas de fondo de amortización las cuales muestran los cambios generados por período, en cuanto a intereses vencidos, depósitos, retiros y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben especificar la parte de los ingresos por intereses así como el monto de las inversiones (depósitos) y las desinversiones (retiros). 
A continuación se muestra una tabla de fondo de amortización en Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda.
Las columnas y su formulación son las siguientes:
Períodos: Estos van desde el período cero hasta el período en el cual se realiza el último accidente financiero.
Interés vencido: Se calcula iniciando con más o igual, luego la tasa de interés por el saldo del período anterior y se concluye arrastrando la fórmula hasta el último período. 
Depósitos: Si se piden hallar los depósitos, el primero de ellos será celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente se registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 
Retiros: Si se piden hallar los retiros, el primero de ellos será celda incógnita. En caso de conocerse estos, simplemente se registran en el orden cronológico indicado en el enunciado. 
Saldo: En el punto cero corresponde al valor del primer depósito y a partir del período uno resultará de sumar al saldo anterior los intereses y los depósitos, restándole finalmente los retiros. 
A continuación se estudia el procedimiento para la aplicación de la tabla de fondo de amortización o de PIDRS, para un caso de inversión. 
Un caso de inversión para estudio:
Establezca un fondo de amortización con tres depósitos trimestrales iguales y anticipados, para de allí realizar dos retiros así: $1.000.000 en el mes dos y $2.000.000 en el mes seis. Calcule el valor de los depósitos para una tasa de interés del 24% MV.
A continuación se muestra con pantallazos la solución al CASO DE INVERSIÓN propuesto, inicialmente mostrando cómo se formula en la tabla y luego cómo se realiza el cálculo en la misma. Obsérvese cómo se construye cada columna, a partir de su formulación en la tabla del fondo de amortización, de acuerdo a la información del caso en estudio: 
Nótense los seis períodos, empezando siempre con la fecha cero; el interés en la inversión, formulándose de igual manera que en el crédito: tasa por saldo de período anterior; los depósitos y retiros en orden a la información del caso; el saldo inicial igualado al depósito inicial y a partir del primer período, el saldo calculado como saldo del período anterior, más intereses del período, más depósitos del período, menos retiros del mismo período. Esta formulación arroja los valores que se muestran en la siguiente tabla: 
Ubicados en la celda del saldo del último período se invoca la función buscar objetivo (se recuerda que en Windows XP se halla en el menú, herramientas; mientras en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y Si), con lo cual aparece la ventana de diálogo así: 
Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin embargo, ella misma sugiere sombreada, la celda donde nos encontramos (la del saldo del último período) y como es esa precisamente la celda a definir, pasamos al campo siguiente “con el valor” donde registramos el valor 0, pues el saldo del último período deberá alcanzar ese valor una vez se efectúe el último de los retiros. En el campo “para cambiar la celda” se indica la dirección de la celda incógnita, la cual corresponde a la celda de color; en el paso siguiente se da aceptar dos veces e inmediatamente, la hoja de cálculo arroja en la celda color, el resultado del depósito preguntado, tal como se observa a continuación. El valor resultante $967,076 es exactamente el mismo obtenido con la ecuación de valor. 
Solución a Casos de Series de Valores: 
Determine el valor de cada una de las cuotas mensuales iguales que cancelan un crédito por $20.000.000 y plazo de 1 año al 2% mensual. 
Solución con la función de Excel: Para solucionar con funciones el caso planteado, se deben identificar, tanto las variables dadas como la variable incógnita. Se conocen VA, TASA y NPER, y se busca la variable PAGO que constituye el valor de la cuota uniforme. Se ingresa a la ventana INSERTAR FUNCIÓN O ARGUMENTOS DE FUNCIÓN por el icono de la barra de fórmulas (fx) o por el menú principal en insertar función, luego se elige entre las financieras la función PAGO. Se indica con clic cada dirección donde se encuentran los valores de cada una de las variables conocidas, ignorándose los campos VF (utilizado para hallar PAGO a partir de un valor futuro) y TIPO (variable lógica utilizada con el valor 1 para cuando los pagos se realizan anticipados) y se da aceptar.
