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Tema 4 Sistemas de partículas 
4.1. Estática y equilibrio. 
4.1.1. Condiciones de equilibrio. 
Las condiciones de equilibrio consisten en que para que un sistema esté en 
equilibrio, la fuerza total externa aplicada debe ser nula: 
∑ == 0 RF exti

 [1] 
Esta condición evita que haya traslación del sistema. 
La otra condición de equilibrio es que la resultante de los momentos de las fuerzas 
externas sea nula: 
∑ == 0 MM exti

 [1’] 
Esta condición evita que haya rotación del sistema. 
 
4.1.2. Composición de fuerzas paralelas. 
Supongamos ahora un cuerpo 
que no está en equilibrio y que tiene 
aplicadas una serie de fuerzas 
paralelas (3 en la gráfica). Si todas las 
fuerzas llevan la dirección de un 
vector unitario u , se cumple que la 
resultante R

, será: 
( )uFuRFR ii 

∑ ∑=== [a] 
 La suma vectorial de los momentos de fuerza es: 
( ) uFrFurFrMM iiiiiii 

×=×=×== ∑∑∑ ∑ [b] 
Si se coloca R

 en la posición adecuada cr
 será posible igualar su torque a M

 
(esto es el Teorema de Varignon). Es decir: 
MRrc

=× [c] 
Al sustituir en [c] las expresiones halladas en [a] y [b] tenemos: 
( ) ( ) uFruFr iiic  ×=× ∑∑ , que se puede escribir como: ( )[ ] ( ) uFruFr iiic  ×=× ∑∑ 
Esta igualdad sólo se satisface si: ( ) ∑∑ = iiic FrFr  , es decir: 
F2 
F1 
F3 
Y 
X 
R 
r2 
r1 
rc 
r3 
u 




++
++
==
∑
∑
21
2211
FF
FrFr
F
Fr
r
i
ii
c [d] 
 
4.2. El centro de masas (CM). 
4.2.1. Determinación del centro de masas. 
Si en el apartado anterior las fuerza paralelas aplicadas son los pesos de un 
sistema de partículas (SP) entonces la posición del centro de masas cmr
 del sistema 
vendrá dada por una ecuación equivalente a [d] donde las fuerzas iF se serán los pesos 
gmi 
∑
∑
∑
∑ ==
i
ii
i
ii
cm m
mr
gm
gmr
r

 [2] 
 Hemos considerado los pesos como fuerzas paralelas (perpendiculares al suelo) 
pero en realidad son radiales y dirigidos hacia el centro de la Tierra pero para sistemas 
de partículas pequeños la aproximación es buena. 
 Se puede escribir [4] en coordenadas cartesianas: 
∑
∑=
i
ii
cm m
xm
x 
∑
∑=
i
ii
cm m
ym
y 
∑
∑=
i
ii
cm m
zm
z 
 Para un objeto continuo de masa M, las sumatorias se convierten en integrales: 
M
dmr
rcm
∫= 

 [3] 
ya que ∫= dVM ρ 
∫
∫=
dV
dVx
xcm
 
 
ρ
ρ
 
∫
∫=
dV
dVy
ycm
 
 
ρ
ρ
 
∫
∫=
dV
dVz
zcm
 
 
ρ
ρ
 
y si el cuerpo es homogéneo (de densidad ρ constante en toda su extensión): 
∫
∫=
dV
dVx
xcm
 
 
∫
∫=
dV
dVy
ycm
 
 
∫
∫=
dV
zdV
zcm
 
 
 Para una placa de espesor uniforme: 
∫
∫=
dA
dAx
xcm
 
 
∫
∫=
dA
dAy
ycm
 
 
∫
∫=
dA
zdA
zcm
 
 
 El cálculo de centros de masas de volúmenes y placas de forma general es un 
problema complejo de carácter matemático. Existen tablas de centros de masas para 
figuras típicas de 2 y 3 dimensiones. 
 
4.2.2. Movimiento del centro de masas. 
Si derivamos la ecuación [2] obtenemos la velocidad del centro de masas: 
M
mv
v iicm
∑=

 [4] 
y derivando de nuevo, obtenemos la aceleración del centro de masas: 
M
ma
a iicm
∑=

 [5] 
 
4.2.3. Energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas. 
La energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas (SP) es la misma que 
la energía potencial que tiene el centro de masas. 
 