Al pulsar en aceptar, inmediatamente se muestra en la celda escogida para el cálculo la cantidad -$1.891.191.93, cantidad negativa debido a que representa un pago o una salida, que como ya se explicaba, Excel lo toma como valor negativo.Si se observa la formulación en la celda donde se realiza el cálculo esta indica: =PAGO(B57;B58;B56); que es otra forma de ejecutar el cálculo, expresando en orden: signo igual, nombre de la función, y entre paréntesis y separados con punto y coma las direcciones de las variables conocidas en el orden en que las exige la ventana “argumentos de función”.
Solución en Excel con tabla de fondo de amortización
Al darle solución con la tabla PIDRS y utilizando la función BUSCAR OBJETIVO, se formulan las columnas de la siguiente forma: PERÍODOS: En el caso en estudio, la transacción tiene duración de doce meses, por ello en esta columna se registra desde el cero hasta el doce. INTERÉS: Se multiplica el valor de la tasa de interés por el SALDO del período anterior. DEPÓSITOS: Como los depósitos se inician desde el período cero y ellos son la incógnita, entonces a la celda del depósito de ese período cero, se le da color para señalarla como la celda incógnita. Así el resto de depósitos, a partir del período uno hasta el período siete, se formulan como: más (+), seguido de la dirección de la celda anterior, más (+) los $50,000 del crecimiento RETIROS: Los $850,000 de cada uno de los retiros semestrales, se registran cada dos períodos al encontrarse la escala trimestral, desde el período dos hasta el período doce. SALDO: El saldo del período inicial cero, se formula con el mismo valor registrado en el primer depósito; para los demás períodos y desde el período uno, el sado se formula como el saldo anterior, más los depósitos, menos los retiros. 
La formulación general es la siguiente: tabla 1; Así luce la tabla luego de ser formuladas las celdas: tabla 2. Una vez se tiene la tabla formulada se aplica buscar objetivo, función que permite calcular el valor de los depósitos. Ubicados en la celda: saldo del período doce, se invoca la función BUSCAR OBJETIVO, con lo cual se abre la respectiva ventana: tabla 3. Para finalizar con un saldo de $25,000,000, tal como lo exige el enunciado del caso en estudio, se deja el campo “definir celda” de la función buscar objetivo, con la dirección de la celda del saldo final; luego registramos 25000000 (sin separar las unidades) en el campo “con el valor” y la dirección de la celda incógnita en el campo “para cambiar la celda”, al hacer clic en aceptar dos veces, la tabla del PIDRS se muestra así: 
CASOS DE CRÉDITO PARA RESOLVER CON TABLAS DE AMORTIZACIÓN (PICAS) 
1. Al comprar a crédito un equipo, se cancela cuota inicial del 30% sobre su valor de contado que es de $20.000.000, se acuerda además, una tasa de interés del 28,8% AMV y cuotas mensuales durante 5 años, las cuales crecerán anualmente en un 20%. Se pide calcular el valor de la cuota mensual para el primer año. 329440 
2. Hace 9 meses se obtuvo un crédito por $120.000.000, para ser cancelado en cuatro años y medio, con cuotas ordinarias, fijas mensuales y cuotas extraordinarias de $10.000.000 cada una, al final de los años 1, 2, 3 y 4. La tasa de interés aplicada es del 1.02% mensual. Si la primera de las cuotas venció siete meses después de adquirido el crédito, ¿Cuánto se adeuda, después de cancelar la cuota que vence el día de hoy? 123789103 
3. Una persona adquiere un crédito de $ 50.000.000 para cancelar en cuatro años con cuotas mensuales y un interés del 33% nominal mensual. La primera cuota será de $ 155.000 la cual aumenta mensualmente en el 1,5%, durante los dos primeros años. ¿Qué valor deberá tener la cuota 25 para que, aumentando de ahí en adelante cada mes en $ 13.000, la deuda quede saldada en el tiempo estipulado? 5029606 
4. De un crédito pactado inicialmente a 5 años, realizando pagos de $5.000.000 cada dos meses. Hoy, después de haber cancelado la doceava cuota, deudor y acreedor se han puesto de acuerdo para refinanciar la deuda, de manera que el saldo a la fecha se cancele en los próximos 4 años con cuota fija mensual. Determine el valor de las nuevas cuotas, considerando que la tasa de interés aplicada, ha sido del 18% anual. 69962931…2006718 