4.3. Momento lineal de un sistema de partículas. 
4.3.1. Definición del momento lineal de un sistema de partículas. 
El momento lineal total del sistema de partículas es la suma de todos los 
momentos lineales de cada partícula individual: 
cmiii vMvmpP

===∑ ∑ 
donde se ha utilizado [4] en la última igualdad. 
 El momento lineal de un sistema de partículas P

 es como si toda su masa 
estuviera concentrada en el CM (centro de masas) y se moviera con velocidad cmv
 . 
 
4.3.2. 2ª ley de Newton para un sistema de partículas. 
 Sabemos que totalFdt
Pd 

= 
donde la fuerza total que actúa en el SP incluye tanto a las fuerza externas aplicadas 
como las fuerzas internas entre partículas: 
∑∑ += intiextitotal FFF 

 
pero las fuerzas internas entre partículas cumplen la ley de acción-reacción (3ª ley de 
Newton) de modo que la fuerza que una partícula hace sobre otra es la misma que 
aquella hace sobre esta. Así, la fuerza que la partícula 1 hace sobre la 2, es la misma que 
la fuerza que la partícula 2 hace sobre la 1 con signo contrario: 1221 −− −= FF

. Cuando 
se extiende esta conclusión a todas las partículas vemos que la suma total de las fuerzas 
internas se anula: 0 =∑ intiF

 y entonces: 
RFaM
dt
Pd
exticm


=== ∑ [6] 
 Esta ecuación es muy importante ya que indica que el cambio de momento lineal 
en un SP sólo puede ser producido por las fuerzas externas. También indica que las 
fuerzas internas no pueden cambiar el momento lineal del sistema y, por tanto, tampoco 
su posición. 
 
4.3.3. Conservación del momento lineal de un sistema de partículas. 
Si un sistema de partículas está asilado entonces 0=
dt
Pd

 ⇒ cteP =

 ó 0=P

, es 
decir, su CM está en reposo o se mueve con velocidad constante. 
 
4.3.4. Sistemas de referencia: Centro de Masas y Laboratorio. 
Podemos fijar un sistema de referencia cuyo origen esté en el mismo centro de 
masas del sistema de partículas que llamaremos sistema de referencia centro de masas 
CM. A un sistema de referencia fijo y exterior al sistema de partículas le llamaremos 
sistema laboratorio L. 
 Las posiciones y las velocidades de las partículas del sistema referidas al CM 
serán designadas por primas, ir ′
 y iv
′ . Las posiciones y las velocidades de las partículas 
referidas al sistema L serán designadas sin primas ir
 y iv
 . 
 En el propio sistema CM el centro de masas no se mueve y, por tanto, su 
velocidad será nula, luego al aplicar la ecuación [4] tenemos: 
M
vm ii∑ ′=

0 
esto implica que 0=′∑ iivm  
 En el sistema CM la posición del centro de masas es nula puesto que está en su 
origen, luego por [2]: 
∑
∑ ′=
i
ii
m
rm 
0 
y entonces 0=′∑ ii rm  
 Debido a lo explicado en § 1.6, para cualquier partícula del SP se cumple la 
siguiente relación para las posiciones: 
icmi rrr ′+=
 
e igual para las velocidades. 
icmi vvv ′+=
 
 
4.4. Energía cinética de un sistema de partículas. 
4.4.1. Conservación de la energía para un sistema de partículas. 
Sea 2 2
1
iiikk vmEE ∑ ∑== , y si calculamos su diferencial: 
( ) =====⋅= ∑∑∑ ∑∑ iiiiiiiiiiiiiiik rdamdt
vd
rdmvd
dt
rd
mvdvmvvdmdE 



 2
2
1
2
1 
( ) WddWrdFF iintiexti ′+=⋅+=∑ 

 que expresado en forma integral queda: 
intextk WWE +=∆ [7] 
 Esta ecuación es muy importante ya que indica que el cambio en energía cinética 
de un SP depende del trabajo efectuado tanto por las fuerzas exteriores como por la 
interiores (sin embargo el cambio de momento dado por [6] sólo dependía de las 
exteriores). 
 Si las fuerzas exteriores son conservativas, el trabajo realizado por ellas se puede 
expresar como un cambio de energía potencial (cambiado de signo): 
intpk WEE +∆−=∆ 
es decir, si existe un estado inicial 1 y un estado final 2: 
intpkpk WEEEE ++=+ 1 1 2 2 [7’] 
que quiere decir que la energía total en el estado final es igual a la energía total en el 
estado inicial más el trabajo realizado por las fuerzas interiores. 
 
 
 
 
4.4.2. Teorema de König de la energía cinética. 
Como hemos dicho se cumple icmi vvv ′+=
 , de modo que: 
( ) ( ) ( ) =′+⋅′+=⋅== ∑∑ icmicmiiiiiik vvvvmvvmvmE  2
1
2
1
2
1 2 
( )∑∑ ′+′+= iicmiicm vmvvmMv 22 2
1
2
1 
donde el último término se anula 0=′∑ iivm  como vimos. Luego: 
∑ ′+= 22 2
1
2
1
iicmk vmMvE [8] 
expresión conocida como teorema de König de la energía cinética (primer teorema de 
König). 
 
4.4.3. Consecuencias del teorema de König de la energía cinética. 
 El primer término de [8] representa la energía cinética del CMreferida al 
sistema L y sólo puede ser producida por fuerzas exteriores. 
 El segundo término de [8] representa la energía cinética de la cada una de las 
partículas del SP referida al CM y es producida por fuerzas internas. 
 Así cuando se lanza una granada y explota en el aire, el primer término 
representa la energía cinética de la granada como si no hubiera explotado y el segundo 
término representa la energía cinética de los trozos respecto al CM. 
 Cuando no hay fuerzas exteriores, hemos visto en §4.3.3 que la velocidad del 
centro de masas es nula o constante en el sistema L. Esto implica que en un sistema 
asilado (sin fuerzas exteriores) sólo podrá cambiar la energía cinética relativa al CM y 
ese cambio es producido únicamente por fuerzas internas. Por ejemplo, en una granada 
en reposo que explota, la energía cinética del centro de masas es nula antes y después de 
la explosión. Sin embargo, las fuerzas internas (energía química) producen energía 
cinética en cada partícula después de la explosión. De modo que, después de la 
explosión, la granada (sus trozos) tiene energía cinética, es decir, el sistema de 
partículas ha obtenido energía cinética procedente de las fuerzas internas. Después de la 
explosión, la energía cinética del centro de masas sigue siendo nula pero ya no lo es la 
energía cinética del sistema ya que sus trozos se mueven. 
0 
 En un sólido rígido (que trataremos en el próximo capítulo), las fuerzas internas 
no pueden realizar trabajo ya que las distancias entre partículas se mantienen constantes. 
Esto implica que en un sólido rígido aislado no puede haber cambios de energía cinética 
si no hay fuerzas exteriores aplicadas. 
4.5. Colisiones. 
En las colisiones siempre se conserva el momento lineal. Sin embargo, la energía 
cinética sólo se conserva en los choques elásticos. En los choques inelásticos hay una 
pérdida Q de energía (normalmente en calor y elasticidad en deformación). 
Se el estado antes del choque se designa por i y el estado después del choque por f: 
fi PP = (en cualquier tipo de choque) [9a] 
fkik EE = (sólo en los choques elásticos) [9b] 
QEE fkik += (en los choque inelásticos) [9c] 
 
4.5.1. Colisiones frontales (elásticas e inelásticas). 
Las colisiones frontales son aquellas en las que los vectores velocidad de ambas 
partículas están en la misma línea y están alineados con los centros de los cuerpos, es 
decir, son choques sin ángulo. Los sentidos de las velocidades pueden ser contrarios, en 
una colisión propiamente dicha, o pueden tener el mismo sentido en una colisión por 
alcance. 
 