5. Calcule el valor de los pagos a realizar para cancelar un crédito por $500 millones al 2% mensual a 10 cuotas fijas mensuales anticipadas. $ 54.571.827,00 
6. Un Crédito por 50 millones de pesos se obtiene al 15% ATA. Si se pactaron cuotas mensuales iguales de 5 millones de pesos cada una, determine el saldo adeudado el día de hoy, exactamente después de haber cancelado en su vencimiento, la cuota número diez. 3.807.975
CASOS DE CRÉDITO PARA RESOLVER CON TABLAS DE AMORTIZACIÓN (PICAS) 
7. Se tiene un crédito por 20 millones de pesos, para cancelar con cuotas semestrales, al 8.5% semestral. Si las cuotas crecen al 4% durante los 6 años del plazo del préstamo, pactándose además, un período de gracia de 6 meses, donde, la primera cuota se pagará al final del primer año. De cuánto será la primera cuota? 2.621.740 
8. Se logró pactar la financiación de un proyecto por 200 millones de pesos para pagar a diez años, con tasa de interés del 22% EA, cuota inicial del 20% y cuotas mensuales que crecen anualmente en un 5%. De cuánto serán las cuotas del primer año? 2.658.715 
9. En la operación de un crédito por $100 millones al 10% ATA, a 48 meses, mediante cuotas extraordinarias anuales de $5 millones, la primera dentro de un año, y cuotas ordinarias mensuales iguales, con período de gracia de 6 meses (durante el período de gracia NO se vencen cuotas, pero los intereses SÏ capitalizan), es decir, que la primera cuota de las mensuales vencerá en el mes 7. Indique el saldo después de pagar la cuota quinta ordinaria; el valor de los intereses acumulados durante el período de gracia y el último abono a capital. 96.910.028; 6.085.468; 7,457,256 
10.Su empresa recibió un crédito ´por valor de $40 millones, pactado al 18% AMV a 5 años y cuotas bimestrales. Determine cuánto tendría que pagar al final de los dos años, si en esa fecha el deudor decide cancelar la deuda.28.095.983 
11. Para un crédito por $50 millones, con cuota inicial del 30% a 4 años, tasa del 20% EA, cuotas ordinarias mensuales iguales y dos cuotas extraordinarias de $2 millones, al final de los años dos y cuatro. Calcule el valor de la cuota mensual. 965.341 
12.Usted adquiere una obligación que consta de tres pagarés así $300,000, $500,000 y $700,000 al 6,5% ETV, con vencimientos en 4, 7 y 10 meses respectivamente; y desea sustituirla con un banco que ofrece su equivalente en 6 pagos mensuales iguales y pactados al 5.5% ETV ¿Cuánto será el monto de la cuota mensual? 226.086 
CASOS DE INVERSIÓN PARA RESOLVER CON TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN (PIDRS) 
14.Con el propósito de reunir $10,000,000 para dentro de 5 años y de retirar al final de cada uno de los próximos 20 trimestres $1,000,000, usted invierte hoy la suma de $5,000,000 en un fondo que le paga el 3% trimestral de interés. además del depósito de apertura se realizarán 10 depósitos trimestrales iguales empezando dentro de 3 meses, seguidos de 6 depósitos trimestrales iguales más, que son la mitad del valor de los primeros. determine el valor de los depósitos. 1.461.667. 730.834 
15.Un inversionista recibe una renta mensual de $1.900.000 y decide ahorrar, en un fondo que le paga un interés del 28% nominal trimestral, cantidades así: el primer mes el 90% de la renta, el segundo mes el 90% de la primera cuota, el tercer mes el 90% de la segunda cuota, y así sucesivamente durante dos años, para luego estabilizarlas durante el tercer año. Si al final del año dos, realiza un retiro de $1.500.000, calcule la cantidad total que tendrá acumulada en el fondo al cabo de los tres años. 30.002.662 
16.Una persona ahorra $ 580.000 mensuales durante un año en una Institución. Cinco meses más tarde del último depósito, empieza a retirar cantidades mensuales que aumentan cada mes en el 5%. Si la le reconocen un interés del 28% nominal trimestral el primer año y el 29,5% nominal trimestral de ahí en adelante, y el primer retiro es de $ 510.000, determinar el número de retiros que cumplen la condición de aumento del5% respecto al retiro anterior y el valor del último retiro con el cual la cuenta queda en ceros. 14…629254 