a) Colisión perfectamente inelástica (o plástica): 
Se llama así a la colisión totalmente inelástica donde los cuerpos se quedan 
unidos después del choque. Después del choque ambos cuerpos poseen a misma 
velocidad que es la velocidad del CM. 
cmff vvv == 21 
Y ya que siempre se cumple la conservación de P: 
( ) cmii vmmvmvm 212211 +=+ 
 
b) Colisión elástica: 
Se conserva además la energía: 
2
22
2
11
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1
iiff vmvmvmvm +=+ 
 que se puede escribir: ( ) ( )2121122222 fiif vvmvvm −=− o bien: 
( )( ) ( )( )fifiifif vvvvmvvvvm 1111122222 −+=−+ [a] 
 De la conservación de P: iiff vmvmvmvm 22112211 +=+ es decir, 
( ) ( )fiif vvmvvm 111222 −=− [b] 
 
Dividiendo [a] entre [b] resulta: ( ) ( )fiif vvvv 1122 +=+ que se reordena a: 
( )iiff vvvv 1212 −−=− [10] 
Esta ecuación indica, que para choques perfectamente elásticos, la velocidad 
relativa de retroceso es igual a la velocidad relativa de aproximación cambiada de 
signo. 
Normalmente los choques no todos los choques elásticos son perfectamente 
elásticos y existe siempre una componente inelástica que viene dada por el llamado 
coeficiente de restitución e: 
aproxima
retorceso
ii
ff
v
v
vv
vv
e =
−
−
=
12
12 [11] 
 Los casos extremos son: 
Si e = 1 ⇒ colisión perfectamente elástica. 
Si e = 0 ⇒ colisión perfectamente inelástica (plástica). 
 
4.5.2. Colisiones no frontales (elásticas e inelásticas). 
Las colisiones no frontales tienen lugar cuando los centros de ambos cuerpos no 
están alienados con sus velocidades y chocan formado un ángulo. 
a) Colisión perfectamente inelástica (o plástica): 
Se conserva el momento lineal. Antes del choque el momento de cada 
partícula es: 111 vmp

= ; 222 vmp

= . Después del choque el momento total 
debe ser a la suma vectorial de ambos momentos antes del choque: 
21 ppP

+= 
y como los objetos quedan pegados: 
21 mm
Pvcm +
=

 
 
 
 
b) Colisión elástica: 
Sólo estudiaremos la situación 
más simplificada de este tipo que es 
cuando una partícula está en reposo y 
la otra incide sobre ella pero 
apuntando fuera del centro de la 
misma. La distancia b entre centros 
medida en perpendicular a la 
dirección de v1i, se denomina 
parámetros de impacto. 
 Se deben conservar las componentes del momento lineal tanto en vertical 
como en horizontal: 
2211 sinsin θθ ff pp = (componentes verticales) 
112211 coscos vmpp ff =+ θθ (componentes horizontales) 
 Conocidos θ1 y θ2 se puede hallar p1f y p2f 
 
Dentro de este tipo de colisiones en ángulo, en que una de las masas está 
parada, tiene especial interés el caso en que ambas masas son iguales, 
m1 = m2 = m . 
De la conservación del momento, tenemos: ffi vmvmvm 211

+= ⇒ 
⇒ ffi vvv 211

+= 
 De la conservación de la energía: 22
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
ffi mvmvmv += ⇒ 
 ⇒ 22
2
1
2
1 ffi vvv += 
p1 
Antes del choque 
⇒ 
p2 
Después del choque 
p1 
p2 
P 
 Ambas ecuaciones de conservación sólo se 
pueden cumplir si v1f y v2f están en ángulo recto, es decir, 
después del choque ambas partículas tienen trayectorias 
perpendiculares. 
 
 
4.6. Momento angular de un sistema de partículas. 
Según vimos en §2.6.2 ecuación [9] se define el momento angular de una 
partícula como: vmrL AA

×= , 
y la 2ª ley de Newton para la rotación (ecuación [10]) Adt
Ld τ

= 
 Extendemos el resultado a un sistema de partículas: 
( )∑ ∑ ×== iiiAiAA vmrLL  [12] 
y al derivar: 
( ) =










×+


 ×= ∑∑ dt
vd
mrvm
dt
rd
dt
Ld i
iiii
iA



 
( )[ ] ( )[ ]∑∑ ×+×= iiiiii amrvmv  
donde el primer término se anula al ser el producto vectorial de dos vectores paralelos. 
 Pero intiextiii FFam 

+= , de modo que: 
[ ] [ ]∑∑ ×+×= intiiextiiA FrFrdt
Ld
 


 
el segundo término se anula por el siguiente motivo: 
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =+×−×=+×+×=×∑ 

122121212121 FrFrFrFrFr intii 
0 
0 
⇒ 
v1i 
v1f 
v2f 
v1f v2f 
v1i 
Antes choque Después choque 
Única posibilidad 
( ) 01221 =+×−= 
 Frr ya que ( )21 rr

− es paralelo a 12F

porque ambos van el la 
línea de acción de la partícula 1 a la 2. 
 Es decir: 
[ ] ∑∑ =×= iAextiiA MFrdt
Ld
 


 [13] 
 Esta ecuación indica que el cambio de momento cinético del sistema respecto a 
un punto fijo A coincide con el momento resultante de las fuerzas externas respecto a 
dicho punto. 
4.6.1. Teorema de König del momento angular. 
Utilizaremos el mismo procedimiento que en el teorema de König de le energía cinética: 
icmi rrr ′+=
 icmi vvv ′+=
 
( ) ( ) ( )[ ] =′+×′×=×== ∑∑ ∑ icmiicmiiiAiAA vvmrrvmrLL 

 
=′×′+×′+′×+×= ∑∑∑∑ iiicmiiiicmcmicm vmrvmrvmrvmr  
[ ] ( )[ ] [ ] =′×′+×′+′×+×= ∑∑∑∑ iiicmiiiicmcmicm vmrvmrvmrvmr  
donde los términos centrales se anulan por ser 0=′∑ iivm  y 0=′∑ ii rm  
cmcmcm LvMr

+×= siendo iiicm vmrL ′×′=∑ 

 
 Resulta finalmente: 
cmcmcmA LvMrL

+×= [14] 
que es la expresión conocida como teorema de König del momento angular (segundo 
teorema de König) 
El primer término representa el momento angular externo relativo al sistema L 
como si toda la masa estuviera concentrada en el CM. 
El segundo término es el momento angular interno relativo al sistema CM. 
Así, cuando un lanzadorarroja una pelota rodando, el momento angular debido a 
la rotación está dado por cmL

, mientras que el momento angular debido a la traslación 
está dado por cmcmbola vrm

× . 
 
 
 
0 0 
 
4.6.2. Consecuencias del teorema de König del momento angular. 
Si derivamos [14]: 
( )cmcmcmA vrMdt
d
dt
Ld
dt
Ld 

×+= 
y por [13]: 
=×+×+==∑ dt
vd
rMv
dt
rd
M
dt
Ld
M
dt
Ld cm
cmcm
cmcm
iA
A




 
=×+×+= cmcmcmcm
cm aMrvvM
dt
Ld 

 
pero sabemos que RFaM exticm

==∑ , luego: 
Rr
dt
Ld
M cm
cm
iA



×+=∑ 
y ya que sabemos por [13] que [ ]∑∑ ×= extiiiA FrM 
 y sabemos que cmii rrr

+′= 
entonces [ ] ∑∑ ×+=× exticmcmextii Frdt
Ld
Fr 


 
y necesariamente se debe cumplir que: 
[ ] ∑∑ =×′= icmextiicm MFrdt
Ld
 


 [15] 
que es una ecuación equivalente a [13] y representa el momento resultante de las fuerzas 
externas respecto al CM. Esta es la ecuación que habitualmente se utilizará (junto con la 
ecuación [6]) para resolver problemas de rotación y traslación, y tiene la particularidad 
que es válida aunque el CM no sea un punto fijo (como ocurría en [13] con A) 
 
 
 