17.Se deposita hoy la suma de $41.000.000 en un fondo que paga un interés del 27% nominal mensual. Durante los dos primeros meses de cada trimestre se realizan depósitos adicionales de $500.000 cada uno y cada tres meses se retira el 40% del saldo existente en ese momento. ¿Dentro de cuántos meses el saldo existente será de $ 4.975.220? 30 
18.Una institución financiera capta dinero como inversión ofreciendo pagar el 18% nominal trimestral, pero, a su vez hace retención en la fuente, del 1,5% por trimestre, sobre los intereses devengados en cada período. Hallar el total acumulado al cabo de siete años por una inversión inicial en esa institución de $ 4.200.000. 14.146.473 
19.Su empresa abrió un fondo donde realizó depósitos trimestrales por $2.000.000 cada uno. Este fondo reconocía una tasa de interés del 6% E.A. Hoy, cuando el fondo cumple tres años, se decide trasladar el monto obtenido, a otro fondo que paga el 12% E.A. ¿Cuánto se podrá reunir dentro de dos años en el nuevo fondo? 32.658.168
CASOS DE INVERSIÓN PARA RESOLVER CON TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN (PIDRS) 
20.Se tienen a la fecha, un saldo de $4 millones en un fondo. Si se realizan depósitos mensuales de $100.000 cada uno, durante 6 años, con cuánto dinero se podrá contar al final, sabiendo que el fondo paga el 14% ABA? 20.638.629 
21.Se requiere de $30 millones para la cuota inicial de un activo que se va a adquirir a crédito. Para tal fin, se realizan depósitos en un fondo que paga el 30% ATV, así: $2 millones el día de hoy, $3 millones dentro de 1 bimestre, $7 millones dentro de 3 trimestres, $2 millones dentro de un año y $6 millones dentro de año y medio. Con estos depósitos, cuánto se habrá acumulado para la cuota inicial? 24.505.906 
22.Calcular el valor del depósito que deberá efectuarse hoy en una cuenta, la cual reconoce un 25% ABV, con el cual se puedan hacer los siguientes retiros: $1 millón dentro de 8 meses; $2 millones dentro de un año; la mitad de lo depositado al inicio, dentro de año y medio; y que dentro de dos años pueda tener aún de saldo,, una cantidad igual al 50% del primer depósito. 6.951.682 
23.Se realizan 10 depósitos trimestrales de $3 millones, en un fondo que reconoce el 10% EA, al final de los cuales se retira el saldo y lo deposita en otro fondo que paga el 14% EA, durante 3 años. Cuánto se tendrá al final? 33.473.772. 49.592.865 
24.¿Con qué cantidad de dinero se deberá abrir el día de hoy una cuenta que paga el 25% ATV, para que de ella se puedan hacer dos retiros por valor de $2,350,000 y $3,800,000 dentro de 6 y 18 meses, respectivamente y que dentro de dos años se pueda tener un saldo igual a lo que hoy se deposita? 12,289,623 
25.Una persona hace un depósito hoy por $5,400,000 en una primera cuenta que paga el 24% TV; un año más tarde deposita $2,600,000; seis meses después de este depósito retira dos quintos del total acumulado hasta ese momento y lo transfiere a otra cuenta que le reconoce el 25% capitalizable trimestralmente por el primer año y el 27% convertible trimestralmente de allí en adelante, ¿cuánto dinero habrá en cada una de las dos cuentas dos años después de abierta la segunda? 10,119,051; 7,004,690
MÁS CASOS PARA RESOLVER
Una deuda contraída hace un año se pactó cancelar con dos cuotas así: una por $4.000.000 pagadera seis meses después de recibido el crédito y otra por $2.300.000 con vencimiento ocho meses después de la primera. si el deudor canceló oportunamente la primera cuota y desea cancelar en su totalidad la obligación el día de hoy, ¿cuánto deberá pagar si la operación se realizó con tasa de interés del 4% trimestral? 
Establezca un fondo de amortización con 10 depósitos mensuales iguales y anticipados, para de allí realizar cinco retiros bimestrales de $1,000,000 cada uno, el primero con vencimiento dos meses después de abierto el fondo. calcule el valor de los depósitos para una tasa de interés del 24% MV.
Usted tiene asegurado el siguiente flujo de entradas de dinero, al final de cada uno de los próximos seis años: $2.500.000 en el primero, $2.700.000 en el segundo, $2.900.000 en el tercero y así, sucesivamente. Si su tasa mínima esperada en una inversión es del 8% semestral, ¿en cuánto estaría usted dispuesto a venderlo el día de hoy? 