0 (paralelos) 
	Tema 4 Sistemas de partículas
	4.1. Estática y equilibrio.
	4.1.1. Condiciones de equilibrio.
	Las condiciones de equilibrio consisten en que para que un sistema esté en equilibrio, la fuerza total externa aplicada debe ser nula:
	 [1]
	Esta condición evita que haya traslación del sistema.
	La otra condición de equilibrio es que la resultante de los momentos de las fuerzas externas sea nula:
	 [1’]
	Esta condición evita que haya rotación del sistema.
	4.1.2. Composición de fuerzas paralelas.
	Supongamos ahora un cuerpo que no está en equilibrio y que tiene aplicadas una serie de fuerzas paralelas (3 en la gráfica). Si todas las fuerzas llevan la dirección de un vector unitario , se cumple que la resultante , será:
	 [a]
	 La suma vectorial de los momentos de fuerza es:
	 [b]
	Si se coloca en la posición adecuada será posible igualar su torque a (esto es el Teorema de Varignon). Es decir:
	 [c]
	Al sustituir en [c] las expresiones halladas en [a] y [b] tenemos: , que se puede escribir como: 
	Esta igualdad sólo se satisface si: , es decir:
	 [d]
	4.2. El centro de masas (CM).
	4.2.1. Determinación del centro de masas.
	Si en el apartado anterior las fuerza paralelas aplicadas son los pesos de un sistema de partículas (SP) entonces la posición del centro de masas del sistema vendrá dada por una ecuación equivalente a [d] donde las fuerzas se serán los pesos 
	 [2]
	 Hemos considerado los pesos como fuerzas paralelas (perpendiculares al suelo) pero en realidad son radiales y dirigidos hacia el centro de la Tierra pero para sistemas de partículas pequeños la aproximación es buena.
	 Se puede escribir [4] en coordenadas cartesianas:
	 Para un objeto continuo de masa M, las sumatorias se convierten en integrales:
	 [3]
	ya que 
	y si el cuerpo es homogéneo (de densidad ( constante en toda su extensión):
	 Para una placa de espesor uniforme:
	 El cálculo de centros de masas de volúmenes y placas de forma general es un problema complejo de carácter matemático. Existen tablas de centros de masas para figuras típicas de 2 y 3 dimensiones.
	4.2.2. Movimiento del centro de masas.
	Si derivamos la ecuación [2] obtenemos la velocidad del centro de masas:
	 [4]
	y derivando de nuevo, obtenemos la aceleración del centro de masas:
	 [5]
	4.2.3. Energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas.
	La energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas (SP) es la misma que la energía potencial que tiene el centro de masas.
	4.3. Momento lineal de un sistema de partículas.
	4.3.1. Definición del momento lineal de un sistema de partículas.
	El momento lineal total del sistema de partículas es la suma de todos los momentos lineales de cada partícula individual:
	donde se ha utilizado [4] en la última igualdad.
	 El momento lineal de un sistema de partículas es como si toda su masa estuviera concentrada en el CM (centro de masas) y se moviera con velocidad .
	4.3.2. 2ª ley de Newton para un sistema de partículas.
	 Sabemos que 
	donde la fuerza total que actúa en el SP incluye tanto a las fuerza externas aplicadas como las fuerzas internas entre partículas:
	pero las fuerzas internas entre partículas cumplen la ley de acción-reacción (3ª ley de Newton) de modo que la fuerza que una partícula hace sobre otra es la misma que aquella hace sobre esta. Así, la fuerza que la partícula 1 hace sobre la 2, es la misma que la fuerza que la partícula 2 hace sobre la 1 con signo contrario: . Cuando se extiende esta conclusión a todas las partículas vemos que la suma total de las fuerzas internas se anula: y entonces:
	 [6]
	 Esta ecuación es muy importante ya que indica que el cambio de momento lineal en un SP sólo puede ser producido por las fuerzas externas. También indica que las fuerzas internas no pueden cambiar el momento lineal del sistema y, por tanto, tampoco su posición.
	4.3.3. Conservación del momento lineal de un sistema de partículas.
	Si un sistema de partículas está asilado entonces ( ó , es decir, su CM está en reposo o se mueve con velocidad constante.
	4.3.4. Sistemas de referencia: Centro de Masas y Laboratorio.
	Podemos fijar un sistema de referencia cuyo origen esté en el mismo centro de masas del sistema de partículas que llamaremos sistema de referencia centro de masas CM. A un sistema de referencia fijo y exterior al sistema de partículas le llamaremos sistema laboratorio L.
	 Las posiciones y las velocidades de las partículas del sistema referidas al CM serán designadas por primas, y . Las posiciones y las velocidades de las partículas referidas al sistema L serán designadas sin primas y .
	 En el propio sistema CM el centro de masas no se mueve y, por tanto, su velocidad será nula, luego al aplicar la ecuación [4] tenemos:
	esto implica que 
	 En el sistema CM la posición del centro de masas es nula puesto que está en su origen, luego por [2]:
	y entonces 
	 Debido a lo explicado en § 1.6, para cualquier partícula del SP se cumple la siguiente relación para las posiciones:
	e igual para las velocidades.
	4.4. Energía cinética de un sistema de partículas.
	4.4.1. Conservación de la energía para un sistema de partículas.
	Sea , y si calculamos su diferencial:
	 que expresado en forma integral queda:
	 [7]
	 Esta ecuación es muy importante ya que indica que el cambio en energía cinética de un SP depende del trabajo efectuado tanto por las fuerzas exteriores como por la interiores (sin embargo el cambio de momento dado por [6] sólo dependía de las exteriores).
	 Si las fuerzas exteriores son conservativas, el trabajo realizado por ellas se puede expresar como un cambio de energía potencial (cambiado de signo):
	es decir, si existe un estado inicial 1 y un estado final 2:
	 [7’]
	que quiere decir que la energía total en el estado final es igual a la energía total en el estado inicial más el trabajo realizado por las fuerzas interiores.
	4.4.2. Teorema de König de la energía cinética.
	Como hemos dicho se cumple , de modo que:
	donde el último término se anula como vimos. Luego:
	 [8]
	expresión conocida como teorema de König de la energía cinética (primer teorema de König).
	4.4.3. Consecuencias del teorema de König de la energía cinética.
	 El primer término de [8] representa la energía cinética del CM referida al sistema L y sólo puede ser producida por fuerzas exteriores.
	 El segundo término de [8] representa la energía cinética de la cada una de las partículas del SP referida al CM y es producida por fuerzas internas.
	 Así cuando se lanza una granada y explota en el aire, el primer término representa la energía cinética de la granada como si no hubiera explotado y el segundo término representa la energía cinética de los trozos respecto al CM.
	 Cuando no hay fuerzas exteriores, hemos visto en §4.3.3 que la velocidad del centro de masases nula o constante en el sistema L. Esto implica que en un sistema asilado (sin fuerzas exteriores) sólo podrá cambiar la energía cinética relativa al CM y ese cambio es producido únicamente por fuerzas internas. Por ejemplo, en una granada en reposo que explota, la energía cinética del centro de masas es nula antes y después de la explosión. Sin embargo, las fuerzas internas (energía química) producen energía cinética en cada partícula después de la explosión. De modo que, después de la explosión, la granada (sus trozos) tiene energía cinética, es decir, el sistema de partículas ha obtenido energía cinética procedente de las fuerzas internas. Después de la explosión, la energía cinética del centro de masas sigue siendo nula pero ya no lo es la energía cinética del sistema ya que sus trozos se mueven.
	 En un sólido rígido (que trataremos en el próximo capítulo), las fuerzas internas no pueden realizar trabajo ya que las distancias entre partículas se mantienen constantes. Esto implica que en un sólido rígido aislado no puede haber cambios de energía cinética si no hay fuerzas exteriores aplicadas.
	4.5. Colisiones.
	En las colisiones siempre se conserva el momento lineal. Sin embargo, la energía cinética sólo se conserva en los choques elásticos. En los choques inelásticos hay una pérdida Q de energía (normalmente en calor y elasticidad en deformación).
	Se el estado antes del choque se designa por i y el estado después del choque por f:
	 (en cualquier tipo de choque) [9a]
	 (sólo en los choques elásticos) [9b]
	 (en los choque inelásticos) [9c]
	4.5.1. Colisiones frontales (elásticas e inelásticas).
	Las colisiones frontales son aquellas en las que los vectores velocidad de ambas partículas están en la misma línea y están alineados con los centros de los cuerpos, es decir, son choques sin ángulo. Los sentidos de las velocidades pueden ser contrarios, en una colisión propiamente dicha, o pueden tener el mismo sentido en una colisión por alcance.