Un cliente recibe de su banco un préstamo por $30,000,000 pactando un interés del 2.5 % mensual para los diez primeros años y del 3% mensual para los cinco últimos, con plazo de quince años y cuotas mensuales variables anticipadas que se incrementan en un 2.5% mensual hasta la cuota 120, y disminuyen respecto a su anterior en $25,000 a partir de la cuota 121. Determine el valor de las cuotas números: uno, ciento veinte, y ciento ochenta. 
Un fondo de inversiones le reconoce el 11% anual de rentabilidad; ¿qué suma igual deberá invertir en él, al final de cada mes y por un año, a fin de utilizar el fondo para comprar un equipo de $50.500.000 dentro de seis meses y otro de $52,800,000 dentro de un año? 
Para poder cubrir el déficit de caja del próximo período, su compañía ha recibido un préstamo el día de hoy por valor de $75.000.000 los cuales deberá cancelar mediante 48 cuotas mensuales, vencidas, e iguales para cada año, pero con incremento anual del 3%. Realice la tabla de amortización considerando la tasa de financiación en el 20% T.V. 
MÁS CASOS PARA RESOLVER
(7) Una línea de fomento contempla entregar créditos al 12% BV. Si ha pactado uno con plazo de cuatro años, cuotas trimestrales que aumenten en $7,000 y seis meses de gracia (durante la gracia no se vence ni capital ni intereses, pero estos últimos sí se causan), de manera que la primera cuota de $350.000, se paga nueve meses después de recibir el desembolso; determine cuál debe ser el valor del crédito otorgado y de cuánto deberá ser la última de las cuotas. 
(8) Los ingresos mensuales de su empresa serán de $500.000 el primer mes y después aumentarán en $50.000 cada uno. Los costos mensuales serán el 75% de los ingresos. Si la empresa ahorra un 10% de sus utilidades mensuales en una cuenta que le rinde el 25% EA, hallar el saldo que acumulará en la cuenta al cabo de cinco años. 
(9) Se Recibe un crédito por $156.000.000, con plazo de 10 años para amortizarlo con cuotas vencidas, mensuales y variables, y a un interés del 25% anual. La cuota del primer mes resultó ser de $200.000, la del segundo $270.000, la del tercero $340,000 y así, sucesivamente, durante los cinco primeros años, a partir de los cuales, las cuotas se incrementan en una tasa fija cada mes. Hallar la tasa fija de crecimiento de las últimas cuotas, empleando para ello, la tabla de amortización. 
(10) En el mercado extra-bancario, una persona obtiene $200.000 en calidad de préstamo, los que cancelará mediante ocho cuotas quincenales iguales. El acreedor liquida de la siguiente manera: como los intereses son el 10% mensual y son cuatro meses, pagaría por este concepto $80.000. En total tendría que cancelar $200,000 del capital más $80.000 de intereses, lo que representa un total de $280.000. La cuota a pagar por quincena sería entonces de $35.000 ($280.000/8); bajo estas condiciones, ¿qué tasa de interés mensual a interés compuesto se ha pactado en la negociación? 
(11) Con el propósito de reunir la suma de $50.000.000 para dentro de quince meses se constituye un fondo con rendimiento del 24% AMV. El fondo consta de quince depósitos mensuales anticipados que se incrementan en un 2% mensual. el departamento de contabilidad de su empresa le pide calcular los intereses correspondientes al décimo período abonados a su cuenta. 
(12) Usted efectúa diez depósitos semestrales que aumentan en $20,000, en un fondo que reconoce el 6% semestral, empezando con $100,000 desde el día de hoy. ¿Qué saldo podrá retirar seis meses después del último depósito, si dentro de un año retira $200.000? 
(13) Determine el valor del primero de doce depósitos mensuales anticipados, con crecimientodel 3% mensual a efectuar en un fondo constituido el día de hoy, que reconoce el 1.5% mensual de intereses. El fondo se ha establecido sólo para retirar el valor correspondiente a las cuotas con las que se debe cancelar un crédito de $22.000.000 recibido el día de hoy, pactado a 6 cuotas trimestrales vencidas que disminuyen cada mes en $50.000 y tasa de financiación del 36% AMV.