	a) Colisión perfectamente inelástica (o plástica):
	Se llama así a la colisión totalmente inelástica donde los cuerpos se quedan unidos después del choque. Después del choque ambos cuerpos poseen a misma velocidad que es la velocidad del CM.
	Y ya que siempre se cumple la conservación de P:
	b) Colisión elástica:
	Se conserva además la energía:
	 que se puede escribir: o bien:
	 [a]
	 De la conservación de P: es decir,
	 [b]
	Dividiendo [a] entre [b] resulta: que se reordena a:
	 [10]
	Esta ecuación indica, que para choques perfectamente elásticos, la velocidad relativa de retroceso es igual a la velocidad relativa de aproximación cambiada de signo.
	Normalmente los choques no todos los choques elásticos son perfectamente elásticos y existe siempre una componente inelástica que viene dada por el llamado coeficiente de restitución e:
	 [11]
	 Los casos extremos son:
	Si e = 1 ( colisión perfectamente elástica.
	Si e = 0 ( colisión perfectamente inelástica (plástica).
	4.5.2. Colisiones no frontales (elásticas e inelásticas).
	Las colisiones no frontales tienen lugar cuando los centros de ambos cuerpos no están alienados con sus velocidades y chocan formado un ángulo.
	a) Colisión perfectamente inelástica (o plástica):
	Se conserva el momento lineal. Antes del choque el momento de cada partícula es: ; . Después del choque el momento total debe ser a la suma vectorial de ambos momentos antes del choque:
	y como los objetos quedan pegados: 
	Colisión elástica:
	Sólo estudiaremos la situación más simplificada de este tipo que es cuando una partícula está en reposo y la otra incide sobre ella pero apuntando fuera del centro de la misma. La distancia b entre centros medida en perpendicular a la dirección de v1i, se denomina parámetros de impacto.
	 Se deben conservar las componentes del momento lineal tanto en vertical como en horizontal:
	 (componentes verticales)
	 (componentes horizontales)
	 Conocidos θ1 y θ2 se puede hallar p1f y p2f
	Dentro de este tipo de colisiones en ángulo, en que una de las masas está parada, tiene especial interés el caso en que ambas masas son iguales,
	m1 = m2 = m . 
	De la conservación del momento, tenemos: (
	( 
	 De la conservación de la energía: (
	 ( 
	 Ambas ecuaciones de conservación sólo se pueden cumplir si v1f y v2f están en ángulo recto, es decir, después del choque ambas partículas tienen trayectorias perpendiculares.
	4.6. Momento angular de un sistema de partículas.
	Según vimos en §2.6.2 ecuación [9] se define el momento angular de una partícula como: ,
	y la 2ª ley de Newton para la rotación (ecuación [10]) 
	 Extendemos el resultado a un sistema de partículas:
	 [12]
	y al derivar:
	donde el primer término se anula al ser el producto vectorial de dos vectores paralelos.
	 Pero , de modo que:
	el segundo término se anula por el siguiente motivo:
	 ya que es paralelo a porque ambos van el la línea de acción de la partícula 1 a la 2.
	 Es decir:
	 [13]
	 Esta ecuación indica que el cambio de momento cinético del sistema respecto a un punto fijo A coincide con el momento resultante de las fuerzas externas respecto a dicho punto.
	4.6.1. Teorema de König del momento angular.
	Utilizaremos el mismo procedimiento que en el teorema de König de le energía cinética: 
	donde los términos centrales se anulan por ser y 
	 siendo 
	 Resulta finalmente:
	 [14]
	que es la expresión conocida como teorema de König del momento angular (segundo teorema de König)
	El primer término representa el momento angular externo relativo al sistema L como si toda la masa estuviera concentrada en el CM.
	El segundo término es el momento angular interno relativo al sistema CM.
	Así, cuando un lanzador arroja una pelota rodando, el momento angular debido a la rotación está dado por , mientras que el momento angular debido a la traslación está dado por .
	4.6.2. Consecuencias del teorema de König del momento angular.
	Si derivamos [14]:
	y por [13]:
	pero sabemos que , luego:
	y ya que sabemos por [13] que y sabemos que 
	entonces 
	y necesariamente se debe cumplir que:
	 [15]
	que es una ecuación equivalente a [13] y representa el momento resultante de las fuerzas externas respecto al CM. Esta es la ecuación que habitualmente se utilizará (junto con la ecuación [6]) para resolver problemas de rotación y traslación, y tiene la particularidad que es válida aunque el CM no sea un punto fijo (como ocurría en [13] con A)